专题一　三角函数、解三角形学案

这是一份专题一　三角函数、解三角形学案，共35页。
第二层级　高分考点突破(把握考向——重点攻关)
专题一　三角函数、解三角形
小题专项1　三角函数的图象与性质
命|题|分|析
1．三角函数的图象和性质是高考必考的内容，在高考中多以选择题或填空题的形式出现。
2．高考小题对此部分内容的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，命题以基础性的小综合题为主。
明确考点　扣准要点
必 备 知 识
,1．三角函数的定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)。各象限角的三角函数值的符号可记为：一全正，二正弦，三正切，四余弦。
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
(1)“五点法”作图。
设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得。
(2)两种图象变换方式。
①y＝sin x
y＝sin(x＋φ)
y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)。
②y＝sin x
y＝sin ωx
y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)。
3．三角函数的单调区间
(1)y＝sin x的单调递增区间是(k∈Z)，单调递减区间是(k∈Z)。
(2)y＝cos x的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)。
(3)y＝tan x的单调递增区间是(k∈Z)。
4．三角函数图象的对称轴与对称中心
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象的对称轴
直线x＝kπ＋(k∈Z)
直线x＝kπ(k∈Z)
无
图象的对称中心
点(kπ，0) (k∈Z)
点(k∈Z)
点(k∈Z)
5.三角函数奇偶性的充要条件
函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；
函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；
函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；
函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)。
精析精研　重点攻关
考 向 突 破
考向一 三角函数的定义
【例1】　(1)(2021·郑州模拟)点P从(1,0)点出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点坐标为(　　)
A． B．
C． D．
解析　点P从点(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，所以∠QOx＝(O为坐标原点)，所以Q，即Q点的坐标为。故选A。
答案　A
(2)(2021·天津模拟)已知θ是第二象限角，P(x,2)为其终边上一点且cos θ＝x，则的值为(　　)
A．5　　　 B．
C．　　　 D．
解析　因为θ是第二象限角，P(x,2)(x0的最小正整数x为________。

解析　由题图可知，T＝－＝(T为f(x)的最小正周期)，得T＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝2cos(2x＋φ)。点可看作“五点作图法”中的第二个点，则2×＋φ＝，得φ＝－，所以f(x)＝2cos，所以f＝2cos＝2cos＝2cos＝1，f＝2cos＝2cos＝0，所以>0，即(f(x)－1)f(x)>0，可得f(x)>1或f(x)或cos0)中参数的值，关键是把握函数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图：
(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝，A＝；
(2)T定ω：由周期的求解公式T＝，可得ω＝；
(3)点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”。
【变式训练3】　(2021·潍坊市联考)音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受。1807年法国数学家傅里叶发现代表任何周期性声音的公式是形如y＝Asin ωx的简单正弦型函数之和，而且这些正弦型函数的频率都是其中一个最小频率的整数倍。比如用小提琴演奏的某音叉的声音图象是由如图①，②，③所示的三个函数图象组成的，则小提琴演奏的该音叉的声音函数可以为(　　)


A．f(t)＝0.06sin 1 000πt＋0.02sin 1 500πt＋0.01sin 3 000πt
B．f(t)＝0.06sin 500πt＋0.02sin 2 000πt＋0.01sin 3 000πt
C．f(t)＝0.06sin 1 000πt＋0.02sin 2 000πt＋0.01sin 3 000πt
D．f(t)＝0.06sin 1 000πt＋0.02sin 2 500πt＋0.01sin 3 000πt
解析　题图①中，A＝0.06，最小正周期T＝，所以＝，所以ω＝1 000π，则题图①对应的函数解析式为y＝0.06sin 1 000πt，其频率为＝500，又题图③对应的函数解析式为y＝0.01sin 3 000πt，其频率为＝1 500，所以排除B。若题图②对应的函数解析式为y＝0.02sin 1 500πt，则其频率为＝＝750，不是500的整数倍，故A不符合题意；若题图②对应的函数解析式为y＝0.02sin 2 000πt，则其频率为＝＝1 000，是500的整数倍，故C符合题意；若题图②对应的函数解析式为y＝0.02sin 2 500πt，则其频率为＝＝1 250，不是500的整数倍，故D不符合题意。综上，f(t)＝0.06sin 1 000πt＋0.02sin 2 000πt＋0.01sin 3 000πt。故选C。
答案　C
考向三 三角函数的性质及应用重点微专题
角度1　三角函数的单调性与最值
【例4】　(1)若函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos 2ωx在区间上单调递增，则正数ω的最大值为(　　)
A．　　　B． C．　　　D．
解析　解法一：因为f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos 2ωx＝sin 2ωx＋1在区间上单调递增，所以解得ω≤，所以正数ω的最大值是。故选B。
解法二：易知f(x)＝sin 2ωx＋1，可得f(x)的最小正周期T＝，所以解得ω≤。
答案　B
(2)(2021·河南省适应性测试)若函数f(x)＝sin(x＋φ)＋2cos x的最大值为，则常数φ的一个可能取值为(　　)
A．－　　B．－ C．　　　D．
解析　f(x)＝sin(x＋φ)＋2cos x＝cos φsin x＋(sin φ＋2)cos x＝sin(x＋α)＝sin(x＋α)，其中tan α＝，由题意知4sin φ＋5＝7，即sin φ＝，所以φ＝2kπ＋(k∈Z)或φ＝2kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，φ＝。故选D。
答案　D
方法悟通
(1)求三角函数单调区间的方法
①代换法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx＋φ＝z，得y＝Asin z(或y＝Acos z)，然后由复合函数的单调性求得。
②图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间。

(2)求三角函数的最值的方法
①将问题化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，结合三角函数的图象性质求解。
②将问题化为关于sin x或cos x的二次函数的形式求解。
【变式训练4】　(1)若x∈[0，π]，则函数f(x)＝cos x－sin x的增区间为(　　)
A． B．
C． D．
解析　由题得f(x)＝cos x－sin x＝－(sin x－cos x)＝－sin，令＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，所以2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z。令k＝0得≤x≤，因为x∈[0，π]，所以函数f(x)的增区间是，故选D。
答案　D
(2)(2021·北京高考)已知函数f(x)＝cos x－cos 2x，则该函数是(　　)
A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2
C．奇函数，最大值为 D．偶函数，最大值为
解析　函数f(x)的定义域为R，且f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数。f(x)＝cos x－cos 2x＝cos x－(2cos2x－1)＝－2cos2x＋cos x＋1＝－22＋，故最大值为，故选D。
答案　D
角度2　三角函数的奇偶性、周期性、对称性
【例5】　(多选)将函数f(x)＝sin的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列结论中正确的是(　　)
A．g(x)的最小正周期为π
B．直线x＝是g(x)图象的一条对称轴
C．g＝
D．g(x)为奇函数
解析　将函数f(x)＝sin的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝sin 2x的图象，所以g(x)的最小正周期为＝π，故选项A正确；令2x＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，故易知选项B错误；g＝sin＝，所以选项C正确；g(－x)＝－sin 2x＝－g(x)，所以g(x)是奇函数，所以选项D正确。故选ACD。
答案　ACD
方法悟通
(1)正弦、余弦、正切函数图象的对称轴与对称中心
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象的对称轴
直线x＝kπ＋(k∈Z)
直线x＝kπ(k∈Z)
无
图象的对称中心
点(kπ，0) (k∈Z)
点(k∈Z)
点(k∈Z)
(2)求三角函数周期的常用结论
①y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为；
②正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期。
【变式训练5】　(多选)已知函数f(x)＝asin(2x＋φ1)＋bcos(2x＋φ2)(f(x)不恒为0)，若f＝0，则下列说法一定正确的是(　　)
A．f为奇函数
B．f(x)的最小正周期为π
C．f(x)在区间上单调递增
D．f(x)在区间[0,2 021π]上有4 042个零点
解析　由于y＝asin(2x＋φ1)和y＝bcos(2x＋φ2)的最小正周期均为＝π，所以f(x)的最小正周期T＝π，B选项正确；由于f＝0，所以x＝是f(x)的零点，其相邻的2个零点为x＝－＝－和x＝＋＝，－不是f(x)的零点，所以f不是奇函数，A选项错误；与零点x＝相邻的两个对称轴方程为x＝－＝－和x＝＋＝，所以f(x)在区间上可能单调递增，也可能单调递减，C选项错误；由于f(x)在[0，π]上的零点有2个，而f(x)的最小正周期为π，所以f(x)在区间[0，2 021π]上有2 021×2＝4 042(个)零点，D选项正确。故选BD。
答案　BD
练真题　明确考向
回 味 高 考
1．(2021·全国乙卷)函数f(x)＝sin＋cos的最小正周期和最大值分别是(　　)
A．3π和　 B．3π和2
C．6π和　 D．6π和2
解析　因为函数f(x)＝sin＋cos＝＝＝sin，所以函数f(x)的最小正周期T＝＝6π，最大值为。故选C。
答案　C
2．(2021·新高考全国Ⅰ卷)下列区间中，函数f(x)＝7sin单调递增的区间是(　　)
A．　 B．
C．　 D．
解析　解法一：(常规求法)令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z。取k＝0，则－≤x≤。因为，所以区间是函数f(x)的单调递增区间。故选A。
解法二：(判断单调性法)当0