专题24 双曲线 常考点归纳与变式演练 作业 高中数学 一轮复习 人教版（2021年）

这是一份专题24 双曲线 常考点归纳与变式演练 作业 高中数学 一轮复习 人教版（2021年），共37页。
目录TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc88034565" 常考点01 双曲线的定义及运用 PAGEREF _Tc88034565 \h 1
\l "_Tc88034566" 常考点02 双曲线的标准方程 PAGEREF _Tc88034566 \h 5
\l "_Tc88034567" 常考点03 双曲线的离心率与渐近线 PAGEREF _Tc88034567 \h 8
\l "_Tc88034568" 常考点04 直线与双曲线的位置关系 PAGEREF _Tc88034568 \h 11
\l "_Tc88034569" 常考点05 中点弦问题 PAGEREF _Tc88034569 \h 14
\l "_Tc88034570" 常考点06 双曲线的综合应用 PAGEREF _Tc88034570 \h 16
\l "_Tc88034571" 易错点01 对双曲线的定义理解不到位致误 PAGEREF _Tc88034571 \h 21
\l "_Tc88034572" 易错点02 求离心率考虑不全面致误 PAGEREF _Tc88034572 \h 22
\l "_Tc88034573" 易错点03 忽略判别式致误 PAGEREF _Tc88034573 \h 23
\l "_Tc88034574" 专项训练 （全卷共22题） PAGEREF _Tc88034574 \h 24
专项训练：按新高考真题的试题量和难度标准编写
常考点01 双曲线的定义及运用
【典例1】（1）（2021·江苏省如皋中学高三开学考试）双曲线的两个焦点为，，双曲线上一点到的距离为11，则点到的距离为（ ）
A．1B．21C．1或21D．2或21
（2）（2021·江苏扬州·高三月考）已知双曲线C的离心率为，，是C的两个焦点，P为C上一点，，若的面积为，则双曲线C的实轴长为（ ）
A．1B．2C．3D．6
（3）（2021·江苏南京市·金陵中学）已知，是双曲线：的两个焦点，点在直线上，则的最小值为（ ）
A．B．6C．D．5
【答案】（1）B（2）B（3）C
【解析】（1）不妨设，分别为双曲线的左右焦点，
当P在双曲线的左支时，由双曲线的定义可知，，又=11，所以，
当P在双曲线的右支时，由双曲线的定义可知，，又=11，所以，又，所以右支上不存在满足条件的点P.故选：B.
（2）由题意，，所以，，又离心率，，
所以，，
所以，所以，实轴长，故选：B.
（3）由双曲线：可得：，，所以，可得，所以，，
设点关于对称的点为，
由可得，所以，所以，
当且仅当三点共线时等号成立，，
所以的最小值为，故选：C.
【典例2】（2020·全国高考真题（理））设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】A
【解析】，，根据双曲线的定义可得，
，即，，，
，即，解得，故选：A.
【技巧点拨】双曲线定义的主要应用
(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
【变式演练1】（2021·重庆市杨家坪中学高三）已知双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上一点，若，则（ ）
A．B．或C．或D．
【答案】D
【解析】由题意知，所以，所以，
所以，所以点在双曲线的左支上，
所以，所以，故选：D.
【变式演练2】（2020·全国高考真题）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ）
A．B．3C．D．2
【答案】B
【解析】由已知，不妨设，则，因为，
所以点在以为直径的圆上，即是以P为直角顶点的直角三角形，
故，即，又，
所以，
解得，所以故选：B
【变式演练3】．（2021·陕西渭南·高三（文））已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上，，当的周长最小时，的面积为（ ）
A．12B．8C．6D．4
【答案】A
【解析】如图所示，设双曲线的右焦点为，由双曲线，可得，
则，所以，因为，所以，
则的周长为，即当在处时，的周长最小，此时直线的方程为，
联立整理得，则，
故的面积为.故选：A.
常考点02 双曲线的标准方程
【典例1】（1）（2021·全国高三专题练习）双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
（2）（2021·河南商丘·高三月考）已知双曲线的焦点为，点在上，且关于原点的对称点为，四边形的面积为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】（1）B（2）B
【解析】（1），则，，则双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，
因此，双曲线的方程为.故选：B
（2）由原点分别为和的中点，得四边形为平行四边形，又，则四边形为矩形.由四边形的面积为，得，再结合及双曲线的定义，得，即，即，
所以，故双曲线的方程为.故选：B
【典例2】（2021·山东高三模拟）惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名的建筑事务所steynstudi完成的，建筑师的设计灵感源于圣经的经文“上帝啊，你永无止境的爱是多么的珍贵，人们在你雄伟的翅膀下避难”．若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的一部分，且此双曲线的离心率为，过点，则此双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】双曲线，由题意可得：
∴双曲线为，即．故选：A．
【技巧点拨】
1．求双曲线方程的思路
(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上或y轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．
(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：
一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一般方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)求解．
2.求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为，（2）与共渐近线的双曲线可设为，（3）等轴双曲线可设为等，均为待定系数法求标准方程.
【变式演练1】（2021·浙江高三开学考试）已知双曲线的一个焦点为，渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得：双曲线的焦点在轴上，且，，再由，解得：，该双曲线的标准方程为，故选D.
【变式演练2】（2021·全国高三专题练习）已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，离心率为 ，则双曲线的标准方程为（ ）
A．－＝1 B．x2－＝1 C．－＝1 D．x2－＝1
【答案】A
【解析】因为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，所以a＝2，
由离心率为，可得＝，c＝2，所以b＝＝＝4，
则双曲线的标准方程为－＝1.故选：A
【变式演练3】（2021·天津和平·高三）已知双曲线的一条渐近线与抛物线交于点，点是抛物线的准线上一点，抛物线的焦点为双曲线的一个焦点，且为等边三角形，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，点，抛物线的准线方程为，作，由抛物线的定义可知，，又为等边三角形，所以，所以，即点重合，所以，设，不妨设，则，得，所以，所以，又因为，所以得，所以双曲线的方程为.故选：A
常考点03 双曲线的离心率与渐近线
【典例1】（1）（2021·广西（理））已知，是双曲线C的两个焦点，P为双曲线上的一点，且；则C的离心率为（ ）
A．1B．2C．3D．4
（2）（2021·湖北高三开学考试）已知双曲线的左右焦点为，过的直线交双曲线右支于，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
（3）（2021·江苏南京·高三月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点M，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】（1）B（2）D（3）C
【解析】（1）.故选：B
（2）设因为，且，所以，
由双曲线的定义得：，，
因为，所以，解得，
所以在中，，即，解得，故选：D
（3）
如图，作于点于点B，因为与圆相切，
所以，
在中，，所以．
又点M在双曲线上，由双曲线的定义可得：所以，
整理得：，所以，所以双曲线的渐近线方程为．故选C．
【典例2】（2021·全国高考真题）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________．
【答案】
【分析】根据离心率结合得出关系即可求出.
【详解】由题离心率，即，又，即，则，
故此双曲线的渐近线方程为.故答案为：.
【技巧点拨】
求双曲线的离心率的值（或范围）时，可将条件中提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，再根据和转化为关于离心率e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值（或取值范围）．
【变式演练1】（2021·肥城市教学研究中心高三）已知､分别是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上一点满足，直线与该双曲线的左支交于点，且恰好为线段的中点，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意，令，则有，令，由双曲线定义得，
而点P是QF1中点且在双曲线左支上，则，
在中，，即，解得，则，，
在中，，即，，于是得，，
所以双曲线C的渐近线方程为.故选：C
【变式演练2】（2021·全国高三专题练习）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线C的左支于P，Q两点，若，且的周长为，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由双曲线定义知，
则，，所以，
∴的周长为，∴，，
由，
所以，故，∴，∴，，∴，
在中，，故.故选：A.
【变式演练3】（2021·黑龙江齐齐哈尔·高三）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作倾斜角为θ的直线交双曲线的右支于、两点，其中点在第一象限，且．若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如下图所示，设，由双曲线的定义可得，
则，所以，，
在中，，
整理可得，即，，解得.故选：D.
常考点04 直线与双曲线的位置关系
【典例1】（1）（2021·全国高三专题练习（理））直线：与曲线相交于、两点，则直线倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2）．（2021·全国（理））已知双曲线的左、右焦点分别是，，直线过坐标原点且与双曲线交于点，．若，则四边形的面积为______．
【答案】（1）B（2）8
【解析】（1）由可得，
整理得到在上有两个不同的根，
故，解得或,故直线的倾斜角的范围为：，故选：B
（2）由双曲线的对称性可知，四边形的对角线互相平分且相等，所以四边形是矩形．
设，，则．因为，所以，化简得，所以四边形的面积为．故答案为：
【典例2】（2021·全国高三专题练习）过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有（ ）．
A．一条B．两条C．三条D．四条
【答案】B
【解析】由双曲线方程可得：，，当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，
此时显然与双曲线方程只有一个公共点；
当过点的直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为，
代入双曲线方程可得，当即时，
当时，显然无解；
当时，有一解，
此时直线与双曲线有一个交点，符合题意，
当，令，解得：，不符合题意，
综上所述：满足题意的直线有两条，故选：B.
【技巧点拨】
直线与双曲线位置关系的解题策略
(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．
(2)弦长公式：设直线与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k，则|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|.
【变式演练1】（2021·全国高三专题练习（理））直线与双曲线：有且仅有一个公共点，那么值共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解析】联立，消去y得
当时，即时，方程组只有一个解；当时，，解得：
所以的取值为，共4个，故选：D.
【变式演练2】（2021·全国高三专题练习）设F是双曲线的右焦点.过点F作斜率为-3的直线l与双曲线左、右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为双曲线的两条渐近线方程为，
当过点F且斜率为-3的直线l与渐近线平行时.
直线l只与双曲线右支有一个交点，数形结合可知，
当渐近线的斜率满足，即时，
直线l与双曲线左、右支均相交，所以.故选:C.
【变式演练3】（2021·广东）过双曲线的左焦点作直线交于，两点，则（ ）
A．若，则直线只有条B．若，则直线有条
C．若，则直线有条D．若，则直线有条
【答案】ABD
【解析】因为双曲线的左焦点的坐标为，该双曲线的渐近线方程为，
若直线的斜率不存在，则的方程为，代入可得，此时；
若直线的斜率存在，可设的方程为，设，，
为使与有两不同交点，只需；
由消去整理得，
则，所以；
A选项，由可得，无解；因此，若，则的方程只有；故A正确；
B选项，由可得或，解得无解或，因此，若，则的方程为；故B正确；
C选项，由可得或，解得无解或，因此，若，则的方程为；故C错；
D选项，由可得或，解得或，因此，若，则的方程为或；故D正确；故选：ABD.
常考点05 中点弦问题
【典例1】（2021·湖南高三月考）已知直线l被双曲线C：﹣y2=1所截得的弦的中点坐标为(1，2)，则直线l的方程（ ）
A．x+4y﹣9=0 B．x﹣4y+7=0 C．x﹣8y+15=0 D．x+8y﹣17=0
【答案】C
【解析】设P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，∵线段PQ的中点为(1，2)，∴x1+x2=2，y1+y2=4，
∵，∴﹣(y1﹣y2)(y1+y2)=0，
整理得，即直线l的斜率为，故直线l的方程为y﹣2=(x﹣1)，即x﹣8y+15=0，故选：C.
【典例2】（2021·全国高三专题练习）已知A，B为双曲线1（a＞0，b＞0）上的两个不同点，M为AB的中点，O为坐标原点，若kAB•kOM，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】设，，则＝，＝，
由可得．∴ ，
即，则双曲线的离心率为．故选：D．
【技巧点拨】用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．
【变式演练1】（2021·陕西）已知双曲线，斜率为的直线交双曲线于、，为坐标原点，为的中点，若的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设点、，则，
由题意，得，，两式相减，得，整理得，
所以，
因此，双曲线的离心率为，故选：A.
【变式演练2】（2021·河南驻马店·高三期末）已知双曲线的离心率为，直线与交于，两点，若线段的中点为，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，，则，，两式相减可得．因为线段以点为中点，所以，，所以，因为的离心率为，所以，故直线的斜率为，所以直线的方程为，即,经检验成立.故选：B
【变式演练3】（2021·全国高三专题练习）已知双曲线上存在两点M，N关于直线对称，且的中点在抛物线上，则实数b的值为（ ）
A．0或B．0C．D．
【答案】A
【解析】设，，的中点，
因为，所以；又因为，所以；
又因为M，N关于直线对称，所以，即；
又因为点在直线上，所以；
由，可得，所以，即或，故选：A.
常考点06 双曲线的综合应用
【典例1】（2021·河北·石家庄二中高二期中）一般地，我们把离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”．把离心率为的双曲线称为“黄金双曲线”，则下列命题正确的有（ ）
A．若是“黄金椭圆，则
B．若焦距为4，且点A在以为焦点的“黄金椭圆”上，则的周长为
C．若是黄金双曲线的左焦点，C是右顶点，则
D．若是黄金双曲线的弦，离心率为e，M是的中点，若和的斜率均存在，则
【答案】BCD
【分析】对A：椭圆焦点位置不确定，可能在轴上也可能在轴上，所以应有两个值；
对B：由题意，根据黄金椭圆的性质可得的值，由椭圆的定义即可求出的周长；
对C：根据双曲线为黄金双曲线，可得，从而可得，，，从而可得，即可判断；
对D：设，，，，，，由点差法求出直线的斜率，从而可求出斜率之积，再由“黄金双曲线”的离心率的值即可求解．
【详解】对A：椭圆焦点位置不确定，可能在轴上也可能在轴上，所以应有两个值，故选项A错误；
对B：由题意，则，所以，则的周长为，所以选项B正确；对C：由题意，，，
因为双曲线为黄金双曲线，则，所以，所以，
所以，，，
所以，所以，所以选项C正确；
对D：设，，，，，，
则，两式相减得，
是的中点，且，，，从而，
所以，所以选项D正确；故选：BCD.
【典例2】（2021·云南师大附中高二期中）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点P为椭圆与双曲线的一个公共点，椭圆与双曲线的离心率分别为，下列说法中正确的有（ ）
A．若a＝2，b＝，且，则 B．若a＝2，b＝，且，则
C．若a＝5，m＝，则 D．若，且，则
【答案】BD
【分析】对于A，求出即可判断，对于B，可求出，，然后由双曲线的定义可得，即可判断，对于C，可得，然后设，利用三角函数的知识可判断，对于D，利用椭圆、双曲线的定义和余弦定理可得，然后可判断.
【详解】对于A，若a＝2，b＝， 则，故A错误
对于B：若a＝2，b＝，∴c＝1 ，，
所以 ， ，故 B正确
对于C，若a＝5，m＝ 因为椭圆与双曲线共焦点
设，则，故C错误
对于D，设，，由椭圆和双曲线的定义可得，，
解得，，在三角形中，，
可得，
即有，可得，即，当时可得，故D正确。故选：BD
【技巧点拨】
【变式演练1】（2021·渝中区·重庆巴蜀中学高三月考）（多选）已知点是圆：上一动点，点，若线段的垂直平分线交直线于点，则下列结论正确的是（ ）
A．点的轨迹是椭圆 B．点的轨迹是双曲线
C．当点满足时，的面积
D．当点满足时，的面积
【答案】BCD
【解析】依题意，，，因线段的垂直平分线交直线于点，于是得，
当点在线段的延长线上时，，
当点在线段的延长线上时，，
从而得，由双曲线的定义知，点的轨迹是双曲线，故A错，B对；
选项C，点的轨迹方程为，当时，，
所以，故C对；选项D，当时，，
所以，故D对，故选：BCD.
【变式演练2】（2021·湖北武汉·高三月考）已知圆锥曲线与（，）的公共焦点为，．点M为，的一个公共点，且满足，若圆锥曲线的离心率为，则下列说法错误的是（ ）
A．的离心率为B．的离心率为
C．的渐近线方程为D．的渐近线方程为
【答案】AD
【解析】不妨取点M为，第一象限的一个公共点，令则曲线的方程为,曲线的方程为.
又由两曲线有公共焦点,则,由圆锥曲线定义可得:,
解得：.又，所以，可得：,
整理得.因为，所以.故A错误；B正确；
由，得：，解得：，所以渐近线方程为.
故C正确，D错误.故选：AD
【变式演练3】（2021·广东中山·模拟预测）双曲线的左右焦点分别为，，倾斜角为的直线过双曲线的右焦点，与双曲线右支交于两点，且，则（ ）
A．双曲线的离心率为B．与内切圆半径比为
C．与周长之比为D．与面积之比为
【答案】BD
【分析】设设，则，则，，在和中由余弦定理可得，即可得离心率可判断A；将代入可得，进而可得与周长可判断C；由可得与面积之比可判断D；由三角形的面积等于乘以三角形的周长再乘半径结合周长之比可得内切圆的半径之比，可判断B，进而可得正确选项.
【详解】设，则，由双曲线的定义可得：，，
在中，由余弦定理可得：，
即，所以
在中，由余弦定理可得：，
即，所以，
可得，所以，所以离心率，故选项A不正确；
设点到直线的距离为，则，故选项D正确；
将代入可得：，
所以的周长为，
的周长为，
所以与周长之比为，故选项C不正确；
设与内切圆半径分别为，，
的面积与的面积之比为，
所以，故选项B正确；故选：BD.
易错点01 对双曲线的定义理解不到位致误
【例】已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9,动圆M同时与圆C1及圆C2
外切,则动圆圆心M的轨迹方程为________．
【错解】x2－eq \f(y2,8)＝1
【错因分析】错误运用双曲线定义出错．本题中,|MC2|－|MC1|＝2,与双曲线定义相比,左边少了外层绝对值,因此只能是双曲线的一支．如果不注意,就会得出错误的结果,即点M的轨迹方程为x2－eq \f(y2,8)＝1.
【正解】如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件,得|MC1|－|AC1|＝|MA|,|MC2|－|BC2|＝|MB|.
因为|MA|＝|MB|,所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|,即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2.
所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数．
又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),其中a＝1,c＝3,则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－eq \f(y2,8)＝1(x0)的点的轨迹不是双曲线；当定长2a|F1F2|时,点的轨迹不存在．
易错点02 求离心率考虑不全面致误
【例16】双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 (a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,若P为双曲线上一点,且|PF1|
＝2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为________．
【错解】如图,设|PF2|＝m,∠F1PF2＝θ (0