2021-2022学年上学期武汉初中数学七年级期末典型试卷2

这是一份2021-2022学年上学期武汉初中数学七年级期末典型试卷2，共29页。试卷主要包含了下列两个生产生活中的现象等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上学期武汉初中数学七年级期末典型试卷2
一．选择题（共10小题）
1．（2016•泉州）﹣3的绝对值是（　　）
A．3 B．﹣3 C．-13 D．13
2．（2020秋•江汉区期末）世界上海拔最高的青藏高原的面积约为2500000平方千米，用科学记数法为（　　）
A．0.25×107 B．2.5×107 C．2.5×106 D．25×105
3．（2020秋•蔡甸区期末）香蕉的单价为a元/千克，苹果的单价为b元/千克，买2千克苹果和3千克香蕉共需（　　）元．
A．a+b B．3a+2b C．2a+3b D．5（a+b）
4．（2020秋•蔡甸区期末）用四舍五入法将201850精确到万位的近似值是（　　）
A．2.0×105 B．2.1×105 C．2.2×105 D．2×105
5．（2020秋•奉化区校级期末）如图，O是直线AB上的一点，∠AOD＝120°，∠AOC＝90°，OE平分∠BOD，则图中∠COE的大小是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°
6．（2019秋•汉阳区期末）下列两个生产生活中的现象：
①植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线
②把弯曲的公路改直，就能缩短路程
其中可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（　　）
A．只有① B．只有② C．①② D．无
7．（2019秋•武昌区期末）下列运算中正确的是（　　）
A．﹣2a﹣2a＝0 B．3a+4b＝7ab
C．2a3+3a2＝5a5 D．3a2﹣2a2＝a2
8．（2019秋•武昌区期末）我国古代有一问题：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？如果设快马x天可追上慢马，下面所列方程中正确的是（　　）
A．240x＝150（x+12） B．150x＝240（x+12）
C．240x＝150（x﹣12） D．150x＝240（x﹣12）
9．（2020秋•东西湖区期末）如图，把一长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D'落在∠BAC内部．若∠CAE＝2∠BAD'，且∠CAD'＝15°，则∠DAE的度数为（　　）

A．12° B．24° C．39° D．45°
10．（2020秋•东西湖区期末）学校组织学生参加知识问答，问答活动共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了A、B、C三名学生的得分情况，按此规则，参赛学生D的得分可能是（　　）
参赛学生
答对题数
答错题数
得分
A
20
0
100
B
19
1
93
C
15
5
65
A．75 B．63 C．56 D．44
二．填空题（共6小题）
11．（2020秋•江汉区期末）计算：35°45′+72°19′＝　 　．
12．（2020秋•江汉区期末）若单项式3xym与﹣xny3是同类项，则m﹣n的值是　 　．
13．（2020秋•蔡甸区期末）计算﹣b﹣（2.6b﹣0.6b）的结果是　 　．
14．（2020秋•蔡甸区期末）若一个角的一半比它的补角小30°，则这个角为　 　．
15．（2019秋•汉阳区期末）在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一首数学名诗叫“宝塔装灯”．内容为“远望巍魈塔七层，红灯点点倍加增：共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”，大致意思是有一座七层高塔，从底层开始，每层安装的灯的数目都是上一层的2倍，请你算出塔的顶层有　 　盏灯．
16．（2019秋•汉阳区期末）将相同的长方形卡片按如图方式摆放在一个直角上，每个长方形卡片长为2，宽为1，依此类推，摆放2019个时，实线部分长为 　 　．

三．解答题（共8小题）
17．（2019秋•武昌区期末）计算：
（1）6﹣（﹣2）+（﹣3）﹣5
（2）﹣（﹣2）2﹣[2+0.4×（-52）]÷（12）2
18．（2019秋•武昌区期末）解方程：
（1）3x+7＝32﹣2x
（2）1-2y3=3y+17-3．
19．（2020秋•东西湖区期末）解下列一元一次方程：
（1）2x﹣（x+10）＝5x+2（x﹣1）；
（2）3x+22-1=2x-14-2x+15．
20．（2020秋•东西湖区期末）某车间22名工人，生产一种食品盒子，每人每天平均生产盒身1200个或盒底2000个，一个盒身要配两个盒底，为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少工人生产盒身，多少工人生产盒底？
21．（2020秋•江汉区期末）如图，点C在线段AB上，D是线段AC的中点，E是线段BC的中点．
①若AC＝8，BC＝3，求DE；
②若DE＝5，求AB．

22．（2020秋•江汉区期末）如图，射线OB、OC在∠AOD内部，其中OB为∠AOC的三等分线，OE、OF分别平分∠BOD和∠COD，若∠EOF＝14°，请直接写出∠AOC的大小．

23．（2020秋•蔡甸区期末）点A、B在数轴上所对应的数分别是x、y，其中x、y满足（x﹣3）2+|y+5|＝0．
（1）求x、y的值．
（2）数轴上有一点M，使得|AM|+|BM|=74|AB|，求点M所对应的数．
（3）点D是AB的中点，O为原点，数轴上有一动点P，直接写出|PA|+|PB|的最小值是 　 　；|PD|﹣|PO|的最小值是 　 　；|PA|+|PB|+|PD|﹣|PO|取最小时，点P对应的数a的取值范围是 　 　．
24．（2020秋•蔡甸区期末）已知O为直线AB上一点，射线OD、OC、OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，∠AOC＝120°，∠DOE＝α．
（1）如图1，α＝70°，当OD平分∠AOC时，求∠EOB的度数．
（2）如图2，若∠DOC＝2∠AOD，且α＜80°，求∠EOB的度数（用含α的代数式表示）；
（3）若α＝90°，点F在射线OB上，若射线OF绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180），∠FOA＝2∠AOD，OH平分∠EOC，当∠FOH＝∠AOC时，求n的值．


2021-2022学年上学期武汉初中数学七年级期末典型试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2016•泉州）﹣3的绝对值是（　　）
A．3 B．﹣3 C．-13 D．13
【考点】绝对值．
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：﹣3的绝对值是3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了绝对值的定义，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．（2020秋•江汉区期末）世界上海拔最高的青藏高原的面积约为2500000平方千米，用科学记数法为（　　）
A．0.25×107 B．2.5×107 C．2.5×106 D．25×105
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：2500000＝2.5×106．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2020秋•蔡甸区期末）香蕉的单价为a元/千克，苹果的单价为b元/千克，买2千克苹果和3千克香蕉共需（　　）元．
A．a+b B．3a+2b C．2a+3b D．5（a+b）
【考点】列代数式．
【专题】计算题；整式；应用意识．
【分析】用买2千克苹果的钱数加上3千克香蕉的钱数即可．
【解答】解：根据题意得：买2千克苹果和3千克香蕉共需（3a+2b）元，
故选：B．
【点评】此题考查了列代数式，弄清题意是解本题的关键．
4．（2020秋•蔡甸区期末）用四舍五入法将201850精确到万位的近似值是（　　）
A．2.0×105 B．2.1×105 C．2.2×105 D．2×105
【考点】科学记数法与有效数字．
【专题】实数；数感．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于201947有6位，所以可以确定n＝6﹣1＝5．用科学记数法表示的数的精确度要把它还原成原数，再看精确到哪一位．
【解答】解：201850＝2.01850×105≈2.0×105．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．解题的关键是明确科学记数法和近似数的含义．
5．（2020秋•奉化区校级期末）如图，O是直线AB上的一点，∠AOD＝120°，∠AOC＝90°，OE平分∠BOD，则图中∠COE的大小是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°
【考点】角平分线的定义；角的计算．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】根据补角的定义可得∠BOD＝180°﹣∠AOD＝60°，再根据角平分线的定义可得∠BOE＝30°，由∠AOC＝90°可得∠COE＝90°﹣∠BOE＝60°．
【解答】解：∠BOD＝180°﹣∠AOD＝60°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=12∠BOD=30°，
∴∠COE＝90°﹣∠BOE＝60°．
故选：C．
【点评】本题考查了角的加减、角平分线、平角的定义，结合图形正确理清相关角的关系是解答本题的关键．
6．（2019秋•汉阳区期末）下列两个生产生活中的现象：
①植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线
②把弯曲的公路改直，就能缩短路程
其中可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（　　）
A．只有① B．只有② C．①② D．无
【考点】线段的性质：两点之间线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．
【分析】由题意，认真分析题干，运用线段的性质直接做出判断即可．
【解答】解：①现象可以用两点可以确定一条直线来解释；
②现象可以用两点之间，线段最短来解释．
故选：B．
【点评】本题主要考查两点之间线段最短和两点确定一条直线的性质，应注意理解区分．
7．（2019秋•武昌区期末）下列运算中正确的是（　　）
A．﹣2a﹣2a＝0 B．3a+4b＝7ab
C．2a3+3a2＝5a5 D．3a2﹣2a2＝a2
【考点】合并同类项．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据合并同类项法则即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝﹣4a，故A错误，
（B）3a与4b不是同类项，故B错误，
（C）2a3与3a2不是同类型，故C错误，
故选：D．
【点评】本题考查合并同类项，解题的关键是熟练运用合并同类项法则，本题属于基础题型．
8．（2019秋•武昌区期末）我国古代有一问题：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？如果设快马x天可追上慢马，下面所列方程中正确的是（　　）
A．240x＝150（x+12） B．150x＝240（x+12）
C．240x＝150（x﹣12） D．150x＝240（x﹣12）
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；推理能力．
【分析】设快马x天可追上慢马，则慢马跑了（x+12）天，根据路程＝速度×时间结合快马追上慢马时二者的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设快马x天可追上慢马，则慢马跑了（x+12）天，
依题意，得：240x＝150（x+12）．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9．（2020秋•东西湖区期末）如图，把一长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D'落在∠BAC内部．若∠CAE＝2∠BAD'，且∠CAD'＝15°，则∠DAE的度数为（　　）

A．12° B．24° C．39° D．45°
【考点】角的计算．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】由折叠性质得∠DAE＝∠EAD′，由长方形的性质得∠DAE+∠EAD′+∠BAD′＝90°，根据角的和差倍分关系得∠BAD′＝12°，最后根据∠DAE＝∠EAD′＝∠CAE+∠CAD′可得答案．
【解答】解：∵长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，
∴∠DAE＝∠EAD′，
∵ABCD是长方形，
∴DA⊥AB，
∴∠DAE+∠EAD′+∠BAD′＝90°，即2∠EAD′+∠BAD′＝90°，
∴2（∠CAE+∠CAD′）+∠BAD′＝90°，
∵∠CAE＝2∠BAD′，∠CAD′＝15°，
∴2（2∠BAD′+15°）+∠BAD′＝90°，
∴30°+5∠BAD′＝90°，
∴∠BAD′＝12°，
∴∠DAE＝∠EAD′＝∠CAE+∠CAD′
＝2∠BAD′+∠CAD′
＝2×12°+15°
＝39°，
∴∠DAE＝39°．
故选：C．
【点评】此题考查的是角的计算、折叠性质、数形结合思想，掌握折叠性质是解决此题关键．
10．（2020秋•东西湖区期末）学校组织学生参加知识问答，问答活动共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了A、B、C三名学生的得分情况，按此规则，参赛学生D的得分可能是（　　）
参赛学生
答对题数
答错题数
得分
A
20
0
100
B
19
1
93
C
15
5
65
A．75 B．63 C．56 D．44
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】根据表格中3名参赛学生的得分情况，可知答错一题倒扣2分，设参赛学生E答错x道题（0≤x≤20，且x为整数），则其得分值为：100﹣7x，然后逐个选项进行计算，结果符合x的取值范围的为正确答案．
【解答】解：根据表格数据，A学生答对20道得分100，由B、C同学得分情况可知答错一题倒扣2分，
故设参赛学生D答错x道题（0≤x≤20，且x为整数），则其得分值为：100﹣7x
选项A：令100﹣7x＝75，解得x=257，故本选项不符合题意；
选项B：令100﹣7x＝63，解得x=377，故本选项不符合题意；
选项C：令100﹣7x＝56，解得x=447，故本选项不符合题意；
选项D：令100﹣7x＝44，解得x＝8，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题为一元一次方程的实际应用，根据表格求出答错一题倒扣2分，正确列方程是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．（2020秋•江汉区期末）计算：35°45′+72°19′＝　108°4′　．
【考点】度分秒的换算．
【专题】计算题；线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】先算分，满60进位，再算度，依此计算即可求解．
【解答】解：35°45′+72°19′＝107°64′＝108°4′．
故答案为：108°4′．
【点评】考查了度分秒的换算，度、分、秒之间是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
12．（2020秋•江汉区期末）若单项式3xym与﹣xny3是同类项，则m﹣n的值是　2　．
【考点】同类项．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，得出m，n的值，进而得出答案．
【解答】解：∵3xym与﹣xny3是同类项，
∴m＝3，n＝1，
∴m﹣n＝3﹣1＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查的是同类项的定义，熟练掌握同类项的概念是解题的关键．
13．（2020秋•蔡甸区期末）计算﹣b﹣（2.6b﹣0.6b）的结果是　﹣3b　．
【考点】整式的加减．
【专题】整式；运算能力．
【分析】直接去括号进而合并同类项得出答案．
【解答】解：原式＝﹣b﹣2.6b+0.6b
＝﹣3b．
故答案为：﹣3b．
【点评】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．
14．（2020秋•蔡甸区期末）若一个角的一半比它的补角小30°，则这个角为　100°　．
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】若两个角的和等于180°，则这两个角互补，结合已知条件列方程求解．
【解答】解：设这个角是x°，根据题意，
得12x=180-x-30，
解得：x＝100．
即这个角的度数为100°．
故答案为：100°．
【点评】此题考查了余角和补角的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握互补两角之和为180°．
15．（2019秋•汉阳区期末）在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一首数学名诗叫“宝塔装灯”．内容为“远望巍魈塔七层，红灯点点倍加增：共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”，大致意思是有一座七层高塔，从底层开始，每层安装的灯的数目都是上一层的2倍，请你算出塔的顶层有　3　盏灯．
【考点】数学常识；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】根据题意，设顶层的红灯有x盏，则第二层有2x盏，依次第三层有4x盏，第四层有8x盏，第五层有16x盏，第六层有32x盏，第七层有64x盏，总共381盏，列出等式，解方程，即可得解．
【解答】解：设顶层的红灯有x盏，由题意得：
x+2x+4x+8x+16x+32x+64x＝381，
127x＝381，
x＝3；
答：塔的顶层是3盏灯．
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
16．（2019秋•汉阳区期末）将相同的长方形卡片按如图方式摆放在一个直角上，每个长方形卡片长为2，宽为1，依此类推，摆放2019个时，实线部分长为 　5048　．

【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】规律型；推理能力．
【分析】根据图形，可以写出前几个图形中实线部分的长，从而可以发现实线长度的变化规律，进而可以得到摆放2019个时，实线部分的长．
【解答】解：由图可知，
摆放第一个时实线部分长为：3，
摆放第二个时实线部分长为：3+2＝5，
摆放第三个时实线部分长为：5+3＝8，
摆放第四个时实线部分长为：8+2＝10，
…，
即第偶数个长方形实线部分在前一个的基础上加2，第奇数个长方形实线部分在前一个的基础上加3，
∵2019＝2×1009+1，
∴摆放2019个时，实线部分长相当于在第一个的基础上加了1009个2，加1009个3，
∴摆放2019个时，实线部分长为：3+1009×2+1009×3＝5048，
故答案为：5048．
【点评】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现实线长度的变化规律，利用数形结合的思想解答．
三．解答题（共8小题）
17．（2019秋•武昌区期末）计算：
（1）6﹣（﹣2）+（﹣3）﹣5
（2）﹣（﹣2）2﹣[2+0.4×（-52）]÷（12）2
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【分析】（1）原式利用减法法则变形，计算即可求出值；
（2）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝6+2﹣3﹣5＝0；
（2）原式＝﹣4﹣（2﹣1）×4＝﹣4﹣4＝﹣8．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（2019秋•武昌区期末）解方程：
（1）3x+7＝32﹣2x
（2）1-2y3=3y+17-3．
【考点】解一元一次方程．
【专题】计算题．
【分析】（1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把y系数化为1，即可求出解．
【解答】解：（1）方程移项合并得：5x＝25，
解得：x＝5；
（2）去分母得：7﹣14y＝9y+3﹣63，
移项合并得：23y＝67，
解得：y=6723．
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
19．（2020秋•东西湖区期末）解下列一元一次方程：
（1）2x﹣（x+10）＝5x+2（x﹣1）；
（2）3x+22-1=2x-14-2x+15．
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：（1）去括号得：2x﹣x﹣10＝5x+2x﹣2，
移项得：2x﹣x﹣5x﹣2x＝﹣2+10，
合并得：﹣6x＝8，
解得：x=-43；
（2）去分母得：10（3x+2）﹣20＝5（2x﹣1）﹣4（2x+1），
去括号得：30x+20﹣20＝10x﹣5﹣8x﹣4，
移项合并得：28x＝﹣9，
解得：x=-928．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解本题的关键．
20．（2020秋•东西湖区期末）某车间22名工人，生产一种食品盒子，每人每天平均生产盒身1200个或盒底2000个，一个盒身要配两个盒底，为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少工人生产盒身，多少工人生产盒底？
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】根据“一个盒身要配两个盒底”，生产盒底的数量应是盒身的2倍，所以本题中的等量关系是：每人每天平均生产盒身的个数×生产盒身的人数×2＝每人每天平均生产盒底的个数×生产盒底的人数．据此等量关系式可列方程解答．
【解答】解：设应分配x名工人生产盒身，则生产盒底的工人应是（22﹣x）名，根据题意得
1200x×2＝2000×（22﹣x），
解得：x＝10，
22﹣x＝22﹣10＝12，
答：应该分配10工人生产盒身，12名工人生产盒底．
【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，根据一个盒身要配两个盒底，找出题目中的等量关系，再列方程解答．
21．（2020秋•江汉区期末）如图，点C在线段AB上，D是线段AC的中点，E是线段BC的中点．
①若AC＝8，BC＝3，求DE；
②若DE＝5，求AB．

【考点】两点间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【分析】（1）根据题意可得CD=12AC，CE=12BC，即可计算出CD和CE的长度，再根据DE＝CD+CE，代入计算即可得出答案；
（2）根据题意可得AC＝2CD，BC＝2CE，再由AB＝AC+BC＝2CD+2CE，代入计算即可得出答案．
【解答】解：（1）∵D是线段AC的中点，E是线段BC的中点，
∴CD=12AC=12×8=4，CE=12BC=12×3=32，
∴DE＝CD+CE＝4+32=112；
（2）∵DE＝CD+CE，D是线段AC的中点，E是线段BC的中点，
∴AC＝2CD，BC＝2CE，
∴AB＝AC+BC＝2CD+2CE＝2（CD+CE）＝2DE＝2×5＝10．
【点评】本题主要考查了两点间的距离，熟练应用两点间的距离计算方法进行求解是解决本题的关键．
22．（2020秋•江汉区期末）如图，射线OB、OC在∠AOD内部，其中OB为∠AOC的三等分线，OE、OF分别平分∠BOD和∠COD，若∠EOF＝14°，请直接写出∠AOC的大小．

【考点】角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】分两种情况：当∠AOC＝3∠BOC时和当∠AOC=32∠BOC时，再利用角平分线的定义，借助角的和差可得答案．
【解答】解：①当∠AOC＝3∠BOC时，
设∠BOC＝x，∠DOF＝y，
∵OB为∠AOC的三等分线，OF平分∠COD，
∴∠AOC＝3x，∠COD＝2y，∠BOD＝x+2y，
∵OE平分∠BOD，
∴∠EOD=12∠BOD=12x+y，
∵∠EOF＝14°，
∴12x+y﹣y＝14°，
解得x＝28°，
故∠AOC＝3x＝84°．
②当∠AOC=32∠BOC时，
设∠BOC＝2x，∠DOF＝y，
∵OB为∠AOC的三等分线，OF平分∠COD，
∴∠AOC＝3x，∠COD＝2y，∠BOD＝2x+2y，
∵OE平分∠BOD，
∴∠EOD=12∠BOD＝x+y，
∵∠EOF＝14°，
∴x+y﹣y＝14°，
解得x＝14°，
故∠AOC＝3x＝42°．
综上，∠AOC＝84°或42°．
【点评】本题考查角平分线的定义、余角和补角的意义，掌握角平分线的定义以及角的和差关系是正确解答的前提．
23．（2020秋•蔡甸区期末）点A、B在数轴上所对应的数分别是x、y，其中x、y满足（x﹣3）2+|y+5|＝0．
（1）求x、y的值．
（2）数轴上有一点M，使得|AM|+|BM|=74|AB|，求点M所对应的数．
（3）点D是AB的中点，O为原点，数轴上有一动点P，直接写出|PA|+|PB|的最小值是 　8　；|PD|﹣|PO|的最小值是 　﹣1　；|PA|+|PB|+|PD|﹣|PO|取最小时，点P对应的数a的取值范围是 　﹣5≤a≤﹣1　．
【考点】数轴；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【专题】压轴题；动点型；数形结合；几何直观；运算能力．
【分析】（1）根据两个非负数之和为0，这两个数都为0，就可以解出x、y．
（2）设M点所对应的值为m，在根据等式代入线段长，就可以求出m的值．
（3）先确定|PA|+|PB|取最小时，P的范围，再确定|PD|﹣|PO|取最小值时P的范围，最终确定|PA|+|PB|+|PD|﹣|PO|取最小值时P的取值范围．
【解答】解：（1）∵（x﹣3）2≥0，|y+5|≥0，（x﹣3）2+|y+5|＝0．
∴x-3=0y+5=0
∴x=3y=-5．
（2）设M点的坐标为m，
当m＜﹣5时，
|AM|+|BM|=74|AB|，
（3﹣m）+（﹣5﹣m）=74[3﹣（﹣5）]，
解得：m＝﹣8．
当﹣5≤m≤3时，
|AM|+|BM|＝|AB|，
不合题意．
当m＞3时，
|AM|+|BM|=74|AB|，
（m﹣3）+[m﹣（﹣5）]=74[3﹣（﹣5）]
解得：m＝6．
∴使得|AM|+|BM|=74|AB|，点M所对应的数为﹣8或6．
（3）当P在AB之间时，|PA|+|PB|＝[3﹣（﹣5）]＝8，
当P在A点左边时，|PA|+|PB|＞8，
当P点在B点右侧时，|PA|+|PB|＞8．
所以，|PA|+|PB|的最小值是8．
因为D点是AB的中点，
所以D点所对应的数为﹣1．
DO的中点所对应的数为-12．
当P点为-12时，|PD|﹣|PO|＝0．
当P点对应的数小于﹣1时，|PD|﹣|PO|＜0．
并且P点在D点左侧，|PD|﹣|PO|＝﹣1．
当P点对应的数大于0时，|PD|﹣|PO|＞0．
所以|PD|﹣|PO|的最小值为﹣1．
只有|PA|+|PB|和|PD|﹣|PO|都取最小时，|PA|+|PB|+|PD|﹣|PO|才取取最小值．
也就是当﹣5≤a≤﹣1时，|PA|+|PB|+|PD|﹣|PO|取最小值．
即|PA|+|PB|+|PD|﹣|PO|取最小时，﹣5≤a≤﹣1．
故答案为：8；﹣2；﹣5≤a≤﹣1．
【点评】本题主要考查几个非负数之和为0的问题、线段之和最小、线段之差最大等问题，难点在于需要分阶段讨论．
24．（2020秋•蔡甸区期末）已知O为直线AB上一点，射线OD、OC、OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，∠AOC＝120°，∠DOE＝α．
（1）如图1，α＝70°，当OD平分∠AOC时，求∠EOB的度数．
（2）如图2，若∠DOC＝2∠AOD，且α＜80°，求∠EOB的度数（用含α的代数式表示）；
（3）若α＝90°，点F在射线OB上，若射线OF绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180），∠FOA＝2∠AOD，OH平分∠EOC，当∠FOH＝∠AOC时，求n的值．

【考点】角平分线的定义；角的计算．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【分析】（1）根据角平分线的定义即可得到结论；
（2）根据角的和差即可得到结论；
（3）①当∠DOE在∠AOC内部，当∠DOE在射线OC的两侧，根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠COD＝60°，
∵∠DOE＝70°，
∴∠COE＝10°，
∴∠EOB＝180°﹣120°﹣10°＝50°；
（2）∵∠DOC＝2∠COE，
∴∠DOC＝80°，
∴∠EOC＝80°﹣α，
∵∠COB＝60°，
∴∠EOB＝140°﹣α；
（3）

①当∠DOE在∠AOC内部，
令∠AOD＝x°，则∠AOF＝2x°，
∠EOC＝120﹣x°﹣90°＝30°﹣x°，
∠EOH=12（30°﹣x），
∴∠HOF=12（30°﹣x）+90°+x°+2 x°＝120°，
解得：x＝6，
则∠BOF＝180°﹣2x＝168°；

②

当∠DOE在射线OC的两侧，
令∠AOD＝x°，则∠AOF＝2x°，∠COD＝120﹣x°，
∠EOC＝90°﹣（120﹣x°）＝x°﹣30°，
∠EOH=12（x°﹣30°），
∠EOB＝90°﹣x°，∠BOF＝180°﹣2x，
∴∠HOF=12（x°﹣30°）+90°﹣x+180°﹣2x＝120°，
解得：x＝54，
则∠BOF＝180°﹣2x＝72°，
综上所述得：OF旋转的角度为72°或者168°．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及角的有关计算，正确作图，熟记角的特点与角平分线的定义是解决此题的关键．

考点卡片
1．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
2．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
3．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．
4．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
5．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
6．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
7．科学记数法与有效数字
（1）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的有效数字应该由首数a来确定，首数a中的数字就是有效数字；
（2）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数．
例如：近似数4.10×105的有效数字是4，1，0；把数还原为410000后，再看首数4.10的最后一位数字0所在的位数是千位，即精确到千位．
8．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
9．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．

【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
10．同类项
（1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等．
（2）注意事项：
①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可；
②同类项与系数的大小无关；
③同类项与它们所含的字母顺序无关；
④所有常数项都是同类项．
11．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
12．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
13．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
14．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
15．由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
16．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
17．线段的性质：两点之间线段最短
线段公理
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
18．两点间的距离
（1）两点间的距离
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．
19．度分秒的换算
（1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．
（2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
20．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．

（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
21．角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC=13∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
22．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．