知识讲解_《函数应用》全章复习巩固_基础

 《函数应用》全章复习与巩固

编稿：丁会敏       审稿：王静伟        

【学习目标】

1．理解方程的根与函数零点的关系，会用二分法求函数零点。

2．进一步理解函数是刻画日常生活规律的重要模型，在用函数的过程中理解函数的概念、性质和函数思想方法。

3．在用数学解决问题的实践中，感受数学应用的层次，体验数学建模的过程和步骤，了解数学建模的意义，发展应用数学的意识。

【知识网络】

【要点梳理】

要点一：函数、方程的有关问题

1．一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根与二次函数 y= ax2+bx+c (a≠0）的图像有如下关系：

要点诠释：

（1）方程的根与函数的零点：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

（2）方程的根与函数的零点：方程f(x)＝0有实数根的个数⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点的个数⇔函数y＝f(x)的零点的个数．

2．函数零点的判定

（1）利用函数零点存在性的判定定理

如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根.

要点诠释：

①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定．

②若函数在区间上有，在内也可能有零点，例如在上，在区间上就是这样的．故在内有零点，不一定有．

③若函数在区间上的图象不是连续不断的曲线，在内也可能是有零点，例如函数在上就是这样的．

（2）利用方程求解法

求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点．

（3）利用数形结合法

函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标．

3.用二分法求函数零点的一般步骤：

已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度.

第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中.

第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为

.

计算和，并判断：

①如果，则就是的零点，计算终止；

②如果，则零点位于区间中，令；

③如果，则零点位于区间中，令

第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为

.

计算和，并判断：

①如果，则就是的零点，计算终止；

②如果，则零点位于区间中，令；

③如果，则零点位于区间中，令；

……

继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度.

要点诠释：

（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且．

（2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根．

要点二：函数的实际应用

求解函数应用题时一般按以下几步进行：

第一步：审题

弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.

第二步：建模

在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求.

第三步：求模

运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果.

第四步：还原

把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景.

上述四步可概括为以下流程：

实际问题(文字语言)数学问题(数量关系与函数模型)建模(数学语言)求模(求解数学问题)反馈(还原成实际问题的解答).

【典型例题】

类型一：关于函数的零点与方程根的关系问题

例1．求函数的零点。

【答案】1，2

【解析】

因为，

令，即，即

解得，所以函数的零点是1，2。

【总结升华】求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.

举一反三：

【变式1】函数的零点。

【答案】

例2．函数的零点所在的一个区间是（    ）

A．（－2，－1）   B．（－1，0） C．（0，1） D．（1，2）

【答案】C

【解析】

方法一：代数解法

因为，

所以函数的零点区间是（0，1），故选C。

方法二：几何解法

因为，可得

画出和的图象得出C正确。

【总结升华】函数零点、方程的根与函数图象的关系：函数有零点方程有实数根函数图象有交点。

举一反三：

【变式1】对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0.则函数f(x)在区间(a，b)内(　　)

A．一定有零点　　　　　　B．一定没有零点

C．可能有两个零点  D．至多有一个零点

【答案】　C

【解析】　抛物线y＝f(x)的开口向上，与x轴可能有两个交点．

【变式2】判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例：

（1）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内有且仅有一个零点．             

（2）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，则f(x)在区间(a，b)内没有零点． 

（3）已知函数y=f(x)在区间[a，b]满足f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内存在零点．

【答案】 × × ×  图象略

例3．求函数零点的个数。

【思路点拨】此题考查函数零点个数问题，方法一：数形结合法，注意到函数的图像不易作，舍之；方法二：转化为相应方程的解的个数问题．而方程不易解，舍之．若将方程变形为：．构造函数与，方程的根即为方程组的解，函数的零点个数即为函数与图像的交点的个数．

【答案】0

【解析】函数与图像如图所示：

由此易知，函数与的图像交点个数为0，即得：函数的零点个数为0．

【总结升华】函数零点个数的求法之一是：数形结合法，将方程变形为：，构造函数与，这两个函数的交点个数即为函数的零点的个数．这种方法数形结合，直观性强．

举一反三：

【变式1】求函数的零点的个数。

【答案】1

【解析】分别作出函数和的图象，可知两图象交点数为1个，故函数的零点为1个。

【变式2】二次函数中，，则函数的零点的个数是(   )

A.1　　B.2　　C.0　　D.无法确定

【解析】

解法1：

∴方程有两个不相等的实数根

∴函数有两个零点，选B.

解法2：

，

不论哪种情况，二次函数图象与x轴都有两个交点，所以函数有两个零点.选B.

【总结升华】可以利用函数图象或方程的判别式.

例4．试分析函数在区间[-5，5]上零点的分布情况．

【思路点拨】此题考查了函数的三个问题：(1)函数在区间上零点的存在问题；(2)函数在区间上零点的个数问题；(3)函数在区间上零点的分布问题．有以下方法：(1)解出的根，再看根的分布；(2)借助函数的图像，观察零点的分布；(3)用零点的存在性定理分析区间端点值的符号关系．

    【解析】方法一：解方程，得，或．显然，在区间[-5，5]上，-1∈(-5，0)，2∈(0，5)．即函数有2个零点，分别为：-1，2．其中-1∈(-5，0)，2∈(0，5)．

方法二：作函数图像如图所示．

由图可知：函数有2个零点，分别为：-1，2．其中-1∈(-5，0)，2∈(0，5)．

方法三：函数在区间[-5，5]上是连续的，将区间[-5，5]端点代入函数得，，．

分析二次函数在区间[-5，5]上的单调性，知在区间上单凋递减，在上单调递增．又，得，，且，故由函数零点存在性定理知：函数在区间[-5，5]上有两个零点，分别在区间与内．

【总结升华】  分析函数在连接区间上的零点分布情况的方法有：（1）将函数问题转化为方程问题，求解方程的根，即得函数零点，再看零点的分布；（2）数形结合，利用函数图像直观分析零点的分布；（3）借助函数零点的存在性定理，此法的关键是对函数在已知区间的单调性分析．在分析零点所分布的区间时，答案是不唯一的．

举一反三：

【变式1】已知函数的图象与一次函数的图象有且只有一个交点。

求证：

【解析】函数的图象与一次函数的图象的交点一定是方程组的解，所以一定是方程的解。

令，则由题意可知是这个函数的唯一的零点。

又因为，所以。

例5．借助计算器或计算机用二分法求方程的一个近似解．（精确到0.01）

【思路点拨】利用二分法求方程近似解的实质为求相应函数的近似零点，本题转化为求函数的近似零点．注意到，则方程在[-l，0]内有实根，再用二分法求近似解．

    【解析】考查函数，因为，，所以方程在[-l，0]内有实数解．

    如此，得到方程的实数解所在区间的表：

至此，可以看出，区间[-0.687 5，-0.685546875]内的所有值，都精确到0.01都是0.69，所以0.69是方程精确到0.01的实数解．

【总结升华】二分法就是一种程序，一种算法．用二分法求函数零点的近似值应注意：

（1）选好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使长度尽量小；

（2）要依据条件定的精确度及时检验计算所得到的区间是否满足这一精确度，以决定是停止计算还是继续计算；

（3）所要求的精确度不同则得到的结果不同；选取的起始区间不同，最后得到结果也不同，但它们都符合给定的精确度．

    举一反三：

【变式1】函数的负数零点的近似值是（精确到0.1）（    ）

A．   B．    C．    D．

【答案】C

类型二：函数模型极其应用

例6(2015 静安区一模)某地的出租车价格规定：起步费a元，可行3公里，3公里以后按没公里b元计算，可再行7公里，超过10公里按每公里c元计算(这里a、b、c规定为正的常数，且c>b)，假设不考虑堵车和红绿灯所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.

(1)若取a=14，b=2.4，c=3.6,小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？

(2)求车费y(元)与行车里程x(公里)之间的函数关系式y=f(x)

【解析】(1)由题意可知，起步(3公里以内)价是14元，则这8公里内的前3公里的收费是14元，超过3公里以内每公里按2.4元计价，则8-3=5公里的收费是5*2.4=12元，总共收费14+12=26元.

故小明应付出租车费是26元.

(2)3公里以内价是a元，即时，y=a(元)

大于3公里而不超过10公里时，即 时，y=a+(x-3)b=bx+a-3b(元)

大与10公里时，即x>10时，y=a+7b+(x-10)c=cx+a+7b-10c(元)

举一反三：

【变式】(2015春  延庆县期末)铁路运输托运行李，从甲地到乙地，规定每张客票托运费计算方法为：行李质量不超过50kg，按0.25/kg计算，超过50kg而不超过100kg时，其超过部分按0.35/kg计算，超过100kg时，其超过部分按0.45/kg计算.设行李质量为xkg，托运费为y元.

(1)写出函数y=f(x)的解析式.

(2)若行李质量为56kg，托运费用为多少？

【解析】(1)若则y=0.25x；

(2)若则y=12.5+0.35(x-50)=0.35x-5

(3)若x>100则y=30+0.45(0.45x-100)=0.45x-15

综上可得

(2)因为

所以y=12.5+6*0.35=14.6(元)即托用费用为14.6元