知识讲解_《函数》全章复习与巩固_ 提高

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《函数》全章复习与巩固
【学习目标】
1．会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用；
2．能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；
3．求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用；
4．理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数了解奇偶性的含义；
5．理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系；
6．能运用函数的图象理解和研究函数的性质．
【知识网络】


【要点梳理】
要点一：关于函数的概念
1．两个函数相等的条件
用集合与对应的语言刻画函数，与初中的“用变量的观点描述函数”实质上是一致的．函数有三要素——定义域、值域、对应关系，它们是不可分割的一个整体．当且仅当两个函数的三要素完全相同时，这两个函数相等．
2．函数的常用表示方法
函数的常用表示方法有：图象法、列表法、解析法．注意领会在实际情境中根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．
3．映射
设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x（原象），在集合B中都有唯一确定的元素（象）与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．由映射定义知，函数是一种特殊的映射，即函数是两个非空的数集间的映射．
4．函数的定义域
函数的定义域是自变量的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．其题型主要有以下几种类型：
（1）已知得函数表达式，求定义域；
（2）已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求出的取值范围；
（3）已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求的取值范围．
5．函数的值域
由函数的定义知，自变量在对应法则下取值的集合叫做函数的值域．
函数值域的求法：
（1）与二次函数有关的函数，可用配方法（注意定义域）；
（2）形如的函数，可用换元法．即设，转化成二次函数再求值域（注意）；
（3）形如的函数可借助反比例函数求其值域，若用变量分离法求值域，这种函数的值域为；
（4）形如（中至少有一个不为零）的函数求值域，可用判别式求值域．
6．函数的解析式
函数的解析式是函数的一种表示方法，求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是求出函数的定义域．
求函数解析式的主要方法：已知函数解析式的类型时，可用待定系数法；已知复合函数的表达式时，可用换元法，此时要注意“元”的取值范围；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组、消参的方法求出．
要点二：函数的单调性
（1）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有，那么就说函数在区间D上是增函数．
（2）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有，那么就说函数在区间D上是减函数．
（3）若函数在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）区间．若函数在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数．
与函数单调性有关的问题主要有：由函数单调性定义判断或证明某一个函数在一个区间的单调性；通过图象或运用复合函数的单调性原理求函数的单调区间；应用函数的单调性证明不等式、比较数的大小、判断某些超越方程根的个数等．
要点三：函数的奇偶性
（1）若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．
（2）若奇函数的定义域内有零，则由奇函数定义知，即，所以．
（3）奇、偶性图象的特点
如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数．
要点四：图象的作法与平移
（1）根据函数表达式列表、描点、连光滑曲线；
（2）利用熟知函数图象的平移、翻转、伸缩变换；
（3）利用函数的奇偶性，图象的对称性描绘函数图象．
要点五：一次函数和二次函数
1．一次函数
，其中．
2．二次函数
二次函数，通过配方可以得到决定了二次函数图象的开口大小及方向．顶点坐标为，对称轴方程为．
对于二次函数．
当时，的图象开口向上；顶点坐标为；对称轴为；在上是单调递减的，在上是单调递增的；当时，函数取得最小值．
当时，的图象开口向下；顶点坐标为；对称轴为；在上是单调递增的，在上是单调递减的；当时，函数取得最大值．
要点六：函数的应用举例（实际问题的解法）
（1）审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；
（2）建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型；
（3）求模：求解数学模型，得到数学结论；
（4）还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义．
求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：

要点七：函数与方程
（1）对于函数，我们把使得实数叫做函数的零点．
（2）确定函数的零点，就是求方程的实数根．
（3）一般地，如果函数在区间上的图象是连续不间断的一条曲线，并且，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根．
（4）一般地，对于不能用公式法求根的方法来说，我们可以将它与函数联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解．
判断函数在某区间有零点的依据：
对于一些比较简单的方程，我们可以通过公式等方法进行解决，对于不能用公式解决的方程，我们可以把这些方程与函数联系起来，并利用函数的图象和性质找零点，从而求出方程的根．
对于如何判断函数在某区间内是否是零点的问题，最关键的是要把握两条：其一，函数的图象在某区间是否是连续不间断的一条曲线；其二，该函数是否满足在上述区间的两个端点处，函数值之积小于0．
（5）在实数范围内，二次函数的零点与二次方程的根之间有密切关系．
①，方程有两个实根，其对应二次函数有两个零点；
②，方程有一个二重根，其对应二次函数有一个二重零点；
③，方程无根，其对应二次函数无零点．
【典型例题】
类型一：映射
例1．设集合，f是A到B的映射，并满足．
（1）求B中元素（3，－4）在A中的原象；
（2）试探索B中有哪些元素在A中存在原象；
（3）求B中元素（a，b）在A中有且只有一个原象时，a，b所满足的关系式．
【思路点拨】本例是一道与方程综合的题目，关键是将题目转化为我们所熟悉的映射的知识．
【答案】（1）（―1，3）或（―3，1）；（2）b2－4a≥0；（3）b2=4a
【解析】
（1）设（x，y）是（3，－4）在A中的原象，
于是，解得或，
∴（―3，4）在A中的原象是（―1，3）或（―3，1）．
（2）设任意（a，b）∈B在A中有原象（x，y），
应满足
由②可得y=x―b，代入①得x2―bx+a=0． ③
当且仅当Δ=b2―4a≥0时，方程③有实根．
∴只有当B中元素满足b2－4a≥0时，才在A中有原象．
（3）由以上（2）的解题过程知，只有当B中元素满足b2=4a时，它在A中有且只有一个原象．
【总结升华】高考对映射考查较少，考查时只涉及映射的概念，因此我们必须准确地把握映射的概念，并灵活地运用它解决有关问题．
举一反三：
【变式1】 已知a，b为两个不相等的实数，集合，，表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a+b等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】 D
【解析】 由已知可得M=N，故，a、b是方程x2－4x+2=0的两根，故a+b=4．
类型二：函数的概念及性质
【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例2】
例2．设定义在R上的函数y= f（x）是偶函数,且f（x）在（－∞，0）为增函数．若对于，且，则有 ( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，且，所以，画出y= f（x）的图象，数形结合知，只有选项D正确．
【总结升华】对函数性质的综合考查是高考命题热点问题．这类问题往往涉及函数单调性、奇偶性、函数图象的对称性，以及题目中给出的函数性质．解决这类问题的关键在于“各个击破”，也就是涉及哪个性质，就利用该性质来分析解决问题．
举一反三：
【变式1】（1）已知定义在R上的奇函数满足，且在区间[0，2]上是增函数，则（ ）
A． B．
C． D．
（2）定义在R上的偶函数f (x)，对任意x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】（1）D （2）A
【解析】（1）由函数是奇函数且在[0，2]上是增函数可以推知在[－2，2]上递增，又，故函数以8为周期，，，，故．故选D．
（2）由题知，为偶函数，故，又知x∈[0，+∞）时，为减函数，且3＞2＞1，∴，即．故选A．
例3．设函数的定义域为，若所有点 构成一个正方形区域，则的值为（ ）
A．－2 B．－4 C．－8 D．不能确定
【答案】 B
【解析】 依题意，设关于x的不等式ax2+bx+c≥0（a＜0）的解集是[x1，x2]（x1＜x2），且，，的最大值是．依题意，当s∈[x1，x2]的取值一定时，取遍中的每一个组，相应的图形是一条线段；当s取遍[x1，x2]中的每一个值时，所形成的图形是一个正方形区域（即相当于将前面所得到的线段在坐标平面内平移所得），因此有，．又a＜0，因此a=－4，选B项．
举一反三：
【变式1】若函数的定义域是[0，2]，则函数的定义域是（ ）
A．[0，1] B．[0，1） C．[0，1）∪（1，4] D．（0，1）
【答案】 B
【解析】 要使有意义，则，解得0≤x＜1，故定义域为[0，1），选B．
例4．设函数．
（1）画出函数的图象；
（2）若不等式的解集非空，求a的取值范围．
【答案】（1）右图；（2）．
【解析】 （1）由于，则函数的图象如图所示．
（2）由函数与函数y=ax的图象可知，当且仅当或a＜―2时，函数与函数y=ax的图象有交点．故不等式的解集非空时，a的取值范围为．
举一反三：
【变式1】对于实数和,定义运算“﹡”:,设,且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根,则的取值范围是_________________.
【答案】
【解析】由定义运算“*”可知 ,画出该函数图象可知满足条件的取值范围是.
【变式2】（2016 山东）已知函数，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
【思路点拨】作出函数的图象，依题意，可得（m＞0），解之即可．
【答案】（3，+∞）
【解析】当m＞0时，函数的图象如下：

∵x＞m时，，
∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，
必须（m＞0），
即（m＞0），
解得m＞3，
∴m的取值范围是（3，+∞），
故答案为：（3，+∞）．
例5．（2016春 云南保山期末）定义在实数集上的函数y=f（x）是偶函数，当x≥0时，．
（1）求f（x）在R上的表达式；
（2）求y=f（x）的最大值，并写出f（x）在R上的单调区间（不必证明）．
【思路点拨】（1）设x＜0时，则－x＞0，利用f（x）=f（－x），以及当x≥0时，，求得x＜0时函数解析式，从而得出结论．
（2）根据函数的解析式求得y=f（x）的最大值，并写出f（x）在R上的单调区间．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵定义在实数集上的函数y=f（x）是偶函数，
当x≥0时，，
设x＜0时，则－x＞0，
故，
综上可得，．
（2）根据函数的解析式可得，当x=±2时，y=f（x）取得最大值为4，
结合f（x）的图象定出f（x）在R上的单调增区间为（－∞，－2]、[0，2]；
减区间为[－2，0]、[2，+∞）．
【总结升华】本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，求函数的最值以及单调区间．
举一反三：
【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例5】
【变式1】已知函数，且f（1）=1．
（1）求实数k的值及函数的定义域；
（2）判断函数在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．
【答案】（1）2 ；（2）单调递增
【解析】（1），，定义域为：．
（2）在（0，+∞）上任取，则

=


所以函数在上单调递增．
【变式2】函数在上有定义,若对任意,有,则称在上具有性质.设在[1,3]上具有性质,现给出如下命题:
①在上的图像时连续不断的; ②在上具有性质;
③若在处取得最大值,则;
④对任意,有
其中真命题的序号是 （　　）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】D
【解析】正确理解和推断可知①②错误,③④错误

例6．请先阅读下列材料，然后回答问题．
对于问题“已知函数，问函数是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．”
一个同学给出了如下解答：
解：令u=3+2x―x2，则u=―(x―1)2+4，当x=1时，u有最大值，umax=4，显然u没有最小值．∴当x=1时，有最小值，没有最大值．
（1）你认为上述解答正确吗？若不正确，说明理由，并给出正确的解答；
（2）对于函数，试研究其最值情况．
【答案】（1）不正确；（2）当Δ≥0时，既无最大值，也无最小值；当Δ＜0时，有最大值，此时，没有最小值．
【解析】（1）不正确．没有考虑到u还可以小于0．
正确解答如下：令u=3+2x―x2，则u=―(x―1)2+4≤4，
当0＜u≤4时，，即；当u＜0时，，即．
∴或，即既无最大值，也无最小值．
（2）对于函数，令u=ax2+bx+c（a＞0）．
①当Δ＞0时，u有最小值，，
当时，，即；当u＞0时，即．
∴或，即既无最大值，也无最小值．
②当Δ=0时，u有最小值，，
此时，u≥0，∴＜，即，既无最大值，也无最小值．
③当Δ＜0时，u有最小值，，
即．
∴，即．
∴当时，有最大值，没有最小值．
综上，当Δ≥0时，既无最大值，也无最小值．
当Δ＜0时，有最大值，此时，没有最小值．
【总结升华】研究性学习是新课标所倡导的教学理念，是培养创新能力的重要途径，因而也是新课标高考的重点考查对象．解决像本例这样的研究性问题，关键是透彻理解题目中所提供的材料，准确地把握题意，灵活地运用所学的基本知识和基本方法分析解决问题．
举一反三：
【变式1】（1）已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】 C
【解析】 函数的定义域为[－3，1]．
又．
而，∴4≤y2≤8．
又y＞0，∴．∴，m=2．
∴．故选C项．
（2）设，是二次函数，若的值域是[0，+∞），则的值域是（ ）
A．（－∞，－1]∪[1，+∞） B．（－∞，－1]∪[0，+∞）
C．[0，+∞） D．[1，+∞）
【答案】C
【解析】要使的值域是[0，+∞），则可取（－∞，－1]∪[0，+∞）．又是二次函数，定义域连续，故不可能同时取（－∞，－1]和[0，+∞）．结合选项只能选C项．
【总结升华】 函数的值域问题每年高考必考，而且既有常规题型[如本例（1）]，也有创新题[如本例（2）]．解答这类问题，既要熟练掌握求函数值域的基本方法，更要根据具体问题情景，灵活地处理．如本例（2）中，其背景函数属常规函数（分段函数、二次函数、复合函数），但给出的值域，要求的值域，就在常规题型基础上有所创新，解答这类问题，应利用基本方法、基本知识来分析解决问题．
类型三：函数的零点问题
例7．若函数在区间（1，6）内有零点，求的取值范围．
【答案】
【答案】 二次函数在区间（，）上有零点，分以下四种情况：

【解析】
（1），解得，如图1
（2），解得，如图2
（3），解得，如图3
（4）或，解得，如图4或5
综上所述的取值范围是．
【总结升华】二次函数（不妨设）在有限的开区间内有零点的条件是：（1）（2）（3）（4）或
举一反三：
【变式1】试讨论函数的零点个数．
【解析】
由得，令
的图象如图所示，

．
当即时，与无公共点．
当或，即或时，与有两个交点．
当即时，与有四个交点．
当，即时，与有三个交点．
所以，当时，函数无零点．
当或时，函数有两个零点．
当时，函数有四个零点．
当时，函数有三个零点．
【总结升华】体现了函数与方程的互相转化，体现了数形结合思想的应用，它对于解决有更多限制条件的问题提供了一种新的途径．
例8．已知,函数.
（Ⅰ）证明：函数在上单调递增；
（Ⅱ）求函数的零点．
【答案】（Ⅰ）略 ；（Ⅱ）详见解析
【证明】（Ⅰ）在上任取两个实数,且,
则．
∵, ∴．
∴, 即. ∴．
∴函数在上单调递增．
（Ⅱ）(ⅰ)当时, 令, 即, 解得.
∴是函数的一个零点．
（ⅱ）当时, 令, 即．(※)
①当时, 由(※)得,[
∴是函数的一个零点；
②当时, 方程(※)无解；
③当时, 由(※)得,(不合题意,舍去)
综上, 当时, 函数的零点是和；
当时, 函数的零点是．
类型四：函数的综合问题
例9．（1）已知函数在区间[－1，2]上最大值为4，求实数a的值；
（2）已知函数，x∈[－1，1]，求函数的最小值．
【思路点拨】第（1）小题中应对二次项系数进行全面讨论，即按a=0，a＞0，a＜0三种情况分析；
第（2）小题中的抛物线开口方向确定，对称轴不稳定．
【答案】（1）－3或；（2）略
【解析】
（1）．
①当a=0时，函数在区间[－1，2]上的值为常数1，不合题意；
②当a＞0时，函数在区间[－1，2]上是增函数，最大值为，；
③当a＜0时，函数在区间[―1，2]上是减函数，最大值为，a=―3．
综上，a的值为－3或．
（2），对称轴为直线x=a，且抛物线的开口向上，如下图所示：

当a≥1时，函数在区间[―1，1]上是减函数，最小值为；
当―1＜a＜1时，函数在区间[－1，1]上是先减后增，最小值为；
当a≤―1时，函数在区间[―1，1]上是增函数，最小值为．
【总结升华】 求二次函数在闭区间上的最值的方法是：一看抛物线的开口方向；二看对称轴与已知闭区间的相对位置，作出二次函数相关部分的简图，利用数形结合方法就可得到问题的解．对于“定区间、动对称轴”这一类型，依对称轴在定区间左侧、右侧和在区间内三种情况，运用函数的单调性进行讨论，即可得到函数的最值．
举一反三：
【变式1】设函数，x∈[t，t+1]，t∈R，求函数的最小值．
【答案】
【解析】 二次函数是确定的，但定义域是变化的，依t的大小情况作出对应的图象（抛物线的一段），从中发现规律．
，x∈[t，t+1]，t∈R，对称轴为x=1，作出其图象如下图所示：

当t+1＜1，即t＜0时，如上图①，函数在区间[t，t+1]上为减函数，所以最小值为；
当1≤t+1≤2，即0≤t≤1时，如上图②，最小值为；
当t＞1时，如上图③，函数在区间[t，t+1]上为增函数，所以最小值为．
综上有
【总结升华】这里区间是变化的，但整个区间长度为1个单位长度，用运动观点来看，让区间从左向右沿x轴正方向移动，看移动到不同位置时对最值有什么影响．借助图形，可使问题的解决显得直观、清晰．
例10．设a为实数，函数．
（1）若，求a的取值范围；
（2）求的最小值；
（3）设函数，x∈（a，+∞），直接写出（不需要给出演算步骤）不等式的解集．
【答案】（1）（―∞，－1]；（2）；（3）略．
【解析】（1）因为，所以－a＞0，即a＜0．
由a2≥1知a≤―1．因此a的取值范围为（―∞，－1]．
（2）记的最小值为，我们有

（i）当a≥0时，，由①②知，此时．
（ii）当a＜0时，．若x＞a，则由①知；若x≤a，则x+a≤2a＜0，由②知．此时．
综上得．
（3）（i）当时，解集为（a，+∞）；
（ii）当时，解集为；
（iii）当时，解集为．
类型五：函数的实际应用
【高清课堂：函数模型的应用实例392115 例3】
例11．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度是车流密度的一次函数．
（Ⅰ）当时，求函数的表达式；
（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）
【思路点拨】首先应根据题意，建立车密度与车流速度之间的函数关系，然后再转化为求函数的最大值问题。求解本题的关键是建立目标函数及求最值的方法,配方法是求二次函数最值的常用方法，同学们一定要熟练掌握。
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）100 3333
【解析】
（Ⅰ）由题意：当；当
再由已知得
故函数的表达式为
（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得
当为增函数，故当时，其最大值为60×20=1200；
当，
所以，当时，在区间[20，200]上取得最大值
综上，当时，在区间[0，200]上取得最大值．
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
举一反三：
【变式1】某公司以每吨10万元的价格销售某种化工品，每年可售出1000吨，若将该产品每吨的价格上涨，则每年的销售量将减少。
（1）当时，求销售额的最大值；
（2）如果涨价能使销售额增加，求的取值范围。
【思路点拨】本题的关键是根据题意列出函数关系式，然后利用配方法求函数的最大值．
【答案】（1）11250万元；（2）（0，1）
【解析】销售总额

（1）当时，

∴ 时销售额最大，最大值为11250万元。
（2）涨价能使销售额增加也就是当时，
即
亦即
∴，解得
∴的取值范围是（0，1）