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2021届江西省九江市高考数学二模试卷（理科）（含答案）
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这是一份2021届江西省九江市高考数学二模试卷（理科）（含答案），共20页。试卷主要包含了选择题.，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年江西省九江市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题（每小题5分）.
1．已知集合M＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，N＝{x|lnx＞0}，则M∩N＝（ ）
A．{x|0＜x＜1} B．{x|1＜x＜6} C．{x|1＜x＜3} D．{x|2＜x＜3}
2．已知复数z＝，则|z|＝（ ）
A．0 B． C．2 D．﹣2
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3＝7，S10＝20，则a8＝（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．5
4．若实数x，y满足，则z＝x﹣2y的最小值为（ ）
A．﹣6 B．﹣1 C．2 D．6
5．将函数f（x）＝cosx图象上所有点的横坐标都缩短到原来的，再向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）是（ ）
A．周期为4π的奇函数 B．周期为4π的偶函数
C．周期为π的奇函数 D．周期为π的偶函数
6．恩格尔系数（Engel'sCoefficien）是食品支出总额占个人消费支出总额的比重．居民可支配收入是居民可用于最终消费支出和储蓄的总和，即居民可用于自由支配的收入．如图为我国2013年至2019年全国恩格尔系数和居民人均可支配收入的折线图．
给出三个结论：
①恩格尔系数与居民人均可支配收入之间存在负相关关系；
②一个国家的恩格尔系数越小，说明这个国家越富裕；
③一个家庭收入越少，则家庭收入中用来购买食品的支出所占的比重就越小．
其中正确的是（ ）
A．① B．② C．①② D．②③
7．如图所示，四边形ABCD是边长为2的菱形，E是边BC上靠近C的三等分点，F为CD的中点，则＝（ ）
A．2 B． C． D．﹣2
8．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0），斜率为1的直线l过抛物线E的焦点，若抛物线E上有且只有三点到直线l的距离为，则p＝（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
9．古希腊毕达哥拉斯学派认为数是万物的本源，因此极为重视数的理论研究，他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并将它们排列成各种形状进行研究．形数就是指平面上各种规则点阵所对应的点数，是毕哥拉斯学派最早研究的重要内容之一．如图是三角形数和四边形数的前四个数，若三角形数组成数列{an}，四边形数组成数列{bn}，记cn＝，则数列{cn}的前10项和为（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F，G，H，I，J分别是棱A1B1，A1D1，DD1，CD，BC，BB1的中点，现在截面EFGHIJ内随机取一点M，则此点满足|AM|+|MC1|≤4的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．若不等式xm（ex+x）≤emx+mxm（x﹣lnx）恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．[，+∞） B．[1，+∞） C．[，+∞） D．[e﹣1，+∞）
12．已知双曲线＝1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且倾斜角为的直线1与双曲线的左、右支分别交于点A，B，且|AF2|＝|BF2|，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．2
二、填空题（每小题5分）.
13．已知函数f（x）＝alnx﹣x2图象在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，则实数a＝ ．
14．（2x﹣）6展开式中常数项为 （用数字作答）．
15．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，具有重大意义的是卷下第26题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”是中国最早一元线性同余方程组问题，如图为由该算法演变而来的一个程序框图，则程序运行后输出的结果是 ．
16．如图所示，已知直四棱柱ABCD﹣A1BC1D1的底面是有一个角为的菱形，且该直四棱柱有内切球（球与四棱柱的每个面都相切），设其内切球的表面积为S1，对角面BB1D1D和AA1C1C的面积之和为S2，则的值为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA＝2sin（C﹣）cosB．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若△ABC的周长为3，且a，b，c成等比数列，求b．
18．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为矩形，CD＝2，PD＝AD＝，E为DC的中点．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面PBD；
（Ⅱ）求二面角C﹣PB﹣E的余弦值．
19．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上位于x轴上方一点，线段MF1与圆x2+y2＝1相切于该线段的中点，且△MF1F2的面积为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F2的直线l与椭圆C交于A，B两点，且∠AMB＝90°，求直线l的方程．
20．已知函数f（x）＝ex+ax（a∈R）．
（Ⅰ）讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），xex+ax2+（x﹣ln|a|）2≥0恒成立，求a的取值范围．
21．2020年12月16日至18日，中央经济工作会议在北京召开，会议确定，2021年要抓好八个重点任务，其中第五点就是：保障粮食安全，关键在于落实藏粮于地、藏粮于技战略．要加强种质资源保护和利用，加强种子库建设．要尊重科学、严格监管，有序推进生物育种产业化应用．某“种子银行”对某种珍稀名贵植物种子采取“活态保存”方法进行保存，即对种子实行定期更换和种植．通过以往的相关数据表明，该植物种子的出芽率为p（0＜p＜1），每颗种子是否发芽相互独立．现任取该植物种子2n﹣1颗进行种植，若种子的出芽数X超过半数，则可认为种植成功（n≥2）．
（Ⅰ）当n＝3，p＝时，求种植成功的概率及X的数学期望；
（Ⅱ）现拟加种两颗该植物种子，试分析能否提高种植成功率？
请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
22．在极坐标系Ox中，射线l的极坐标方程为θ＝（ρ≥0），曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ＝r2﹣4（r＞0），且射线l与曲线C有异于点O的两个交点P，Q．
（Ⅰ）求r的取值范围；
（Ⅱ）求+的取值范围．
[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）
23．已知函数f（x）＝|x+2|﹣|ax﹣2|（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝2时，解不等式f（x）≥1；
（Ⅱ）当x∈[﹣2，2]时，求证：f（x）+f（﹣x）≤0．
参考答案
一、选择题（每小题5分）.
1．已知集合M＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，N＝{x|lnx＞0}，则M∩N＝（ ）
A．{x|0＜x＜1} B．{x|1＜x＜6} C．{x|1＜x＜3} D．{x|2＜x＜3}
解：∵集合M＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}＝{x|﹣1＜x＜6}，
N＝{x|lnx＞0}＝{x|x＞1}，
∴M∩N＝{x|1＜x＜6}．
故选：B．
2．已知复数z＝，则|z|＝（ ）
A．0 B． C．2 D．﹣2
解：∵＝
|z|＝
故选：B．
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3＝7，S10＝20，则a8＝（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．5
解：设等差数列{an}的公差为d，
由题意得，
解得a1＝11，d＝﹣2，
故a8＝11+7×（﹣2）＝﹣3．
故选：B．
4．若实数x，y满足，则z＝x﹣2y的最小值为（ ）
A．﹣6 B．﹣1 C．2 D．6
解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z＝x﹣2y得y＝x﹣z，
平移直线y＝x﹣z，由图象知当直线经过点C时，直线截距最大，此时z最小，
由得，即C（﹣2，2），
此时z＝﹣2﹣2×2＝﹣6，
故选：A．
5．将函数f（x）＝cosx图象上所有点的横坐标都缩短到原来的，再向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）是（ ）
A．周期为4π的奇函数 B．周期为4π的偶函数
C．周期为π的奇函数 D．周期为π的偶函数
解：将函数f（x）＝cosx图象上所有点的横坐标都缩短到原来的，可得y＝cos2x的图象，
再向左平移个单位，得到函数g（x）＝cos（2x+）＝﹣sin2x的图象，
故g（x）是周期为π的奇函数，
故选：C．
6．恩格尔系数（Engel'sCoefficien）是食品支出总额占个人消费支出总额的比重．居民可支配收入是居民可用于最终消费支出和储蓄的总和，即居民可用于自由支配的收入．如图为我国2013年至2019年全国恩格尔系数和居民人均可支配收入的折线图．
给出三个结论：
①恩格尔系数与居民人均可支配收入之间存在负相关关系；
②一个国家的恩格尔系数越小，说明这个国家越富裕；
③一个家庭收入越少，则家庭收入中用来购买食品的支出所占的比重就越小．
其中正确的是（ ）
A．① B．② C．①② D．②③
解：由折线图可知，恩格尔系数在逐年下降，
居民人均可支配收入在逐年增加，
故两者之间存在负相关关系，恩格尔系数越小，
居民人均可支配收入越多，经济越富裕，故选项①②正确．
故选：C．
7．如图所示，四边形ABCD是边长为2的菱形，E是边BC上靠近C的三等分点，F为CD的中点，则＝（ ）
A．2 B． C． D．﹣2
解：∵＝+，＝＝，
∴＝（）•（）＝＝＝﹣．
故选：C．
8．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0），斜率为1的直线l过抛物线E的焦点，若抛物线E上有且只有三点到直线l的距离为，则p＝（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
解：设l：y＝x﹣，设l1：y＝x+m与抛物线E相切，
由，可得x2+2（m﹣p）x+m2＝0，
△＝4（m﹣p）2﹣4m2＝0，解得p＝2m，且m＞0，
平行线l1与l的距离为：d＝＝＝，
所以p＝2，
故选：B．
9．古希腊毕达哥拉斯学派认为数是万物的本源，因此极为重视数的理论研究，他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并将它们排列成各种形状进行研究．形数就是指平面上各种规则点阵所对应的点数，是毕哥拉斯学派最早研究的重要内容之一．如图是三角形数和四边形数的前四个数，若三角形数组成数列{an}，四边形数组成数列{bn}，记cn＝，则数列{cn}的前10项和为（ ）
A． B． C． D．
解：由题意可得，，，
所以，
设数列{cn}的前n项和为Sn，
所以，
所以．
故选：D．
10．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F，G，H，I，J分别是棱A1B1，A1D1，DD1，CD，BC，BB1的中点，现在截面EFGHIJ内随机取一点M，则此点满足|AM|+|MC1|≤4的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：连接AC1交平面EFGHIJ于O，则O为AC1和GJ的交点，
由正方体的性质可得AC1⊥平面EFGHIJ，∴AC1⊥OM，
设|OM|＝x，∵AO＝OC1＝，
∴＝，即x≤1，
∴满足|AM|+|MC1|≤4的点M的轨迹所围成的面积为π，
又截面EFGHIJ的面积为，
故所求概率P＝．
故选：D．
11．若不等式xm（ex+x）≤emx+mxm（x﹣lnx）恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．[，+∞） B．[1，+∞） C．[，+∞） D．[e﹣1，+∞）
解：不等式xm（ex+x）≤emx+mxm（x﹣lnx）恒成立⇔ex+x≤+m（x﹣lnx）＝em（x﹣lnx）+m（x﹣lnx），
令f（x）＝ex+x，则原不等式等价于f（x）≤f（m（x﹣lnx））恒成立．
∵f（x）＝ex+x在（0，+∞）上单调递增，
∴x≤m（x﹣lnx），
令g（x）＝x﹣lnx，则g′（x）＝1﹣＝，
可得：x＝1时函数g（x）取得极小值，即最小值．
∴g（x）≥g（1）＝1＞0．
∴x≤m（x﹣lnx）⇔m≥，
令h（x）＝，x∈（0，+∞）．
∴h′（x）＝．
h′（e）＝0，x∈（0，e）时，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，e）上单调递增；
x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，∴h（x）在（e，+∞）上单调递减．
∴h（x）max＝h（e）＝．
∴实数m的取值范围是[，+∞）．
故选：C．
12．已知双曲线＝1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且倾斜角为的直线1与双曲线的左、右支分别交于点A，B，且|AF2|＝|BF2|，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．2
解：过F2作F2N⊥AB于点N，设|AF2|＝|BF2|＝m，
因为直线l的倾斜角为，
所以在直角三角形F1F2N中，|NF2|＝c，|NF1|＝c，
由双曲线的定义可得|BF1|﹣|BF2|＝2a，所以|BF1|＝2a+m，
同理可得|AF1|＝m﹣2a，所以|AB|＝|BF1|﹣|AF1|＝4a，
即|AN|＝2a，
所以|AF1|＝c﹣2a，因此m＝c，
在直角三角形ANF2中，|AF2|2＝|NF2|2+|AN|2，
所以（c）2＝4a2+c2，所以c＝a，
则e＝＝．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知函数f（x）＝alnx﹣x2图象在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，则实数a＝ 2 ．
解：由f（x）＝alnx﹣x2，得f′（x）＝，
∴f′（1）＝a﹣2，
由题意，a﹣2＝0，得a＝2．
故答案为：2．
14．（2x﹣）6展开式中常数项为 60 （用数字作答）．
解：（2x﹣）6展开式的通项为＝
令得r＝4
故展开式中的常数项．
故答案为60
15．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，具有重大意义的是卷下第26题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”是中国最早一元线性同余方程组问题，如图为由该算法演变而来的一个程序框图，则程序运行后输出的结果是 6 ．
解：模拟程序的运行，可得
n＝3，i＝1
n＝7，i＝2
不满足判断框条件，n＝11，i＝3
不满足判断框条件，n＝15，i＝4
不满足判断框条件，n＝19，i＝5
不满足判断框条件，n＝23，i＝6
满足判断框条件，故输出的i的值为6．
故答案为：6．
16．如图所示，已知直四棱柱ABCD﹣A1BC1D1的底面是有一个角为的菱形，且该直四棱柱有内切球（球与四棱柱的每个面都相切），设其内切球的表面积为S1，对角面BB1D1D和AA1C1C的面积之和为S2，则的值为 ．
解：设∠ABC＝α，AB＝a，内切球的半径为R，则2R＝asinα，∴R＝，
四棱柱的高为：asinα，∴S1＝4πR2，由题意可得AC+BD＝2a（sin+cos），
∴S2＝2a（sin+cos）•asinα＝a2（sin+cos）sinα，
∴＝＝＝＝＝．
故答案为：．
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA＝2sin（C﹣）cosB．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若△ABC的周长为3，且a，b，c成等比数列，求b．
解：（Ⅰ）因为cosA＝2sin（C﹣）cosB，
所以cosA＝2（sinCcos﹣cosCsinB）cosB，可得cosA＝sinCcosB﹣cosCcosB，
因为cosA＝﹣cos（B+C）＝sinBsinC﹣cosBcosC，
所以sinBsinC﹣cosBcosC＝sinCcosB﹣cosBcosC，可得sinBsinC＝sinCcosB，
因为sinC≠0，
所以sinB＝cosB，可得tanB＝，
因为B∈（0，π），
所以B＝．
（Ⅱ）由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2accos，即b2＝a2+c2﹣ac，
因为a，b，c成等比数列，
所以b2＝ac，
所以ac＝a2+c2﹣ac，可得a＝c，
所以△ABC是等边三角形，
又a+b+c＝3，
所以b＝1．
18．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为矩形，CD＝2，PD＝AD＝，E为DC的中点．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面PBD；
（Ⅱ）求二面角C﹣PB﹣E的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：因为PD⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，
所以PD⊥AE，
因为四边形ABCD为矩形，CD＝2，AD＝，E为DC的中点．
所以tan∠EAD＝＝＝，tan∠CDB＝＝，
于是∠DAE＝∠CDB，因为∠DAE+∠DEA＝90°，所以∠EDF+∠DEF＝90°，所以AE⊥BD，
因为PD∩BD＝D，PD、BD⊂平面PBD，所以AE⊥平面PBD；
（Ⅱ）解：建立如图所示的空间直角坐标系，
＝（，2，﹣），＝（0，1，﹣），＝（0，2，﹣），
设平面PBE和平面PBC的法向量分别为＝（x，y，z），＝（u，v，w），
，令y＝，＝（﹣1，，1），
，令v＝1，＝（0，1，），
因为二面角C﹣PB﹣E为锐角，
所以二面角C﹣PB﹣E的余弦值为＝＝．
19．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上位于x轴上方一点，线段MF1与圆x2+y2＝1相切于该线段的中点，且△MF1F2的面积为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F2的直线l与椭圆C交于A，B两点，且∠AMB＝90°，求直线l的方程．
解：（Ⅰ）设线段MF1的中点为N，则|ON|＝1，
又ON是△MF1F2的中位线，
所以|MF2|＝2，MF1⊥MF2，
由椭圆的定义知|MF1|＝2a﹣2，
因为△MF1F2面积为S＝（2a﹣2）×2＝2a﹣2＝2，解得a＝2，
因为|F1F2|＝＝＝2，解得c＝2，
所以b＝＝，
所以椭圆C的方程为+＝1．
（Ⅱ）当直线l的斜率为0时，此时∠AMB≠90°，不合题意，
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x＝my+，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，得（2+m2）y2+2my﹣2＝0，
所以y1+y2＝﹣，y1y2＝，
由（Ⅰ）知M（0，），
因为∠AMB＝90°，
所以MA⊥MB，
所以x1x2+（y1﹣）（y2﹣）＝0，
所以（1+m2）y1y2+（m﹣1）（y1+y2）+4＝0，
所以﹣+4＝0，
所以m2﹣2m﹣3＝0，
解得m＝﹣1或m＝3，
当m＝﹣1时，直线l过点M，不符合题意，
所以直线l的方程为x﹣3y﹣＝0．
20．已知函数f（x）＝ex+ax（a∈R）．
（Ⅰ）讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），xex+ax2+（x﹣ln|a|）2≥0恒成立，求a的取值范围．
解：（I）f′（x）＝ex+a，当a≥﹣1时，∵x＞0，∴ex＞1，∴f′（x）＝ex+a＞0，∴f（x）在（0，+∞）上的单调递增．
当a＜﹣1时，ln（﹣a）＞0，∴x＞ln（﹣a）时，f′（x）＞0；x＜ln（﹣a）时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，ln（﹣a））上的单调递减，在（ln（﹣a），+∞）上的单调递增．
综上可得：当a≥﹣1时，f（x）在（0，+∞）上的单调递增．
当a＜﹣1时，f（x）在（0，ln（﹣a））上的单调递减，在（ln（﹣a），+∞）上的单调递增．
（II）当a≥﹣1且a≠0时，由（I）可知：f（x）在（0，+∞）上的单调递增，∴f（x）＞f（0）＝1．
∴x＞0时，xex+ax2+（x﹣ln|a|）2≥0恒成立⇔ex+ax+x+﹣2ln|a|≥0恒成立．
a＜﹣1时，令u（x）＝ex+ax+x+﹣2ln|a|，
∵y＝x+﹣2ln|a|，在（0，ln（﹣a））上的单调递减，在（ln（﹣a），+∞）上的单调递增．
由（I）可知：f（x）＝ex+ax，在（0，ln（﹣a））上的单调递减，在（ln（﹣a），+∞）上的单调递增．
∴u（x）在（0，ln（﹣a））上的单调递减，在（ln（﹣a），+∞）上的单调递增．
∴u（x）min＝u（ln（﹣a））＝eln（﹣a）+aln（﹣a）+ln（﹣a）+﹣2ln（﹣a）＝eln（﹣a）+aln（﹣a）＝﹣a+aln（﹣a）＝a（ln（﹣a）﹣1），
∴a（ln（﹣a）﹣1）≥0，解得：﹣e≤a＜﹣1．
综上可得：a的取值范围是[﹣e，0）∪（0，+∞）．
21．2020年12月16日至18日，中央经济工作会议在北京召开，会议确定，2021年要抓好八个重点任务，其中第五点就是：保障粮食安全，关键在于落实藏粮于地、藏粮于技战略．要加强种质资源保护和利用，加强种子库建设．要尊重科学、严格监管，有序推进生物育种产业化应用．某“种子银行”对某种珍稀名贵植物种子采取“活态保存”方法进行保存，即对种子实行定期更换和种植．通过以往的相关数据表明，该植物种子的出芽率为p（0＜p＜1），每颗种子是否发芽相互独立．现任取该植物种子2n﹣1颗进行种植，若种子的出芽数X超过半数，则可认为种植成功（n≥2）．
（Ⅰ）当n＝3，p＝时，求种植成功的概率及X的数学期望；
（Ⅱ）现拟加种两颗该植物种子，试分析能否提高种植成功率？
解：（Ⅰ）由题意可知，X服从二项分布B（5，），故P（X＝k）＝（k＝3，4，5），
故种植成功的概率为＝，
E（X）＝＝；
（Ⅱ）设种植2n﹣1颗种子时，种植成功的概率为P1，拟加种两颗该植物种子时，种植成功的概率为P2，
当种植2n+1颗种子时，考虑前2n﹣1颗种子出芽数，
为了种植成功，前2n﹣1颗种子中至少要有n﹣1颗种子出芽，
①前2n﹣1颗种子中恰有n﹣1颗出芽，它的概率为，
此时后两颗种子必须都要出芽，
所以这种情况下种植成功的概率为•p2；
②前2n﹣1颗种子恰有n颗出芽，它的概率为，
此时后两颗种子至少有一颗出芽即可，
所以这种情况下种植成功的概率为•[1﹣（1﹣p）2]；
③前2n﹣1颗种子至少有n+1颗出芽，它的概率为，此时种植一定成功．
所以P2＝•p2+•[1﹣（1﹣p）2]+，
故P2﹣P1＝•p2+•[1﹣（1﹣p）2]，
＝，
因为，
所以＝，
所以当时，P2＜P1，种植成功率会降低；
当时，P2＝P1，种植成功率不变；
当时，P2＞P1，种植成功率会提高．
请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
22．在极坐标系Ox中，射线l的极坐标方程为θ＝（ρ≥0），曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ＝r2﹣4（r＞0），且射线l与曲线C有异于点O的两个交点P，Q．
（Ⅰ）求r的取值范围；
（Ⅱ）求+的取值范围．
解：（Ⅰ）射线l的极坐标方程为θ＝（ρ≥0），转换为直角坐标方程为（x≥0）．
曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ＝r2﹣4（r＞0），根据，转换为直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝r2．
且射线l与曲线C有异于点O的两个交点P，Q．
所以圆心（0，2）到直线y＝的距离d＝，
所以1＜r＜2．
（Ⅱ）把为θ＝，代入ρ2﹣4ρsinθ＝r2﹣4，
得到，
所以，，
由于r∈（1，2），
所以4﹣r2∈（0，3）
所以+＝．
[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）
23．已知函数f（x）＝|x+2|﹣|ax﹣2|（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝2时，解不等式f（x）≥1；
（Ⅱ）当x∈[﹣2，2]时，求证：f（x）+f（﹣x）≤0．
解：（Ⅰ）当a＝2时，f（x）≥1即|x+2|﹣|2x﹣2|≥1等价为或或，
解得x∈∅或≤x＜1或1≤x≤3，
所以原不等式的解集为[，3]；
（Ⅱ）证明：当x∈[﹣2，2]时，f（x）＝|x+2|﹣|ax﹣2|＝x+2﹣|ax﹣2|，
f（﹣x）＝2﹣x﹣|ax+2|，f（x）+f（﹣x）＝4﹣（|ax﹣2|+|ax+2|），
因为|ax﹣2|+|ax+2|≥|ax﹣2﹣（ax+2）|＝4，当（ax﹣2）（ax+2）≤0时，取得等号，
所以4﹣（|ax﹣2|+|ax+2|）≤0，
即f（x）+f（﹣x）≤0．
2021年江西省九江市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题（每小题5分）.
1．已知集合M＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，N＝{x|lnx＞0}，则M∩N＝（ ）
A．{x|0＜x＜1} B．{x|1＜x＜6} C．{x|1＜x＜3} D．{x|2＜x＜3}
2．已知复数z＝，则|z|＝（ ）
A．0 B． C．2 D．﹣2
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3＝7，S10＝20，则a8＝（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．5
4．若实数x，y满足，则z＝x﹣2y的最小值为（ ）
A．﹣6 B．﹣1 C．2 D．6
5．将函数f（x）＝cosx图象上所有点的横坐标都缩短到原来的，再向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）是（ ）
A．周期为4π的奇函数 B．周期为4π的偶函数
C．周期为π的奇函数 D．周期为π的偶函数
6．恩格尔系数（Engel'sCoefficien）是食品支出总额占个人消费支出总额的比重．居民可支配收入是居民可用于最终消费支出和储蓄的总和，即居民可用于自由支配的收入．如图为我国2013年至2019年全国恩格尔系数和居民人均可支配收入的折线图．
给出三个结论：
①恩格尔系数与居民人均可支配收入之间存在负相关关系；
②一个国家的恩格尔系数越小，说明这个国家越富裕；
③一个家庭收入越少，则家庭收入中用来购买食品的支出所占的比重就越小．
其中正确的是（ ）
A．① B．② C．①② D．②③
7．如图所示，四边形ABCD是边长为2的菱形，E是边BC上靠近C的三等分点，F为CD的中点，则＝（ ）
A．2 B． C． D．﹣2
8．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0），斜率为1的直线l过抛物线E的焦点，若抛物线E上有且只有三点到直线l的距离为，则p＝（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
9．古希腊毕达哥拉斯学派认为数是万物的本源，因此极为重视数的理论研究，他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并将它们排列成各种形状进行研究．形数就是指平面上各种规则点阵所对应的点数，是毕哥拉斯学派最早研究的重要内容之一．如图是三角形数和四边形数的前四个数，若三角形数组成数列{an}，四边形数组成数列{bn}，记cn＝，则数列{cn}的前10项和为（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F，G，H，I，J分别是棱A1B1，A1D1，DD1，CD，BC，BB1的中点，现在截面EFGHIJ内随机取一点M，则此点满足|AM|+|MC1|≤4的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．若不等式xm（ex+x）≤emx+mxm（x﹣lnx）恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．[，+∞） B．[1，+∞） C．[，+∞） D．[e﹣1，+∞）
12．已知双曲线＝1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且倾斜角为的直线1与双曲线的左、右支分别交于点A，B，且|AF2|＝|BF2|，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．2
二、填空题（每小题5分）.
13．已知函数f（x）＝alnx﹣x2图象在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，则实数a＝ ．
14．（2x﹣）6展开式中常数项为 （用数字作答）．
15．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，具有重大意义的是卷下第26题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”是中国最早一元线性同余方程组问题，如图为由该算法演变而来的一个程序框图，则程序运行后输出的结果是 ．
16．如图所示，已知直四棱柱ABCD﹣A1BC1D1的底面是有一个角为的菱形，且该直四棱柱有内切球（球与四棱柱的每个面都相切），设其内切球的表面积为S1，对角面BB1D1D和AA1C1C的面积之和为S2，则的值为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA＝2sin（C﹣）cosB．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若△ABC的周长为3，且a，b，c成等比数列，求b．
18．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为矩形，CD＝2，PD＝AD＝，E为DC的中点．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面PBD；
（Ⅱ）求二面角C﹣PB﹣E的余弦值．
19．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上位于x轴上方一点，线段MF1与圆x2+y2＝1相切于该线段的中点，且△MF1F2的面积为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F2的直线l与椭圆C交于A，B两点，且∠AMB＝90°，求直线l的方程．
20．已知函数f（x）＝ex+ax（a∈R）．
（Ⅰ）讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），xex+ax2+（x﹣ln|a|）2≥0恒成立，求a的取值范围．
21．2020年12月16日至18日，中央经济工作会议在北京召开，会议确定，2021年要抓好八个重点任务，其中第五点就是：保障粮食安全，关键在于落实藏粮于地、藏粮于技战略．要加强种质资源保护和利用，加强种子库建设．要尊重科学、严格监管，有序推进生物育种产业化应用．某“种子银行”对某种珍稀名贵植物种子采取“活态保存”方法进行保存，即对种子实行定期更换和种植．通过以往的相关数据表明，该植物种子的出芽率为p（0＜p＜1），每颗种子是否发芽相互独立．现任取该植物种子2n﹣1颗进行种植，若种子的出芽数X超过半数，则可认为种植成功（n≥2）．
（Ⅰ）当n＝3，p＝时，求种植成功的概率及X的数学期望；
（Ⅱ）现拟加种两颗该植物种子，试分析能否提高种植成功率？
请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
22．在极坐标系Ox中，射线l的极坐标方程为θ＝（ρ≥0），曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ＝r2﹣4（r＞0），且射线l与曲线C有异于点O的两个交点P，Q．
（Ⅰ）求r的取值范围；
（Ⅱ）求+的取值范围．
[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）
23．已知函数f（x）＝|x+2|﹣|ax﹣2|（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝2时，解不等式f（x）≥1；
（Ⅱ）当x∈[﹣2，2]时，求证：f（x）+f（﹣x）≤0．
参考答案
一、选择题（每小题5分）.
1．已知集合M＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，N＝{x|lnx＞0}，则M∩N＝（ ）
A．{x|0＜x＜1} B．{x|1＜x＜6} C．{x|1＜x＜3} D．{x|2＜x＜3}
解：∵集合M＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}＝{x|﹣1＜x＜6}，
N＝{x|lnx＞0}＝{x|x＞1}，
∴M∩N＝{x|1＜x＜6}．
故选：B．
2．已知复数z＝，则|z|＝（ ）
A．0 B． C．2 D．﹣2
解：∵＝
|z|＝
故选：B．
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3＝7，S10＝20，则a8＝（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．5
解：设等差数列{an}的公差为d，
由题意得，
解得a1＝11，d＝﹣2，
故a8＝11+7×（﹣2）＝﹣3．
故选：B．
4．若实数x，y满足，则z＝x﹣2y的最小值为（ ）
A．﹣6 B．﹣1 C．2 D．6
解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z＝x﹣2y得y＝x﹣z，
平移直线y＝x﹣z，由图象知当直线经过点C时，直线截距最大，此时z最小，
由得，即C（﹣2，2），
此时z＝﹣2﹣2×2＝﹣6，
故选：A．
5．将函数f（x）＝cosx图象上所有点的横坐标都缩短到原来的，再向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）是（ ）
A．周期为4π的奇函数 B．周期为4π的偶函数
C．周期为π的奇函数 D．周期为π的偶函数
解：将函数f（x）＝cosx图象上所有点的横坐标都缩短到原来的，可得y＝cos2x的图象，
再向左平移个单位，得到函数g（x）＝cos（2x+）＝﹣sin2x的图象，
故g（x）是周期为π的奇函数，
故选：C．
6．恩格尔系数（Engel'sCoefficien）是食品支出总额占个人消费支出总额的比重．居民可支配收入是居民可用于最终消费支出和储蓄的总和，即居民可用于自由支配的收入．如图为我国2013年至2019年全国恩格尔系数和居民人均可支配收入的折线图．
给出三个结论：
①恩格尔系数与居民人均可支配收入之间存在负相关关系；
②一个国家的恩格尔系数越小，说明这个国家越富裕；
③一个家庭收入越少，则家庭收入中用来购买食品的支出所占的比重就越小．
其中正确的是（ ）
A．① B．② C．①② D．②③
解：由折线图可知，恩格尔系数在逐年下降，
居民人均可支配收入在逐年增加，
故两者之间存在负相关关系，恩格尔系数越小，
居民人均可支配收入越多，经济越富裕，故选项①②正确．
故选：C．
7．如图所示，四边形ABCD是边长为2的菱形，E是边BC上靠近C的三等分点，F为CD的中点，则＝（ ）
A．2 B． C． D．﹣2
解：∵＝+，＝＝，
∴＝（）•（）＝＝＝﹣．
故选：C．
8．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0），斜率为1的直线l过抛物线E的焦点，若抛物线E上有且只有三点到直线l的距离为，则p＝（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
解：设l：y＝x﹣，设l1：y＝x+m与抛物线E相切，
由，可得x2+2（m﹣p）x+m2＝0，
△＝4（m﹣p）2﹣4m2＝0，解得p＝2m，且m＞0，
平行线l1与l的距离为：d＝＝＝，
所以p＝2，
故选：B．
9．古希腊毕达哥拉斯学派认为数是万物的本源，因此极为重视数的理论研究，他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并将它们排列成各种形状进行研究．形数就是指平面上各种规则点阵所对应的点数，是毕哥拉斯学派最早研究的重要内容之一．如图是三角形数和四边形数的前四个数，若三角形数组成数列{an}，四边形数组成数列{bn}，记cn＝，则数列{cn}的前10项和为（ ）
A． B． C． D．
解：由题意可得，，，
所以，
设数列{cn}的前n项和为Sn，
所以，
所以．
故选：D．
10．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F，G，H，I，J分别是棱A1B1，A1D1，DD1，CD，BC，BB1的中点，现在截面EFGHIJ内随机取一点M，则此点满足|AM|+|MC1|≤4的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：连接AC1交平面EFGHIJ于O，则O为AC1和GJ的交点，
由正方体的性质可得AC1⊥平面EFGHIJ，∴AC1⊥OM，
设|OM|＝x，∵AO＝OC1＝，
∴＝，即x≤1，
∴满足|AM|+|MC1|≤4的点M的轨迹所围成的面积为π，
又截面EFGHIJ的面积为，
故所求概率P＝．
故选：D．
11．若不等式xm（ex+x）≤emx+mxm（x﹣lnx）恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．[，+∞） B．[1，+∞） C．[，+∞） D．[e﹣1，+∞）
解：不等式xm（ex+x）≤emx+mxm（x﹣lnx）恒成立⇔ex+x≤+m（x﹣lnx）＝em（x﹣lnx）+m（x﹣lnx），
令f（x）＝ex+x，则原不等式等价于f（x）≤f（m（x﹣lnx））恒成立．
∵f（x）＝ex+x在（0，+∞）上单调递增，
∴x≤m（x﹣lnx），
令g（x）＝x﹣lnx，则g′（x）＝1﹣＝，
可得：x＝1时函数g（x）取得极小值，即最小值．
∴g（x）≥g（1）＝1＞0．
∴x≤m（x﹣lnx）⇔m≥，
令h（x）＝，x∈（0，+∞）．
∴h′（x）＝．
h′（e）＝0，x∈（0，e）时，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，e）上单调递增；
x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，∴h（x）在（e，+∞）上单调递减．
∴h（x）max＝h（e）＝．
∴实数m的取值范围是[，+∞）．
故选：C．
12．已知双曲线＝1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且倾斜角为的直线1与双曲线的左、右支分别交于点A，B，且|AF2|＝|BF2|，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．2
解：过F2作F2N⊥AB于点N，设|AF2|＝|BF2|＝m，
因为直线l的倾斜角为，
所以在直角三角形F1F2N中，|NF2|＝c，|NF1|＝c，
由双曲线的定义可得|BF1|﹣|BF2|＝2a，所以|BF1|＝2a+m，
同理可得|AF1|＝m﹣2a，所以|AB|＝|BF1|﹣|AF1|＝4a，
即|AN|＝2a，
所以|AF1|＝c﹣2a，因此m＝c，
在直角三角形ANF2中，|AF2|2＝|NF2|2+|AN|2，
所以（c）2＝4a2+c2，所以c＝a，
则e＝＝．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知函数f（x）＝alnx﹣x2图象在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，则实数a＝ 2 ．
解：由f（x）＝alnx﹣x2，得f′（x）＝，
∴f′（1）＝a﹣2，
由题意，a﹣2＝0，得a＝2．
故答案为：2．
14．（2x﹣）6展开式中常数项为 60 （用数字作答）．
解：（2x﹣）6展开式的通项为＝
令得r＝4
故展开式中的常数项．
故答案为60
15．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，具有重大意义的是卷下第26题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”是中国最早一元线性同余方程组问题，如图为由该算法演变而来的一个程序框图，则程序运行后输出的结果是 6 ．
解：模拟程序的运行，可得
n＝3，i＝1
n＝7，i＝2
不满足判断框条件，n＝11，i＝3
不满足判断框条件，n＝15，i＝4
不满足判断框条件，n＝19，i＝5
不满足判断框条件，n＝23，i＝6
满足判断框条件，故输出的i的值为6．
故答案为：6．
16．如图所示，已知直四棱柱ABCD﹣A1BC1D1的底面是有一个角为的菱形，且该直四棱柱有内切球（球与四棱柱的每个面都相切），设其内切球的表面积为S1，对角面BB1D1D和AA1C1C的面积之和为S2，则的值为 ．
解：设∠ABC＝α，AB＝a，内切球的半径为R，则2R＝asinα，∴R＝，
四棱柱的高为：asinα，∴S1＝4πR2，由题意可得AC+BD＝2a（sin+cos），
∴S2＝2a（sin+cos）•asinα＝a2（sin+cos）sinα，
∴＝＝＝＝＝．
故答案为：．
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA＝2sin（C﹣）cosB．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若△ABC的周长为3，且a，b，c成等比数列，求b．
解：（Ⅰ）因为cosA＝2sin（C﹣）cosB，
所以cosA＝2（sinCcos﹣cosCsinB）cosB，可得cosA＝sinCcosB﹣cosCcosB，
因为cosA＝﹣cos（B+C）＝sinBsinC﹣cosBcosC，
所以sinBsinC﹣cosBcosC＝sinCcosB﹣cosBcosC，可得sinBsinC＝sinCcosB，
因为sinC≠0，
所以sinB＝cosB，可得tanB＝，
因为B∈（0，π），
所以B＝．
（Ⅱ）由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2accos，即b2＝a2+c2﹣ac，
因为a，b，c成等比数列，
所以b2＝ac，
所以ac＝a2+c2﹣ac，可得a＝c，
所以△ABC是等边三角形，
又a+b+c＝3，
所以b＝1．
18．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为矩形，CD＝2，PD＝AD＝，E为DC的中点．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面PBD；
（Ⅱ）求二面角C﹣PB﹣E的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：因为PD⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，
所以PD⊥AE，
因为四边形ABCD为矩形，CD＝2，AD＝，E为DC的中点．
所以tan∠EAD＝＝＝，tan∠CDB＝＝，
于是∠DAE＝∠CDB，因为∠DAE+∠DEA＝90°，所以∠EDF+∠DEF＝90°，所以AE⊥BD，
因为PD∩BD＝D，PD、BD⊂平面PBD，所以AE⊥平面PBD；
（Ⅱ）解：建立如图所示的空间直角坐标系，
＝（，2，﹣），＝（0，1，﹣），＝（0，2，﹣），
设平面PBE和平面PBC的法向量分别为＝（x，y，z），＝（u，v，w），
，令y＝，＝（﹣1，，1），
，令v＝1，＝（0，1，），
因为二面角C﹣PB﹣E为锐角，
所以二面角C﹣PB﹣E的余弦值为＝＝．
19．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上位于x轴上方一点，线段MF1与圆x2+y2＝1相切于该线段的中点，且△MF1F2的面积为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F2的直线l与椭圆C交于A，B两点，且∠AMB＝90°，求直线l的方程．
解：（Ⅰ）设线段MF1的中点为N，则|ON|＝1，
又ON是△MF1F2的中位线，
所以|MF2|＝2，MF1⊥MF2，
由椭圆的定义知|MF1|＝2a﹣2，
因为△MF1F2面积为S＝（2a﹣2）×2＝2a﹣2＝2，解得a＝2，
因为|F1F2|＝＝＝2，解得c＝2，
所以b＝＝，
所以椭圆C的方程为+＝1．
（Ⅱ）当直线l的斜率为0时，此时∠AMB≠90°，不合题意，
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x＝my+，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，得（2+m2）y2+2my﹣2＝0，
所以y1+y2＝﹣，y1y2＝，
由（Ⅰ）知M（0，），
因为∠AMB＝90°，
所以MA⊥MB，
所以x1x2+（y1﹣）（y2﹣）＝0，
所以（1+m2）y1y2+（m﹣1）（y1+y2）+4＝0，
所以﹣+4＝0，
所以m2﹣2m﹣3＝0，
解得m＝﹣1或m＝3，
当m＝﹣1时，直线l过点M，不符合题意，
所以直线l的方程为x﹣3y﹣＝0．
20．已知函数f（x）＝ex+ax（a∈R）．
（Ⅰ）讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），xex+ax2+（x﹣ln|a|）2≥0恒成立，求a的取值范围．
解：（I）f′（x）＝ex+a，当a≥﹣1时，∵x＞0，∴ex＞1，∴f′（x）＝ex+a＞0，∴f（x）在（0，+∞）上的单调递增．
当a＜﹣1时，ln（﹣a）＞0，∴x＞ln（﹣a）时，f′（x）＞0；x＜ln（﹣a）时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，ln（﹣a））上的单调递减，在（ln（﹣a），+∞）上的单调递增．
综上可得：当a≥﹣1时，f（x）在（0，+∞）上的单调递增．
当a＜﹣1时，f（x）在（0，ln（﹣a））上的单调递减，在（ln（﹣a），+∞）上的单调递增．
（II）当a≥﹣1且a≠0时，由（I）可知：f（x）在（0，+∞）上的单调递增，∴f（x）＞f（0）＝1．
∴x＞0时，xex+ax2+（x﹣ln|a|）2≥0恒成立⇔ex+ax+x+﹣2ln|a|≥0恒成立．
a＜﹣1时，令u（x）＝ex+ax+x+﹣2ln|a|，
∵y＝x+﹣2ln|a|，在（0，ln（﹣a））上的单调递减，在（ln（﹣a），+∞）上的单调递增．
由（I）可知：f（x）＝ex+ax，在（0，ln（﹣a））上的单调递减，在（ln（﹣a），+∞）上的单调递增．
∴u（x）在（0，ln（﹣a））上的单调递减，在（ln（﹣a），+∞）上的单调递增．
∴u（x）min＝u（ln（﹣a））＝eln（﹣a）+aln（﹣a）+ln（﹣a）+﹣2ln（﹣a）＝eln（﹣a）+aln（﹣a）＝﹣a+aln（﹣a）＝a（ln（﹣a）﹣1），
∴a（ln（﹣a）﹣1）≥0，解得：﹣e≤a＜﹣1．
综上可得：a的取值范围是[﹣e，0）∪（0，+∞）．
21．2020年12月16日至18日，中央经济工作会议在北京召开，会议确定，2021年要抓好八个重点任务，其中第五点就是：保障粮食安全，关键在于落实藏粮于地、藏粮于技战略．要加强种质资源保护和利用，加强种子库建设．要尊重科学、严格监管，有序推进生物育种产业化应用．某“种子银行”对某种珍稀名贵植物种子采取“活态保存”方法进行保存，即对种子实行定期更换和种植．通过以往的相关数据表明，该植物种子的出芽率为p（0＜p＜1），每颗种子是否发芽相互独立．现任取该植物种子2n﹣1颗进行种植，若种子的出芽数X超过半数，则可认为种植成功（n≥2）．
（Ⅰ）当n＝3，p＝时，求种植成功的概率及X的数学期望；
（Ⅱ）现拟加种两颗该植物种子，试分析能否提高种植成功率？
解：（Ⅰ）由题意可知，X服从二项分布B（5，），故P（X＝k）＝（k＝3，4，5），
故种植成功的概率为＝，
E（X）＝＝；
（Ⅱ）设种植2n﹣1颗种子时，种植成功的概率为P1，拟加种两颗该植物种子时，种植成功的概率为P2，
当种植2n+1颗种子时，考虑前2n﹣1颗种子出芽数，
为了种植成功，前2n﹣1颗种子中至少要有n﹣1颗种子出芽，
①前2n﹣1颗种子中恰有n﹣1颗出芽，它的概率为，
此时后两颗种子必须都要出芽，
所以这种情况下种植成功的概率为•p2；
②前2n﹣1颗种子恰有n颗出芽，它的概率为，
此时后两颗种子至少有一颗出芽即可，
所以这种情况下种植成功的概率为•[1﹣（1﹣p）2]；
③前2n﹣1颗种子至少有n+1颗出芽，它的概率为，此时种植一定成功．
所以P2＝•p2+•[1﹣（1﹣p）2]+，
故P2﹣P1＝•p2+•[1﹣（1﹣p）2]，
＝，
因为，
所以＝，
所以当时，P2＜P1，种植成功率会降低；
当时，P2＝P1，种植成功率不变；
当时，P2＞P1，种植成功率会提高．
请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
22．在极坐标系Ox中，射线l的极坐标方程为θ＝（ρ≥0），曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ＝r2﹣4（r＞0），且射线l与曲线C有异于点O的两个交点P，Q．
（Ⅰ）求r的取值范围；
（Ⅱ）求+的取值范围．
解：（Ⅰ）射线l的极坐标方程为θ＝（ρ≥0），转换为直角坐标方程为（x≥0）．
曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ＝r2﹣4（r＞0），根据，转换为直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝r2．
且射线l与曲线C有异于点O的两个交点P，Q．
所以圆心（0，2）到直线y＝的距离d＝，
所以1＜r＜2．
（Ⅱ）把为θ＝，代入ρ2﹣4ρsinθ＝r2﹣4，
得到，
所以，，
由于r∈（1，2），
所以4﹣r2∈（0，3）
所以+＝．
[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）
23．已知函数f（x）＝|x+2|﹣|ax﹣2|（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝2时，解不等式f（x）≥1；
（Ⅱ）当x∈[﹣2，2]时，求证：f（x）+f（﹣x）≤0．
解：（Ⅰ）当a＝2时，f（x）≥1即|x+2|﹣|2x﹣2|≥1等价为或或，
解得x∈∅或≤x＜1或1≤x≤3，
所以原不等式的解集为[，3]；
（Ⅱ）证明：当x∈[﹣2，2]时，f（x）＝|x+2|﹣|ax﹣2|＝x+2﹣|ax﹣2|，
f（﹣x）＝2﹣x﹣|ax+2|，f（x）+f（﹣x）＝4﹣（|ax﹣2|+|ax+2|），
因为|ax﹣2|+|ax+2|≥|ax﹣2﹣（ax+2）|＝4，当（ax﹣2）（ax+2）≤0时，取得等号，
所以4﹣（|ax﹣2|+|ax+2|）≤0，
即f（x）+f（﹣x）≤0．
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