2021-2022学年上学期重庆初中数学七年级期末典型试卷1

这是一份2021-2022学年上学期重庆初中数学七年级期末典型试卷1，共34页。
2021-2022学年上学期重庆初中数学七年级期末典型试卷1
一．选择题（共12小题）
1．（2021•岑溪市模拟）﹣2021的相反数是（　　）
A．﹣2021 B．-12021 C．12021 D．2021
2．（2020秋•沙坪坝区校级期末）下列调查中，适宜采用全面调查（普查）的是（　　）
A．调查全国中学生平均每天做眼保健操的次数
B．调查一批新生产的格力空调的寿命
C．了解某电视台2021年元旦联欢晚会的收视率
D．为保证“长征八号”运载火箭顺利升空，对其零部件进行检查
3．（2020秋•渝中区期末）我国自主研发的“复兴号”CR300AF型动车于12月21日在贵阳动车所内运行，其最高运行速度为250000m/h，其中数据250000用科学记数法表示为（　　）
A．25×104 B．2.5×104 C．2.5×105 D．2.5×106
4．（2020秋•渝中区期末）如图，是由四个大小相同的小正方体组成的几何体，从上面看这个几何体得到的平面图形是（　　）

A． B． C． D．
5．（2020秋•铁西区期末）下列说法中正确的是（　　）
A．最小的整数是0
B．有理数分为正数和负数
C．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等
D．互为相反数的两个数的绝对值相等
6．（2013•相城区模拟）解方程1-x+36=x2，去分母，得（　　）
A．1﹣x﹣3＝3x B．6﹣x﹣3＝3x C．6﹣x+3＝3x D．1﹣x+3＝3x
7．（2013•十堰）张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距500千米，汽车出发前油箱有油25升，途中加油若干升，加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示．以下说法错误的是（　　）

A．加油前油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）的函数关系是y＝﹣8t+25
B．途中加油21升
C．汽车加油后还可行驶4小时
D．汽车到达乙地时油箱中还余油6升
8．（2020秋•重庆期末）已知无理数x=5+2的小数部分是y，则xy的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
9．（2020秋•永嘉县校级期末）钟表在7点55分时，它的时针和分针所构成的角（小于平角）的度数是（　　）
A．122.5° B．117.5° C．87.5° D．92.5°
10．（2020秋•北碚区期末）将x0.2-0.5+0.01x0.03=1的各分母化为整数，可得（　　）
A．x2-0.5+0.01x3=1 B．5x-50+x3=100
C．x20-0.5+0.01x3=100 D．5x-50+x3=1
11．（2020秋•沙坪坝区校级期末）已知关于x的方程x-2-ax6=x3-2有非负整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（　　）
A．﹣23 B．23 C．﹣34 D．34
12．（2020秋•沙坪坝区校级期末）已知A为多项式，且A＝﹣2x2﹣y2+12x+4y+1，则A有（　　）
A．最大值23 B．最小值23 C．最大值﹣23 D．最小值﹣23
二．填空题（共6小题）
13．（2020秋•渝中区期末）如果长江“水位上升20cm”记作+20cm，那么﹣15cm表示　 　．
14．（2020秋•渝中区期末）写出一个含字母x的单项式，使它的次数为2次，它是　 　．
15．（2020秋•梁平区期末）港珠澳大桥世界闻名，连接香港大屿山、澳门半岛和广东省珠海市，总长约5500000米，2018年10月24日上午9时正式通车，用科学记数法表示5500000米应为　 　米．
16．（2020秋•梁平区期末）若多项式x2﹣3kxy﹣3y2+13xy﹣8不含xy项，则k的值为　 　．
17．（2020秋•重庆期末）a1=1+112+122，a2=1+122+132，a3=1+132+142，…，an=1+1n2+1(n+1)2，其中n为正整数，则a1+a2+a3+⋯+a2020的值是　 　．
18．（2020•葫芦岛）如图，∠MON＝45°，正方形ABB1C，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2，正方形A3B3B4C3，…，的顶点A，A1，A2，A3，…，在射线OM上，顶点B，B1，B2，B3，B4，…，在射线ON上，连接AB2交A1B1于点D，连接A1B3交A2B2于点D1，连接A2B4交A3B3于点D2，…，连接B1D1交AB2于点E，连接B2D2交A1B3于点E1，…，按照这个规律进行下去，设△ACD与△B1DE的面积之和为S1，△A1C1D1与△B2D1E1的面积之和为S2，△A2C2D2与△B3D2E2的面积之和为S3，…，若AB＝2，则Sn等于　 　．（用含有正整数n的式子表示）

三．解答题（共6小题）
19．（2020秋•沙坪坝区校级期末）计算：
（1）﹣12020+|﹣6|﹣（π﹣3.14）0+（-13）﹣2；
（2）x（x+4y）﹣（x+2y）2．
20．（2020秋•渝中区期末）解方程：
（1）2﹣x＝4x﹣8；
（2）2x-13-x+14=1-5x+26．
21．（2017•长安区一模）小明早晨跑步，他从自己家出发，向东跑了2km到达小彬家，继续向东跑了1.5km到达小红家，然后又向西跑了4.5km到达学校，最后又向东，跑回到自己家．
（1）以小明家为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示1km，在图中的数轴上，分别用点A表示出小彬家，用点B表示出小红家，用点C表示出学校的位置；

（2）求小彬家与学校之间的距离；
（3）如果小明跑步的速度是250m/min，那么小明跑步一共用了多长时间？
22．（2020秋•重庆期末）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，在A处有一所中学，AP＝120米，此时有一辆消防车在公路MN上沿PN方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响．
（1）学校是否会受到影响？请说明理由．
（2）如果受到影响，则影响时间是多长？

23．（2020秋•北碚区期末）阅读下面材料，回答问题
距离能够产生美．
唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无．
当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道：
“世界上最遥远的距离
不是瞬间便无处寻觅
而是尚未相遇
便注定无法相聚”
距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．
已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．
（1）当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，AB＝OB＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|．
（2）当A，B两点都不在原点时，
①如图2，点A，B都在原点的右边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；
②如图3，点A，B都在原点的左边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝a﹣b＝|a﹣b|；
③如图4，点A，B在原点的两边，AB＝OA+OB＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝a﹣b＝|a﹣b|．
综上，数轴上A，B两点的距离AB＝|a﹣b|，如数轴上表示4和﹣1的两点之间的距离是5．
利用上述结论，回答以下三个问题：
（1）若表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝　 　；
（2）若数轴上表示数a的点位于﹣2与5之间，则|a+2|+|a﹣5|的值为 　 　；
（3）若x表示一个有理数，且|x﹣1|+|x+3|＞4，求有理数x的取值范围；
（4）若未知数x，y满足（|x﹣1|+|x+3|）（|y+1|+|y﹣2|）＝12，求代数式x+y的最小值和最大值．
24．（2020秋•沙坪坝区校级期末）对于任意一个三位正整数，百位上的数字加上个位上的数字之和恰好等于十位上的数字，则称这个三位数为“牛转乾坤数”．例如：对于三位数451，4+1＝5，则451是“牛转乾坤数”；对于三位数110，1+0＝1，则110是“牛转乾坤数”．
（1）求证：任意一个“牛转乾坤数”一定能被11整除；
（2）在一个“牛转乾坤数”的十位与百位之间添加1得到一个新的四位数M，若M的各位数字之和为完全平方数，求所有满足条件的“牛转乾坤数”．

2021-2022学年上学期重庆初中数学七年级期末典型试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2021•岑溪市模拟）﹣2021的相反数是（　　）
A．﹣2021 B．-12021 C．12021 D．2021
【考点】相反数．
【专题】实数；数感；运算能力．
【分析】利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：﹣2021的相反数是：2021．
故选：D．
【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2．（2020秋•沙坪坝区校级期末）下列调查中，适宜采用全面调查（普查）的是（　　）
A．调查全国中学生平均每天做眼保健操的次数
B．调查一批新生产的格力空调的寿命
C．了解某电视台2021年元旦联欢晚会的收视率
D．为保证“长征八号”运载火箭顺利升空，对其零部件进行检查
【考点】全面调查与抽样调查．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：A、调查全国中学生平均每天做眼保健操的次数，适宜采用抽样调查方式；
B、调查一批新生产的格力空调的寿命，适宜采用抽样调查方式；
C、了解某电视台2021年元旦联欢晚会的收视率，适宜采用抽样调查方式；
D、为保证“长征八号”运载火箭顺利升空，对其零部件进行检查，适宜采用全面调查方式；
故选：D．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3．（2020秋•渝中区期末）我国自主研发的“复兴号”CR300AF型动车于12月21日在贵阳动车所内运行，其最高运行速度为250000m/h，其中数据250000用科学记数法表示为（　　）
A．25×104 B．2.5×104 C．2.5×105 D．2.5×106
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：250000＝2.5×105，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（2020秋•渝中区期末）如图，是由四个大小相同的小正方体组成的几何体，从上面看这个几何体得到的平面图形是（　　）

A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【分析】根据俯视图的意义，得到从上面看的图形，进而得出答案．
【解答】解：从上面看，得到的图形是两行，其中第一行为2个小正方形，第二行是一个小正方形，选项A中的图形比较符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，掌握视图的意义，明确“长对正，宽相等，高平齐”是得出正确答案的前提．
5．（2020秋•铁西区期末）下列说法中正确的是（　　）
A．最小的整数是0
B．有理数分为正数和负数
C．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等
D．互为相反数的两个数的绝对值相等
【考点】正数和负数；相反数；绝对值．
【专题】应用题．
【分析】根据有理数及正数、负数、相反数、绝对值等知识对每个选项分析判断．
【解答】解：A、因为整数包括正整数和负整数，0大于负数，所以最小的整数是0错误；
B、因为0既不是正数也不是负数，但是有理数，所以有理数分为正数和负数错误；
C、因为：如+1和﹣1的绝对值相等，但+1不等于﹣1，所以如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等错误；
D、由相反数的意义和数轴，互为相反数的两个数的绝对值相等，如|+1|＝|﹣1|＝1，所以正确；
故选：D．
【点评】本题考查了正数、负数、相反数及绝对值的意义的掌握，熟练理解掌握知识是关键．
6．（2013•相城区模拟）解方程1-x+36=x2，去分母，得（　　）
A．1﹣x﹣3＝3x B．6﹣x﹣3＝3x C．6﹣x+3＝3x D．1﹣x+3＝3x
【考点】解一元一次方程．
【专题】计算题．
【分析】去分母的方法是方程左右两边同时乘以分母的最小公倍数，注意分数线的括号的作用，并注意不能漏乘．
【解答】解：方程两边同时乘以6得6﹣x﹣3＝3x．
故选：B．
【点评】解方程的过程就是一个方程变形的过程，变形的依据是等式的基本性质，变形的目的是变化成x＝a的形式．在去分母的过程中注意分数线起到括号的作用，并注意不能漏乘没有分母的项．
7．（2013•十堰）张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距500千米，汽车出发前油箱有油25升，途中加油若干升，加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示．以下说法错误的是（　　）

A．加油前油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）的函数关系是y＝﹣8t+25
B．途中加油21升
C．汽车加油后还可行驶4小时
D．汽车到达乙地时油箱中还余油6升
【考点】一次函数的应用．
【专题】压轴题．
【分析】A、设加油前油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）的函数关系式为y＝kt+b，将（0，25），（2，9）代入，运用待定系数法求解后即可判断；
B、由题中图象即可看出，途中加油量为30﹣9＝21升；
C、先求出每小时的用油量，再求出汽车加油后行驶的路程，然后与4比较即可判断；
D、先求出汽车从甲地到达乙地需要的时间，进而得到需要的油量；然后用汽车油箱中原有的油量加上途中的加油量，再减去汽车行驶500千米需要的油量，得出汽车到达乙地时油箱中的余油量即可判断．
【解答】解：A、设加油前油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）的函数关系式为y＝kt+b．
将（0，25），（2，9）代入，
得b=252k+b=9，解得k=-8b=25，
所以y＝﹣8t+25，故A选项正确，但不符合题意；
B、由图象可知，途中加油：30﹣9＝21（升），故B选项正确，但不符合题意；
C、由图可知汽车每小时用油（25﹣9）÷2＝8（升），
所以汽车加油后还可行驶：30÷8＝334＜4（小时），故C选项错误，但符合题意；
D、∵汽车从甲地到达乙地，所需时间为：500÷100＝5（小时），
∴5小时耗油量为：8×5＝40（升），
又∵汽车出发前油箱有油25升，途中加油21升，
∴汽车到达乙地时油箱中还余油：25+21﹣40＝6（升），故D选项正确，但不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式的确定，路程、速度、时间之间的关系等知识，难度中等．仔细观察图象，从图中找出正确信息是解决问题的关键．
8．（2020秋•重庆期末）已知无理数x=5+2的小数部分是y，则xy的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【考点】估算无理数的大小．
【分析】因为4＜5+2＜5，所以5+2的整数部分是4，小数部分是5-2，由此代入求得数值即可．
【解答】解：∵4＜5+2＜5，
∴5+2的整数部分是4，小数部分是5-2，
则xy=(5+2)(5-2)=1．
故选：A．
【点评】此题考查无理数的估算与代数式求值，注意因式分解、平方差公式的运用．
9．（2020秋•永嘉县校级期末）钟表在7点55分时，它的时针和分针所构成的角（小于平角）的度数是（　　）
A．122.5° B．117.5° C．87.5° D．92.5°
【考点】钟面角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力．
【分析】根据钟面平均分成12份，可得每份是30°．7点55分时，时针分针间隔（3+560）份，根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【解答】解：7点55分时，时针与分针的夹角的度数是30°×（3+560）＝92.5°，
故选：D．
【点评】本题考查了钟面角，解决问题的关键是利用时针与分针间隔的份数乘以每份的度数．
10．（2020秋•北碚区期末）将x0.2-0.5+0.01x0.03=1的各分母化为整数，可得（　　）
A．x2-0.5+0.01x3=1 B．5x-50+x3=100
C．x20-0.5+0.01x3=100 D．5x-50+x3=1
【考点】分式的基本性质．
【分析】由于将x0.2-0.5+0.01x0.03=1的各分母化为整数，可以利用分式的基本性质把每个分式的分子分母分别乘以相同的数即可解决问题，不同的分式所乘的数不一定相同．
【解答】解：把x0.2-0.5+0.01x0.03=1的各分母化为整数得
102x-50+x3=1，
即5x-50+x3=1．
故选：D．
【点评】此题主要利用了分式的基本性质，根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0．
11．（2020秋•沙坪坝区校级期末）已知关于x的方程x-2-ax6=x3-2有非负整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（　　）
A．﹣23 B．23 C．﹣34 D．34
【考点】一元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】直接解方程进而利用非负整数的定义分析得出答案．
【解答】解：x-2-ax6=x3-2，
则6x﹣（2﹣ax）＝2x﹣12，
故6x﹣2+ax＝2x﹣12，
（4+a）x＝﹣10，
解得：x=-104+a，
∵-104+a是非负整数，
∴a＝﹣5或﹣6，﹣9，﹣14时，x的解都是非负整数，
则﹣5﹣6﹣9﹣14＝﹣34．
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的解，正确掌握相关定义是解题关键．
12．（2020秋•沙坪坝区校级期末）已知A为多项式，且A＝﹣2x2﹣y2+12x+4y+1，则A有（　　）
A．最大值23 B．最小值23 C．最大值﹣23 D．最小值﹣23
【考点】非负数的性质：偶次方；配方法的应用．
【专题】配方法；整式；运算能力．
【分析】利用配方法将多项式A进行变形，然后根据非负数的性质求得最值．
【解答】解：A＝﹣2x2﹣y2+12x+4y+1＝﹣[2（x﹣3）2+（y﹣2）2]+23．
∵2（x﹣3）2+（y﹣2）2≥0，
∴﹣[2（x﹣3）2+（y﹣2）2]≤0，
∴A＝﹣[2（x﹣3）2+（y﹣2）2]+23≤23，
∴多项式A的最大值是23．
故选：A．
【点评】本题主要考查了配方法的应用和非负数的性质，配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2．
二．填空题（共6小题）
13．（2020秋•渝中区期末）如果长江“水位上升20cm”记作+20cm，那么﹣15cm表示　水位下降15cm　．
【考点】正数和负数．
【专题】数感．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：“正”和“负”相对，
∵水位上升20cm记作+20cm，
∴﹣15cm表示水位下降15cm．
故答案为：水位下降15cm．
【点评】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
14．（2020秋•渝中区期末）写出一个含字母x的单项式，使它的次数为2次，它是　x2　．
【考点】单项式．
【专题】整式；数感．
【分析】根据单项式的次数的概念，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数解答即可．
【解答】解：x2是一个只含字母x，次数为2的单项式，
故答案为：x2（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是单项式的概念，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，掌握其概念是解决此题的关键．
15．（2020秋•梁平区期末）港珠澳大桥世界闻名，连接香港大屿山、澳门半岛和广东省珠海市，总长约5500000米，2018年10月24日上午9时正式通车，用科学记数法表示5500000米应为　5.5×106　米．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：5500000＝5.5×106，
故答案为：5.5×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
16．（2020秋•梁平区期末）若多项式x2﹣3kxy﹣3y2+13xy﹣8不含xy项，则k的值为　19　．
【考点】多项式．
【分析】直接利用多项式x2﹣3kxy﹣3y2+13xy﹣8不含xy项得出xy项的系数和为0，进而求出答案．
【解答】解：∵多项式x2﹣3kxy﹣3y2+13xy﹣8不含xy项，
∴﹣3k+13=0，
解得：k=19．
故答案为：19．
【点评】此题主要考查了多项式的定义，正确得出xy项的系数和为0是解题关键．
17．（2020秋•重庆期末）a1=1+112+122，a2=1+122+132，a3=1+132+142，…，an=1+1n2+1(n+1)2，其中n为正整数，则a1+a2+a3+⋯+a2020的值是　40844402021　．
【考点】算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【分析】先求出a1，a2，a3，an的值，代入原式利用算术平方根和公式1n(n+1)=1n-1n+1进行化简与计算，即可求解．
【解答】解：∵a1=1+112+122=(32)2，
a2=1+122+132=(76)2，
a3=1+132+142=(1312)2，
an=1+1n2+1(n+1)2=[n(n+1)+1n(n+1)]2，
∴a1+a2+a3+⋯+a2020，
=32+76+1312+⋯+2020×2021+12020×2021，
=1+12+1+16+1+112+⋯+1+12020×2021，
=2020+(1-12+12-13+13-14+⋯+12020-12021)，
=2020+1-12021，
=40844402021．
故答案为40844402021．
【点评】本题考查数式规律问题、算术平方根、有理数的加减混合运算等知识点，解题的关键是用裂项法将分数进行化简与计算．
18．（2020•葫芦岛）如图，∠MON＝45°，正方形ABB1C，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2，正方形A3B3B4C3，…，的顶点A，A1，A2，A3，…，在射线OM上，顶点B，B1，B2，B3，B4，…，在射线ON上，连接AB2交A1B1于点D，连接A1B3交A2B2于点D1，连接A2B4交A3B3于点D2，…，连接B1D1交AB2于点E，连接B2D2交A1B3于点E1，…，按照这个规律进行下去，设△ACD与△B1DE的面积之和为S1，△A1C1D1与△B2D1E1的面积之和为S2，△A2C2D2与△B3D2E2的面积之和为S3，…，若AB＝2，则Sn等于　149×4n﹣1　．（用含有正整数n的式子表示）

【考点】列代数式；规律型：图形的变化类；三角形的面积．
【专题】矩形 菱形 正方形；应用意识．
【分析】设△ADC的面积为S，利用相似三角形的性质求出S1，S2，…Sn与S的关系即可解决问题．
【解答】解：设△ADC的面积为S，
由题意，AC∥B1B2，AC＝AB＝2，B1B2＝4，
∴△ACD∽△B2B1D，
∴S△ADCS△B1B2D=（ACB1B2）2=14，
∴S△B1B2D=4S，
∵CDDB1=ACB1B2=12，CB1＝2，
∴DB1=43，
同法D1B2=83，
∵DB1∥D1B2，
∴DEEB2=DB1D1B2=12，
∴S△DB1E=4S3，
∴S1＝S+4S3=7S3，
∵△A1C1D1∽△ACD，
∴S△A1C1D1S△ACD=（A1C1AC）2=14，
∴S△A1C1D1=4S，
同法可得，S△D1B2E1=16S3，
∴S2＝4S+16S3=28S3=7S3×4，
…
Sn=7S3×4n﹣1，
∵S=12×2×23=23，
∴Sn=149×4n﹣1．
故答案为：149×4n-1．
【点评】本题考查正方形的性质，三角形的面积，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
三．解答题（共6小题）
19．（2020秋•沙坪坝区校级期末）计算：
（1）﹣12020+|﹣6|﹣（π﹣3.14）0+（-13）﹣2；
（2）x（x+4y）﹣（x+2y）2．
【考点】实数的运算；单项式乘多项式；完全平方公式；零指数幂；负整数指数幂．
【专题】实数；整式；运算能力．
【分析】（1）原式利用有理数的乘方、绝对值、以及零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值；
（2）原式中括号中利用完全平方公式，单项式乘以多项式运算法则计算，即可求出值．
【解答】解：（1）﹣12020+|﹣6|﹣（π﹣3.14）0+（-13）﹣2；
＝﹣1+6﹣1+9
＝﹣2+15
＝13；
（2）x（x+4y）﹣（x+2y）2
＝x2+4xy﹣（x2+4xy+4y2）
＝x2+4xy﹣x2﹣4xy﹣4y2
＝﹣4y2．
【点评】此题考查了整式的混合运算和实数的计算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（2020秋•渝中区期末）解方程：
（1）2﹣x＝4x﹣8；
（2）2x-13-x+14=1-5x+26．
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】（1）移项，合并同类项，把方程化为ax＝b形式，把x的系数化为1；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，把方程化为ax＝b形式，把x的系数化为1；
【解答】解：（1）2﹣x＝4x﹣8．
移项得：﹣x﹣4x＝﹣8﹣2,
合并同类项得：﹣5x＝﹣10,
把系数化为1：x＝2．
(2)2x-13-x+14=1-5x+26，
去分母得：
4(2x﹣1)﹣3(x+1)＝12﹣2(5x+2)，
去括号得：
8x﹣4﹣3x﹣3＝12﹣10x﹣4，
移项得：
8x﹣3x+10x＝12﹣4+4+3,
合并同类项得：
15x＝15,
把系数化为1：
x＝1．
【点评】本题考查了一元一次方程的解法．解一元一次方程的一般步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把方程化成ax＝b的形式，把系数化为1．
21．（2017•长安区一模）小明早晨跑步，他从自己家出发，向东跑了2km到达小彬家，继续向东跑了1.5km到达小红家，然后又向西跑了4.5km到达学校，最后又向东，跑回到自己家．
（1）以小明家为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示1km，在图中的数轴上，分别用点A表示出小彬家，用点B表示出小红家，用点C表示出学校的位置；

（2）求小彬家与学校之间的距离；
（3）如果小明跑步的速度是250m/min，那么小明跑步一共用了多长时间？
【考点】数轴．
【分析】（1）根据题意画出即可；
（2）计算2﹣（﹣1）即可求出答案；
（3）求出每个数的绝对值，相加可求小明一共跑了的路程，再根据时间＝路程÷速度即可求出答案．
【解答】解：（1）如图所示：

（2）小彬家与学校的距离是：2﹣（﹣1）＝3（km）．
故小彬家与学校之间的距离是3km；
（3）小明一共跑了（2+1.5+1）×2＝9（km），
小明跑步一共用的时间是：9000÷250＝36（分钟）．
答：小明跑步一共用了36分钟长时间．
【点评】本题考查了数轴，有理数的加减运算，正数和负数，绝对值等知识点的应用，此题的关键是能根据题意列出算式，题目比较典型，难度适中，用的数学思想是转化思想，即把实际问题转化成数学问题，用数学知识来解决．
22．（2020秋•重庆期末）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，在A处有一所中学，AP＝120米，此时有一辆消防车在公路MN上沿PN方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响．
（1）学校是否会受到影响？请说明理由．
（2）如果受到影响，则影响时间是多长？

【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】（1）作AB⊥MN于B，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=12PA＝60m，由于这个距离小于100m，所以可判断拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响；
（2）以点A为圆心，100m为半径作⊙A交MN于C、D，根据垂径定理得到BC＝BD，再根据勾股定理计算出BC＝80m，则CD＝2BC＝160m，根据速度公式计算出拖拉机在线段CD上行驶所需要的时间．
【解答】解：（1）学校受到噪音影响．理由如下：
作AB⊥MN于B，如图1，
∵PA＝120m，∠QPN＝30°，
∴AB=12PA＝60m，
而60m＜100m，
∴消防车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响；

（2）以点A为圆心，100m为半径作⊙A交MN于C、D，如图，
∵AB⊥CD，
∴CB＝BD，
在Rt△ABC中，AC＝100m，AB＝60m，
CB=AC2-AB2=80m，
∴CD＝2BC＝160m，
∵消防车的速度5m/s，
∴消防车在线段CD上行驶所需要的时间＝160÷5＝32（秒），
∴学校受影响的时间为32秒．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；当直线l和⊙O相离⇔d＞r．也考查了垂径定理、勾股定理以及含30度的直角三角形三边的关系．
23．（2020秋•北碚区期末）阅读下面材料，回答问题
距离能够产生美．
唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无．
当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道：
“世界上最遥远的距离
不是瞬间便无处寻觅
而是尚未相遇
便注定无法相聚”
距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．
已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．
（1）当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，AB＝OB＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|．
（2）当A，B两点都不在原点时，
①如图2，点A，B都在原点的右边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；
②如图3，点A，B都在原点的左边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝a﹣b＝|a﹣b|；
③如图4，点A，B在原点的两边，AB＝OA+OB＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝a﹣b＝|a﹣b|．
综上，数轴上A，B两点的距离AB＝|a﹣b|，如数轴上表示4和﹣1的两点之间的距离是5．
利用上述结论，回答以下三个问题：
（1）若表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝　1或﹣5　；
（2）若数轴上表示数a的点位于﹣2与5之间，则|a+2|+|a﹣5|的值为 　7　；
（3）若x表示一个有理数，且|x﹣1|+|x+3|＞4，求有理数x的取值范围；
（4）若未知数x，y满足（|x﹣1|+|x+3|）（|y+1|+|y﹣2|）＝12，求代数式x+y的最小值和最大值．
【考点】数轴；绝对值．
【专题】实数；运算能力．
【分析】（1）根据题意得绝对值方程，求解即可；
（2）由题意可知a+5＞0，a﹣2＜0，化简|a+2|+|a﹣5|即可；
（3）根据题意可知，把x的取值范围分三种情况：①x＞1，②x＜﹣3，③﹣3＜x＜1进行讨论即可求出答案；
（4）分别得出|x﹣1|+|x﹣3|的最小值为2和|y﹣2|+|y+1|的最小值为3，从而得出x和y的范围，则问题得解．
【解答】解：（1）|a﹣（﹣2）|＝3，
所以，a+2＝3或a+2＝﹣3，
解得a＝1或a＝﹣5，
故答案为1或﹣5；
（2）∵表示数a的点位于﹣5与2之间，
∴a+5＞0，a﹣2＜0，
∴|a+5|+|a﹣2|＝（a+5）+[﹣（a﹣2）]＝a+5﹣a+2＝7，
故答案为7；
（3）当x＞1时，原式＝x﹣1+x+3＝2x+2＞4，
解得，x＞1；
当x＜﹣3时，原式＝﹣x+1﹣x﹣3＝﹣2x﹣2＞4，
解得，x＜﹣3；
当﹣3＜x＜1时，原式＝﹣x+1+x+3＝4，不符合题意，故舍去；
∴有理数x的取值范围是：x＞1或x＜﹣3；
（4）∵（|x﹣1|+|x+3|）（|y+1|+|y﹣2|）＝12，
又∵|x﹣1|+|x+3|的最小值为4，|y+1|+|y﹣2|的最小值为3，
∴﹣3≤x≤1，﹣1≤y≤2，
∴代数式x+y的最大值是3，最小值是﹣4．
【点评】本题考查了数轴，绝对值，正确的理解题意是解题的关键．
24．（2020秋•沙坪坝区校级期末）对于任意一个三位正整数，百位上的数字加上个位上的数字之和恰好等于十位上的数字，则称这个三位数为“牛转乾坤数”．例如：对于三位数451，4+1＝5，则451是“牛转乾坤数”；对于三位数110，1+0＝1，则110是“牛转乾坤数”．
（1）求证：任意一个“牛转乾坤数”一定能被11整除；
（2）在一个“牛转乾坤数”的十位与百位之间添加1得到一个新的四位数M，若M的各位数字之和为完全平方数，求所有满足条件的“牛转乾坤数”．
【考点】完全平方数．
【专题】方案型；运算能力．
【分析】（1）设出“牛转乾坤数”的个位和百位数字，表示出十位数字，进而表示出“牛转乾坤数”，即可得出结论；
（2）设出“牛转乾坤数”的个位和百位数字，表示出十位数字，进而表示出新四位数M的各位数字之和，进而得出m+n＝4，即可得出结论．
【解答】解：（1）设任意一个“牛转乾坤数”的个位数字为a，百位数字为b，（b是正整数，a是非负整数，a+b小于等于9）则十位数字为（a+b），
∴任意一个“牛转乾坤数”为100b+10（a+b）+a＝110b+11a＝11（10b+a），
∴任意一个“牛转乾坤数”一定能被11整除；

（2）设任意一个“牛转乾坤数”的个位数字为n，百位数字为m，（m是正整数，n是非负整数，m+n小于等于9）则十位数字为（m+n），
∴这个四位数M的各位数字之和为m+1+（m+n）+m＝2m+2n+1＝2（m+n）+1，此时为奇数，
∵1≤m+n≤9，
∴3≤2（m+n）+1≤19，
∵M的各位数字之和为完全平方数，
∴2（m+n）+1是完全平方数，
∴2（m+n）+1＝9，
∴m+n＝4，
∴m＝1，n＝3或m＝2，n＝2或m＝3，n＝1或m＝4，n＝0，
∴所有满足条件的“牛转乾坤数”为143或242或341或440．
【点评】此题主要考查了整除问题，新定义，完全平方数，理解“牛转乾坤数”是解本题的关键．

考点卡片
1．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
3．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
4．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
5．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
6．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
7．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为a．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
8．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
9．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
10．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．

【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
11．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
12．单项式
（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．
（2）单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
13．多项式
（1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
（2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．
14．单项式乘多项式
（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：
①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．
15．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
16．分式的基本性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．
3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．
17．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
18．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p＝1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
19．一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
20．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
21．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
22．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
23．钟面角
（1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走112格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12＝30°．
（2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数．
（3）钟面上的路程问题
分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60＝6°
时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60＝0.5°．
24．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
25．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
26．简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
俯、左：宽相等．
27．全面调查与抽样调查
1、统计调查的方法有全面调查（即普查）和抽样调查．
2、全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．
3、如何选择调查方法要根据具体情况而定．一般来讲：通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其一，调查者能力有限，不能进行普查．如：个体调查者无法对全国中小学生身高情况进行普查．其二，调查过程带有破坏性．如：调查一批灯泡的使用寿命就只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全部用于实验．其三，有些被调查的对象无法进行普查．如：某一天，全国人均讲话的次数，便无法进行普查．
28．完全平方数