解析几何小题专练解析版

这是一份解析几何小题专练解析版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．下列说法中正确的是( )
A．过点P(1,2)且在x，y轴截距相等的直线方程为x＋y－3＝0
B．直线y＝3x－2在y轴上的截距为2
C．直线x－eq \r(3)y＋1＝0的倾斜角为60°
D．过点(5,4)并且倾斜角为90°的直线方程为x－5＝0
解析 因为过点P(1,2)且在x，y轴截距相等的直线方程为x＋y－3＝0或y＝2x，故A错误；因为直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2，故B不正确；因为直线x－eq \r(3)y＋1＝0的斜率为eq \f(\r(3),3)，所以它的倾斜角为30°，故C错误；因为过点(5,4)并且倾斜角为90°的直线方程为x－5＝0，故D正确。故选D。
答案 D
2．从点A(1，－2)射出的光线经直线l：x＋y－3＝0反射后到达点B(－1,1)，则光线所经过的路程是( )
A．eq \r(11)B．eq \r(13)
C．2eq \r(13)D．eq \r(37)
解析 设A(1，－2)关于直线l：x＋y－3＝0的对称点为C(x，y)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y＋2,x－1)＝1，,\f(x＋1,2)＋\f(y－2,2)－3＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝2，))所以C(5,2)，则光线所经过的路程CB＝eq \r(5＋12＋2－12)＝eq \r(37)。故选D。
答案 D
3．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，eq \r(5)为半径的圆的方程为( )
A．x2＋y2－2x＋4y＝0B．x2＋y2＋2x＋4y＝0
C．x2＋y2＋2x－4y＝0D．x2＋y2－2x－4y＝0
解析 由(a－1)x－y＋a＋1＝0得(x＋1)a－(x＋y－1)＝0，由x＋1＝0且x＋y－1＝0，解得x＝－1，y＝2，即该直线恒过点(－1,2)，所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0。故选C。
答案 C
4．若双曲线x2－eq \f(y2,m2)＝1(m>0)的焦点到渐近线的距离是2，则m的值是( )
A．2B．eq \r(2)
C．1D．4
解析 双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点设为(c,0)，渐近线方程设为bx±ay＝0，可得d＝eq \f(|bc|,\r(b2＋a2))＝b，由题意可得b＝m＝2。故选A。
答案 A
5．已知P为圆C：(x－5)2＋y2＝36上任意一点，A(－5,0)。若线段PA的垂直平分线交直线PC于点Q，则点Q的轨迹方程为( )
A．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,16)＝1B．eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1
C．eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1(x<0)D．eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1(x>0)
解析 如图，由题意知|QA|＝|QP|，||QA|－|QC||＝||QP|－|QC||＝|PC|＝6<|AC|＝10，所以动点Q的轨迹是以A，C为焦点的双曲线，其方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1。故选B。
答案 B
6.仿照“Dandelin双球”模型，人们借助圆柱内的两个内切球完美地证明了平面截圆柱的截面为椭圆面。如图，底面半径为1的圆柱内两个内切球球心距离为4，现用与两球都相切的平面截圆柱所得到的截面边缘线是一椭圆，则该椭圆的离心率为( )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(\r(3),3)
C．eq \f(\r(2),2)D．eq \f(\r(3),2)
解析 画出图形的轴截面如图所示，则CD为椭圆的长轴，圆柱的底面直径为椭圆的短轴，依题意AB＝4，CG＝2，AE＝BF＝1，所以AO＝2，sin∠AOE＝eq \f(AE,OA)＝eq \f(1,2)，所以∠AOE＝30°，所以∠OCG＝60°，所以cs∠DCG＝eq \f(CG,CD)＝eq \f(2,CD)＝eq \f(1,2)，所以CD＝4，即2a＝4，又b＝1，所以c＝eq \r(3)，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)。
答案 D
7．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若eq \(NM,\s\up16(→))·eq \(NF,\s\up16(→))＝0，则椭圆的离心率为( )
A．eq \f(\r(3),2)B．eq \f(\r(2)－1,2)
C．eq \f(\r(3)－1,2)D．eq \f(\r(5)－1,2)
解析 由题意知，M(－a,0)，N(0，b)，F(c,0)，所以eq \(NM,\s\up16(→))＝(－a，－b)，eq \(NF,\s\up16(→))＝(c，－b)，因为eq \(NM,\s\up16(→))·eq \(NF,\s\up16(→))＝0，所以－ac＋b2＝0，即b2＝ac。又b2＝a2－c2，所以a2－c2＝ac。所以e2＋e－1＝0，解得e＝eq \f(\r(5)－1,2)或e＝eq \f(－\r(5)－1,2)(舍)。所以椭圆的离心率为eq \f(\r(5)－1,2)。故选D。
答案 D
8．圆C：x2＋y2－10y＋16＝0上有且仅有两点到双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是( )
A．(eq \r(2)，eq \r(5))B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，\f(5,2)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，\f(5,2)))D．(eq \r(5)，eq \r(2)＋1)
解析 双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的一条渐近线方程为bx－ay＝0，圆C：x2＋y2－10y＋16＝0的圆心坐标为(0,5)，半径为3。因为圆C上有且仅有两点到直线bx－ay＝0的距离为1，所以圆心(0,5)到直线bx－ay＝0的距离d的范围为2答案 C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．过点P(2,2)作圆C：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)的两条切线，切点分别为A，B，下列说法正确的是( )
A．0B．若△PAB为直角三角形，则r＝4
C．△PAB外接圆的方程为x2＋y2＝4
D．直线AB的方程为4x＋4y＋16－r2＝0
解析 因为过点P(2,2)作圆C：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)的切线有两条，所以点P在圆C外，即r<|PC|＝4eq \r(2)，故A错误；若△PAB为直角三角形，则四边形PACB为正方形，则eq \r(2)r＝|PC|＝4eq \r(2)，解得r＝4，故B正确；由PA⊥CA，PB⊥CB，可得点P，A，C，B共圆，所以△PAB的外接圆就是以PC为直径的圆，即x2＋y2＝8，故C错误；将(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2与x2＋y2＝8相减即得直线AB的方程，所以直线AB的方程为4x＋4y＋16－r2＝0，所以D正确。故选BD。
答案 BD
10．已知双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝sin2θ(θ≠kπ，k∈Z)，则不因θ改变而变化的是( )
A．焦距B．离心率
C．顶点坐标D．渐近线方程
解析 由题意，得双曲线的标准方程为eq \f(x2,4sin2θ)－eq \f(y2,2sin2θ)＝1，则a＝2|sin θ|，b＝eq \r(2)|sin θ|，则c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(6)|sin θ|，则双曲线的焦距为2c＝2eq \r(6)|sin θ|，顶点坐标为(±2|sin θ|,0)，离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),2)，渐近线方程为y＝±eq \f(\r(2),2)x。所以不因θ改变而变化的是离心率、渐近线方程。故选BD。
答案 BD
11．设椭圆C：eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上任意一点，则下列结论正确的是( )
A．|PF1|＋|PF2|＝4eq \r(2)
B．离心率e＝eq \f(\r(6),2)
C．△PF1F2面积的最大值为4eq \r(2)
D．以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－2eq \r(2)＝0相切
解析 对于A，由椭圆的定义可知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4eq \r(2)，所以A正确。对于B，依题意知a＝2eq \r(2)，b＝2，c＝2，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,2\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，所以B不正确，或者由椭圆的离心率0答案 AD
12.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l。设l与x轴的交点为K，P为C上异于O的任意一点，P在l上的射影为E，∠EPF的外角平分线交x轴于点Q，过点Q作QN⊥PE交EP的延长线于点N，作QM⊥PF交线段PF于点M，则( )
A．|PE|＝|PF|B．|PF|＝|QF|
C．|PN|＝|MF|D．|PN|＝|KF|
解析 由抛物线的定义，得|PE|＝|PF|，A正确；因为PN∥QF，PQ是∠FPN的平分线，所以∠FQP＝∠NPQ＝∠FPQ，所以|PF|＝|QF|，B正确；若|PN|＝|MF|，则由PQ是∠FPN的平分线，QN⊥PE，QM⊥PF，得|QM|＝|QN|，从而有|PM|＝|PN|，于是有|PM|＝|FM|，则有|QP|＝|QF|，所以△PFQ为等边三角形，∠FPQ＝60°，也即有∠FPE＝60°，这只是在特殊位置才有可能，因此C错误；连接EF，如图，由选项A，B知|PE|＝|QF|，又PE∥QF，所以四边形EPQF是平行四边形，所以|EF|＝|PQ|，所以△EKF≌△QNP，所以|KF|＝|PN|，D正确。故选ABD。
答案 ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知圆C1：(x－1)2＋y2＝2与圆C2：x2＋(y－b)2＝2(b>0)相交于A，B两点，且|AB|＝2，则b＝________。
解析 由题意知C1(1,0)，C2(0，b)，半径r1＝r2＝eq \r(2)，所以C1，C2到直线AB距离均为eq \r(\r(2)2－12)＝1，所以线段AB和线段C1C2相互垂直平分，则|C1C2|＝2，即1＋b2＝4，又b>0，故b＝eq \r(3)。
答案 eq \r(3)
14．已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点。若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为________。
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)＋\f(y\\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\\al(2,2),a2)＋\f(y\\al(2,2),b2)＝1，))相减得eq \f(x\\al(2,1)－x\\al(2,2),a2)＋eq \f(y\\al(2,1)－y\\al(2,2),b2)＝0，所以eq \f(x1＋x2,a2)＋eq \f(y1－y2,x1－x2)·eq \f(y1＋y2,b2)＝0。因为x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，kAB＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(－1－0,1－3)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(2,a2)＋eq \f(1,2)×eq \f(－2,b2)＝0，化简得a2＝2b2，又c＝3＝eq \r(a2－b2)，解得a2＝18，b2＝9。所以椭圆E的方程为eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1。
答案 eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1
15．设F1，F2分别是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点。过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|＝eq \r(6)|OP|，则C的离心率为________。
解析 双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x，所以点F2到渐近线的距离d＝eq \f(bc,\r(a2＋b2))＝b，即|PF2|＝b，所以|OP|＝eq \r(|OF2|2－|PF2|2)＝eq \r(c2－b2)＝a，cs∠PF2O＝eq \f(b,c)。因为|PF1|＝eq \r(6)|OP|，所以|PF1|＝eq \r(6)a，在△F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2－2|PF2|·|F1F2|·cs∠PF2O，所以6a2＝b2＋4c2－2×b×2c×eq \f(b,c)＝4c2－3b2＝4c2－3(c2－a2)，即3a2＝c2，即eq \r(3)a＝c，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)。
答案 eq \r(3)
16．已知F为抛物线x2＝2py(p>0)的焦点，点A(1，p)，M为抛物线上任意一点，且|MA|＋|MF|的最小值为3，则该抛物线的方程为________。若线段AF的垂直平分线交抛物线于P，Q两点，则四边形APFQ的面积为________。
解析 由题意，得抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，准线的方程为y＝－eq \f(p,2)。因为|MF|等于点M到准线的距离，所以当p>eq \f(1,2p)时，|MA|＋|MF|的最小值为点A到准线y＝－eq \f(p,2)的距离，而|MA|＋|MF|的最小值为3，所以eq \f(3p,2)＝3，解得p＝2，满足p>eq \f(1,2p)；当p≤eq \f(1,2p)时，|MA|＋|MF|的最小值为|AF|，而|MA|＋|MF|的最小值为3，所以eq \r(1－02＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p－\f(p,2)))2)＝3，解得p＝4eq \r(2)，不满足p≤eq \f(1,2p)。综上所述，p＝2。因此抛物线的方程为x2＝4y。由p＝2得，点A(1,2)，焦点F(0,1)，则线段AF的垂直平分线的方程为x＋y－2＝0，且|AF|＝eq \r(1－02＋2－12)＝eq \r(2)。设线段AF的垂直平分线与抛物线的交点分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)。由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－2＝0，,x2＝4y，))整理得x2＋4x－8＝0，x1＋x2＝－4，x1x2＝－8，则|PQ|＝eq \r(1＋1)eq \r(－42－4×－8)＝4eq \r(6)。所以四边形APFQ的面积S＝eq \f(1,2)|AF|·|PQ|＝eq \f(1,2)×eq \r(2)×4eq \r(6)＝4eq \r(3)。
答案 x2＝4y 4eq \r(3)