江苏省盐城市、南京市2020届高三第一次模拟考试数学试题含附加题 Word版含答案

这是一份江苏省盐城市、南京市2020届高三第一次模拟考试数学试题含附加题 Word版含答案，共19页。试卷主要包含了本试卷共4页，包括填空题两部分等内容，欢迎下载使用。

盐城市、南京市2020届高三年级第一次模拟考试
数学试题
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．
参考公式：
柱体体积公式：V＝Sh，锥体体积公式：V＝Sh，其中S为底面积，h为高．
样本数据x1，x2，···，xn的方差s2＝(xi－)2，其中＝xi．
一､ 填空题:本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上．
S←0
I←0
While S≤10
S←S＋I
I←I＋1
End While
Print I
END
（第5题图）
1．已知集合A＝(0，＋∞)，全集U＝R，则∁A＝ ．
2．设复数z＝2＋i，其中i为虚数单位，则z·＝ ．
3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，
则甲被选中的概率为 ．
4．命题“"θ∈R，cosθ＋sinθ＞1”的否定是 命题．(填“真”或“假”)
5．运行如图所示的伪代码，则输出的I的值为 ．
6．已知样本7，8，9，x，y的平均数是9，且xy＝110，则此样本的方差
是 ．
7．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2＝4x上的点P到其焦点的距离为3，则点P到点O的距离为 ．
8．若数列{an}是公差不为0的等差数列，lna1、lna2、lna5成等差数列，则的值为 ．
9．在三棱柱ABC－A1B1C1中，点P是棱CC1上一点，记三棱柱ABC－A1B1C1与四棱锥P－ABB1A1的体积分别为V1与V2，则＝ ．
10．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜)的图象与y轴交点的纵坐标为，y轴右侧第一个最低点的横坐标为，则ω的值为 ．
11．已知H是△ABC的垂心(三角形三条高所在直线的交点)，＝＋，则cos∠BAC的值为 ．
12．若无穷数列{cos(ωn)}(ω∈R)是等差数列，则其前10项的和为 ．
13．已知集合P＝{(x，y)| x|x|＋y|y|＝16}，集合Q＝{(x，y)| kx＋b1≤y≤kx＋b2}，若PÍQ，则的最小值为 ．
14．若对任意实数x∈(－∞，1]，都有||≤1成立，则实数a的值为 ．
二､解答题:本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内．
15．(本小题满分14分)
已知△ABC满足sin(B＋)＝2cosB．
（1）若cosC＝，AC＝3，求AB；
（2）若A∈(0，)，且cos(B－A)＝，求sinA．









16．(本小题满分14分)
如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知底面ABCD是正方形，点P是侧棱CC1上的一点．
A
B
C
D
D1
A1
B1
C1
P
（第16题图）
（1）若AC1//平面PBD，求的值；
（2）求证：BD⊥A1P．




















17．(本小题满分14分)
如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从⊙O中裁剪出两块全等的圆形铁皮⊙P与⊙Q做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD做圆柱的侧面(接缝忽略不计)，AB为圆柱的一条母线，点A、B在⊙O上，点P、Q在⊙O的一条直径上，AB∥PQ，⊙P、⊙Q分别与直线BC、AD相切，都与⊙O内切．
（1）求圆形铁皮⊙P半径的取值范围；
A
B
C
D
O
Q
P
（第17题图）
（2）请确定圆形铁皮⊙P与⊙Q半径的值，使得油桶的体积最大．(不取近似值)


18．(本小题满分16分)
设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，离心率是e，动点P(x0，y0)在椭圆C上运动．当PF2⊥x轴时，x0＝1，y0＝e．
（1）求椭圆C的方程；
（2）延长PF1，PF2分别交椭圆C于点A，B(A，B不重合)．设＝λ，＝μ，
求λ＋μ的最小值．
y


（第18题图）
A
B
P
F1
F2
O
x




















19．(本小题满分16分)
定义：若无穷数列{an}满足{an＋1－an}是公比为q的等比数列，则称数列{an}为“M(q)数列”．
设数列{bn}中b1＝1，b3＝7．
（1）若b2＝4，且数列{bn}是“M(q)数列”，求数列{bn}的通项公式；
（2）设数列{bn}的前n项和为Sn，且bn＋1＝2Sn－n＋λ，请判断数列{bn}是否为“M(q)数列”，并说明理由；
（3）若数列{bn}是“M(2)数列”，是否存在正整数m，n使得＜＜?若存在，请求出所有满足条件的正整数m，n；若不存在，请说明理由．










20．(本小题满分16分)
若函数f(x)＝ex－ae－x－mx (m∈R)为奇函数，且x＝x0时f(x)有极小值f(x0)．
（1）求实数a的值；
（2）求实数m的取值范围；
（3）若f(x0)≥－恒成立，求实数m的取值范围．





















注意事项：
1．附加题供选修物理的考生使用．
2．本试卷共40分，考试时间30分钟．
3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸卡．
21．【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—2：矩阵与变换
已知圆C经矩阵M＝变换后得到圆C′：x2＋y2＝13，求实数a的值．







B．选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，直线ρcosθ＋2ρsinθ＝m被曲线ρ＝4sinθ截得的弦为AB，当AB是最长弦时，求实数m的值．








C．选修4—5：不等式选讲
已知正实数a，b，c满足＋＋＝1，求a＋2b＋3c的最小值．






【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．(本小题满分10分)
如图，AA1、BB1是圆柱的两条母线， A1B1、AB分别经过上下底面圆的圆心O1、O，CD是下底面与AB垂直的直径，CD＝2．
（1）若AA1＝3，求异面直线A1C与B1D所成角的余弦值；
（2）若二面角A1－CD－B1的大小为，求母线AA1的长．

（第22题图）












23．(本小题满分10分)
设(1－2x)i＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n(n∈N*)，记Sn＝a0＋a2＋a4＋…＋a2n．
（1）求Sn；
（2）记Tn＝－S1C＋S2C－S3C＋…＋(－1)nSnC，求证：|Tn|≥6n3恒成立．
















盐城市､南京市2020届高三年级第一次模拟考试
数学参考答案及评分标准
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．(－∞，0] 2．5 3． 4．真 5．6 6．2 7．2
8．3 9． 10．7 11． 12．10 13．4 14．－
二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．
15．(本小题满分14分)
解：（1）由sin(B＋)＝2cosB，可知sinB＋cosB＝2cosB，即sinB＝cosB．
因为cosB≠0，所以tanB＝．
又B∈(0，π)，故B＝． ……………………………………………2分
由cosC＝，C∈(0，π)，
可知sinC＝＝． ……………………………4分
在△ABC中，由正弦定理＝，可得 ＝，
所以AB＝2． ………………………………………………………………7分
（2）由（1）知B＝，所以A∈(0，)时，－A∈(0，)，
由cos(B－A)＝，即cos(－A)＝，
所以sin(－A)＝＝，………………………10分
所以sinA＝sin[－(－A)]＝sincos(－A)－cossin(－A)
＝×－×＝． ………………14分
16．(本小题满分14分)
证明：（1）连结AC交BD于点O，连结OP．
O
A
B
C
D
D1
A1
B1
C1
P
（第16题图）
因为AC1//平面PBD，AC1Ì平面ACC1，
平面ACC1∩平面BDP＝OP，
所以AC1//OP． ………………………3分
因为四边形ABCD是正方形，对角线AC交BD于点O，
所以点O是AC的中点，所以AO＝OC，
所以在△ACC1中，＝＝1． …………………6分
（2）连结A1C1．
因为ABCD－A1B1C1D1为长方体，所以侧棱C1C⊥平面ABCD．
又BDÌ平面ABCD，所以CC1⊥BD． ………………………8分
因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD．………………………10分
又AC∩CC1＝C，ACÌ面ACC1A1， CC1Ì面ACC1A1，
所以BD⊥面ACC1A1． …………………………………………12分
又因为A1PÌ面ACC1A1，所以BD⊥A1P． ……………………………14分
17．(本小题满分14分)
解：（1）设⊙P半径为r，则AB＝4(2－r)，
所以⊙P的周长2πr＝BC≤2， …………………………………4分
解得 r≤，
故⊙P半径的取值范围为(0，]． ……………………………………6分
（2）在（1）的条件下，油桶的体积V＝πr2·AB＝4πr2(2－r)．……………………………8分
设函数f(x)＝x2(2－x)，x∈(0，]，
所以f '(x)＝4x－3x2，由于＜，
所以f '(x)＞0在定义域上恒成立，故f(x)在定义域上单调递增，
即当r＝时，体积取到最大值．……………………………………………13分
答：⊙P半径的取值范围为(0，]．当r＝米时，体积取到最大值．…………14分
18．(本小题满分16分)
解：（1）由当PF2⊥x轴时，x0＝1，可知c＝1． ………………………………2分
将x0＝1，y0＝e代入椭圆方程得＋＝1．
由e＝＝，b2＝a2－c2＝a2－1，所以＋＝1，
解得a2＝2，故b2＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1．…………………………………………………4分
（2）方法一：设A(x1，y1)，由＝λ，得即
代入椭圆方程，得＋(－λy0)2＝1． …………………………8分
又由＋y0＝1，得＋(λy0)2＝λ2，两式相减得＝1－λ2．
因为λ＋1≠0，所以2λx0＋λ＋1＝2(1－λ)，
故λ＝． ……………………………………………………12分
同理可得μ＝， ……………………………………………………14分
故λ＋μ＝＋＝≥，
当且仅当x0＝0时取等号，故λ＋μ的最小值为．………………………………16分
方法二：由点A，B不重合可知直线PA与x轴不重合，
故可设直线PA的方程为x＝my－1，
联立消去x，得(m2＋2)y2－2my－1＝0．
设A(x1，y1)，则y0y1＝，所以y1＝． ……………………8分
将点P(x0，y0)代入椭圆的方程得＋y02＝1，
代入直线PA的方程得x0＝my0－1，所以m＝．
由＝λ ，得－y1＝λy0，故λ＝－＝＝
＝＝． …………………………………………12分
同理可得μ＝． …………………………………………14分
故λ＋μ＝＋＝≥，
当且仅当x0＝0时取等号，故λ＋μ的最小值为． ……………………………16分
注：（1）也可设P(cosθ，sinθ)得λ＝，其余同理．
（2）也可由＋＝6，运用基本不等式求解λ＋μ的最小值．
19．(本小题满分16分)
解：（1）因为b2＝4，且数列{bn}是“M(q)数列”，
所以q＝＝＝1，所以＝1，n≥2，
即bn＋1－bn＝bn－bn－1 ，n≥2， ………………………………2分
所以数列{bn}是等差数列，其公差为b2－b1＝3，
所以数列{bn}通项公式为bn＝1＋(n－1)×3，即bn＝3n－2． …………………4分
（2）由bn＋1＝2Sn－n＋λ，得b2＝＋λ，b3＝4＋3λ＝7，故λ＝1．
方法一：由bn＋1＝2Sn－n＋1，得bn＋2＝2Sn＋1－(n＋1)＋1，
两式作差得bn＋2－bn＋1＝2bn＋1－，即bn＋2＝3bn＋1－，n∈N*．
又b2＝，所以b2＝3b1－，
所以bn＋1＝3bn－对n∈N*恒成立， ……………………6分
则bn＋1－＝3(bn－)．因为b1－＝≠0，所以bn－≠0，所以＝3，
即{bn－}是等比数列，……………………………………………………8分
所以bn－＝(1－)×3n－1＝×3n，即bn＝×3n＋，
所以＝＝3，
所以{bn＋1－bn}是公比为3的等比数列，故数列{bn}是“M(q)数列”．………10分
方法二：同方法一得bn＋1＝3bn－对n∈N*恒成立， ……………………6分
则bn＋2＝3bn＋1－，两式作差得bn＋2－bn＋1＝3(bn＋1－bn)．……………………8分
因为b2－b1＝≠0，所以bn＋1－bn≠0，所以＝3，
所以{bn＋1－bn}是公比为3的等比数列，故数列{bn}是“M(q)数列”．………10分
（3）由数列{bn}是“M(2)数列”，得bn＋1－bn＝(b2－b1)×2n－1．
又＝2，即＝2，所以b2＝3，所以b2－b1＝2，所以bn＋1－bn＝2n，
所以当n≥2时，bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1
＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝2n－1．
当n＝1时上式也成立，所以bn＝2n－1． ………………………………12分
假设存在正整数m，n，使得＜＜，则＜＜．
由＞＞1，可知2m－1＞2n－1，所以m＞n．
又m，n为正整数，所以m－n≥1．
又＝＝2m－n＋＜，
所以2m－n＜＜3，所以m－n＝1， ………………………………14分
所以＝2＋，即＜2＋＜，所以＜2n＜2020，
所以n＝10，m＝11，
故存在满足条件的正整数m，n，其中m＝11，n＝10． ………………………16分
20．(本小题满分16分)
解：（1）由函数f(x)为奇函数，得f(x)＋f(－x)＝0在定义域上恒成立，
所以 ex－ae－x－mx＋e－x－aex＋mx＝0，
化简可得 (1－a)·(ex＋e－x)＝0，所以a＝1． ………………………………3分
（2）方法一：由（1）可得f(x)＝ex－e－x－mx，所以f '(x)＝ex＋e－x－m＝．
①当m≤2时，由于e2x－mex＋1≥0恒成立，
即f '(x)≥0恒成立，故不存在极小值． …………………………………5分
②当m＞2时，令ex＝t，则方程t2－mt＋1＝0有两个不等的正根t1，t2 (t1＜t2)，
故可知函数f(x)＝ex－e－x－mx在(－∞，lnt1)，(lnt2，＋∞)上单调递增，
在(lnt1，lnt2)上单调递减，即在lnt2处取到极小值，
所以，m的取值范围是(2，＋∞)．……………………………………………9分
方法二：由（1）可得f(x)＝ex－e－x－mx，令g(x)＝f '(x)＝ex＋e－x－m，
则g′ (x)＝ex－e－x＝．
故当x≥0时，g′(x)≥0；当x＜0时，g′(x)＜0， …………………………………5分
故g(x)在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增，所以g(x)min＝g(0)＝2－m．
①若2－m≥0，则g(x)≥0恒成立，所以f(x)单调递增，此时f(x)无极值点．……6分
②若2－m＜0，即m＞2时，g(0)＝2－m＜0．取t＝lnm，则g(t)＝＞0．
又函数g(x)的图象在区间[0，t]上不间断，所以存在x0∈ (0，t)，使得 g(x0)＝0．
又g(x)在(0，＋∞)上递增，
所以x∈(0，x0)时，g(x)＜0，即f '(x)＜0；x∈(x0，＋∞)时，g(x)＞0，即f '(x)＞0，
所以f(x0)为f(x)极小值，符合题意．
所以，m的取值范围是(2，＋∞)． …………………………………………9分
（3）由x0满足e＋e＝m，代入f(x)＝ex－e－x－mx,
消去m，可得f(x0)＝(1－x0)e－(1＋x0)e． ……………………………11分
构造函数h(x)＝(1－x)ex－(1＋x)e－x，所以h′(x)＝x(e－x－ex)．
当x≥0时，e－x－ex＝≤0，所以当x≥0时，h′(x)≤0恒成立，
故h(x)在[0，＋∞)上为单调减函数，其中h(1)＝－, ………………13分
则f(x0)≥－可转化为h(x0)≥h(1)，故x0≤1． ………………15分
由e＋e＝m，设y＝ex＋e－x，
可得当x≥0时，y’＝ex－e－x≥0，所以y＝ex＋e－x在(0，1]上递增，故m≤e＋．
综上，m的取值范围是(2，e＋]．…………………………………………16分

盐城市、南京市2020届高三年级第一次模拟考试
数学附加题参考答案及评分标准 2020.01
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
21．【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—2：矩阵与变换
解：设圆C上任一点(x，y)，经矩阵M变换后得到圆C’上一点(x’，y’)，
所以 ＝，所以 ………………………5分
又因为(x′)2＋(y′)2＝13，所以圆C的方程为(ax＋3y)2＋(3x－2y)2＝13,
化简得(a2＋9)x2＋(6a－12)xy＋13y2＝13，
所以解得a＝2．
所以，实数a的值为2． …………………………………10分
B．选修4—4：坐标系与参数方程
解：以极点为原点,极轴为x轴的正半轴(单位长度相同)建立平面直角坐标系，
由直线ρcosθ＋2ρsinθ＝m，可得直角坐标方程为x＋2y－m＝0．
又曲线ρ＝4sinθ，所以ρ2＝4ρsinθ，其直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，………………5分
所以曲线ρ＝4sinθ是以(0，2)为圆心，2为半径的圆．
为使直线被曲线(圆)截得的弦AB最长，所以直线过圆心(0，2)，
于是0＋2×2－m＝0，解得m＝4．
所以，实数m的值为4． ………………………………………10分
C．选修4—5：不等式选讲
解：因为＋＋＝1，所以＋＋＝1．
由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)(＋＋)≥(1＋2＋3)2，
即a＋2b＋3c≥36， ………………………………………………………………………5分
当且仅当＝＝，即a＝b＝c时取等号，解得a＝b＝c＝6，
所以当且仅当a＝b＝c＝6时，a＋2b＋3c取最小值36． ………………………………10分
22．（本小题满分10分）
解：（1）以CD，AB，OO1所在直线建立如图所示空间直角坐标系O－xyz．
由CD＝2，AA1＝3，所以A(0，－1，0)，B(0，1，0)，C(－1，0，0)，D(1，0，0)，
A1(0，－1，3)，B1(0，1，3)，
从而＝(－1，1，－3)，＝(1，－1，－3)，
所以cos＜，＞＝＝，
所以异面直线A1C与B1D所成角的余弦值为．………………4分
（2）设AA1＝m＞0，则A1(0，－1，m)，B1(0，1，m)，
所以＝(－1，1，－m)， ＝(1，－1，－m)，＝(2，0，0)，
设平面A1CD的一个法向量n1＝(x1，y1，z1)，则
所以x1＝0，令z1＝1，则y1＝m，
所以平面A1CD的一个法向量n1＝(0，m，1)．
同理可得平面B1CD的一个法向量n2＝(0，－m，1)．
因为二面角A1－CD－B1的大小为，
所以|cos＜n1，n2＞|＝||＝，
解得m＝或m＝，
由图形可知当二面角A1－CD－B1的大小为时，m＝．……………………10分
注：用传统方法也可，请参照评分．
23．（本小题满分10分）
解：（1）令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2n＝0．
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…－a2n－1＋a2n＝31＋32＋…＋32n＝(9n－1)．
两式相加得2(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)＝(9n－1)，
所以Sn＝(9n－1)．…………………………………3分
（2）Tn＝－S1C＋S2C－S3C＋…＋(－1)nSnC
＝{[－91C＋92C－93C＋…＋(－1)n9nC]－[－C＋C－C＋…＋(－1)nC]}
＝{[90C－91C＋92C－93C＋…＋(－1)n9nC]－[C－C＋C－C＋…＋(－1)nC]}
＝[90C－91C＋92C－93C＋…＋(－1)n9nC]
＝[C(－9)0＋C(－9)1＋C(－9)2＋…＋C(－9)n]
＝[1＋(－9)]n＝×(－8)n． …………………………………………7分
要证|Tn|≥6n3，即证×8n≥6n3，只需证明8n－1≥n3，即证2n－1≥n．
当n＝1，2时，2n－1≥n显然成立．
当n≥3时，2n－1＝C＋C＋…＋C≥C＋C＝1＋(n－1)＝n，即2n－1≥n，
所以2n－1≥n对n∈N*恒成立．
综上，|Tn|≥6n3恒成立．………………………………………………………10分
注：用数学归纳法或数列的单调性也可证明2n－1≥n恒成立，请参照评分．