专题四　概率与统计学案

这是一份专题四　概率与统计学案，共29页。学案主要包含了统计与统计案例，概率，填空题等内容，欢迎下载使用。
专题四　概率与统计
小题专项　统计与统计案例、概率(理、新教材)
命|题|分|析
统计与统计案例、概率的选择题、填空题涉及的内容较为简单，主要有概率、抽样方法、统计图表的应用、用样本的数字特征估计总体、线性回归及统计案例。试题属基础题，分值一般为5分。
明确考点　扣准要点
必 备 知 识
一、统计与统计案例
1．抽样方法
抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样。两种抽样方法都是等概率抽样，体现了抽样的公平性，但又各有其特点和适用范围。
2．统计中的四个数字特征
(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据。
(2)中位数：样本数据中，将数据按大小顺序排列，位于最中间的数据。如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数。
(3)平均数：样本数据的算术平均数，即＝(x1＋x2＋…＋xn)。
(4)方差与标准差。
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，
s＝。
3．直方图的两个结论
(1)小长方形的面积＝组距×＝频率。
(2)各小长方形的面积之和等于1。
4．回归分析与独立性检验
(1)回归直线＝x＋经过样本点的中心(，)，若x取某一个值代入回归直线方程＝x＋中，可求出y的估计值。
(2)独立性检验。
对于取值分别是{x1，x2}和{y1，y2}的分类变量X和Y，其样本频数列联表是：

y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
n
则K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)。
二、概率
1．概率模型公式及相关结论
(1)古典概型的概率公式。
P(A)＝＝。
(2)条件概率。
在A发生的条件下B发生的概率：P(B|A)＝。
(3)相互独立事件同时发生的概率：若A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)。
(4)若事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，
P()＝1－P(A)。
2．独立重复试验与二项分布
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n。用X表示事件A在n次独立重复试验中发生的次数，则X服从二项分布，即X～B(n，p)且P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k。
3．超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，此时称随机变量X服从超几何分布。超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M，N，n。
4．离散型随机变量的均值、方差
(1)离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
x3
…
xi
…
xn
P
p1
p2
p3
…
pi
…
pn

离散型随机变量X的分布列具有两个性质：
①pi≥0，i＝1,2,3，…，n；
②i＝1。
(2)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn称为随机变量X的均值或数学期望。
D(X)＝(xi－E(X))2pi称为随机变量X的方差。
(3)数学期望、方差的性质。
①E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)。
②X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)。
③X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)。
精析精研　重点攻关
考 向 突 破
考向一 用样本估计总体
【例1】　(1)(多选)(2021·苏北适应性考试)某高中2020年的高考考生人数是2010年高考考生人数的1.5倍，为了更好地比较该校考生的升学情况，统计了该校2010年和2020年的高考升学率，得到如下柱状图：

则下列说法正确的是(　　)
A．与2010年相比，2020年一本达线人数有所减少
B．2020年二本达线率是2010年二本达线率的1.25倍
C．2010年与2020年艺体达线人数相同
D．与2010年相比，2020年不上线人数有所增加
解析　设2010年该高中的高考考生人数为a，则2020年该高中的高考考生人数为1.5a。结合柱状图可知，

2010年
2020年

高考考生人数
a
1.5a

一本达线人数
0.28a
0.24×1.5a＝0.36a
A错误
二本达线率
0.32
0.4
＝1.25，
B正确
艺体达线人数
0.08a
0.08×1.5a
C错误
不上线人数
0.32a
0.28×1.5a＝0.42a
D正确

答案　BD
(2)学校为了了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查。根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示：

将阅读时间不低于30分钟的学生称为“阅读霸”，则下列结论正确的是(　　)
A．抽样表明，该校约有一半学生为阅读霸
B．该校只有50名学生不喜欢阅读
C．该校只有50名学生喜欢阅读
D．抽样表明，该校有50名学生为阅读霸
解析　根据频率分布直方图可列下表：
阅读时间
/分钟
[0,10)
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60]
抽样人
数/名
10
18
22
25
20
5

抽样100名学生中有50名为阅读霸，占一半，据此可判断该校约有一半学生为阅读霸。
答案　A
(3)(2021·成都诊断性检测)甲、乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天生产出的次品数分别是：
甲
0
1
0
2
2
0
3
1
2
4
乙
2
2
1
1
1
2
1
1
0
1
1，2分别表示甲、乙两组数据的平均数，s，s分别表示甲、乙两组数据的方差，则下列选项正确的是(　　)
A.1＝2，s>s B.1>2，s>s
C.1s D.1>2，s2。又由题表中数据知，甲组数据比乙组数据的波动幅度大，所以s>s。故选B。
答案　B

方法悟通
(1)用频率分布直方图估计总体的数字特征应注意以下几点。
①频率分布直方图的纵轴是，而不是频率。
②在频率分布直方图中，每个小长方形的面积才是相应区间的频率。
③最高的小长方形底边中点的横坐标是众数。
④平分频率分布直方图的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标是中位数。
(2)对于其他的统计图表，要注意结合问题背景分析其所表达的意思，进而解决所给问题。

【变式训练1】　(1)(多选)某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险。各种保险按相关约定进行参保与理赔。该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如图所示的统计图，以下四个选项中，说法正确的是(　　)


A．54周岁以上客户人数最少
B．18～29周岁客户参保总费用最少
C．丁险种更受客户青睐
D．30周岁以上的客户约占参保客户的80%
解析　由参保人数比例图可知，54周岁以上客户人数最少，30周岁以上的客户约占参保客户的80%，所以A，D项中说法均正确；由参保险种比例图可知，丁险种更受客户青睐，所以C项说法正确；由不同年龄段人均参保费用图可知，18～29周岁客户人均参保费用最少，但18～29周岁客户所占比例为20%，所以总费用不一定最少，所以B项说法错误。
答案　ACD
(2)甲、乙、丙三名同学在军训的实弹射击中各射击10发子弹，三人的射击成绩如表。s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三名同学这次射击成绩的标准差，则(　　)
环数
7环
8环
9环
10环
甲的频数
2
3
3
2
乙的频数
1
4
4
1
丙的频数
3
2
2
3

A.s3>s1>s2 B．s2>s1>s3
C．s1>s2>s3 D．s2>s3>s1
解析　解法一：设1，2，3分别为甲、乙、丙射击成绩的平均数，1＝×(7×2＋8×3＋9×3＋10×2)＝8.5，s＝×[2×(7－8.5)2＋3×(8－8.5)2＋3×(9－8.5)2＋2×(10－8.5)2]＝1.05，同理可得，2＝×(7×1＋8×4＋9×4＋10×1)＝8.5，s＝0.65，3＝8.5，s＝1.45，所以s3>s1>s2。
解法二：乙的数据比较集中，方差最小，标准差最小；丙的数据比较分散，方差最大，标准差最大。
答案　A
(3)某学校共有1 000名学生，其中男生400人。为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样的方法随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额(单位：元)分布在450～950之间。根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示。

则图中a的值为________，估计该校学生月消费金额的平均数为________元(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)。
解析　由题意知100×(0.001 5＋a＋0.002 5＋0.001 5＋0.001 0)＝1，解得a＝0.003 5，该校学生月消费金额的平均数＝500×0.15＋600×0.35＋700×0.25＋800×0.15＋900×0.1＝670(元)。
答案　0.003 5　670
考向二 相关关系与独立性检验
【例2】　(1)已知一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，…，(x6，y6)，用最小二乘法得到其线性回归方程为＝－2x＋4，若x1，x2，x3，…，x6的平均数为1，则y1＋y2＋y3＋…＋y6＝(　　)
A．10　　　 B．12　　　 C．13　　　 D．14
解析　回归直线过样本点的中心(，)，因为＝1，所以＝－2×1＋4＝2，所以y1＋y2＋y3＋…＋y6＝6×2＝12。故选B。
答案　B
(2)为了判断高中生是否选修理科与性别的关系，现随机调查了50名学生，得到如下的2×2列联表：

选修理科
选修文科
总计
男
13
10
23
女
7
20
27
总计
20
30
50
根据表中的数据，得到K2的观测值k＝≈4.844，若P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025，则认为高中生是否选修理科与性别有关系出错的可能性约为(　　)
A．2.5%　　B．5%　　C．1%　　　D．10%
解析　因为4.844>3.841，P(K2≥3.841)≈0.05，所以认为是否选修理科与性别有关系出错的可能性约为5%。
答案　B

方法悟通
(1)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值；回归直线过样本点的中心(，)，应引起关注。
(2)独立性检验问题，要确定2×2列联表中的对应数据，然后代入K2求解即可。

【变式训练2】　(1)节能降耗是企业的生存之本，所以要树立一种“点点滴滴降成本，分分秒秒增效益”的节能意识，以最好的管理来实现节能效益的最大化。为此某国企进行节能降耗技术改造，下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润：
年号x
1
2
3
4
5
年生产利润y/千万元
0.7
0.8
1
1.1
1.4
预测第8年该国企的年生产利润约为(　　)
(参考公式及数据：回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝＝，＝－，iyi－5 ＝1.7，－52＝10)
A．1.88千万元 B．2.21千万元
C．1.85千万元 D．2.34千万元
解析　由已知可得＝＝3，＝＝1，　＝＝0.17，则＝－＝1－0.17×3＝0.49，所以年生产利润与年号的回归方程为＝0.17x＋0.49，当x＝8时，＝0.17×8＋0.49＝1.85。故选C。
答案　C
(2)随机采访50名观众对某电视节目的满意度，得到如下列联表：
　 　　　　　　　　　　　　　　　 单位：人

满意
不满意
总计
男
10
20
30
女
15
5
20
总计
25
25
50
附表和公式如下：
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828

K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量。
根据以上数据可知(　　)
A．有95%的把握认为对电视节目的满意度与性别无关
B．有99%的把握认为对电视节目的满意度与性别
C．有99%的把握认为对电视节目的满意度与性别
D．有95%的把握认为对电视节目的满意度与性别有关
解析　由于K2＝≈8.333>6.635，所以有99%的把握认为对电视节目的满意度与性别有关，故选C。
答案　C
考向三 古典概型
【例3】　(2021·湖南湘潭一模)德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的。最初遗忘速度很快，以后逐渐减慢。他认为“保持和遗忘是时间的函数”，他用无实际意义音节(由若干音节字母组成，能够读出，但无实际意义，即不是词的音节)作为记忆材料，用节省法计算保持和遗忘的数量，并根据他的实验结果绘成描述遗忘进程的曲线，即著名的艾宾浩斯遗忘曲线(如图所示)。若一名学生背了100个英语单词，一天后，该学生在这100个英语单词中随机听写2个英语单词，不考虑其他因素，则该学生恰有1个单词不会的概率大约为(　　)

A．0.43 B．0.45
C．0.26 D．0.15
解析　设事件M为“该学生恰有1个单词不会”，根据艾宾浩斯遗忘曲线得，一天后，100个英语单词忘记了66个，还记得34个。在100个英语单词中任选2个单词，有C种不同的结果，恰有1个单词不会，有CC种不同的结果，则该学生恰有1个单词不会的概率P(M)＝≈0.45。故选B。
答案　B

方法悟通
本题易错点是审题不认真，分不清“有序”与“无序”，导致不知道要用排列数公式还是组合数公式。一般地，从n个元素中抽取m个元素，这是“无序”问题，用组合数公式；从n个元素中抽取m个元素，将m个元素按照一定顺序排列，这是“有序”问题，用排列数公式。

【变式训练3】　(1)(2021·广东惠州第三次调研)我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为赵爽弦图。如图是在赵爽弦图的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形ABCD内部为赵爽弦图，正方形ABCD外部四个阴影三角形称为“风叶”。现从该“风叶”的8个顶点中任取2个顶点，则2个顶点取自同一片“风叶”的概率为(　　)

A.　　　B. 　　　C.　　　D.
解析　从该“风叶”的8个顶点中任取2个顶点，不同的情况有C＝28(种)。其中2个顶点取自同一片“风叶”的情况有4C＝12(种)。故所求概率为P＝＝。故选A。
答案　A
(2)(2021·湖北新高考适应性测试)如果3个正整数按照一定顺序可以组成一个等比数列，则称这3个数为一组“等比数”(如1,2,4为一组“等比数”)。从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取3个不同的数，则这3个数构成一组“等比数”的概率为(　　)
A.　　　B. C.　　　D.
解析　从9个数中任取3个不同的数，有C＝84(种)情况，其中，构成一组“等比数”的情况有{1,2,4}，{1,3,9}，{2,4,8}，{4,6,9}，共4种，故这3个数构成一组“等比数”的概率P＝＝。故选C。
答案　C
考向四 条件概率
【例4】　(多选)一个口袋中有大小形状完全相同的3个红球和4个白球，从中取出2个球，下列几个命题中正确的是(　　)
A．如果是不放回地抽取，那么取出2个红球和取出2个白球是对立事件
B．如果是不放回地抽取，那么第2次取到红球的概率一定小于第1次取到红球的概率
C．如果是有放回地抽取，那么取出1个红球和1个白球的概率是
D．如果是有放回地抽取，那么在至少取出1个红球的条件下，第2次取出红球的概率是
解析　对于A，易知取出2个红球和取出2个白球是互斥事件，但不是对立事件，故A不正确；对于B，如果是不放回地抽取，那么第1次取到红球的概率P1＝，第2次取到红球的概率P2＝×＋×＝，所以P1＝P2，故B不正确；对于C，如果是有放回地抽取，那么取出1个红球和1个白球的概率P＝××2＝，故C正确；对于D，记至少取出1个红球为事件M，第2次取出红球为事件N，则P(M)＝1－×＝，P(MN)＝×＋×＝，所以P(N|M)＝＝＝，故D正确。综上，选CD。
答案　CD

方法悟通
本题解答的关键：
(1)分清是有放回抽取，还是无放回抽取；
(2)熟记条件概率的计算公式P(N|M)＝，有时也可以用公式P(N|M)＝计算。

【变式训练4】　(1)某教师准备对一天的五节课进行课程安排，要求语文、数学、外语、物理、化学每科分别要排一节课，则数学不排第一节课，物理不排最后一节课的情况下，化学排第四节课的概率是(　　)
A.　　　B. 　　　C.　　　D.
解析　记事件A为“数学不排第一节课，物理不排最后一节课”，事件B为“化学排第四节课”，则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，故P(B|A)＝＝。故选C。
答案　C
(2)非洲成员代表团团长及相关的人员参加了中非合作论坛北京峰会，会后某记者在场地外随机进行采访，假设第一次采访到的人恰好是参会的代表团团长的概率为0.7，连续两次采访到的人都是代表团团长的概率为0.6，则在第一次采访到的人是代表团团长的条件下，第二次采访到的也是代表团团长的概率为________。
解析　记第一次采访到的人是代表团团长为事件A，第二次采访到的人是代表团团长为事件B，则P(A)＝0.7，P(AB)＝0.6，则P(B|A)＝＝。
答案　
考向五 相互独立事件与二项分布
【例5】　(1)某校为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场比赛。A，B两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手参加比赛，比赛分为四局。除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每局的负者得0分。假设每局比赛A队选手获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为(　　)
A.　　　B. 　　　C.　　　D.
解析　A队的得分高于B队的得分的情况有三种：A队的得分为5分，A队的得分为4分，A队的得分为3分。A队的得分为5分的概率为4＝，A队的得分为4分的概率为C×2××＝，A队的得分为3分的概率为C××2×＋C3×＝，因此所求概率为＋＋＝。故选C。
答案　C
(2)一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和n(n∈N*)个黑球。现从中有放回地摸取4次，每次都是随机摸取1个球，设摸得白球的次数为X，若D(X)＝1，则E(X)＝(　　)
A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4
解析　设每次随机摸取1个球，取到白球的概率为p。由题意知，X～B(4，p)，因为D(X)＝4p(1－p)＝1，所以p＝，则E(X)＝4p＝4×＝2。故选B。
答案　B

方法悟通
(1)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件是能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解。
(2)求随机变量均值与方差的关键是正确求出随机变量的分布列，若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式求解。

【变式训练5】　(1)某市为了加强疫情的防控力度，举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人。在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行核酸检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”。设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p(02，则p＝________。
解析　由已知可得X～B(6，p)，则D(X)＝6p(1－p)＝0.96，即25p2－25p＋4＝0，解得p＝或，若p＝，则E(X)＝6×2，符合题意。故p＝。
答案　
考向六 正态分布
【例6】　(1)已知随机变量X服从正态分布N(0,1)，随机变量Y服从正态分布N(1,1)，且P(X>1)＝0.158 7，则P(1