2020-2021学年宁夏某校高二（上）期末数学试卷（文科）人教A版（Word含解析）

这是一份2020-2021学年宁夏某校高二（上）期末数学试卷（文科）人教A版（Word含解析），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知复数(1+2i)i＝a+bi，a∈R，b∈R，a+b＝（ ）
A.−3B.−1C.1D.3

2. 两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）
A.模型1的相关指数R2为0.98
B.模型2的相关指数R2为0.80
C.模型3的相关指数R2为0.50
D.模型4的相关指数R2为0.25

3. 有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线：已知直线b // 平面α，直线a⊂平面α，则直线b // 直线a”，结论显然是错误的，这是因为（ ）
A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误

4. 已知两定点F1(5, 0)，F2(−5, 0)，曲线上的点P到F1、F2的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为（ ）
A.x29−y216=1B.x216−y29=1C.x225−y236=1D.y225−x236=1

5. 某企业一种商品的产量与单位成本数据如表：
现根据表中所提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为y​=2x−1，则a值等于（ ）
A.4.5B.5C.5.5D.6

6. 已知抛物线x2＝4y上一点M到焦点的距离为2，则点M到x轴的距离为（ ）
A.B.1C.2D.4

7. 若函数f(x)=lnx−mx在[1, 3]上为增函数，则m的取值范围为( )
A.(−∞, −1]B.[−3, +∞)C.[−1, +∞)D.(−∞, −3]

8. 在极坐标系中，点到直线的距离为（ ）
A.5B.4C.3D.2

9. 已知z¯是复数z的共轭复数，z+z¯+z⋅z¯=0，则复数z在复平面内对应的点的轨迹是（ ）
A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

10. 已知函数f(x)=13ax3+12bx2−x(a>0, b>0)在x=1处取得极小值，则1a+4b的最小值为( )
A.4B.5C.9D.10

11. 已知点A的坐标为(5, 2)，F为抛物线y2＝x的焦点，若点P在抛物线上移动，当|PA|+|PF|取得最小值时，则点P的坐标是（ ）
A.(1，）B.（，2)C.（，−2)D.(4, 2)

12. 已知函数f(x)=exx−ax，x∈(0, +∞)，当x2>x1时，不等式f(x1)x2−f(x2)x1<0恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A.(−∞, e]B.(−∞, e)C.(−∞,e2)D.(−∞,e2]
二、填空题

i是虚数单位，复数＝________．

函数f(x)的图象在x=2处的切线方程为2x+y−3=0，则f(2)+f′(2)=________．

曲线C的极坐标方程为ρ＝3sinθ，则曲线C的直角坐标方程为________．

在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A−BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则________．”

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

已知函数f(x)=ax3+bx2−3x在x=−1和x=3处取得极值．
(1)求a，b的值；

(2)求f(x)在[−4, 4]内的最值．

设抛物线C:y2=4x，F为C的焦点，过F的直线L与C相交于A、B两点．
（1）设L的斜率为1，求|AB|的大小；

（2）求证：OA→⋅OB→是一个定值．

在直角坐标系xOy中，直线C1:x=−2，圆C2：(x−1)2+(y−2)2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程；

(2)若直线C3的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．

近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
(Ⅰ)用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？
(Ⅱ)在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女性的概率；
(Ⅲ)为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量K2，你有多大的把握认为心肺疾病与性别有关？
下面的临界值表供参考：
（参考公式K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d）

一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会缺损，按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如表：

（1）作出散点图；

（2）如果y与x线性相关，求出回归直线方程；

（3）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺损的零件最多为10个，机器的转速应控制在什么范围内？（结果保留整数）
附：线性回归方程＝中，，，其中，为样本平均值．

已知函数，F(x)＝f(x)+g(x)．
（1）求f(x)的单调性；

（2）若关于x的不等式F(x)参考答案与试题解析
2020-2021学年宁夏某校高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12题，共60分）
1.
【答案】
B
【考点】
复数的基本概念
复数的运算
虚数单位i及其性质
【解析】
根据复数相等建立方程关系进行求解即可．
【解答】
由(1+2i)i＝a+bi得−2+i＝a+bi，
得a＝−2且b＝1，则a+b＝−2+1＝−1，
2.
【答案】
A
【考点】
相关系数
【解析】
两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2，越接近于1，这个模型的拟合效果越好，在所给的四个选项中0.98是相关指数最大的值，得到结果．
【解答】
解：两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2，越接近于1，
这个模型的拟合效果越好，
在所给的四个选项中0.98是相关指数最大的值，
∴ 拟合效果最好的模型是模型1．
故选A．
3.
【答案】
A
【考点】
演绎推理的基本方法
【解析】
分析该演绎推理的三段论，即可得出错误的原因是什么．
【解答】
解：该演绎推理的大前提是：若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；
小前提是：已知直线b // 平面α，直线a⊂平面α；
结论是：直线b // 直线a；
该结论是错误的，因为大前提是错误的，
正确叙述是“若直线平行于平面，过该直线作平面与已知平面相交，则交线与该直线平行”．
故选：A．
4.
【答案】
A
【考点】
轨迹方程
【解析】
利用双曲线的定义判断出动点的轨迹；利用双曲线中三参数的关系求出b，写出双曲线的方程．
【解答】
据双曲线的定义知，
P的轨迹是以F1(5, 0)，F2(−5, 0)为焦点，以实轴长为6的双曲线．
所以c＝5，a＝3
b2＝c2−a2＝16，
所以双曲线的方程为：x29−y216=1
5.
【答案】
B
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
由已知表格中的数据求得x¯与y¯的值，代入线性回归方程求解a值．
【解答】
x¯=2+3+43=3，y¯=10+a3，
代入线性回归方程为y​=2x−1，得10+a3=2×3−1，
解得a＝5．
6.
【答案】
B
【考点】
抛物线的性质
【解析】
先根据抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，进而根据抛物线的定义可知点p到焦点的距离与到准线的距离相等，进而推断出yM+1＝2，求得yM，可得点M到x轴的距离．
【解答】
根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0, 1)，准线方程为y＝−1，
根据抛物线定义，
∴ yM+1＝2，
解得yM＝1，
∴ 点M到x轴的距离为1，
7.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
求出函数的导数，问题转化为x+m≥0在[1, 3]恒成立，求出m的范围即可．
【解答】
解：已知函数f(x)在[1, 3]上为增函数，
则f′(x)=1x+mx2=x+mx2≥0在[1, 3]上恒成立，
即x+m≥0在[1, 3]上恒成立，
则m≥(−x)max=−1，
则m≥−1.
故选C.
8.
【答案】
D
【考点】
点到直线的距离公式
圆的极坐标方程
【解析】
首先把点的极坐标转换为直角坐标，进一步把直线的极坐标方程转换为直角坐标方程，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．
【解答】
点根据转换为直角坐标为A(0，），
直线转化为直角坐标方程为，
所以点A到直线的距离d＝．
9.
【答案】
A
【考点】
轨迹方程
【解析】
设出复数z的代数形式，代入z+z¯+z⋅z¯=0，整理后即可得到答案．
【解答】
解：设z=x+yi(x, y∈R)，
则z¯=x−yi，
代入z+z¯+z⋅z¯=0，得：
x+yi+x−yi+(x2+y2)2=0，
即x2+y2+2x=0．
整理得：(x+1)2+y2=1．
∴ 复数z在复平面内对应的点的轨迹是圆．
故选：A．
10.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的极值
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得a，b的约束条件，据线性规划求出最值．
【解答】
解：∵ 函数f(x)=13ax3+12bx2−x(a>0, b>0)，
∴ f′(x)=ax2+bx−1，
由在x=1处取得极小值，可得a+b=1，
则1a+4b=(1a+4b)(a+b)
=5+ba+4ab≥5+2ba⋅4ab=9，
当且仅当b=2a=23时取等号，
则1a+4b的最小值为9．
故选C.
11.
【答案】
D
【考点】
抛物线的性质
【解析】
由抛物线的定义可知：|PF|＝|PH|，则|PA|+|PF|＝|PA|+|PH|，则当A，P，H三点共线时，|PA|+|PH|取最小，即可求得P点坐标．
【解答】
由题意可知：A(5, 2)在抛物线内部，设P(x, y)
则由抛物线的定义可知：|PF|＝|PH|，
则|PA|+|PF|＝|PA|+|PH|，则当A，P，H三点共线时，|PA|+|PH|取最小，
则y＝2，则x＝4，
故P点坐标为(4, 2)，
12.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
根据题意可得函数g(x)＝xf(x)＝ex−ax2在x∈(0, +∞)时是单调增函数，求导，分离参数，构造函数，求出最值即可
【解答】
∵ x∈(0, +∞)，
∴ x1f(x1)即函数g(x)＝xf(x)＝ex−ax2在x∈(0, +∞)时是单调增函数．
则g′(x)＝ex−2ax≥0恒成立．
∴ 2a≤exx，
令m(x)=exx，
则m′(x)=(x−1)exx2，
x∈(0, 1)时m′(x)<0，m(x)单调递减，
x∈(1, +∞)时m′(x)>0，m(x)单调递增，
∴ 2a≤m(x)min＝m(1)＝e，
∴ a≤e2．
故选：D．
二、填空题
【答案】
2−i
【考点】
复数的运算
【解析】
直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】
＝．
【答案】
−3
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
先将x=2代入切线方程可求出f(2)，再由切点处的导数为切线斜率可求出f′(2)的值，最后相加即可．
【解答】
解：由已知切点在切线上，
所以f(2)=−1，
切点处的导数为切线斜率，
所以f′(2)=−2，
所以f(2)+f′(2)=−3．
故答案为：−3．
【答案】
x2+y2−3y＝0
【考点】
圆的极坐标方程
【解析】
直接利用转换关系，把极坐标方程和直角坐标方程进行转换．
【解答】
C的极坐标方程为ρ＝3sinθ，根据转换为直角坐标方程为x2+y2−3y＝0．
【答案】
S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2
【考点】
类比推理
【解析】
从平面图形到空间图形的类比
【解答】
解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2．
故答案为：S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【答案】
解：(1)f′(x)=3ax2+2bx−3，
由题意可得f′(x)=3ax2+2bx−3=0的两个根为−1和3，
则−1+3=−2b3a,−1×3=−1a,
解可得a=13，b=−1.
(2)由(1)知，f′(x)=(x−3)(x+1)，
易得f(x)在(−∞, −1)，(3, +∞)上单调递增，在(−1, 3)上单调递减，
又f(−4)=−763，f(−1)=53，f(3)=−9，f(4)=−203，
所以f(x)min=f(−4)=−763，f(x)max=f(−1)=53．
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的最值
【解析】
（1）先对函数求导，由题意可得f′(x)＝3ax2+2bx−3＝0的两个根为−1和3，结合方程的根与系数关系可求，
（2）由（1）可求f′(x)，然后结合导数可判断函数的单调性，进而可求函数的最值．
【解答】
解：(1)f′(x)=3ax2+2bx−3，
由题意可得f′(x)=3ax2+2bx−3=0的两个根为−1和3，
则−1+3=−2b3a,−1×3=−1a,
解可得a=13，b=−1.
(2)由(1)f′(x)=(x−3)(x+1)，
易得f(x)在(−∞, −1)，(3, +∞)上单调递增，在(−1, 3)上单调递减，
又f(−4)=−763，f(−1)=53，f(3)=−9，f(4)=−203，
所以f(x)min=f(−4)=−763，f(x)max=f(−1)=53．
【答案】
（1）解：∵ 直线L的斜率为1且过点F(1, 0)，∴ 直线L的方程为y=x−1，
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，联立y=x−1y2=4x消去y得x2−6x+1=0，△>0，
∴ x1+x2=6，x1x2=1．
∴ |AB|=x1+x2+p=8．
（2）证明：设直线L的方程为x=ky+1，联立x=ky+1y2=4x消去x得y2−4ky−4=0．△>0，
∴ y1+y2=4k，y1y2=−4，
设A=(x1, y1)，B=(x2, y2)，则OA→=(x1,y1)，OB→=(x2,y2)．
∴ OA→⋅OB→=x1x2+y1y2=(ky1+1)(ky2+1)+y1y2
=k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2=−4k2+4k2+1−4=−3．
∴ OA→⋅OB→=−3是一个定值．
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；
（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；
【解答】
（1）解：∵ 直线L的斜率为1且过点F(1, 0)，∴ 直线L的方程为y=x−1，
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，联立y=x−1y2=4x消去y得x2−6x+1=0，△>0，
∴ x1+x2=6，x1x2=1．
∴ |AB|=x1+x2+p=8．
（2）证明：设直线L的方程为x=ky+1，联立x=ky+1y2=4x消去x得y2−4ky−4=0．△>0，
∴ y1+y2=4k，y1y2=−4，
设A=(x1, y1)，B=(x2, y2)，则OA→=(x1,y1)，OB→=(x2,y2)．
∴ OA→⋅OB→=x1x2+y1y2=(ky1+1)(ky2+1)+y1y2
=k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2=−4k2+4k2+1−4=−3．
∴ OA→⋅OB→=−3是一个定值．
【答案】
解：(1)由于x=ρcsθ，y=ρsinθ，
∴ C1:x=−2 的极坐标方程为 ρcsθ=−2，
C2：(x−1)2+(y−2)2=1的极坐标方程为：
(ρcsθ−1)2+(ρsinθ−2)2=1，
化简可得ρ2−(2ρcsθ+4ρsinθ)+4=0．
(2)把直线C3的极坐标方程θ=π4(ρ∈R)代入
圆C2：(x−1)2+(y−2)2=1，
可得ρ2−(2ρcsθ+4ρsinθ)+4=0，
求得ρ1=22，ρ2=2，
∴ |MN|=|ρ1−ρ2|=2，
由于圆C2的半径为1，
∴ C2M⊥C2N，
△C2MN的面积为12⋅C2M⋅C2N=12⋅1⋅1=12．
【考点】
圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化
圆的极坐标方程
直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
【解析】
(Ⅰ)由条件根据x＝ρcsθ，y＝ρsinθ求得C1，C2的极坐标方程．
(Ⅱ)把直线C3的极坐标方程代入ρ2−32ρ+4＝0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积12⋅C2M⋅C2N的值．
【解答】
解：(1)由于x=ρcsθ，y=ρsinθ，
∴ C1:x=−2 的极坐标方程为 ρcsθ=−2，
C2：(x−1)2+(y−2)2=1的极坐标方程为：
(ρcsθ−1)2+(ρsinθ−2)2=1，
化简可得ρ2−(2ρcsθ+4ρsinθ)+4=0．
(2)把直线C3的极坐标方程θ=π4(ρ∈R)代入
圆C2：(x−1)2+(y−2)2=1，
可得ρ2−(2ρcsθ+4ρsinθ)+4=0，
求得ρ1=22，ρ2=2，
∴ |MN|=|ρ1−ρ2|=2，
由于圆C2的半径为1，
∴ C2M⊥C2N，
△C2MN的面积为12⋅C2M⋅C2N=12⋅1⋅1=12．
【答案】
（I）在患心肺疾病的人群中抽6人，则抽取比例为 630=15，
∴ 男性应该抽取20×15=4人…．
(II)在上述抽取的6名学生中，女性的有2人，男性4人．女性2人记A，B；男性4人为c，d，e，f，则从6名学生任取2名的所有情况为：(A, B)、(A, c)、(A, d)、(A, e)、(A, f)、(B, c)、(B, d)、(B, e)、(B, f)、(c, d)、(c, e)、(c, f)、(d, e)、(d, f)、(e, f)共15种情况，其中恰有1名女生情况有：(A, c)、(A, d)、(A, e)、(A, f)、(B, c)、(B, d)、(B, e)、(B, f)，共8种情况，
故上述抽取的6人中选2人，恰有一名女性的概率概率为P=815．…．
(III)∵ K2≈8.333，且P(k2≥7.879)＝0.005＝0.5%，
那么，我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的．…．
【考点】
分层抽样方法
独立性检验
【解析】
（I）根据分层抽样的方法，在患心肺疾病的人群中抽6人，先计算了抽取比例，再根据比例即可求出男性应该抽取人数．
(II)在上述抽取的6名学生中，女性的有2人，男性4人．女性2人记A，B；男性4人为c，d，e，f，列出其一切可能的结果组成的基本事件个数，通过列举得到满足条件事件数，求出概率．
(III)根据所给的公式，代入数据求出临界值，把求得的结果同临界值表进行比较，看出有多大的把握认为心肺疾病与性别有关．
【解答】
（I）在患心肺疾病的人群中抽6人，则抽取比例为 630=15，
∴ 男性应该抽取20×15=4人…．
(II)在上述抽取的6名学生中，女性的有2人，男性4人．女性2人记A，B；男性4人为c，d，e，f，则从6名学生任取2名的所有情况为：(A, B)、(A, c)、(A, d)、(A, e)、(A, f)、(B, c)、(B, d)、(B, e)、(B, f)、(c, d)、(c, e)、(c, f)、(d, e)、(d, f)、(e, f)共15种情况，其中恰有1名女生情况有：(A, c)、(A, d)、(A, e)、(A, f)、(B, c)、(B, d)、(B, e)、(B, f)，共8种情况，
故上述抽取的6人中选2人，恰有一名女性的概率概率为P=815．…．
(III)∵ K2≈8.333，且P(k2≥7.879)＝0.005＝0.5%，
那么，我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的．…．
【答案】
根据表中的数据画出散点图如右图：
由题中数据列表如下：
，，，，
∴ ，，
∴ ；
令0.73x−0.875≤10，解得x≤14.9≈15，
故机器的运转速度应控制在15转/秒内．
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
（1）直接由表格中的数据可得散点图；
（2）由已知数据求得与的值，可得y关于x的线性回归方程；
（3）由0.73x−0.875≤10求解x的范围得结论．
【解答】
根据表中的数据画出散点图如右图：
由题中数据列表如下：
，，，，
∴ ，，
∴ ；
令0.73x−0.875≤10，解得x≤14.9≈15，
故机器的运转速度应控制在15转/秒内．
【答案】
定义域为(0, +∞)，
f′(x)＝−2mx＝，
①当m≤0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在(0, +∞)上是增函数；
②当m>0时，令f′(x)>0，解得0，
所以f(x)在(0，）上单调递增，在（，+∞)上单调递减．
由F(x)≤mx−1恒成立，可知m≥(x>0)恒成立，
令h(x)＝(x>0)，则h′(x)＝，
令φ(x)＝2lnx+x，因为φ（）＝−ln4<0，φ(1)＝1>0，且φ(x)为增函数，
故存在x0∈（，1)，使φ(x0)＝0，即2lnx0+x0＝0，
当00，h(x)为增函数，当x>x0时，h′(x)<0，h(x)为减函数，
所以h(x)max＝h(x0)＝＝，
而x0∈（，1)，所以∈(1, 2)，所以m≥2，
所以整数m的最小值为2．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
【解析】
（1）求出函数f(x)的定义域，求出f(x)导函数，对分类讨论，利用导数与单调性的关系求解即可；
（2）利用参数分离法将不等式恒成立问题转化为m≥(x>0)恒成立，令h(x)＝(x>0)，利用导数求出h(x)的最大值，即可求得m的取值范围，从而可求得整数m的最小值．
【解答】
定义域为(0, +∞)，
f′(x)＝−2mx＝，
①当m≤0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在(0, +∞)上是增函数；
②当m>0时，令f′(x)>0，解得0，
所以f(x)在(0，）上单调递增，在（，+∞)上单调递减．
由F(x)≤mx−1恒成立，可知m≥(x>0)恒成立，
令h(x)＝(x>0)，则h′(x)＝，
令φ(x)＝2lnx+x，因为φ（）＝−ln4<0，φ(1)＝1>0，且φ(x)为增函数，
故存在x0∈（，1)，使φ(x0)＝0，即2lnx0+x0＝0，
当00，h(x)为增函数，当x>x0时，h′(x)<0，h(x)为减函数，
所以h(x)max＝h(x0)＝＝，
而x0∈（，1)，所以∈(1, 2)，所以m≥2，
所以整数m的最小值为2．产量x（万件）
2
3
4
单位成本y（元/件）
3
a
7
患心肺疾病
不患心肺疾病
合计
男
20
5
25
女
10
15
25
合计
30
20
50
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
转速x（转/秒）
16
14
12
8
每小时生产缺损零件数y（件）
11
9
8
5
i
1
2
3
4
xi
16
14
12
8
yi
11
9
8
5
xiyi
176
126
96
40
i
1
2
3
4
xi
16
14
12
8
yi
11
9
8
5
xiyi
176
126
96
40