概率与统计小题专练解析版

这是一份概率与统计小题专练解析版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．某工厂生产的30个零件编号为01,02，…，29,30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测。若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为( )
附：第1行至第2行的随机数表
34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78
89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 86
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06
44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
A．25B．23
C．12D．07
解析 从随机数表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次两位两位地读取，得抽取的零件编号分别为07,04，08,23,12，因此抽取的第5个零件编号为12。故选C。
答案 C
2．港珠澳大桥位于中国广东省珠江口伶仃洋海域内，是中国境内一项连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度和顶尖的建造技术而闻名于世。2018年10月24日上午9时开通运营后香港到澳门之间4个小时的陆路车程极大缩短。为了解实际通行所需时间，随机抽取了n台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间(单位：分钟)都在[35,50]内，按通行时间分为[35,38)，[38,41)，[41,44)，[44,47)，[47,50]五组，其中通行时间在[38,47)的车辆有182台，频率分布直方图如图所示，则n等于( )
A．280B．260
C．250D．200
解析 由题意可知，通行时间在[38,47)的频率为1－(0.01＋0.02)×3＝0.91，所以eq \f(182,n)＝0.91，所以n＝200。
答案 D
3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )
A．120种B．90种
C．60种D．30种
解析 因为每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，甲场馆从6人中挑一人有Ceq \\al(1,6)＝6种结果；乙场馆从余下的5人中挑2人有Ceq \\al(2,5)＝10种结果；余下的3人去丙场馆，故共有6×10＝60种安排方法。
答案 C
4.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(y2,x)))(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为( )
A．5B．10
C．15D．20
解析 因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(y2,x)))(x＋y)5＝eq \f(x2＋y2x＋y5,x)，要求展开式中x3y3的系数，只需求(x2＋y2)(x＋y)5的展开式中x4y3的系数。(x2＋y2)(x＋y)5的展开式中含x4y3的项为x2·Ceq \\al(3,5)x2·y3＋y2·Ceq \\al(1,5)x4·y＝15x4y3，故eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(y2,x)))(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为15。
答案 C
5．停车场划出一排9个停车位置，今有5辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有( )
A．Aeq \\al(5,9)种B．2Aeq \\al(5,5)Aeq \\al(4,4)种
C．5Aeq \\al(5,5)种D．6Aeq \\al(5,5)种
解析 由题意知有5辆汽车需要停放，若要使4个空位连在一起，则可以把4个空车位看成是一个元素，这个元素与另外5辆车共6个元素进行全排列，共有Aeq \\al(6,6)＝6Aeq \\al(5,5)种结果。故选D。
答案 D
6．在(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中，含x2项的系数是( )
A．119B．120
C．121D．720
解析 在(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中，含x2项的系数是Ceq \\al(2,2)＋Ceq \\al(2,3)＋Ceq \\al(2,4)＋…＋Ceq \\al(2,9)＝Ceq \\al(3,10)＝120。故选B。
答案 B
7．连掷一枚质地均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m，n，记t＝m＋n，则下列说法正确的是( )
A．事件“t＝12”的概率为eq \f(1,21)
B．事件“t是奇数”与“m＝n”互为对立事件
C．事件“t＝2”与“t≠3”互为互斥事件
D．事件“t>8且mn8且mn8且mn0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1 024，则下列说法正确的是( )
A．展开式中奇数项的二项式系数和为256
B．展开式中第6项的系数最大
C．展开式中存在常数项
D．展开式中含x15项的系数为45
解析 因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax2＋\f(1,\r(x))))n(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，所以Ceq \\al(4,n)＝Ceq \\al(6,n)⇒n＝10。因为展开式的各项系数之和为1 024，所以(a＋1)10＝1 024，因为a>0，所以a＝1。原二项式为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,\r(x))))10，其展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \\al(r,10)·(x2)10－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))))r＝Ceq \\al(r,10)x eq \s\up15(20－eq \f(5,2)r) 。展开式中奇数项的二项式系数和为eq \f(1,2)×1 024＝512，故A错误；因为本题中二项式系数和项的系数一样，且展开式有11项，故展开式中第6项的系数最大，B正确；令20－eq \f(5,2)r＝0⇒r＝8，即展开式中存在常数项，C正确；令20－eq \f(5,2)r＝15⇒r＝2，Ceq \\al(2,10)＝45，D正确。故选BCD。
答案 BCD
11．某国产杀毒软件的比赛规则为每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰。已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是eq \f(5,6)，eq \f(3,5)，eq \f(3,4)，eq \f(1,3)，且各轮考核能否通过互不影响，则( )
A．该软件通过考核的概率为eq \f(1,8)
B．该软件在第三轮考核被淘汰的概率为eq \f(1,8)
C．该软件至少能够通过两轮考核的概率为eq \f(2,3)
D．该软件至多进入第三轮考核的概率为eq \f(5,8)
解析 设事件Ai(i＝1,2,3,4)表示“该软件能通过第i轮考核”，则P(A1)＝eq \f(5,6)，P(A2)＝eq \f(3,5)，P(A3)＝eq \f(3,4)，P(A4)＝eq \f(1,3)。该软件通过考核的概率为P(A1A2A3A4)＝P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)＝eq \f(5,6)×eq \f(3,5)×eq \f(3,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,8)，A正确；该软件在第三轮考核被淘汰的概率为P(A1A2eq \(A,\s\up16(－))3)＝P(A1)P(A2)P(eq \(A,\s\up16(－))3)＝eq \f(5,6)×eq \f(3,5)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,8)，B正确；该软件至少能够通过两轮考核的概率为1－P(eq \(A,\s\up16(－))1)－P(A1eq \(A,\s\up16(－))2)＝1－eq \f(1,6)－eq \f(5,6)×eq \f(2,5)＝eq \f(1,2)，C不正确；该软件至多进入第三轮考核的概率为P(eq \(A,\s\up16(－))1＋A1eq \(A,\s\up16(－))2＋A1A2eq \(A,\s\up16(－))3)＝P(eq \(A,\s\up16(－))1)＋P(A1eq \(A,\s\up16(－))2)＋P(A1A2eq \(A,\s\up16(－))3)＝eq \f(1,6)＋eq \f(5,6)×eq \f(2,5)＋eq \f(5,6)×eq \f(3,5)×eq \f(1,4)＝eq \f(5,8)，D正确。故选ABD。
答案 ABD
12．已知随机变量X的分布列如表所示，则当a变化时，下列说法正确的是( )
A．E(X)随着a的增大而增大
B．E(X)随着a的增大而减小
C．D(X)随着a的增大而减小
D．D(X)随着a的增大而增大
解析 由题意知，E(X)＝0×eq \f(1,3)＋1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－a))＋2a＋3×eq \f(1,6)＝1＋a，显然E(X)随着a的增大而增大。D(X)＝(1＋a－0)2×eq \f(1,3)＋(1＋a－1)2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－a))＋(1＋a－2)2×a＋(1＋a－3)2×eq \f(1,6)＝－a2＋a＋1＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))2＋eq \f(5,4)，又eq \f(1,2)－a>0，a>0，所以00)，且总体的中位数为6，当总体的方差最小时，函数f(x)＝ax2＋2bx＋1的最小值是________。
解析 因为总体的各个体的值由小到大依次为2,4，a，b,12,18(a>0，b>0)，且总体的中位数为6，所以a＋b＝12，因为这组数据的平均数是eq \f(1,6)×(2＋4＋a＋b＋12＋18)＝8，所以这组数据的方差是eq \f(1,6)×[(2－8)2＋(4－8)2＋(a－8)2＋(b－8)2＋(12－8)2＋(18－8)2]，设m＝(2－8)2＋(4－8)2＋(12－8)2＋(18－8)2，则m为常数，所以要使总体的方差最小，则(a－8)2＋(b－8)2最小即可。设n＝(a－8)2＋(b－8)2＝(a－8)2＋(12－a－8)2＝2(a－6)2＋8，则当a＝6时，n取得最小值，此时b＝6，所以要使该总体的方差最小，则有a＝b＝6。因为函数f(x)＝ax2＋2bx＋1＝6x2＋12x＋1＝6(x＋1)2－5≥－5，所以函数f(x)＝ax2＋2bx＋1的最小值是－5。
答案 －5
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,3)
eq \f(1,2)－a
a
eq \f(1,6)
月份x
1
2
3
4
用水量y
5.5
4
3.5
3