知识讲解_ 奇偶性_提高练习题

函数的奇偶性

【学习目标】

1.理解函数的奇偶性定义；

2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；

3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.

【要点梳理】

要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤

1．函数奇偶性的概念

偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数.

奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数.

要点诠释：

（1）奇偶性是整体性质；

（2）x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；

（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：，

   f(-x)=-f(x)的等价形式为：；

（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；

（5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0.

2.奇偶函数的图象与性质

（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.

（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数.

3.用定义判断函数奇偶性的步骤

（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；

（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；

（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性.

若=-，则是奇函数；

若=，则是偶函数；

若，则既不是奇函数，也不是偶函数；

若且=-，则既是奇函数，又是偶函数

要点二、判断函数奇偶性的常用方法

（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.

（2）验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立即可.

（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称.

（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.

（5）分段函数奇偶性的判断

判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.

要点三、关于函数奇偶性的常见结论

奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是减函数（增函数）.

【典型例题】

类型一、判断函数的奇偶性

例1. 判断下列函数的奇偶性：

(1)；      (2)f(x)=x2-4|x|+3 ；

(3)f(x)=|x+3|-|x-3|；          (4)；           

(5)；     (6)

【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断.

【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇函数．

【解析】(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；

 (2)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数 ；

(3)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；

(4)

，∴f(x)为奇函数；

(5)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x   ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；

(6)，∴f(x)为奇函数.

【总结升华】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功.如在本例（4）中若不研究定义域，在去掉的绝对值符号时就十分麻烦.

举一反三：

【变式1】判断下列函数的奇偶性：

(1)；  (2)；  (3)；

(4).

【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数．

【解析】(1)的定义域是，

又，是奇函数．

（2）的定义域是，

又，是偶函数．

（3）

，∴为非奇非偶函数．

（4）任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)

任取x<0，则-x>0  f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)

x=0时，f(0)=-f(0)   ∴x∈R时，f(-x)=-f(x)     ∴f(x)为奇函数.

【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（1）】

【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.

证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则

F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)

G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)

∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.

【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（2）】

【变式3】设函数和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论

恒成立的是 （    ）.

A．+|g(x)|是偶函数   B．-|g(x)|是奇函数

C．|| +g(x)是偶函数  D．||- g(x)是奇函数

【答案】A

例2.已知函数，若对于任意实数都有，判断的奇偶性.

【答案】奇函数

【解析】因为对于任何实数，都有，可以令为某些特殊值，得出.

设则，.

又设，则，

，是奇函数.

【总结升华】判断抽象函数的单调性，可用特殊值赋值法来求解.在这里，由于需要判断与之间的关系，因此需要先求出的值才行.

举一反三：

【变式1】（2016春 长春期中）定义在（－∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），总有f（mn）=f（m）f（n），且f（x）＞0，当x＞1时，f（x）＞1．

（1）求f（1），f（－1）的值；

（2）判断函数的奇偶性，并证明；

（3）判断函数在（0，+∞）上的单调性，并证明．

【答案】（1）f（1）=1，f（－1）=1；（2）f（x）为偶函数；（3）f（x）在（0，+∞）上是增函数

【解析】（1）令m=n+1，则有f（1）=f（1）f（1），

又f（x）＞0，则f（1）=1

令m=n=－1，则有f（1）=f（－1）f（－1），

又f（1）=1，f（x）＞0，则f（－1）=1；

（2）证明：定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），

令m=x，n=－1，则有f（－x）=f（x）f（－1）=f（x），

所以f（x）为偶函数；

（3）证明：，且

令，，则，

所以，

又f（x）＞0，，由，则，

而当x＞1时，f（x）＞1，

所以，即，

又f（x）＞0，所以，

所以函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．

类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)

例3. f(x)，g(x)均为奇函数，在上的最大值为5，则在（-）上的最小值为        ．

【答案】 -1

【解析】考虑到均为奇函数，联想到奇函数的定义，不妨寻求与的关系．

+=

      ，

      ．

      当时，，

      而，，

      在上的最小值为-1．

 【总结升华】本例很好地利用了奇函数的定义，其实如果仔细观察还可以发现也是奇函数，从这个思路出发，也可以很好地解决本题．过程如下：时，的最大值为5，时的最大值为3，时的最小值为-3，时，的最小值为-3+2=-1．

举一反三：

【变式1】已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).

【答案】-26

【解析】法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10

∴8a-2b=-50    ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26

法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数

∴g(-2)=-g(2)   ∴f(-2)+8=-f(2)-8

∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.

【总结升华】本题要会对已知式进行变形，得出f(x)+8= x5+ax3-bx为奇函数，这是本题的关键之处，从而问题便能迎刃而解.

例4．已知f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，；

（1）求f(x)的解析式；（2）作出函数f(x)的图象（不用列表），并指出它的增区间。

【答案】（1） ；（2）（－∞，－），（，+∞）

【解析】（1）设x＜0，则–x＞0

∴

又∵函数f(x)为奇函数

∴f(－x)= －f(x)

∴

当x=0时，由f(0)=– f(0)，∴f(0)=0

 ∴ 

（2）由函数图象，

易得函数的增区间为：（－∞，－），（，+∞）

【总结升华】若奇函数在处有意义，则必有，即它的图象必过原点（0，0）．

举一反三：

【高清课堂：函数的奇偶性 356732 例3】

【变式1】（1）已知偶函数的定义域是R，当时，

求的解析式.

（2）已知奇函数的定义域是R，当时，

求的解析式.

【答案】（1）；（2）

例5. 定义域在区间[－2，2]上的偶函数，当x≥0时，是单调递减的，若成立，求m的取值范围．

【思路点拨】根据定义域知1－m，m∈[―1，2]，但是1―m，m在[―2，0]，[0，2]的哪个区间内尚不明确，若展开讨论，将十分复杂，若注意到偶函数的性质：，可避免讨论．

【答案】．

【解析】

由于为偶函数，所以，．因为x≥0时，是单调递减的，故，所以，解得．

故m的取值范围是．

【总结升华】在解题过程中抓住偶函数的性质，将1―m，m转化到同一单调区间上，避免了对由于单调性不同导致1―m与m大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化．另外，需注意的是不要忘记定义域．

类型三、函数奇偶性的综合问题

例6.  已知是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，求函数的单调递增区间．

【思路点拨】本题考查复合函数单调性的求法。复合函数的单调性由内层函数和外层函数的单调性共同决定，即“同增异减”。

【答案】[0，1]和（―∞，―1]

【解析】  ∵是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，∴在（－∞，0]上是增函数．

设u=1―x2，则函数是函数与函数u=1―x2的复合函数．

∵当0≤x≤1时，u是减函数，且u≥0，而u≥0时，是减函数，根据复合函数的性质，可得是增函数．

∵当x≤－1时，u是增函数，且u≤0，而u≤0时，是增函数，根据复合函数的性质，可得是增函数．

同理可得当－1≤x≤0或x≥1时，是减函数．

∴所求的递增区间为[0，1]和（―∞，―1]．

【总结升华】（1）函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类：一类是两个性质交融在一起（如本例），此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性，从而得到其对称区间上的单调性；另一类是两个性质简单组合，此时只需分别利用函数的这两个性质解题．

（2）确定复合函数的单调性比较困难，也比较容易出错．确定x的取值范围时，必须考虑相应的u的取值范围．本例中，x≥1时，u仍是减函数，但此时u≤0，不属于的减区间，所以不能取x≥1，这是应当特别注意的．

举一反三

【变式1】设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式的解集为（      ）

 A． （﹣1，0）∪（1，+∞） B． （﹣∞，﹣1）∪（0，1）

C． （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，1）

【答案】D

【解析】由奇函数f（x）可知，即x与f（x）异号，

而f（1）=0，则f（﹣1）=﹣f（1）=0，

又f（x）在（0，+∞）上为增函数，则奇函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，

当x＞0时，f（x）＜0=f（1）；

当x＜0时，f（x）＞0=f（﹣1），

所以0＜x＜1或﹣1＜x＜0．

故选D．

【总结升华】本题综合考查奇函数定义与它的单调性．首先利用奇函数定义与得出x与f（x）异号，然后由奇函数定义求出f（﹣1）=﹣f（1）=0，

最后结合f（x）的单调性解出答案．

例7.（2016 上海模拟）设函数（x∈R，a为实数）．

（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；

（2）设a＞2，求函数f（x）的最小值．

【思路点拨】（1）根据偶函数的定义可得f（－x）=f（x）然后代入即可求出a

（2）可根据绝对值的定义可将函数（x∈R，a为实数）转化为

然后根据a＞2再结合一元二次函数的单调性可求出f（x）在各段的最小值，然后比较两个最小值的大小则较小的最小值即为所求．

【答案】（1）a=0 ；（2）略

【解析】（1）由已知f（－x）=f（x），即｜2x－a｜=｜2x+a｜，解得a=0

（2）

当时，

由a＞2，，得x＞1，从而x＞－1

故f（x）在时单调递增，f（x）的最小值为

当时，

故当时，f（x）单高递增，当x＜1时，f（x）单调递减

则f（x）的最小值为f（1）=a－1

由，知f（x）的最小值为a－1．

【总结升华】本题主要考查了偶函数的概念和利用一元二次函数的单调性求最小值．解题的关键是第一问要知道f（x）为偶函数则必有f（－x）=f（x）而第二问首先要根据绝对值的意义将所给函数化为熟知的分段函数然后结合a的取值范围和每一段的一元二次函数的单调性求出每一段的最小值最后只需比较两最小值的大小取较小的即可．

举一反三：

【变式1】 判断的奇偶性．

【答案】当时，函数既是奇函数，又是偶函数；当时，函数是奇函数．

【解析】对进行分类讨论．

若，则．

，定义域关于原点对称，函数既是奇函数，又是偶函数．

当时，，是奇函数．

综上，当时，函数既是奇函数，又是偶函数；

当时，函数是奇函数．

例8.  对于函数，若存在x0∈R，使成立，则称点（x0，x0）为函数的不动点．

（1）已知函数有不动点（1，1），（―3，―3），求a，b的值；

（2）若对于任意的实数b，函数总有两个相异的不动点，求实数a的取值范围；

（3）若定义在实数集R上的奇函数存在（有限）n个不动点，求证：n必为奇数．

【答案】（1）a=1，b=3；（2）（0，1）；（3）略．

【解析】 （1）由已知得x=1和x=―3是方程ax2+bx―b=x的根，

由违达定理a=1，b=3．

（2）由已知得：ax2+bx―b=x（a≠0）有两个不相等的实数根，

∴Δ1=(b－1)2+4ab＞0对于任意的实数b恒成立．

即b2+(4a－2)b+1＞0对于任意的实数b恒成立．

也就是函数的图象与横轴无交点．

又二次函数的图象是开口向上的抛物线，

从而Δ2=(4a―2)2―4＜0，即|4a―2|＜2，∴0＜a＜1．

∴满足题意的实数a的取值范围为（0，1）．

（3）∵是R上的奇函数，∴.

令x=0，得，∴．∴（0，0）是的一个不动点．

设（x0，x0）（x0≠0）是的一个不动点，则．

又，∴（―x0，―x0）也是的一个不动点．

又∵x0≠－x0，∴的非零不动点是成对出现的．

又（0，0）也是的一个不动点，∴若存在n个不动点，则n必为奇数．

【总结升华】本例是一个信息迁移问题，解这类问题关键在于准确理解新定义，充分利用新定义分析解决问题．本例的“不动点”实质是关于x的方程的解的问题．本例（3）的解决主要是结合奇函数关于原点的对称性从而得到有关的结论．