2020-2021学年河南省焦作市高二（上）期末数学试卷（文科）人教A版（Word含解析）

这是一份2020-2021学年河南省焦作市高二（上）期末数学试卷（文科）人教A版（Word含解析），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知全集U＝Z，集合A＝{x∈Z|x<−1或x>2}，则∁UA＝（ ）
A.[−1, 2)B.(−1, 2)C.{−1, 0, 1, 2}D.{0, 1}

2. 如图是某公司2020年1月到10月的销售额（单位；万元）的折线图，销售额在35万元以下为亏损，超过35万元为盈利，则下列说法错误的是（ ）

A.这10个月中销售额最低的是1月份
B.从1月到6月销售额逐渐增加
C.这10个月中有3个月是亏损的
D.这10个月销售额的中位数是43万元

3. 若实数x，y满足约束条件，则z＝−3x+y的最小值为（ ）
A.−2B.0C.−4D.−3

4. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝3，S6−S3＝27，则a8＝（ ）
A.6B.9C.12D.15

5. 已知，则（ ）
A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b

6. 已知函数为f(x)的导函数，若f′(a)＝f(a)，则a＝（ ）
A.0B.−1C.2D.0或2

7. 已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|+|F2B|＝10，则|AB|＝（ ）
A.2B.4C.6D.10

8. 直线7x+y−2＝0与圆C：(x−1)2+y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，若△ABC为直角三角形，则r＝（ ）
A.1B.C.D.2

9. 已知曲线y＝axb在点(−1, a)处的切线方程为8x−y+6＝0，则（ ）
A.a＝2，b＝4B.a＝−2，b＝4C.a＝8，b＝1D.a＝8，b＝−1

10. 已知a，b为正实数，且ab−3(a+b)+8＝0，则ab的取值范围是（ ）
A.[2, 4]B.(0, 2]∪[4, +∞)C.[4, 16]D.(0, 4]∪[16, +∞)

11. 已知{an}是各项均为正数的等比数列，则下列结论中正确的个数为（ ）
①a2a4＝a1a5；②a1+a5≥2a3；③a1+a5≥a2+a4；④若a5>a3，则a4>a2．
A.1B.2C.3D.4

12. 已知双曲线的离心率为，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．点A，B到双曲线的同一条渐近线的距离之和为，则双曲线的方程为（ ）
A.B.C.D.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

已知向量a→=(1, x)，向量b→=(−1, x)，若2a→−b→与b→垂直，则|a→|等于________．

抛物线上一点M到焦点的距离为3，则点M的纵坐标为________．

在△ABC中．若sinA，sinB，sinC成公比为的等比数列，则csB＝________．

已知函数f(x)＝x，g(x)＝ex，若f(x1)＝g(x2)，则|x1−x2|的最小值为________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

已知等比数列{an}的公比q＝−2，且a3，−a4，a5−4依次成等差数列．
(Ⅰ)求an；
(Ⅱ)设bn＝a2n−1，求数列{bn}的前n项和Sn．

已知命题p:∀x∈[1, 2]，3x2−mx+2<0；命题q：函数y=x+mx在区间(0,1)上单调递减．其中m为常数．
(1)若p为真命题，求m的取值范围；

(2)若(¬p)∧q为真命题，求m的取值范围．

在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2csBcsC+2csA＝sinC．
（1）求B；

（2）若的面积为，求a+c的值．

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PB＝PD＝3，PA＝AD＝3，点E，F分别为线段PD，BC的中点．

（1）求证：EF // 平面ABP；

（2）求证：平面AEF⊥平面PCD；

（3）求三棱锥C−AEF的体积．

设函数．
（1）求f(x)的单调区间；

（2）求证：当x∈[1, ea]时，．

已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点B为椭圆的右顶点，直线AB与y轴交于点M，过点M作直线与椭圆交于P，Q两点，若•＝6•，求直线PQ的斜率．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省焦作市高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】
C
【考点】
补集及其运算
【解析】
利用补集定义和不等式的性质直接求解．
【解答】
∵ 全集U＝Z，集合A＝{x∈Z|x<−1或x>2}，
∴ 由题意可知∁UA＝{x∈Z|−5≤x≤2}＝{−1, 8, 1, 2}．
2.
【答案】
B
【考点】
分布和频率分布表
【解析】
通过理解折线图，即可得出答案．
【解答】
根据折线图知，这个10月中销售额最低的是1月份，所以A正确；
从1月到8月销售额是先增加后减少，再增加；
1月，3月和6月的销售额低于35万元；
这10个月的销售额从小到大排列为30，32，40，45，60，80万元，
其中位数是万元．
3.
【答案】
C
【考点】
简单线性规划
【解析】
画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解最小值即可．
【解答】
由题意实数x，y满足约束条件，0)，−5)，
B(2, 2)围成的三角形区域，
当且仅当动直线z＝−5x+y经过点B(2, 2)时，
z＝−5x+y取最小值：−3×2+3＝−4．
4.
【答案】
D
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
由条件得S6−S3＝a4+a5+a6＝3a5＝27，解得a5＝9，再由a8+a2＝2a5＝18，能求出a8．
【解答】
∵ 等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，S5−S3＝27，
∴ 由条件得S6−S5＝a4+a5+a4＝3a5＝27，
解得a8＝9，
又∵ a8+a6＝2a5＝18，
∴ a2＝15．
5.
【答案】
A
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
可得出，，从而可得出a，b，c的大小关系．
【解答】
∵ ，，
∴ a>b>c．
6.
【答案】
D
【考点】
导数的运算
【解析】
利用导数的求导法则求出f′(x)，利用等式f′(a)＝f(a)，列式求解即可．
【解答】
因为f′(x)＝ex−ex，根据条件得．
7.
【答案】
C
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
利用椭圆的定义，转化求解|AB|即可．
【解答】
根据椭圆的定义|F1A|+|F2A|+|F6B|+|F2B|＝4a＝16，
所以|AB|＝|F7A|+|F2B|＝6．
8.
【答案】
A
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
求出圆的圆心，利用点到直线的距离，结合三角形的形状，求解即可．
【解答】
圆C的圆心为(1, 0)．
圆心C到直线2x+y−2＝0的距离为为直角三角形，
则一定为等腰直角三角形且C为直角，
所以．
9.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
点的坐标代入切线方程，求解a，代入切线方程求解b即可．
【解答】
将(−1, a)代入8x−y+8＝0，
得a＝−2，
又因为y′＝abxb−8，
所以b(−1)b−1＝−4，b＝4．
10.
【答案】
D
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
由已知结合基本不等式可求的范围，进而可求．
【解答】
因为，
所以或，
所以311.
【答案】
D
【考点】
等比数列的性质
【解析】
对于①，根据等比数列的概念、等比数列的通项公式直接判断；对于②，设公比为q(q>0)，则；对于③，作差判断；对于④，由{an}的各项均为正数的等比数列，得到a5>a3，从而q>1，进而a4>a2．
【解答】
对于①，根据等比数列的概念；
对于②，设公比为q(q>0)，则；
对于③，，所以③正确；
对于④，因为{an}的各项均为正数，若a5>a3，则q>4，
所以a4>a2，④正确．
12.
【答案】
B
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
画出图形，利用点到直线的距离以及渐近线的性质，结合双曲线的离心率求解a，b，得到双曲线方程．
【解答】
如图所示，设双曲线的右焦点为F(c，
取渐近线，即bx−ay＝0，
点C，D，E分别为点A，B，
则根据题意，由双曲线的对称性可知，
所以，
由点到直线的距离公式可知，
所以，
又因为离心率，得a＝2，
所以双曲线的方程为．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
【答案】
2
【考点】
平面向量数量积的运算
平面向量的坐标运算
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式即可得出．
【解答】
解：∵ 向量a→=(1, x)，b→=(−1, x)，
∴ a→⋅b→=−1+x2，|b→|=1+x2，
∵ 2a→−b→与b→垂直，
∴ (2a→−b→)⋅b→=2a→⋅b→−b→2=0，
∴ 2(−1+x2)−(1+x2)=0，解得x2=3．
∴ |a→|=1+x2=2．
故答案为：2．
【答案】
2
【考点】
抛物线的性质
【解析】
化简抛物线方程为标准方程，利用抛物线的定义，求解即可．
【解答】
抛物线方程改写为x2＝4y，
根据抛物线的定义，知点M到准线y＝−2的距离也为3，
所以M的纵坐标为2．
【答案】
【考点】
等比数列的通项公式
【解析】
由正弦定理可知a，b，c成公比为的等比数列，设，由此能求出csB．
【解答】
∵ sinA，sinB的等比数列，
∴ 由正弦定理可知a，b，c成公比为，
设，
所以．
【答案】
1
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
设，则x1＝1，x2＝lnt，且x1>x2，得到|x1−x2|＝|t−Int|＝t−lnt，令h(t)＝t−lnt，根据函数的单调性求出其最小值即可．
【解答】
由函数f(x)＝x，g(x)＝ex，f(x1)＝g(x2)，
故设，则x6＝t，x2＝lnt，且x1>x6，
所以|x1−x2|＝|t−lnt|＝t−lnt，
令h(t)＝t−lnt，则，
当7当t>4时，h′(t)>0．
因此h(t)min＝h(1)＝1，
即|x5−x2|min＝1，
故答案为：3．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
【答案】
（1）等比数列{an}的公比q＝−2，
∵ a3，−a6，a5−4依次成等差数列，
∴ 2a1+16a1−8＝−2×(−8)×a8，
解得a1＝1．
∴ ；
（2）由题意知．
∴ 数列{bn}是首项为b2＝1，公比q′＝4的等比数列．
∴ 数列{bn}的前n项和．
【考点】
数列的求和
等差数列与等比数列的综合
【解析】
(Ⅰ)由已知利用等差数列的性质列式求得a1，则an可求；
(Ⅱ)把an代入bn＝a2n−1，可得数列{bn}是首项为b1＝1，公比q′＝4的等比数列，再由等比数列的前n项和公式可得数列{bn}的前n项和Sn．
【解答】
（1）等比数列{an}的公比q＝−2，
∵ a3，−a6，a5−4依次成等差数列，
∴ 2a1+16a1−8＝−2×(−8)×a8，
解得a1＝1．
∴ ；
（2）由题意知．
∴ 数列{bn}是首项为b2＝1，公比q′＝4的等比数列．
∴ 数列{bn}的前n项和．
【答案】
解：(1)令f(x)=3x2−mx+2，其图象是开口向上的抛物线，
要使p为真命题，则f(1)<0且f(2)<0，
即3−m+2<0,12−2m+2<0,
所以m>7，
所以m的取值范围是(7,+∞)．
(2)若(¬p)∧q为真命题，则p为假命题，q为真命题，
由(1)知，p为假命题等价于m≤7．
对于命题q，当m≤0时，函数y=x+mx在(0,1)上单调递减，不满足条件；
当m>0时，函数y=x+mx在(0,m)，在(m,+∞)上单调递增，
要使y=x+mx在(0,1)，则m≥1，即m≥1，
综上所述，若(¬p)∧q为为真命题，m的取值范围是[1,7]．
【考点】
复合命题及其真假判断
【解析】
（1）根据不等式恒成立的条件进行求解即可．
（2）根据复合命题真假关系进行求解即可．

【解答】
解：(1)令f(x)=3x2−mx+2，其图象是开口向上的抛物线，
要使p为真命题，则f(1)<0且f(2)<0，
即3−m+2<0,12−2m+2<0,
所以m>7，
所以m的取值范围是(7,+∞)．
(2)若(¬p)∧q为真命题，则p为假命题，q为真命题，
由(1)知，p为假命题等价于m≤7．
对于命题q，当m≤0时，函数y=x+mx在(0,1)上单调递减，不满足条件；
当m>0时，函数y=x+mx在(0,m)，在(m,+∞)上单调递增，
要使y=x+mx在(0,1)，则m≥1，即m≥1，
综上所述，若(¬p)∧q为为真命题，m的取值范围是[1,7]．
【答案】
因为A+B+C＝π，
所以，
所以，
所以，
因为sinC>4，
所以，
因为．
所以，
由面积公式得，于是ac＝24，
由余弦定理得a2+c2−7accsB＝b2，
即a2+c8−ac＝28
整理得(a+c)2＝100，
故a+c＝10．
【考点】
余弦定理
【解析】
（1）由已知结合诱导公式及和差角公式可求sinB，进而可求B，
（2）由已知结合三角形面积公式可求ac，然后结合余弦定理即可求解．
【解答】
因为A+B+C＝π，
所以，
所以，
所以，
因为sinC>4，
所以，
因为．
所以，
由面积公式得，于是ac＝24，
由余弦定理得a2+c2−7accsB＝b2，
即a2+c8−ac＝28
整理得(a+c)2＝100，
故a+c＝10．
【答案】
如图，取PA的中点G，EG，
∵ 点E，G分别为PD，，
又∵ F是BC的中点，四边形ABCD是正方形，
故四边形EFBG为平行四边形，∴ EF // BG，
∵ BG⊂平面ABP，EF⊄平面ABP，
∴ EF // 平面ABP；
证明：
由条件知，
∴ △PAB和△PAD都是等腰直角三角形，PA⊥AB，
又∵ AB∩AD＝A，AB，
∴ PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，
又∵ AD⊥CD，PA∩AD＝A、AD⊂平面PAD，
∴ CD⊥平面PAD，得CD⊥AE，
∵ E是PD的中点，∴ AE⊥PD，
又∵ PD∩CD＝D，PD，
∴ AE⊥平面PCD，而AE⊂平面AEF，
∴ 平面AEF⊥平面PCD；
由图可知VC−AEF＝VE−ACF，
∴ ，
即三棱锥C−AEF的体积为．
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的体积
平面与平面垂直
直线与平面平行
【解析】
（1）取PA的中点G，连接BG，EG，证明四边形EFBG为平行四边形，可得EF // BG，从而得到EF // 平面ABP；
（2）由已知求解三角形证明CD⊥AE，AE⊥PD，可得AE⊥平面PCD，再由面面垂直的判定可得平面AEF⊥平面PCD；
（3）由等体积法可得VC−AEF＝VE−ACF，再由棱锥体积公式求解．
【解答】
如图，取PA的中点G，EG，
∵ 点E，G分别为PD，，
又∵ F是BC的中点，四边形ABCD是正方形，
故四边形EFBG为平行四边形，∴ EF // BG，
∵ BG⊂平面ABP，EF⊄平面ABP，
∴ EF // 平面ABP；
证明：
由条件知，
∴ △PAB和△PAD都是等腰直角三角形，PA⊥AB，
又∵ AB∩AD＝A，AB，
∴ PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，
又∵ AD⊥CD，PA∩AD＝A、AD⊂平面PAD，
∴ CD⊥平面PAD，得CD⊥AE，
∵ E是PD的中点，∴ AE⊥PD，
又∵ PD∩CD＝D，PD，
∴ AE⊥平面PCD，而AE⊂平面AEF，
∴ 平面AEF⊥平面PCD；
由图可知VC−AEF＝VE−ACF，
∴ ，
即三棱锥C−AEF的体积为．
【答案】
由题意得，
令f′(x)＝0，得，由f′(x)>2，得，得，
所以f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为；
证明：若，即0所以f(x)的最大值是f(ea)＝ea−，若，即a>2，
设g(a)＝ea−a，则当a>6时​a−1>0，
所以g(a)>g(2)＝e4−2>0，所以，
结合（1）可知，f(x)在，在上单调递增，
下面比较和f(1)＝1的大小
设，当a>2时​a−a>4，
所以h(a)>h(2)＝e2−2>2，即f(ea)>f(1)
所以当x∈[1, ea]时，．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
【解析】
（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）求出f(x)在上单调递减，在上单调递增，通过比较和f(1)＝1的大小，证明结论成立即可．
【解答】
由题意得，
令f′(x)＝0，得，由f′(x)>2，得，得，
所以f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为；
证明：若，即0所以f(x)的最大值是f(ea)＝ea−，若，即a>2，
设g(a)＝ea−a，则当a>6时​a−1>0，
所以g(a)>g(2)＝e4−2>0，所以，
结合（1）可知，f(x)在，在上单调递增，
下面比较和f(1)＝1的大小
设，当a>2时​a−a>4，
所以h(a)>h(2)＝e2−2>2，即f(ea)>f(1)
所以当x∈[1, ea]时，．
【答案】
由题意知离心率e满足，
所以，
又因为点在椭圆上，
所以，解得b3＝3，
所以a2＝7，
故椭圆的标准方程为．
由（1）得B(5，
所以直线AB的方程为，与y轴的交点为M(0．
由得|MB||MP|cs∠BMP＝5|MA||MQ|cs∠AMQ，
而∠BMP＝∠AMQ，|MB|＝2|MA|，
因此|MP|＝3|MQ|．
当PQ与x轴垂直时，不合题意．
当PQ与x轴不垂直时，
设其方程为y＝kx+5，
联立方程得，消去y可得(4k2+6)x2+8kx−5＝0，
设P(x1, y3)，Q(x2, y2)，
则，
由|MP|＝4|MQ|得x1＝−3x6，
所以，
显然k不为0，两式相除得，
所以，
解得．
【考点】
椭圆的应用
椭圆的标准方程
直线与椭圆的位置关系
【解析】
（1）利用椭圆的离心率e，点在椭圆上，求解a，b，然后求解椭圆方程．
（2）直线AB的方程为，与y轴的交点为M(0, 1)．通过，推出|MP|＝3|MQ|．说明当PQ与x轴垂直时，不合题意．当PQ与x轴不垂直时，设其方程为y＝kx+1，联立直线与椭圆方程，设P(x1, y1)，Q(x2, y2)，利用韦达定理，转化求解直线的斜率即可．
【解答】
由题意知离心率e满足，
所以，
又因为点在椭圆上，
所以，解得b3＝3，
所以a2＝7，
故椭圆的标准方程为．
由（1）得B(5，
所以直线AB的方程为，与y轴的交点为M(0．
由得|MB||MP|cs∠BMP＝5|MA||MQ|cs∠AMQ，
而∠BMP＝∠AMQ，|MB|＝2|MA|，
因此|MP|＝3|MQ|．
当PQ与x轴垂直时，不合题意．
当PQ与x轴不垂直时，
设其方程为y＝kx+5，
联立方程得，消去y可得(4k2+6)x2+8kx−5＝0，
设P(x1, y3)，Q(x2, y2)，
则，
由|MP|＝4|MQ|得x1＝−3x6，
所以，
显然k不为0，两式相除得，
所以，
解得．