2021-2022学年上学期重庆初中数学七年级期末典型试卷3

这是一份2021-2022学年上学期重庆初中数学七年级期末典型试卷3，共39页。
2021-2022学年上学期重庆初中数学七年级期末典型试卷3
一．选择题（共12小题）
1．（2021•津南区模拟）﹣14的运算结果是（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣1 D．1
2．（2015•梅州）12的相反数是（　　）
A．2 B．﹣2 C．12 D．−12
3．（2012•泉州校级自主招生）如图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，这个几何体的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
4．（2020秋•沙坪坝区校级期末）下列计算正确的是（　　）
A．a3+a3＝a6
B．（﹣2a2）3＝﹣8a9
C．8（b﹣a）2﹣3（a﹣b）2＝5（b﹣a）2
D．2a8÷a2＝2a4
5．（2021春•澄城县期末）已知∠A+∠B＝180°，则下列说法正确的是（　　）
A．∠A与∠B是邻角 B．∠A与∠B是邻补角
C．∠A与∠B互为余角 D．∠A与∠B互为补角
6．（2020秋•渝中区期末）足球是全球最具影响力的单项体育运动，它能增强人们的体质，培养团队意识和拼搏精神．足球的质量有严格标准，如果将超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，从轻重的角度看，以下四个足球质量最接近标准的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2020秋•梁平区期末）已知：如图，∠AOB＝90°，直线CD经过点O，∠AOC＝130°，则∠BOD＝（　　）

A．30° B．35° C．40° D．50°
8．（2020秋•梁平区期末）如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的周长为（　　）

A．（2a+8）cm B．（3a+8）cm C．（4a+15）cm D．（4a+16）cm
9．（2020秋•重庆期末）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上一点，CF⊥AD于H，下面判断正确的有（　　）
①AD是△ABE的角平分线；
②BE是△ABD边AD上的中线；
③CH是△ACD边AD上的高；
④AH是△ACF的角平分线和高．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2017•奉化市自主招生）如图，已知动点P在函数y=12x（x＞0）的图象上运动，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：y＝﹣x+1交于点E，F，则AF•BE的值为（　　）

A．4 B．2 C．1 D．12
11．（2019•武汉）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（　　）
A．2a2﹣2a B．2a2﹣2a﹣2 C．2a2﹣a D．2a2+a
12．（2020秋•北碚区期末）若ab＜0，则ab的值（　　）
A．是正数 B．是负数 C．是非正数 D．是非负数
二．填空题（共6小题）
13．（2020秋•沙坪坝区校级期末）席卷全世界的新型冠状病毒是个肉眼看不见的小个子，它的身高（直径）约为0.0000012米，将数0.0000012用科学记数法表示为　 　．
14．（2020秋•沙坪坝区校级期末）按照下面的程序计算，如果输入的值是正整数，输出结果是94，则满足条件的y值有　 　个．

15．（2020秋•渝中区期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则a﹣b　 　a﹣c．（选填“＞”或“＜”）

16．（2021•饶平县校级模拟）已知4（x﹣1）与﹣2（x﹣3）互为相反数，则x＝　 　．
17．（2020秋•梁平区期末）无限循环小数如何化成分数呢？设x＝0.333…①，则10x＝3.333…②，则②﹣①，得9x＝3，即x=13，所以0.3⋅=0.33⋯=13，根据上述提供的方法：把0.7⋅化成分数为　 　．
18．（2020秋•梁平区期末）对于一个运算a※b=a+b(a＜b)a−b(a＞b)，已知|a|＝3，b＝2，那么a※b＝　 　．
三．解答题（共8小题）
19．（2020秋•重庆期末）计算：
（1）（−47）﹣（−15）−37+95；
（2）|﹣3|+（﹣1）3×（π﹣3.14）0﹣（−12）﹣3
20．（2020秋•重庆期末）如图，在下面的直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，4）三点，其中a，b满足关系式a=b2−9+9−b2b+3+2．
（1）求a，b的值；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，13），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

21．（2020秋•北碚区期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为a+b2
【问题情境】如图1，已知数轴上有三点A、B、C，AB＝60，点A对应的数是40．
【综合运用】
（1）点B表示的数是 　 　．
（2）若BC：AC＝4：7，求点C到原点的距离．
（3）如图2，在（2）的条件下，动点P、Q两点同时从C、A出发向右运动，同时动点R从点A向左运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒，点P、Q之间的距离与点Q、R之间的距离相等，求动点Q的速度；
（4）如图3，在（2）的条件下，O表示原点，动点P、T分别从C、O两点同时出发向左运动，同时动点R从点A出发向右运动，点P、T、R的速度分别为5个单位长度/秒，1个单位长度/秒、2个单位长度/秒，在运动过程中，如果点M为线段PT的中点，点N为线段OR的中点．请问PT﹣MN的值是否会发生变化？若不变，请求出相应的数值；若变化，请说明理由．

22．（2020秋•北碚区期末）某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下：
一次性购物
优惠办法
少于200元
不予优惠
低于500元但不低于200元
九折优惠
500元或超过500元
其中500元部分给予九折优惠，
超过500元部分给予八折优惠
（1）王老师一次性购物700元，他实际付款 　 　元．
（2）若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款 　 　元，当x大于或等于500元时，他实际付款 　 　元．（用含x的代数式表示）．
（3）如果王老师两次购物货款合计810元，第一次购物的货款为a元（200＜a＜300），用含a的代数式表示：两次购物王老师实际共付款多少元？
23．（2020秋•沙坪坝区校级期末）先化简，再求值：[b（a﹣b）﹣a（3a﹣2b）+（3a﹣b）（﹣b﹣3a）]÷（﹣3a），其中（a−12）2+|b−25|＝0．
24．（2020秋•沙坪坝区校级期末）如图，∠COD在∠AOB的内部，且∠AOB＝150°，∠COD=15∠AOB，射线OE平分∠AOD．

（1）如图1，若∠AOC＝70°，求∠COE的度数；
（2）如图2，OF平分∠BOC，将∠COD绕着点O在∠AOB的内部旋转，若OD恰好平分∠BOF时，求∠AOE的度数．
25．（2020秋•渝中区期末）已知∠AOB是直角，∠AOC是锐角，OC在∠AOB的内部，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．
（1）根据题意画出图形；
（2）求出∠DOE的度数；
（3）若将条件“∠AOB是直角”改为“∠AOB为锐角，且∠AOB＝n°”，其它条件不变，请直接写出∠DOE的度数．
26．（2020秋•渝中区期末）阅读下列材料：
一般地，我们把按一定顺序排列的三个数x1，x2，x3，叫做数列x1，x2，x3．计算：|x1|，|x1+x2|2，|x1+x2+x3|3，我们把计算结果的最小值称为数列x1，x2，x3的价值．例如，对于数列2，﹣1，3，因为|2|＝2，|2+(−1)|2=12，|2+(−1)+3|3=43．所以数列2，﹣1，3的价值为12，改变这三个数的顺序按照上述方法可计算出其它数列的价值．比如，数列﹣1，2，3的价值为12；数列3，﹣1，2的价值为1．通过计算，发现：对于“2，﹣1，3”这三个数，按照不同的排列顺序可得到不同的数列，这些数列的价值的最小值为12．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求数列﹣2，7，1的价值；
（2）由“﹣2，7，1”这三个数按照不同的顺序排列共有多少种不同的数列，写出这些数列，并求出它们的价值的最小值和最大值；
（3）将2，﹣7，a（a＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，请直接写出a的值．

2021-2022学年上学期重庆初中数学七年级期末典型试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2021•津南区模拟）﹣14的运算结果是（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣1 D．1
【考点】有理数的乘方．
【专题】实数；运算能力．
【分析】原式表示1四次方的相反数，计算即可求出值．
【解答】解：﹣14＝﹣1×1×1×1＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查有理数的乘方运算，根据有理数的乘方的运算法则进行计算即可．
2．（2015•梅州）12的相反数是（　　）
A．2 B．﹣2 C．12 D．−12
【考点】相反数．
【分析】根据相反数的概念进行解答．
【解答】解：12的相反数是−12．
故选：D．
【点评】解答本题的关键是弄清绝对值的性质和相反数的概念．
相反数：只有符号不同而绝对值相等的两个数互为相反数．
3．（2012•泉州校级自主招生）如图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，这个几何体的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图；由三视图判断几何体．
【分析】由已知条件可知，左视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1．据此可作出判断．
【解答】解：从左面看可得到从左到右分别是2，1个正方形．
故选：A．
【点评】本题考查几何体的三视图．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．
4．（2020秋•沙坪坝区校级期末）下列计算正确的是（　　）
A．a3+a3＝a6
B．（﹣2a2）3＝﹣8a9
C．8（b﹣a）2﹣3（a﹣b）2＝5（b﹣a）2
D．2a8÷a2＝2a4
【考点】整式的混合运算．
【专题】整式；运算能力．
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝2a3，错误，不符合题意；
B、原式＝﹣8a6，错误，不符合题意；
C、原式＝8（b﹣a）2﹣3（b﹣a）2＝5（b﹣a）2，正确，符合题意；
D、原式＝2a6，错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（2021春•澄城县期末）已知∠A+∠B＝180°，则下列说法正确的是（　　）
A．∠A与∠B是邻角 B．∠A与∠B是邻补角
C．∠A与∠B互为余角 D．∠A与∠B互为补角
【考点】余角和补角；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】根据“两角度数之和180，则这两个角互为补角”，可确定问题答案．
【解答】解：A、∠A与∠B是邻角，两角度数之和不确定，故不符合题意；
B、∠A与∠B是邻补角，确定了∠A与∠B的位置关系，只是一种互补的特殊情形，故不符合题意；
C、∠A与∠B互为余角，即∠A+∠B＝90°，故不符合题意；
D、∠A与∠B互为补角，即∠A+∠B＝180°，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了补角的定义，解答余角、补角问题时明确角与角之间的数量关系是解题关键．
6．（2020秋•渝中区期末）足球是全球最具影响力的单项体育运动，它能增强人们的体质，培养团队意识和拼搏精神．足球的质量有严格标准，如果将超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，从轻重的角度看，以下四个足球质量最接近标准的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】绝对值．
【专题】数感．
【分析】由已知和要求，只要求出超过标准的克数和低于标准的克数的绝对值，绝对值小的则是最接近标准的球．
【解答】解：通过求4个数的绝对值得：
|﹣1.2|＝1.2，|+0.8|＝0.8，|﹣0.5|＝0.5，|+1.4|＝1.4，
0.5＜0.8＜1.2＜1.4
﹣0.5的绝对值最小．
所以这个球是最接近标准的球．
故选：C．
【点评】本题考查了绝对值，利用绝对值的意义是解题关键．
7．（2020秋•梁平区期末）已知：如图，∠AOB＝90°，直线CD经过点O，∠AOC＝130°，则∠BOD＝（　　）

A．30° B．35° C．40° D．50°
【考点】角的计算．
【专题】计算题．
【分析】根据平角的定义得到∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣130°＝50°，然后利用∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝90°即可计算出∠BOD的度数．
【解答】解：∵直线CD经过点O，
∴∠AOC+∠AOD＝180°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣130°＝50°，
∵∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝90°，
∴∠BOD＝90°﹣50°＝40°．
故选：C．
【点评】本题考查了角的计算：利用互补或互余进行角度的计算．
8．（2020秋•梁平区期末）如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的周长为（　　）

A．（2a+8）cm B．（3a+8）cm C．（4a+15）cm D．（4a+16）cm
【考点】完全平方公式的几何背景．
【分析】故此图形先求得矩形的长和宽，然后依据面积公式求解即可．
【解答】解：根据图形可知：矩形的宽为＝a+4﹣（a+1）＝3，
矩形的长＝a+4+（a+1）＝2a+5．
所以矩形的周长＝2（2a+5+3）＝4a+16．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是图形的简拼，熟练掌握相关知识是解题的关键．
9．（2020秋•重庆期末）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上一点，CF⊥AD于H，下面判断正确的有（　　）
①AD是△ABE的角平分线；
②BE是△ABD边AD上的中线；
③CH是△ACD边AD上的高；
④AH是△ACF的角平分线和高．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．
连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；
三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；
从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．
【解答】解：①根据三角形的角平分线的概念，知AG是△ABE的角平分线，故此说法错误；
②根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法错误；
③根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法正确；
④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．
10．（2017•奉化市自主招生）如图，已知动点P在函数y=12x（x＞0）的图象上运动，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：y＝﹣x+1交于点E，F，则AF•BE的值为（　　）

A．4 B．2 C．1 D．12
【考点】反比例函数综合题．
【专题】压轴题；动点型．
【分析】由于P的坐标为（a，12a），且PN⊥OB，PM⊥OA，那么N的坐标和M点的坐标都可以a表示，那么BN、NF、BN的长度也可以用a表示，接着F点、E点的也可以a表示，然后利用勾股定理可以分别用a表示AF，BE，最后即可求出AF•BE．
【解答】解：作FG⊥x轴，
∵P的坐标为（a，12a），且PN⊥OB，PM⊥OA，
∴N的坐标为（0，12a），M点的坐标为（a，0），
∴BN＝1−12a，
在直角三角形BNF中，∠NBF＝45°（OB＝OA＝1，三角形OAB是等腰直角三角形），
∴NF＝BN＝1−12a，
∴F点的坐标为（1−12a，12a），
同理可得出E点的坐标为（a，1﹣a），
∴AF2＝（1﹣1+12a）2+（12a）2=12a2，BE2＝（a）2+（﹣a）2＝2a2，
∴AF2•BE2=12a2•2a2＝1，即AF•BE＝1．
故选：C．

【点评】本题的关键是通过反比例函数上的点P来确定E、F两点的坐标，进而通过坐标系中两点的距离公式得出所求的值．
11．（2019•武汉）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（　　）
A．2a2﹣2a B．2a2﹣2a﹣2 C．2a2﹣a D．2a2+a
【考点】列代数式；规律型：数字的变化类．
【专题】规律型．
【分析】由等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2，得出规律：2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，那么250+251+252+…+299+2100＝（2+22+23+…+2100）﹣（2+22+23+…+249），将规律代入计算即可．
【解答】解：∵2+22＝23﹣2；
2+22+23＝24﹣2；
2+22+23+24＝25﹣2；
…
∴2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，
∴250+251+252+…+299+2100
＝（2+22+23+…+2100）﹣（2+22+23+…+249）
＝（2101﹣2）﹣（250﹣2）
＝2101﹣250，
∵250＝a，
∴2101＝（250）2•2＝2a2，
∴原式＝2a2﹣a．
故选：C．
【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2．
12．（2020秋•北碚区期末）若ab＜0，则ab的值（　　）
A．是正数 B．是负数 C．是非正数 D．是非负数
【考点】有理数的除法．
【分析】先根据有理数的乘法运算法则，由ab＜0，得出a与b异号，再根据有理数的除法运算法则，得出结果．
【解答】解：∵ab＜0，
∴a与b异号，
∴ab的值是负数．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的乘除法运算法则．两数相乘，同号得正，异号得负；两数相除，同号得正，异号得负．
二．填空题（共6小题）
13．（2020秋•沙坪坝区校级期末）席卷全世界的新型冠状病毒是个肉眼看不见的小个子，它的身高（直径）约为0.0000012米，将数0.0000012用科学记数法表示为　1.2×10﹣6　．
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】实数；数感．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000012＝1.2×10﹣6．
故答案为：1.2×10﹣6．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14．（2020秋•沙坪坝区校级期末）按照下面的程序计算，如果输入的值是正整数，输出结果是94，则满足条件的y值有　3　个．

【考点】有理数的混合运算；代数式求值．
【专题】计算题；运算能力．
【分析】当输出结果是94，代入3y+1，求得y，再把求得的这个y 值作为输出结果代入3y+1，求得y，一直下去，即可得出正整数y的值的个数．
【解答】解：当3y+1＝94时，
解得y＝31，
当3y+1＝31时，
解得y＝10，
当3y+1＝10时，
解得y＝3，
当3y+1＝3时，
解得y=23，不是整数，舍去．
故满足条件的y值有3个．
故答案为：3．
【点评】本题考查了程序图及解一元一次方程，明确流程图中y值的循环计算是解题的关键．
15．（2020秋•渝中区期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则a﹣b　＜　a﹣c．（选填“＞”或“＜”）

【考点】数轴；实数大小比较；不等式的性质．
【专题】实数；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】根据数轴得出c＜b，再根据不等式的性质进行变形即可．
【解答】解：从数轴可知：c＜b，
所以﹣c＞﹣b，
所以a﹣c＞a﹣b，
即a﹣b＜a﹣c，
故答案为：＜．
【点评】本题考查了实数的大小比较，数轴和不等式的性质等知识点，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键，注意：①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
16．（2021•饶平县校级模拟）已知4（x﹣1）与﹣2（x﹣3）互为相反数，则x＝　﹣1　．
【考点】相反数；解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】根据相反数的意义，互为相反数的两个数相加为0，列出方程，解方程求出x．
【解答】解：∵4（x﹣1）与﹣2（x﹣3）互为相反数，
∴4（x﹣1）+[﹣2（x﹣3）]＝0．
∴4x﹣4﹣2x+6＝0．
解得：x＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用．根据已知条件列出方程，通过解方程求解．
17．（2020秋•梁平区期末）无限循环小数如何化成分数呢？设x＝0.333…①，则10x＝3.333…②，则②﹣①，得9x＝3，即x=13，所以0.3⋅=0.33⋯=13，根据上述提供的方法：把0.7⋅化成分数为　79　．
【考点】有理数；解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】仿照例子的方法求出所求即可．
【解答】解：设x＝0.7⋅=0.777…①，
则10x＝7.777…②，
则由①﹣②得，﹣9x＝﹣7，即x=79，0.7⋅=0.777⋯=79，
故答案为：79．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（2020秋•梁平区期末）对于一个运算a※b=a+b(a＜b)a−b(a＞b)，已知|a|＝3，b＝2，那么a※b＝　±1　．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【分析】先根据绝对值的性质得出a的值，再分别代入相应公式，列式计算即可．
【解答】解：∵|a|＝3，b＝2，
∴a＝3或a＝﹣3，
当a＝3，b＝2时，a＞b，此时a※b＝3﹣2＝1；
当a＝﹣3，b＝2时，a＜b，此时a※b＝﹣3+2＝﹣1；
综上，a※b＝±1，
故答案为：±1．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的顺序和法则是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
19．（2020秋•重庆期末）计算：
（1）（−47）﹣（−15）−37+95；
（2）|﹣3|+（﹣1）3×（π﹣3.14）0﹣（−12）﹣3
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
【专题】计算题．
【分析】（1）先算同分母分数，再相加即可求解；
（2）本题涉及零指数幂、负整数指数幂、立方、绝对值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：（1）（−47）﹣（−15）−37+95；
＝（−47−37）+（15+95）
＝﹣1+2
＝1；
（2）|﹣3|+（﹣1）3×（π﹣3.14）0﹣（−12）﹣3
＝3﹣1×1+8
＝3﹣1+8
＝10．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、立方、绝对值等考点的运算．
20．（2020秋•重庆期末）如图，在下面的直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，4）三点，其中a，b满足关系式a=b2−9+9−b2b+3+2．
（1）求a，b的值；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，13），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次根式有意义的条件；坐标与图形性质；三角形的面积．
【分析】（1）根据二次根式的性质得出b2﹣9＝0，再利用b+3≠0，求出b的值，进而得出a的值；
（2）因为P在第二象限，将四边形ABOP的面积表示成三角形APO和三角形AOB的面积和，即可求解，
（3）将A，B，C坐标在直角坐标系中表示出来，求出三角形ABC的面积，当四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等时，即3﹣m＝6，得m＝﹣3，即可进行求解．
【解答】解：（1）∵a，b满足关系式a=b2−9+9−b2b+3+2，
∴b2﹣9＝0，b+3≠0，
∴b＝3，a＝2；

（2）四边形ABOP的面积可以看作是△APO和△AOB的面积和，
∵P在第二象限，∴m＜0，SAPOB＝S△AOB+SAPO=12×2×3+12×（﹣m）×2＝3﹣m．
故四边形ABOP的面积为3﹣m；

（3）由题意可得出：点A（0，2），B（3，0），C（3，4），
过A点作BC边上的高，交BC于点H，
则三角形ABC的面积为：S=12BC•AH=12×4×3＝6；
当四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等时，
即3﹣m＝6，得m＝﹣3，
此时P点坐标为：（﹣3，13），
存在P点，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等．

【点评】本题考查了坐标与图形性质及三角形的面积公式，难度较大，关键根据题意画出图形，认真分析解答．
21．（2020秋•北碚区期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为a+b2
【问题情境】如图1，已知数轴上有三点A、B、C，AB＝60，点A对应的数是40．
【综合运用】
（1）点B表示的数是 　﹣20　．
（2）若BC：AC＝4：7，求点C到原点的距离．
（3）如图2，在（2）的条件下，动点P、Q两点同时从C、A出发向右运动，同时动点R从点A向左运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒，点P、Q之间的距离与点Q、R之间的距离相等，求动点Q的速度；
（4）如图3，在（2）的条件下，O表示原点，动点P、T分别从C、O两点同时出发向左运动，同时动点R从点A出发向右运动，点P、T、R的速度分别为5个单位长度/秒，1个单位长度/秒、2个单位长度/秒，在运动过程中，如果点M为线段PT的中点，点N为线段OR的中点．请问PT﹣MN的值是否会发生变化？若不变，请求出相应的数值；若变化，请说明理由．

【考点】数轴；绝对值；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求解；
（2）根据AB＝60，BC：AC＝4：7，得出BC＝80，利用点A对应的数是40，即可得出点C对应的数；
（3）假设点R速度为x单位长度/秒，根据点P、Q之间的距离与点Q、R的距离相等，得出等式方程求出即可；
（4）分别表示出PR，MN的值，进而求出PT﹣MN的值．
【解答】解：（1）40﹣60＝﹣20．
故点B表示的数是﹣20．

（2）如图1，∵AB＝60，BC：AC＝4：7，
∴BCBC+60=47，
解得：BC＝80，
∵AB＝60，点A对应的数是40，
∴B点对应的数字为：﹣20，
∴点C到原点的距离为：80﹣（﹣20）＝100；

（3）如图2，设R的速度为每秒x个单位，则
R对应的数为40﹣5x，
P对应的数为﹣100+15x，
Q对应的数为10x+15，
PQ＝5x﹣115或115﹣5x
QR＝15x﹣25
∵PQ＝QR
∴5x﹣115＝15x﹣25或115﹣5x＝15x﹣25
解得：x＝﹣9（不合题意，故舍去）或x＝7
∴动点Q的速度是2×7﹣5＝9个单位长度/秒，

（4）如图3，设运动时间为t秒
P对应的数为﹣100﹣5t，T对应的数为﹣t，R对应的数为40+2t，
PT＝100+4t，
M对应的数为﹣50﹣3t，N对应的数为20+t，
MN＝70+4t
∴PT﹣MN＝30，
∴PT﹣MN的值不会发生变化，是30．



【点评】此题考查了一元一次方程的应用，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题关键，此题阅读量较大应细心分析．
22．（2020秋•北碚区期末）某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下：
一次性购物
优惠办法
少于200元
不予优惠
低于500元但不低于200元
九折优惠
500元或超过500元
其中500元部分给予九折优惠，
超过500元部分给予八折优惠
（1）王老师一次性购物700元，他实际付款 　610　元．
（2）若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款 　0.9x　元，当x大于或等于500元时，他实际付款 　（0.8x+50）　元．（用含x的代数式表示）．
（3）如果王老师两次购物货款合计810元，第一次购物的货款为a元（200＜a＜300），用含a的代数式表示：两次购物王老师实际共付款多少元？
【考点】列代数式；代数式求值；一元一次方程的应用．
【专题】经济问题；应用意识．
【分析】（1）让500元部分按9折付款，剩下的200元按8折付款即可；
（2）等量关系为：当x小于500元但不小于200元时，实际付款＝购物款×9折；当x大于或等于500元时，实际付款＝500×9折+超过500的购物款×8折；
（3）两次购物王老师实际付款＝第一次购物款×9折+500×9折+（总购物款﹣第一次购物款﹣第二次购物款500）×8折，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：（1）根据题意得，王老师一次性购物700元，他实际付款：
500×0.9+（700﹣500）×0.8＝610（元）．
故答案为：610；

（2）若顾客在该超市一次性购物x元，
当x小于500元但不小于200时，他实际付款0.9x元；
当x大于或等于500元时，他实际付款500×0.9+0.8（x﹣500）＝（0.8x+50）元．
故答案为：0.9x，（0.8x+50）；

（3）根据题意可得：
两次购物王老师实际共付款＝0.9a+0.8（810﹣a﹣500）+500×0.9＝0.9a+0.8（310﹣a）+450＝0.1a+698．
答：两次购物王老师实际付款（0.1a+698）元．
【点评】本题考查了列代数式以及有理数的混合运算，解决本题的关键是得到不同购物款所得的实际付款的等量关系，难点是求第二问的第二次购物款应分9折和8折两部分分别计算实际付款．
23．（2020秋•沙坪坝区校级期末）先化简，再求值：[b（a﹣b）﹣a（3a﹣2b）+（3a﹣b）（﹣b﹣3a）]÷（﹣3a），其中（a−12）2+|b−25|＝0．
【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；整式的混合运算—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【分析】直接利用整式的混合运算法则化简，再利用非负数的性质得出a，b的值，即可得出答案．
【解答】解：原式＝（ab﹣b2﹣3a2+2ab+b2﹣9a2）÷（﹣3a）
＝（3ab﹣12a2）÷（﹣3a）
＝﹣b+4a，
∵（a−12）2+|b−25|＝0，
∴a−12=0，b−25=0，
解得：a=12，b=25，
当a=12，b=25时，
原式=−25+4×12
=−25+2
=85．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算、非负数的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．
24．（2020秋•沙坪坝区校级期末）如图，∠COD在∠AOB的内部，且∠AOB＝150°，∠COD=15∠AOB，射线OE平分∠AOD．

（1）如图1，若∠AOC＝70°，求∠COE的度数；
（2）如图2，OF平分∠BOC，将∠COD绕着点O在∠AOB的内部旋转，若OD恰好平分∠BOF时，求∠AOE的度数．
【考点】角平分线的定义；角的计算．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】（1）根据∠AOB＝150°，∠COD=15∠AOB，求出∠COD的度数，再根据OE平分∠AOD，计算出∠EOD的度数，再由∠COE＝∠EOD﹣∠COD，解答即可；
（2）由角平分线的性质，计算出∠BOD和∠AOD的度数，再由OE平分∠AOD，即可求∠AOE的度数．
【解答】解：∵∠AOB＝150°，
∵∠COD=15∠AOB，
∠COD＝30°，
∵∠AOC＝70°，
∴∠AOD＝∠COD+∠AOC＝100°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE＝∠EOD=12∠AOD＝50°，
∠COE＝∠EOD﹣∠COD＝20°．
（2）OF，OD分别平分∠COB和∠BOF，
∴∠COF＝∠FOBr=12∠COE，
∴∠FOD＝∠BOD=12∠FOB，
∴∠COD＝∠COF+∠FOD＝3∠BOD，
又∵∠COD＝30°，
∴∠BOD＝10°，
∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝140°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE＝∠AOD＝70°．
【点评】本题考查了角平分线的定义，利用角平分线的性质，推出角之间的关系是解题的关键．
25．（2020秋•渝中区期末）已知∠AOB是直角，∠AOC是锐角，OC在∠AOB的内部，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．
（1）根据题意画出图形；
（2）求出∠DOE的度数；
（3）若将条件“∠AOB是直角”改为“∠AOB为锐角，且∠AOB＝n°”，其它条件不变，请直接写出∠DOE的度数．
【考点】角平分线的定义；作图—复杂作图．
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）根据要求画出图形即可．
（2）利用角平分线的定义计算即可．
（3）利用（2）中，结论解决问题即可．
【解答】解：（1）图形如图所示．


（2）∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠DOC=12∠AOC，∠EOC=12∠BOC，
∴∠DOE=12（∠AOC+∠BOC）=12∠AOB，
∵∠AOB＝90°，
∴∠DOE＝45°．

（3）当∠AOB为锐角，且∠AOB＝n°时，由（2）可知∠DOE=12n°．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
26．（2020秋•渝中区期末）阅读下列材料：
一般地，我们把按一定顺序排列的三个数x1，x2，x3，叫做数列x1，x2，x3．计算：|x1|，|x1+x2|2，|x1+x2+x3|3，我们把计算结果的最小值称为数列x1，x2，x3的价值．例如，对于数列2，﹣1，3，因为|2|＝2，|2+(−1)|2=12，|2+(−1)+3|3=43．所以数列2，﹣1，3的价值为12，改变这三个数的顺序按照上述方法可计算出其它数列的价值．比如，数列﹣1，2，3的价值为12；数列3，﹣1，2的价值为1．通过计算，发现：对于“2，﹣1，3”这三个数，按照不同的排列顺序可得到不同的数列，这些数列的价值的最小值为12．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求数列﹣2，7，1的价值；
（2）由“﹣2，7，1”这三个数按照不同的顺序排列共有多少种不同的数列，写出这些数列，并求出它们的价值的最小值和最大值；
（3）将2，﹣7，a（a＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，请直接写出a的值．
【考点】绝对值；规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；运算能力；推理能力．
【分析】（1）根据题目中数列价值的定义计算即可；
（2）题中的三个数可以排列组合成6中不同的数列，分别计算数列的价值即可；
（3）分情况计算出a的取值，再舍去不正确的取值即可．
【解答】解：（1）∵|﹣2|＝2，|−2+7|2=52，|−2+7+1|3=2，
∴数列﹣2，7，1的价值为2；
（2）由“﹣2，7，1”这三个数按照不同的顺序排列的数列有6种，具体如下：
数列﹣2，7，1；
数列﹣2，1，7；
数列7，﹣2，1；
数列7，1，﹣2；
数列1，7，﹣2；
数列1，﹣2，7；
由（1）知数列﹣2，7，1的价值是2；
∵|﹣2|＝2，|−2+1|2=12，|−2+7+1|3=2，
∴数列﹣2，1，7的价值是12；
同理可求：
数列7，﹣2，1的价值是2；
数列7，1，﹣2的价值是2；
数列1，7，﹣2的价值是1；
数列1，﹣2，7的价值是12；
综上可知，这些数列的价值的最小值是12，最大值是2；
（3）若这些数列的价值的最小值为1，
则|−7+a|2=1或|−7+a+2|3=1或|a+2|2=1，且a＞1，
解得：a＝5或9或2或8，
当a＝5时，|−7+a+2|3=0＜1，
∴a＝5不符合，舍去；
当a＝8时，则|−7+a|2=12＜1，
∴a＝8，不符合，舍去；
综上，a的值为2或9．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，归纳总结出数字的变化规律是解题的关键，注意第三小题的分类讨论，并舍去不合适的取值．

考点卡片
1．有理数
1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．
2、有理数的分类：
①按整数、分数的关系分类：有理数整数正整数0负整数分数正分数负分数；
②按正数、负数与0的关系分类：有理数正有理数正整数正分数0负有理数负整数负分数．
注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
2．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
3．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
4．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
5．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．
6．有理数的除法
（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a•1b （b≠0）
（2）方法指引：
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．
7．有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．

8．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
9．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
10．科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围
表示方法
a的取值
n的取值
|x|≥10
a×10n
1≤|a|
＜10
整数的位数﹣1
|x|＜1
a×10﹣n
第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）
11．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
12．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
13．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．

【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
14．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
15．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
16．完全平方公式的几何背景
（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形

（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
17．整式的混合运算
（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．
18．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
19．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
20．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p＝1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
21．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．a（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
22．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
23．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
24．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或am＞bm；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或am＜bm；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
25．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
26．反比例函数综合题
（1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．
（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
27．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．

（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
28．角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC=13∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
29．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
30．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
31．三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
32．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
33．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
34．简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
俯、左：宽相等．
35．由三视图判断几何体
（1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
（2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：
①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；
②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；
③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；
④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．