四川省自贡市2019-2020学年八年级上学期期末考试数学试题（原卷版)

这是一份四川省自贡市2019-2020学年八年级上学期期末考试数学试题（原卷版)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，解答下列各题等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年四川省自贡市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题有8个小题，每小题3分，满分24分）
1．从2019年8月1日开始，温州市实行垃圾分类，以下是几种垃圾分类的图标，其中哪个图标是轴对称图形（　　）

A B C D
2．下列运算正确的是（　　）
A．20160＝1 B．（xy2）3＝xy6 C．（）﹣1＝﹣2 D．a6÷a＝a6
3．2019年3.15曝光，“电子烟烟液中含有尼古丁、甲醛、丙二醇、甘油，会威胁到吸烟者和被吸烟者的健康．”一个尼古丁分子的质量为0.000000000000000269μg，数据0.000000000000000269”用科学记数法表示为（　　）
A．﹣2.69×1016 B．2.69×10﹣16 C．2.69×10﹣17 D．2.69×10﹣15
4．下列各图中，正确画出AC边上的高的是（　　）

A B C D
5．如图，AB∥DE，AB＝DE，增加下列一个条件，仍不能判定△ABC≌△DEF的是（　　）
A． ∠A＝∠D B．BE＝CF
C．AC＝DF D．∠ACB＝∠F
6．下列各式中，正确的是（　　）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝﹣
7．如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是（　　）
A．30 B．20
C．60 D．40
8．如图，在△ABC中，∠C＝30°，点D是AC的中点，DE⊥AC交BC于E；点O在DE上，OA＝OB，OD＝1，OE＝2，则BE的长为（　　）
A．3 B．4
C．5 D．6
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共计18分）
9．如果若分式的值为0，则实数a的值为　 　．
10．因式分解：x3﹣2x2y+xy2＝　 　．
11．如图，蚂蚁点M出发，沿直线行走4米后左转36°，再沿直线行走4米，又左转36°，……；照此走下去，他第一次回到出发点M，一共行走的路程是　 　．

(11题图） (12题图） (13题图）
12．在△ABC中，∠C＝80°，∠A＝40°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧分别交于点E、F，作直线EF交AC于点D，则∠CBD的度数是　 　．
13．AD是△ABC的中线，∠ADB＝60°，BC＝8，把△ABC沿直线AD折叠，使点B落在点E的位置，连接CE，则CE的长为　 　．
14．有一数值转换器，原理如图所示，如果开始输入x的值为1，则第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是5，……；那么2021次输出的结果是　 　．

三、解答题（本题有5个小题，每小题5分，共计25分）
15．计算：4（x+1）2﹣（2x﹣5）（2x+5）

16．已知三角形的两边a＝3，b＝7，若第三边c的长为偶数，求其周长．




17．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，3），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）在y轴上画出点M，使点M到A、B的距离之和最小．

18．如图，CA＝CD，∠1＝∠2，∠A＝∠D．求证：BC＝EC．


19．先化简，再求值：，其中a满足a2+2a﹣1＝0．


四、解答题（本题有3个小题，每小题6分，共计18分）
20．从甲市到乙市乘坐高速列车的路程为180千米，乘坐普通列车的路程为240千米．高速列车的平均速度是普通列车的平均速度的3倍．高速列车的乘车时间比普通列车的乘车时间缩短了2小时．高速列车的平均速度是每小时多少千米？





21．利用我们学过的知识，可以得出下面这个优美的等式：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]；该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．
（1）请你证明这个等式；
（2）如果a＝2018，b＝2019，c＝2020，请你求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值．






22．如图，在△ABC中，AD⊥BC，点E在AD上，ED＝DC，AD＝DB，点F，H分别在线段BE，AC上，连接F，H．
（1）求证：△ADC≌△BDE；
（2）若BF＝AH，求证：△FDH是等腰直角三角形．


五、解答下列各题（本题共有2个小题，第23题7分，第24题8分，共计15分）
23．如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．
（1）求C点的坐标；
（2）如图2，OA＝2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为直角顶点，PA为腰向右作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值．






24．对于一个关于x的代数式A，若存在一个系数为正数关于x的单项式F，使的结果是所有系数均为整数的整式，则称单项式F为代数式A的“整系单项式”，例如：
当A＝，F＝2x3时，由于＝1，故2x3是的整系单项式；
当A＝，F＝6x5时，由于＝3x2，故6x5是的整系单项式；
当A＝3﹣，F＝x2时，由于＝2x﹣1，故x2是3﹣的整系单项式；
当A＝3﹣，F＝8x4时，由于＝12x3﹣6x2，故8x4是3﹣的整系单项式；
显然，当代数式A存在整系单项式F时，F有无数个，现把次数最低，系数最小的整系单项式F记为F（A），例如：F（）＝2x3，F（3﹣）＝x2．
阅读以上材料并解决下列问题：
（1）判断：当A＝时，F＝2x3　 　A的整系单项式（填“是”或“不是”）；
（2）当A＝﹣2时，F（A）＝　 　；
（3）解方程：﹣1＝．

2019-2020学年四川省自贡市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有8个小题，每小题3分，满分24分，每小题只有一个选项符合题意）
1．（3分）从2019年8月1日开始，温州市实行垃圾分类，以下是几种垃圾分类的图标，其中哪个图标是轴对称图形（　　）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．菁优网版权所有
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形可得答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念，找出图形的对称轴．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．20160＝1 B．（xy2）3＝xy6 C．（）﹣1＝﹣2 D．a6÷a＝a6
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；零指数幂；负整数指数幂．菁优网版权所有
【分析】根据同底数幂的除法的运算方法，零指数幂、负整数指数幂的运算方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判断即可．
【解答】解：∵20160＝1，
∴选项A符合题意；
∵（xy2）3＝x3y6，
∴选项B不符合题意；
∵（）﹣1＝2，
∴选项C不符合题意；
∵a6÷a＝a5，
∴选项D不符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法的运算方法，零指数幂、负整数指数幂的运算方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，要熟练掌握．
3．（3分）2019年3.15曝光，“电子烟烟液中含有尼古丁、甲醛、丙二醇、甘油，会威胁到吸烟者和被吸烟者的健康．”一个尼古丁分子的质量为0.000000000000000269μg，数据0.000000000000000269”用科学记数法表示为（　　）
A．﹣2.69×1016 B．2.69×10﹣16 C．2.69×10﹣17 D．2.69×10﹣15
【考点】科学记数法—表示较大的数；科学记数法—表示较小的数．菁优网版权所有
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：数据0.0000 0000 0000 000269”用科学记数法表示为2.69×10﹣16．
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（3分）下列各图中，正确画出AC边上的高的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．菁优网版权所有
【分析】根据三角形高的定义，过点B与AC边垂直，且垂足在边AC上，然后结合各选项图形解答．
【解答】解：根据三角形高线的定义，只有D选项中的BE是边AC上的高．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的高线的定义，熟记定义并准确识图是解题的关键．
5．（3分）如图，AB∥DE，AB＝DE，增加下列一个条件，仍不能判定△ABC≌△DEF的是（　　）

A．∠A＝∠D B．BE＝CF C．AC＝DF D．∠ACB＝∠F
【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有
【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上判定定理判断即可．
【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵AB＝DE，
A、添加∠A＝∠D，可以利用ASA证明△ABC≌△DEF，不符合题意；
B、添加BE＝CF，得出BC＝EF，利用SAS证明△ABC≌△DEF，不符合题意；
C、添加AC＝DF，根据SSA不能得出△ABC≌△DEF，符合题意；
D、添加∠ACB＝∠F，利用AAS证明△ABC≌△DEF，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，题目较好，但是一道比较容易出错的题目．
6．（3分）下列各式中，正确的是（　　）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝﹣
【考点】分式的基本性质．菁优网版权所有
【分析】根据分式的基本性质对各选项进行判断．
【解答】解：A、为最简分式，所以A选项错误；
B、原式＝＝，所以B选项错误；
C、原式＝，所以C选项正确；
D、原式＝﹣，所以D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
7．（3分）如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是（　　）

A．30 B．20 C．60 D．40
【考点】整式的混合运算．菁优网版权所有
【分析】设大正方形边长为x，小正方形边长为y，则AE＝x﹣y，然后表示阴影部分面积，再计算整式的乘法和加减，进而可得答案．
【解答】解：设大正方形边长为x，小正方形边长为y，则AE＝x﹣y，
阴影部分的面积是：
AE•BC+AE•DB，
＝（x﹣y）•x+（x﹣y）•y，
＝（x﹣y）（x+y），
＝（x2﹣y2），
＝60，
＝30．
故选：A．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，关键是正确运用算式表示出阴影部分面积．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝30°，点D是AC的中点，DE⊥AC交BC于E；点O在DE上，OA＝OB，OD＝1，OE＝2，则BE的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【分析】连接OC，作OF⊥BC于点F，根据含30°的直角三角形的性质求出CE，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一解答即可．
【解答】解：连接OC，作OF⊥BC于点F，
DE＝OD+OE＝3，
在Rt△CDE中，∠DCE＝30°，
∴CE＝2DE＝6，∠OEF＝60°，
∵AD＝DC，ED⊥AC，
∴OA＝OC，
∵OA＝OB，
∴OB＝OC，
∵OF⊥BC，
∴CF＝FB，
在Rt△OFE中，∠OEF＝60°，
∴∠EOF＝30°，
∴EF＝OE＝1，
∴CF＝CE﹣EF＝5，
∴BC＝10，
∴BE＝10﹣6＝4，
故选：B．

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共计18分）
9．（3分）如果若分式的值为0，则实数a的值为　﹣3　．
【考点】分式的值为零的条件．菁优网版权所有
【分析】分式的值为零：分子为零，但是分母不为零．
【解答】解：依题意得：a2﹣9＝0，且a﹣3≠0，
解得a＝﹣3．
故答案是：﹣3．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
10．（3分）因式分解：x3﹣2x2y+xy2＝　x（x﹣y）2　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝x（x2﹣2xy+y2）＝x（x﹣y）2，
故答案为：x（x﹣y）2
【点评】此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
11．（3分）如图，蚂蚁点M出发，沿直线行走4米后左转36°，再沿直线行走4米，又左转36°，……；照此走下去，他第一次回到出发点M，一共行走的路程是　40米　．

【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有
【分析】根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360°除以36°求出边数，然后再乘以4m即可．
【解答】解：∵每次小明都是沿直线前进4米后向左转36°，
∴它走过的图形是正多边形，
边数n＝360°÷36°＝10，
∴它第一次回到出发点A时，一共走了4×10＝40米．
故答案为：40米．
【点评】本题考查了正多边形的边数的求法，根据题意判断出小亮走过的图形是正多边形是解题的关键．
12．（3分）在△ABC中，∠C＝80°，∠A＝40°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧分别交于点E、F，作直线EF交AC于点D，则∠CBD的度数是　20°　．

【考点】线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据等腰三角形的性质得到∠ABD＝∠A＝40°，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝60°，
由作图可知，EF是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∴∠CBD＝60°﹣40°＝20°，
故答案为：20°．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
13．（3分）AD是△ABC的中线，∠ADB＝60°，BC＝8，把△ABC沿直线AD折叠，使点B落在点E的位置，连接CE，则CE的长为　4　．

【考点】全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【分析】证明△EDC是等边三角形即可解决问题．
【解答】解：由翻折可知，DB＝DE，∠ADB＝∠ADE＝60°，
∴∠EDC＝180°﹣2×60°＝60°
∵BD＝DC＝BC＝4，
∴DE＝DC，
∴△EDC是等边三角形，
∴CE＝CD＝4，
故答案为4．
【点评】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．（3分）有一数值转换器，原理如图所示，如果开始输入x的值为1，则第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是5，……；那么2021次输出的结果是　10　．

【考点】有理数的混合运算；代数式求值．菁优网版权所有
【分析】根据第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是5，…，总结出每次输出的结果的规律，求出2021次输出的结果是多少即可．
【解答】解：第一次输出的结果是：1+3＝4，
第二次输出的结果是：×4+3＝5，
第三次输出的结果是：5+3＝8，
第四次输出的结果是：×8+3＝7，
第五次输出的结果是：7+3＝10，
第六次输出的结果是：×10+3＝8，
第七次输出的结果是：×8+3＝7，
第八次输出的结果是：7+3＝10，
…，
∴从第三次开始，输出的结果分别是8、7、10、8、7、10、…，
（2021﹣2）÷3
＝2019÷3
＝673
∴2021次输出的结果是10．
故答案为：10．
【点评】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．
三、解答题（本题有5个小题，每小题5分，共计25分）
15．（5分）计算：4（x+1）2﹣（2x﹣5）（2x+5）
【考点】完全平方公式；平方差公式．菁优网版权所有
【分析】先根据完全平方公式和平方差公式展开，最后合并即可．
【解答】解：原式＝4（x2+2x+1）﹣（4x2﹣25）
＝4x2+8x+4﹣4x2+25
＝8x+29．
【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，注意：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，（a±b）2＝a2±2ab+b2．
16．（5分）已知三角形的两边a＝3，b＝7，若第三边c的长为偶数，求其周长．
【考点】三角形三边关系．菁优网版权所有
【分析】首先根据三角形的三边关系：第三边＞两边之差4，而＜两边之和10，再根据c为偶数得出c的值，进而求出周长即可．
【解答】解：∵三角形的两边a＝3，b＝7，第三边c，
∴根据三角形三边关系可得：4＜c＜10，
因为第三边c的长为偶数，
所以c取6或8，
则其周长为：6+3+7＝16或8+3+7＝18．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．
17．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，3），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）在y轴上画出点M，使点M到A、B的距离之和最小．

【考点】作图﹣轴对称变换；轴对称﹣最短路线问题．菁优网版权所有
【分析】（1）利用轴对称性质，作出A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1，顺次连接A1B1、B1C1、C1A1，即得到关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）作出点A关于y轴的对称点A'，连接A'B，交y轴于M，此时点M到A、B的距离之和最小．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，点M即为所求．
【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于x轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
18．（5分）如图，CA＝CD，∠1＝∠2，∠A＝∠D．求证：BC＝EC．

【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】由角的和差求出∠ACB＝∠DCE，边角边证明△ACB≌△DCE，即可得出结论．
【解答】证明：∵∠ACB＝∠2+∠ACE，∠DCE＝∠1+∠ACE，∠1＝∠2，
∴∠ACB＝∠DCE，
在△ACB和△DCE中，，
∴△ACB≌△DCE（ASA），
∴BC＝EC．
【点评】本题全等三角形的判定与性质相关知识，重点掌握全等三角形的判定与性质．
19．（5分）先化简，再求值：，其中a满足a2+2a﹣1＝0．
【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
【分析】利用方程解的定义找到相等关系a2+2a＝1，再把所求的代数式化简后整理出a2+2a的形式，再整体代入a2+2a＝1，即可求解．
【解答】解：原式＝（﹣）
＝
＝．
由a2+2a﹣1＝0，得a2+2a＝1，
∴原式＝1．
【点评】本题主要考查分式的化简求值这一知识点，把分式化到最简是解答的关键．
四、解答题（本题有3个小题，每小题6分，共计18分）
20．（6分）从甲市到乙市乘坐高速列车的路程为180千米，乘坐普通列车的路程为240千米．高速列车的平均速度是普通列车的平均速度的3倍．高速列车的乘车时间比普通列车的乘车时间缩短了2小时．高速列车的平均速度是每小时多少千米？
【考点】分式方程的应用．菁优网版权所有
【分析】设普通列车平均速度每小时x千米，则高速列车平均速度每小时3x千米，根据题意可得，坐高铁走180千米比坐普通车240千米少用2小时，据此列方程求解．
【解答】解：设普通列车平均速度每小时x千米，则高速列车平均速度每小时3x千米，
根据题意得，﹣＝2，
解得：x＝90，
经检验，x＝90是所列方程的根，
则3x＝3×90＝270．
答：高速列车平均速度为每小时270千米．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
21．（6分）利用我们学过的知识，可以得出下面这个优美的等式：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]；该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．
（1）请你证明这个等式；
（2）如果a＝2018，b＝2019，c＝2020，请你求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值．
【考点】非负数的性质：偶次方；配方法的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）应用完全平方公式，证明这个等式成立即可．
（2）把a＝2018，b＝2019，c＝2020代入[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]，求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值是多少即可．
【解答】（1）证明：
a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）
＝[（a2+b2﹣2ab）+（b2+c2﹣2bc）+（a2+c2﹣2ac）]
＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]

（2）解：a＝2018，b＝2019，c＝2020时，
a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
＝[（2018﹣2019）2+（2019﹣2020）2+（2020﹣2018）2]
＝×（1+1+4）
＝3
【点评】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．
22．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，点E在AD上，ED＝DC，AD＝DB，点F，H分别在线段BE，AC上，连接F，H．
（1）求证：△ADC≌△BDE；
（2）若BF＝AH，求证：△FDH是等腰直角三角形．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有
【分析】（1）由SAS证明△ADC≌△BDE即可；
（2）由全等三角形的性质得出∠FBD＝∠HAD．证明△FBD≌△HAD（SAS）．得出∠FDB＝∠HDA，FD＝HD．证出∠FDH＝90°，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠BDE＝∠ADC＝90°．
在△BDE与△ADC中，，
∴△BDE≌△ADC（SAS）．
（2）证明：由（1）得△BDE≌△ADC，
∴∠FBD＝∠HAD．
在△FBD与△HAD中，，
∴△FBD≌△HAD（SAS）．
∴∠FDB＝∠HDA，FD＝HD．
∴∠FDB+∠FDE＝∠HDA+∠FDE＝90°，
∴∠FDH＝90°，
∴△FDH是等腰直角三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
五、解答下列各题（本题共有2个小题，第23题7分，第24题8分，共计15分）
23．（7分）如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．
（1）求C点的坐标；
（2）如图2，OA＝2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为直角顶点，PA为腰向右作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值．

【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有
【分析】①如图1，过C作CM⊥x轴于M点，则可以求出△MAC≌△OBA，可得CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，故点C的坐标为（﹣6，﹣2）．
②如图2，过D作DQ⊥OP于Q点，则DE＝OQ
利用三角形全等的判定定理可得△AOP≌△PQD（AAS）
进一步可得PQ＝OA＝2，即OP﹣DE＝2．
【解答】解：（1）如图1，过C作CM⊥x轴于M点，
∵∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，
则∠MAC＝∠OBA，
在△MAC和△OBA中

∴△MAC≌△OBA（AAS），
∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，
∴OM＝OA+AM＝2+4＝6，
∴点C的坐标为（﹣6，﹣2）．

（2）如图2，过D作DQ⊥OP于Q点，则DE＝OQ
∴OP﹣DE＝OP﹣OQ＝PQ，
∵∠APO+∠QPD＝90°，
∠APO+∠OAP＝90°，
∴∠QPD＝∠OAP，
在△AOP和△PQD中，
，
∴△AOP≌△PQD（AAS）．
∴PQ＝OA＝2．
即OP﹣DE＝2．

【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，关键还要巧妙作出辅助线，再结合坐标轴才能解出，本题难度较大．
24．（8分）对于一个关于x的代数式A，若存在一个系数为正数关于x的单项式F，使的结果是所有系数均为整数的整式，则称单项式F为代数式A的“整系单项式”，例如：
当A＝，F＝2x3时，由于＝1，故2x3是的整系单项式；
当A＝，F＝6x5时，由于＝3x2，故6x5是的整系单项式；
当A＝3﹣，F＝x2时，由于＝2x﹣1，故x2是3﹣的整系单项式；
当A＝3﹣，F＝8x4时，由于＝12x3﹣6x2，故8x4是3﹣的整系单项式；
显然，当代数式A存在整系单项式F时，F有无数个，现把次数最低，系数最小的整系单项式F记为F（A），例如：F（）＝2x3，F（3﹣）＝x2．
阅读以上材料并解决下列问题：
（1）判断：当A＝时，F＝2x3　是　A的整系单项式（填“是”或“不是”）；
（2）当A＝﹣2时，F（A）＝　x2　；
（3）解方程：﹣1＝．
【考点】整式；单项式；解分式方程．菁优网版权所有
【分析】（1）由＝＝x，即可得到F是A的整系单项式；
（2）由已知可得＝﹣，再根据F（A）的定义，则F＝x2；
（3）分别求出F（x+1）＝2x，F（1﹣）＝2x2，则所求方程化为﹣1＝，解分式方程即可．
【解答】解：（1）∵A＝时，F＝2x3，
∴＝＝x，
∴F是A的整系单项式，
故答案为：是；

（2）∵A＝﹣2，
∴＝﹣，
∵F是A的整系单项式，且F是次数最低，系数最小的整系单项式，
∴F＝x2，
故答案为x2；

（3）F（x+1）＝2x，F（1﹣）＝2x2，
∵﹣1＝，
∴﹣1＝，
方程同时乘以2（x﹣1）（x+1），得2x（x+1）﹣2（x﹣1）（x+1）＝4，
解得x＝1，
经检验，x＝1是方程的增根，
∴原方程无解．
【点评】本题考查新定义，分式方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，注意检验根的情况是解题的关键．
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日期：2021/12/15 16:46:35；用户：阿呆；邮箱：17761371437；学号：41418609