4.高一数学(人教B版)-同角三角函数的基本关系式-1教案

教学基本信息

课题

同角三角函数的基本关系式

学科

数学

学段： 高中

年级

高一

教材

书名：普通高中教科书 数学（B版）必修 第三册

出版社：人民教育出版社    出版日期：2019年7月

教学目标及教学重点、难点

本节课借助单位圆在三角函数定义的基础上探究同角三角函数的基本关系式，并初步利用同角三角函数的基本关系式解决同角三角函数值知一求其他的问题. 在研究过程中从数与形的角度理解公式，并从静态和动态两个角度分析公式探索其功能，体会数形结合的思想方法.

教学过程(表格描述)

教学环节

主要教学活动

设置意图

引入

问题：如何用数学的眼光看旋转和平移？

根据三角函数定义，角的终边与单位圆的交点，由横纵坐标的比值确定，角的终边与单位圆定义了三个三角函数.

思考：它们之间知否存在特殊的关系呢？能否用数学语言来表达？

利用单位圆和三角函数定义，引导学生发现角在旋转过程中，三个三角函数值的关系具有不变性.并用数学语言来刻画这种不变性.

新课

单位圆的圆心在原点，半径为1，它在平面直角坐标系中的位置是确定的，角的终边在旋转过程中，点在单位圆上运动，与原点的距离始终保持不变，由两点距离公式得到同角三角函数的基本关系式：

，，

公式理解：

1. 这是一组恒等式；

2. 静态角度：方程；动态角度：三个函数的关系；

3. 功能：求值、变形.

利用数学语言描述点在旋转过程中三个三角函数关系的不变性，得到同角三角函数的基本关系式.

通过多角度分析、理解公式，并挖掘其应用范围.

例题

例1.已知，且是第二象限角，求角的余弦和正切.

思路：从单位圆上分析，满足题意的角的终边位置只有一个；从数的角度利用平方关系求唯一，再利用商数关系求.

变式：已知，求角的余弦和正切.

思路：从单位圆上分析，一个正弦值可以找到两个终边位置，因此有两组余弦和正切值；从数的角度利用平方关系解出两个余弦值，分象限讨论两个象限余弦和正切的值.

注意：在不能确定角的范围时，需要分象限进行分类讨论，结果不能写成.

例2. 已知，且是第二象限角，求角的正弦和余弦.

思路1：方程思想；

思路2：用同角三角函数基本关系式进行消元，建立正

切和正弦或正切和余弦的二元关系.

变式： 已知，求.

思路1：方程思想；

思路2：利用同角三角函数的基本关系式，通过等价变形，将所求代数式化为只含有正切的形式.

任务：你能写出一个只含有同角正余弦的代数式，它能化为只含有正切的代数式吗？

应用同角三角函数的基本关系式解决三角函数值知一求其他的的问题.结合单位圆从形的角度进一步理解求值过程中多解的产生原因，并在解决问题中注意分象限讨论或利用象限确定唯一解.

总结

1.研究思路：角的终边在旋转过程中，同一个角的三角函数值在发生变化，但三个三角函数的关系具有不变性

2.研究结论：同角三角函数的基本关系式

，，

3.公式理解：

静态角度（方程）、动态角度（三个函数关系）

4.应用公式解决同角三角函数值知一求其他的问题.在应用过程中体会数形结合的思想方法.

回顾本节课的研究思路，研究结论及研究方法.

作业

1. 求解下列各题

（1）已知，且为第一象限角，求，；

（2）已知，且为第三象限角，求，；

（3）已知，且为第四象限角，求，；

（4）已知，且为第二象限角，求，.

2. 已知，求和.

3. 已知，求和.

4. 已知，求下列各式的值.

（1）；  （2）；

（3）； （4）.

利用同角三角函数的基本关系式解决三角函数值知一求其它的问题，在练习中进一步体会数与形的联系，并深化理解方程思想.