知识讲解_对数函数及其性质_基础练习题

对数函数及其性质

【学习目标】

1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型；

2.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较；

3．了解反函数的概念，知道指数函数与对数函数互为反函数．

【要点梳理】

要点一、对数函数的概念

1．函数y=logax(a>0，a≠1)叫做对数函数.其中是自变量，函数的定义域是，值域为．

2．判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：

（1）系数为1；

（2）底数为大于0且不等于1的常数；

（3）对数的真数仅有自变量．

要点诠释：

（1）只有形如y=logax(a>0，a≠1)的函数才叫做对数函数，像等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数。

（2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论。

要点二、对数函数的图象与性质

要点诠释：

关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.

以1为分界点，当a，N同侧时，logaN>0；当a，N异侧时，logaN<0.

要点三、底数对对数函数图象的影响

1．底数制约着图象的升降．

如图

要点诠释：

由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．

2．底数变化与图象变化的规律

在同一坐标系内，当a>1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当0<a<1时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴.(见下图)

要点四、反函数

1．反函数的定义

设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为．

由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域．

要点诠释：  

并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如．一般说来，单调函数有反函数．

2．反函数的性质

（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．

（2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上．

【典型例题】

类型一、对数函数的概念

例1.下列函数中，哪些是对数函数？

（1）；

（2）

（3）；

（4）；

（5）．

【答案】（5）

【解析】（1）中真数不是自变量，不是对数函数．

（2）中对数式后加2，所以不是对数函数．

（3）中真数为，不是，系数不为1，故不是对数函数．

（4）中底数是自变量，二非常数，所以不是对数函数．

（5）中底数是6，真数为，符合对数函数的定义，故是对数函数．

【总结升华】已知所给函数中有些形似对数函数，解答本题需根据对数函数的定义寻找满足的条件．

类型二、对数函数的定义域

求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.

例2. 求下列函数的定义域：

(1)；   (2).

【答案】（1）；（2）．

【解析】由对数函数的定义知：，，解出不等式就可求出定义域.

(1)因为，即，所以函数；

(2)因为，即，所以函数.

【总结升华】与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于的定义域时，应首先保证．

举一反三：

【变式1】求函数的定义域.

【答案】(1，)(，2]

【解析】因为，  所以，

所以函数的定义域为(1，)(，2].

类型三、对数函数的单调性及其应用

利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.

例3. 比较下列各组数中的两个值大小：

(1)；

(2)；

(3)与；

(4) 与．

(5)（）．

【思路点拨】利用函数的单调性比较函数值大小。

【答案】(1)< ；(2) <；(3) >；(4) >；(5) 略．

【解析】由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.

(1)解法1：画出对数函数的图象，横坐标为3.6的点在横坐标为8.9的点的下方，所以，；

解法2：由函数在R+上是单调增函数，且3.6<8.9，所以；

 (2)与第(1)小题类似，在R+上是单调减函数，且1.9<3.5，所以；

(3)函数和的图象如图所示．当时，的图象在的图象上方，这里，．

(4)

(5) 注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.

解法1：当时，在(0，+∞)上是增函数，且4.2<4.8，所以，

当时，y=logax在(0，+∞)上是减函数，且4.2<4.8，所以，

解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，

令，则，令，则

当时，在R上是增函数，且4.2<4.8，

所以，b1<b2，即

当时，在R上是减函数，且4.2<4.8

所以，b1>b2，即.

【总结升华】比较两个对数值的大小的基本方法是：

（1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性．

（2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小．

（3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小．

【高清课堂：对数函数369070 例1】

例4．利用对数函数的性质比较、、的大小．

【答案】

【解析】，，，只需比较与的大小即可

【总结升华】本题也可以使用一个常用的结论：类似于的一个结论，，得出三个数的大小．

举一反三：

【变式1】设，，，则（    ）

 A． a＜b＜c B． a＜c＜b C． b＜c＜a D． b＜a＜c

【思路点拨】直接判断对数值的范围，利用对数函数的单调性比较即可．

【答案】D

【解析】∵，，

．

∴b＜a＜c．

故选：D．

【总结升华】本题考查对数函数的单调性，对数值的大小比较，用单调性比较大小是函数单调性的一个重要应用．

例5．已知函数在区间[2，+∞）上递增，则实数a的取值范围是（）

 A． （－∞，4） B． （－4，4] C． （－∞，－4）∪[2，+∞） D． [－4，2）

【思路点拨】由题意知函数是由和复合而来，由复合函数单调性结论，只要t（x）在区间[2，+∞）上单调递增且f（x）＞0即可．

【答案】B

【解析】令，由题意知：

t（x）在区间[2，+∞）上单调递增且t（x）＞0

又a∈R+解得：－4＜a≤4

则实数a的取值范围是（－4，4]

故选B．

【总结升华】本题主要考查复合函数的单调性和一元二次方程根的分布，换元法是解决本类问题的根本．

举一反三：

【变式1】求函数的值域和单调区间．

【答案】；减区间为，增区间为．

【解析】设，则，∵ y=为增函数，

的值域为．

再由：的定义域为

在上是递增而在上递减，而为增函数

∴ 函数y=的减区间为，增区间为.

类型四、函数的奇偶性

例6. 判断下列函数的奇偶性.

(1) (2).

【思路点拨】判断函数奇偶性的步骤是：（1）先求函数的定义域，如果定义域关于原点对称，则进行（2），如果定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数。（2）求，如果，则函数是偶函数，如果，则函数是奇函数。

【答案】（1）奇函数；（2）奇函数．

【解析】首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.

(1)由

所以函数的定义域为：(-2，2)关于原点对称

又

所以函数是奇函数；

【总结升华】此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.

(2)由

所以函数的定义域为R关于原点对称

又

即f(-x)=-f(x)；所以函数.

【总结升华】此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.

类型五、利用函数图象解不等式

例7．若不等式，当时恒成立，求实数a的取值范围．

【思路点拨】画出函数的图象与函数的图象，然后借助图象去求借。

【答案】

【解析】 要使不等式在时恒成立，即函数的图在内恒在函数图象的上方，而图象过点．由右图可知，，显然这里0＜a＜1，∴函数递减．又，∴，即．∴所求的a的取值范围为．

【总结升华】“数”是数学的特征，它精确、量化，最有说服力；而“形”则形象、直观，能简化思维过程，降低题目的难度，简化解题过程，把它们的优点集中在一起就是最佳组合．本例中，利用图形的形象直观快速地得到答案，简化了解题过程．正因为如此，数形结合成为中学数学的四个最基本的数学思想方法之一，因此我们必须熟练地掌握这一思想方法，并能灵活地运用它来分析和解决问题．

在涉及方程与不等式的问题时，往往构造两个函数与，则=的实数解等价于两个函数与的图象的交点的横坐标；而的的解等价于函数的图象在的图象下方的点的横坐标的取值范围．利用图象的形象性、直观性，可使问题得到顺利地解决，而且分散了问题解决的难度、简化了思维过程．因此，我们要善于用数形结合的方法来解决方程与不等式的问题．

举一反三：

【变式1】 当x∈（1，2）时，不等式恒成立，求a的取值范围．

【答案】1＜a≤2

【解析】设，，要使当x∈（1，2）时，不等式恒成立，只需在（1，2）上的图象在的下方即可．当0＜a＜1时，由图象知显然不成立．当a＞1时，如图2-2-5所示，要使在（1，2）上，的图象在的下方，

只需，

即，，∴1＜a≤2．

类型六：对数函数性质的综合应用

例8．（2016春 广东揭阳月考）已知函数，其中a＞0且a≠1．

（1）求函数f（x）的定义域；

（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；

（3），求使f（x）＞0成立的x的集合．

【思路点拨】（1）根据函数解析式有意义的条件即可求f（x）的定义域；

（2）根据函数的奇偶性的定义即可判断f（x）的奇偶性；

（3）根据，可得：a=2，根据对数函数的性质即可求使f（x）＞0的x的解集．

【答案】（1）－1＜x＜1；（2）f（x）是奇函数；（3）（0，1）．

【解析】（1）要使函数有意义，则，

解得－1＜x＜1，

（2）∵，

∴f（x）是奇函数．

（3）若，

∴，

解得：a=2，

∴，

若f（x）＞0，则，

∴x+1＞1－x＞0，

解得0＜x＜1，

故不等式的解集为（0，1）．

【总结升华】本题主要考查对数函数的定义域，奇偶性和不等式的求解，要求熟练对数函数的图象和性质．

举一反三：

【变式1】已知函数.

（1）若函数的定义域为R，求实数的取值范围；（2）若函数的值域为R，求实数的取值范围.

【答案】（1）a＞1；（2）0≤a≤1．

【解析】（1）的定义域为R，即：关于x的不等式的解集为R，

当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R；

当a≠0时，有 a>1.∴ a的取值范围为a>1.

（2）f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数 a=0或0≤a≤1，

∴ a的取值范围为0≤a≤1.