2020-2021学年湖南省常德市高二（上）期末数学试卷人教A版（Word含解析）

这是一份2020-2021学年湖南省常德市高二（上）期末数学试卷人教A版（Word含解析），共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 若Z＝1+i，则|Z2−Z|＝（ ）
A.0B.1C.D.2

2. 命题“若函数f(x)是奇函数，则f(x)图象过原点”的否命题是（ ）
A.若函数f(x)是偶函数，则f(x)图象不过原点
B.若函数f(x)是偶函数，则f(x)图象过原点
C.若函数f(x)不是奇函数，则f(x)图象不过原点
D.若函数f(x)不是奇函数，则f(x)图象过原点

3. 已知椭圆C:x2a2+y24=1的一个焦点为(2, 0)，则C的离心率为（ ）
A.13B.12C.22D.223

4. 命题p:x2+2x−8<0，命题q:|x+1|≤3，则p是q的（ ）
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件

5. 已知直线l1的一个方向向量为＝(1, −2, 2)，直线l2的一个方向向量为＝(1, 2, 0)，则两直线所成角的余弦值为（ ）
A.B.C.D.

6. 函数f(x)＝xlnx，正确的命题是（ ）
A.值域为RB.在(1, +∞)上是增函数
C.f(x)有两个不同零点D.过(1, 0)点的切线有两条

7. 已知点P是抛物线y2=4x上的一点，设点P到此抛物线准线的距离为d1，到直线x+2y−12=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为（ ）
A.4B.115C.5D.1155

8. 定义：如果函数f(x)在[m, n]上存在x1，x2(mA.B.C.D.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分）

某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，其相应产品数量之比为2:5:3，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型号产品有16件，则（ ）
A.此样本的容量n为20B.此样本的容量n为80
C.样本中B型号产品有40件D.样本中B型号产品有24件

已知双曲线C的标准方程为，则（ ）
A.双曲线C的离心率等于半焦距
B.双曲线与双曲线C有相同的渐近线
C.双曲线C的一条渐近线被圆(x−1)2+y2＝1截得的弦长为
D.直线y＝kx+b与双曲线C的公共点个数只可能为0，1，2

已知抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于点A、B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝8，则以下结论正确的是（ ）
A.p＝4B.C.|BD|＝2|BF|D.|BF|＝4

如果定义在R上的函数f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，则称函数f(x)为“H函数”，下列函数是“H函数”的有（ ）
A.y＝ex+1B.y＝3x−2(sinx−csx)
C.y＝x3+3x2+3x+1D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定式________．

若数列{an}的前n项和为Sn=23an+13，则数列{an}的通项公式是an=________．

已知直线l与双曲线相交于A，B两点，若点P(6, 3)为线段AB的中点，则直线l的方程是________．

设函数f(x)＝ex(x−1)，函数g(x)＝mx，若对于任意的x1∈[−2, 2]，总存在x2∈[1, 2]，使得f(x1)>g(x2)，则实数m的取值范围是________(−∞,−12) ．
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角B的大小；

（2）①b＝3，②sinC＝2sinA，③以上三个条件任选两个，解三角形．

某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中随机抽取n份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在[50, 60)的学生人数为6．
(Ⅰ)估计所抽取的数学成绩的众数；
(Ⅱ)用分层抽样的方法在成绩为[80, 90)和[90, 100]这两组中共抽取5个学生，并从这5个学生中任取2人进行点评，求分数在[90, 100]恰有1人的概率．


已知等比数列{an}的公比q>1，且a1，a3的等差中项为10，a2＝8．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)设，求数列{bn}的前n项和Sn．

如图，矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，∠ABE＝60∘，G为BE的中点．
(Ⅰ)求证：AG⊥平面ADF；
(Ⅱ)若AB=3BC，求二面角D−CA−G的余弦值．


已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P(1,22)在椭圆上，且有|PF1|+|PF2|=22．
（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过F2的直线l与椭圆交于A、B两点，求△AOB面积的最大值．

已知函数f(x)=ax2+x−1ex．
(1)求函数y=f(x)在点(0, −1)处的切线方程；

(2)证明：当a≥1时，f(x)+e≥0．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖南省常德市高二（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.
【答案】
C
【考点】
复数的运算
【解析】
由Z＝1+i，得到Z2−Z＝(1+i)2−(1+i)＝−1+i，再求出|Z2−Z|．
【解答】
∵ Z＝1+i，
∴ Z2−Z＝(1+i)2−(1+i)＝1+2i+i2−1−i＝i2+i＝−1+i，
∴ |Z2−Z|＝＝．
2.
【答案】
C
【考点】
四种命题间的逆否关系
【解析】
根据原命题：若p，则q，它的否命题：若￢p，则￢q；写出该命题的否命题即可．
【解答】
根据原命题：若p，则q，它的否命题：若￢p，则￢q；
写出命题“若函数f(x)是奇函数，则f(x)图象过原点”的否命题是：
“若函数f(x)不是奇函数，则f(x)图象不过原点”．
3.
【答案】
C
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
本题主要考查椭圆的方程及离心率．
【解答】
解：不妨设a>0，因为椭圆C的一个焦点为(2,0)，所以c=2，所以a2=4+4=8，所以a=22，所以椭圆C的离心率e=ca=22．
故选C．
4.
【答案】
B
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
化简命题p，q，根据充要条件的定义，即可判断p，q的逻辑关系．
【解答】
命题p，由x2+2x−8<0，得−4命题q，由|x+1|≤3，得−4≤x≤2，
∵ (−4, 2)⫋[−4, 2]，
∴ p是q的充分不必要条件．
5.
【答案】
D
【考点】
空间直线的向量参数方程
直线的方向向量
【解析】
利用向量夹角余弦公式直接求解．
【解答】
直线l1的一个方向向量为＝(1, −2, 2)，
直线l2的一个方向向量为＝(1, 2, 0)，
则两直线所成角的余弦值为：
|cs<>|＝＝＝．
6.
【答案】
B
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
求出函数f(x)＝xlnx的定义域和导数，利用导数判断f(x)的单调性，求出最值，再判断选项中的命题是否正确．
【解答】
则f′(x)＝lnx+1，
令f′(x)＝0，解得x=1e，
所以x∈(0, 1e)时，f′(x)<0，f(x)单调递减（1）x∈(1e, +∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增（2）所以x=1e时，f(x)取得最小值为f(1e)=−1e，
所以f(x)的值域为[−1e, +∞)，因此A错误（3）又1e<1，所以f(x)在(1, +∞)上单调递增，所以B正确（4）又x∈(0, 1e)时，lnx<0，所以f(x)＝xlnx<0，
所以f(x)在(0, 1e)内没有零点，在(1e, +∞)内有1个零点，因此C错误（5）又x＝1时y＝0，所以(1, 0)是函数f(x)图象上的点，
且x＝1时k＝f′(1)＝0+1＝1，所以过该点的切线方程为y＝x−1，只有1条，因此D错误．
故选：B．
7.
【答案】
D
【考点】
抛物线的求解
【解析】
直接把P到准线的距离转化为P到抛物线焦点的距离，求焦点到直线x+2y−12=0的距离得答案．
【解答】
解：∵ 点P到抛物线y2=4x的准线的距离为d1等于P到抛物线y2=4x的焦点的距离|PF|，
则d1+d2的最小值即为F到直线x+2y−12=0的距离．
由抛物线y2=4x得F(1, 0)，
∴ d1+d2的最小值为|1+0−12|1+4=1155．
故选：D．
8.
【答案】
C
【考点】
导数的几何意义
函数与方程的综合运用
【解析】
根据题意，求出函数的导数，分析可得f′(x1)＝f′(x2)＝＝a2−a，则方程3x2−2x＝a2−a在区间(0, a)有两个不相等的解．令g(x)＝3x2−2x−a2+a，(0【解答】
根据题意，f(x)＝x3−x2+a，则f′(x)＝3x2−2x
在区间[0, a]存在x1，x2(a∵ f(x)＝x3−x2+a，
∴ f′(x)＝3x2−2x，
∴ 方程3x2−2x＝a2−a在区间(0, a)有两个不相等的解．令g(x)＝3x2−2x−a2+a，(0则有，解可得二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分）
【答案】
B,C
【考点】
分层抽样方法
【解析】
设样本为n，利用分层样的性质能求出n，进而能求出样本中B型号产品的件数．
【解答】
工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，其相应产品数量之比为2:5:3，
现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型号产品有16件，
设样本为n，则n＝＝80，故A错误，B正确；
样本中B型号产品有：80×＝40件，故C正确，D错误．
【答案】
A,D
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
求出双曲线的离心率以及渐近线方程，通过直线与圆的位置关系以及直线与双曲线的位置关系判断选项的正误即可．
【解答】
双曲线C的方程为，可得a＝1，b＝2，c＝，
所以双曲线的离心率为：e＝＝c，所以A正确；
双曲线的渐近线方程：y＝±2x，双曲线的渐近线方程y＝x，所以B不正确；
双曲线C的一条渐近线方程：y＝2x，被圆(x−1)2+y2＝1截得的弦长为d：圆心到直线的距离为：＝，
所以d＝2＝，所以C不正确；
直线y＝kx+b(k, b∈R)，点b＝0时，直线与双曲线的交点可能是0个，也可能是2个，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线的交点是1个，所以直线与双曲线C的公共点个数只可能为0，1，2，所以D正确；
【答案】
A,B,C
【考点】
抛物线的性质
【解析】
由题意画出图形，写出直线方程，与抛物线方程联立，求得A的坐标，再由焦半径公式求p，进一步求出|BF|，|BD|的值，逐一判断四个选项得答案．
【解答】
如图，F（，0)，直线l的斜率为，则直线方程为y＝(x−），
联立，得12x2−20px+3p2＝0．
解得：，P，
由|AF|＝+＝2p＝8，得p＝4．
∴ 抛物线方程为y2＝8x．
xB＝p＝，则|BF|＝+2＝；
|BD|＝，∴ |BD|＝2|BF|，
|BD|+|BF|＝+＝8，则F为AD中点．
∴ 运算结论正确的是A，B，C．
【答案】
A,B,C
【考点】
函数单调性的性质与判断
【解析】
将已知的不等式变形为(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0恒成立，故可得函数f(x)是R上的增函数，然后依次判断选项中的四个函数是否是R上的增函数即可．
【解答】
对于选项B，函数y＝3x−2(sinx−csx)，
所以，
故函数y＝3x−2(sinx−csx)是R上的增函数，
故y＝3x−2(sinx−csx)是“H函数”，
故选项B正确（1）对于选项C，函数y＝x3+3x2+3x+1，
则y′＝3x2+6x+3＝3(x+1)2≥0，
故函数y＝x3+3x2+3x+1是R上的增函数，
故y＝x3+3x2+3x+1是“H函数”，
故选项C正确（2）对于选项D，函数，
当x>0时，y＝lnx是增函数，
当x<0时，y＝ln(−x)是单调减函数，不符合定义，
故选项D错误．
故选：ABC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【答案】
∃x∈R，|x|+x2<0
【考点】
命题的否定
【解析】
全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
【解答】
解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定式：∃x∈R，|x|+x2<0．
故答案为：∃x∈R，|x|+x2<0．
【答案】
(−2)n−1
【考点】
等比数列的通项公式
【解析】
把n=1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，an=Sn−Sn−1，可得数列为等比数列，且公比为−2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．
【解答】
解：当n=1时，a1=S1=23a1+13，解得a1=1，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=(23an+13)−(23an−1+13)=23an−23an−1，
整理可得13an=−23an−1，即anan−1=−2，
故数列{an}从第二项开始是以−2为首项，−2为公比的等比数列，
故当n≥2时，an=(−2)n−1，
经验证当n=1时，上式也适合.
故答案为：(−2)n−1.
【答案】
2x−y−9＝0
【考点】
直线与双曲线的位置关系
双曲线的离心率
【解析】
设出A，B的坐标，代入双曲线方程，两式相减，根据中点的坐标可知x1+x2和y1+y2的值，进而求得直线AB的斜率，根据点斜式求得直线的方程．
【解答】
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1+x2＝12，y1+y2＝6，
∵ x12−4y12＝4，x22−4y22＝4，
两式相减可得：(x1+x2)(x1−x2)−4(y1+y2)(y1−y2)＝0，
∴ 12(x1−x2)−24(y1−y2)＝0，
∴ kAB＝2，
∴ 直线的方程为y−3＝2(x−6)，即2x−y−9＝0．
【答案】
(−∞,−12)
【考点】
函数恒成立问题
利用导数研究函数的最值
【解析】
本题关键是转化化归思想与分类讨论思想的应用
①由对于任意的x1∈[−2, 2]，总存在x2∈[1, 2]，使得f(x1)>g(x2)，想到 f(x1)min>g(x2)min．恒成立，
②将存在性问题转化为恒成立问题．
③利用导数求函数f(x)＝ex(x−1)在[−2, 2]上最值．
【解答】
∵ f(x)＝ex(x−1)，∴ f′(x)＝xex，
∴ 对于任意的x∈[−2, 2]，当x∈[−2, 0)时, f′(x)<0, 当x∈(0, 2]时，f′(x)>0，
即f(x)在[−2, 0)上为减函数, 在(0, 2]上为增函数．
∴ x＝0为f(x)在[−2, 2]上的极小值点，也是最小值点且最小值为f(0)＝−1，
∴ 对于任意的x1∈[−2, 2]，f(x1)min＝−1，而总存在x2∈[1, 2]，使得f(x1)>g(x2)，
∴ f(x1)min>g(x2)min．
∵ g(x)＝mx，
∴ ①m＝0时，g(x2)＝0，不合题意． ②m>0时，g(x2)＝mx2∈[m, 2m]，此时m<−1，不合题意
③m<0时，g(x2)＝mx2∈[2m, m]，
∴ g(x2)min＝2m，∴ 2m<−1，m<−12，
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
【答案】
△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且bsinA＝acsB．
利用正弦定理，得sinBsinA＝sinAcsB，
因为sinA≠0，所以sinB＝csB，解得tanB＝，
因为0若选①②，由b＝3，sinC＝2sinA，利用正弦定理可得c＝2a，
利用余弦定理b2＝a2+c2−2accsB，可得9＝a2+4a2−2a×，解得a＝，c＝2，
由正弦定理可得，解得sinA＝，sinC＝1，
所以C＝，A＝；
若选①③，由b＝3，，B＝，
利用余弦定理b2＝a2+c2−2accsB，可得9＝a2+12−2a×，
整理可得a2−2+3＝0，解得a＝，
由正弦定理可得，解得sinA＝，sinC＝1，
所以C＝，A＝；
若选②③，由sinC＝2sinA，利用正弦定理可得c＝2a，
又，B＝，可得a＝，
利用余弦定理b2＝a2+c2−2accsB，可得b2＝3+12−2××＝9，解得b＝3，
由正弦定理可得，解得sinA＝，sinC＝1，
所以C＝，A＝；
【考点】
正弦定理
【解析】
（1）直接利用三角恒等变换和正弦定理求出结果．
（2）若选①②，由已知利用正弦定理可得c＝2a，利用余弦定理可得a，c，由正弦定理可得sinA，sinC，进而可求C，A的值；
若选①③，利用余弦定理a2−2+3＝0，解得a，由正弦定理可得sinA，sinC，进而可得C，A的值；
若选②③，利用正弦定理可得c＝2a，利用余弦定理解得b，由正弦定理可得sinA，sinC，进而可得C，A的值．
【解答】
△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且bsinA＝acsB．
利用正弦定理，得sinBsinA＝sinAcsB，
因为sinA≠0，所以sinB＝csB，解得tanB＝，
因为0若选①②，由b＝3，sinC＝2sinA，利用正弦定理可得c＝2a，
利用余弦定理b2＝a2+c2−2accsB，可得9＝a2+4a2−2a×，解得a＝，c＝2，
由正弦定理可得，解得sinA＝，sinC＝1，
所以C＝，A＝；
若选①③，由b＝3，，B＝，
利用余弦定理b2＝a2+c2−2accsB，可得9＝a2+12−2a×，
整理可得a2−2+3＝0，解得a＝，
由正弦定理可得，解得sinA＝，sinC＝1，
所以C＝，A＝；
若选②③，由sinC＝2sinA，利用正弦定理可得c＝2a，
又，B＝，可得a＝，
利用余弦定理b2＝a2+c2−2accsB，可得b2＝3+12−2××＝9，解得b＝3，
由正弦定理可得，解得sinA＝，sinC＝1，
所以C＝，A＝；
【答案】
（1）由频率分布直方图可知：样本的众数为（75）
（2）由频率分布直方图可得：第三组[50, 60)的频率：0.012×10＝0.12，
所以n＝6÷0.12＝50，
∴ 第四组[80, 90)的频数：0.024×10×50＝12；
第五组[90, 100]的频数：0.016×10×50＝8；
用分层抽样的方法抽取5人得：
第四组[80, 90]抽取：1220×5=3；第五组[90, 100]抽取：820×5=2．
记抽到第四组[80, 90)的三位同学为A1，A2，A3，抽到第五组[90, 100]的两位同学为B1，B2
则从5个同学中任取2人的基本事件有：
(A1, A2)，(A1, A3)，(A1, B1)，(A1, B2)，
(A2, A3)，(A2, B1)，(A2, B2)，
(A3, B1)，(A3, B2)，(B1, B2)，共10种．
其中分数在[90, 100]恰有1人有：
(A1, B1)，(A1, B2)，
(A2, B1)，(A2, B2)，
(A3, B1)，(A3, B2)，共6种．
∴ 所求概率：P=610=35．
【考点】
频率分布直方图
古典概型及其概率计算公式
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
(Ⅰ)由频率分布直方图及众数的定义，估计所抽取的数学成绩的众数为最高矩形中点的横坐标；
(Ⅱ)用分层抽样得到在成绩为[80, 90)和[90, 100]这两组中分别抽取3，2个学生，列出所有的基本事件，以及分数在[90, 100]恰有1人包含的基本事件个数，进而得到分数在[90, 100]恰有1人的概率．
【解答】
（1）由频率分布直方图可知：样本的众数为（75）
（2）由频率分布直方图可得：第三组[50, 60)的频率：0.012×10＝0.12，
所以n＝6÷0.12＝50，
∴ 第四组[80, 90)的频数：0.024×10×50＝12；
第五组[90, 100]的频数：0.016×10×50＝8；
用分层抽样的方法抽取5人得：
第四组[80, 90]抽取：1220×5=3；第五组[90, 100]抽取：820×5=2．
记抽到第四组[80, 90)的三位同学为A1，A2，A3，抽到第五组[90, 100]的两位同学为B1，B2
则从5个同学中任取2人的基本事件有：
(A1, A2)，(A1, A3)，(A1, B1)，(A1, B2)，
(A2, A3)，(A2, B1)，(A2, B2)，
(A3, B1)，(A3, B2)，(B1, B2)，共10种．
其中分数在[90, 100]恰有1人有：
(A1, B1)，(A1, B2)，
(A2, B1)，(A2, B2)，
(A3, B1)，(A3, B2)，共6种．
∴ 所求概率：P=610=35．
【答案】
（1）由题意可得：，
∴ 2q2−5q+2＝0，
∵ q>1，∴ ，∴ 数列{an}的通项公式为．
（2） ，∴ ，
＝，
上述两式相减 可得
∴ ＝．
【考点】
数列的求和
等差数列与等比数列的综合
【解析】
(Ⅰ)利用已知条件求出首项与公差，然后求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)化简，利用错位相减法求数列{bn}的前n项和Sn．
【解答】
（1）由题意可得：，
∴ 2q2−5q+2＝0，
∵ q>1，∴ ，∴ 数列{an}的通项公式为．
（2） ，∴ ，
＝，
上述两式相减 可得
∴ ＝．
【答案】
（1）证明：∵ 矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，∴ AD⊥AB，
∵ 矩形ABCD∩菱形ABEF＝AB，∴ AD⊥平面ABEF，
∵ AG⊂平面ABEF，∴ AD⊥AG，
∵ 菱形ABEF中，∠ABE＝60∘，G为BE的中点．∴ AG⊥BE，即AG⊥AF．
∵ AD∩AF＝A，∴ AG⊥平面ADF；
（2）由(Ⅰ)可知AD，AF，AG两两垂直，
以A为原点，AG为x轴，AF为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB=3BC=3，则BC=1,AG=32，
故A(0, 0, 0)，C(32,−32,1)，D(0, 0, 1)，G(32,0,0)，
则AC→=(32,−32,1)，AD→=(0,0,1)，AG→=(32,0,0)，
设平面ACD的法向量n1→=(x1,y1,z1)，
由n1→⋅AC→=32x1−32y1+z1=0n1→⋅AD→=z1=0 ，取y1=3，得n1→=(1,3,0)，
设平面ACG的法向量n2→=(x2,y2,z2)，
由n2→⋅AC→=32x2−32y2+z2=0n2→⋅AG→=32x2=0 ，取y2＝2，得n2→=(0,2,3)，
设二面角D−CA−G的平面角为θ，则csθ=n1→⋅n2→|n1→|⋅|n2→|=232×7=217，
由图可知θ为钝角，
∴ 二面角D−CA−G的余弦值为−217．
【考点】
二面角的平面角及求法
直线与平面垂直
【解析】
(Ⅰ)由已知矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，得AD⊥AB，由面面垂直的性质可得AD⊥平面ABEF，进一步得到AD⊥AG，再由已知证得AG⊥AF，则AG⊥平面ADF；
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知AD，AF，AG两两垂直，以A为原点，AG为x轴，AF为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面ACD与平面ACG的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角D−CA−G的余弦值．
【解答】
（1）证明：∵ 矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，∴ AD⊥AB，
∵ 矩形ABCD∩菱形ABEF＝AB，∴ AD⊥平面ABEF，
∵ AG⊂平面ABEF，∴ AD⊥AG，
∵ 菱形ABEF中，∠ABE＝60∘，G为BE的中点．∴ AG⊥BE，即AG⊥AF．
∵ AD∩AF＝A，∴ AG⊥平面ADF；
（2）由(Ⅰ)可知AD，AF，AG两两垂直，
以A为原点，AG为x轴，AF为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB=3BC=3，则BC=1,AG=32，
故A(0, 0, 0)，C(32,−32,1)，D(0, 0, 1)，G(32,0,0)，
则AC→=(32,−32,1)，AD→=(0,0,1)，AG→=(32,0,0)，
设平面ACD的法向量n1→=(x1,y1,z1)，
由n1→⋅AC→=32x1−32y1+z1=0n1→⋅AD→=z1=0 ，取y1=3，得n1→=(1,3,0)，
设平面ACG的法向量n2→=(x2,y2,z2)，
由n2→⋅AC→=32x2−32y2+z2=0n2→⋅AG→=32x2=0 ，取y2＝2，得n2→=(0,2,3)，
设二面角D−CA−G的平面角为θ，则csθ=n1→⋅n2→|n1→|⋅|n2→|=232×7=217，
由图可知θ为钝角，
∴ 二面角D−CA−G的余弦值为−217．
【答案】
由|PF1|+|PF2|=22，得2a=22，∴ a=2．
将P(1,22)代入x22+y2b2=1，得b2=1．
∴ 椭圆C的方程为x22+y2=1；
由已知，直线l的斜率为零时，不合题意；
设直线方程为x−1=my，点A(x1, y1)，B(x2, y2)，
联立x=my+1x2+2y2=2 ，得(m2+2)y2+2my−1=0，
由韦达定理，得y1+y2=−2mm2+2y1y2=−1m2+2 ，
∴ S△AOB=12|OF2|⋅|y1−y2|
=12(y1+y2)2−4y1y2=12(−2mm2+2)2−4×(−1m2+2)
=2×m2+1m4+4m2+4=2×m2+1(m2+1)2+2(m2+1)+1
=2×1(m2+1)+1(m2+1)+2≤2×12(m2+1)⋅1(m2+1)+2=22，
当且仅当m2+1=1m2+1，即m=0时，等号成立．
∴ △AOB面积的最大值为22．
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
（1）由已知求得a，把已知点的坐标代入椭圆方程求得b，则椭圆C的标准方程可求；
（2）由已知，直线l的斜率为零时，不合题意；设直线方程为x−1=my，点A(x1, y1)，B(x2, y2)，联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，写出根与系数的关系，代入三角形面积公式，整理后利用基本不等式求得△AOB面积的最大值．
【解答】
由|PF1|+|PF2|=22，得2a=22，∴ a=2．
将P(1,22)代入x22+y2b2=1，得b2=1．
∴ 椭圆C的方程为x22+y2=1；
由已知，直线l的斜率为零时，不合题意；
设直线方程为x−1=my，点A(x1, y1)，B(x2, y2)，
联立x=my+1x2+2y2=2 ，得(m2+2)y2+2my−1=0，
由韦达定理，得y1+y2=−2mm2+2y1y2=−1m2+2 ，
∴ S△AOB=12|OF2|⋅|y1−y2|
=12(y1+y2)2−4y1y2=12(−2mm2+2)2−4×(−1m2+2)
=2×m2+1m4+4m2+4=2×m2+1(m2+1)2+2(m2+1)+1
=2×1(m2+1)+1(m2+1)+2≤2×12(m2+1)⋅1(m2+1)+2=22，
当且仅当m2+1=1m2+1，即m=0时，等号成立．
∴ △AOB面积的最大值为22．
【答案】
(1)解：因为f(x)=ax2+x−1ex，
所以f′(x)=(2ax+1)ex−ax2+x−1exe2x
=(2a−1)x+2−ax2ex，
所以f′(0)=2，
所以曲线y=f(x)在点(0，−1)处的切线方程为y=2x−1.
(2)证明：因为f(x)=ax2+x−1ex，
所以f′(x)=−(ax+1)(x−2)ex.
因为a≥1，
所以0<1a≤1，
所以−1≤−1a<0.
令f′(x)=0，x=−1a或x=2.
所以函数f(x)在(−∞,−1a)
和(2,+∞)上单调递减；
在(−1a,2)上单调递增.
当x≥2时，
ax2+x−1>0，ex>0，
所以f(x)>0，即f(x)+e≥0.
当x<2时，f(x)在(−∞,−1a)上单调递增，
在(−1a,2)上单调递增，
所以f(x)min=f−1a=−e1a，
要证f(x)+e≥0，
即证e−e1a≥0，
令ℎ(a)=e−e1a，(a≥1)，
所以ℎ′(a)=e1a⋅1a2>0
在[1,+∞)上恒成立，
所以ℎ(a)在[1,+∞)上单调递增，
ℎ(a)min=ℎ(1)=e−e=0，
所以e−e1a≥0在[1,+∞)上恒成立.
故综上所述，当a≥1时，f(x)+e≥0.
【考点】
利用导数研究函数的最值
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
【解析】
（1）f′(x)=(2ax+1)ex−(ax2+x−1)ex(ex)2
由f′(0)=2，可得切线斜率k=2，即可得到切线方程．
（2）可得f′(x)=(2ax+1)ex−(ax2+x−1)ex(ex)2=−(ax+1)(x−2)ex．可得f(x)在(−∞,−1a)，(2, +∞)递减，在(−1a, 2)递增，注意到a≥1时，函数g(x)=ax2+x−1在(2, +∞)单调递增，且g(2)=4a+1>0
只需(x)min=−e1a≥−e，即可．
【解答】
(1)解：因为f(x)=ax2+x−1ex，
所以f′(x)=(2ax+1)ex−ax2+x−1exe2x
=(2a−1)x+2−ax2ex，
所以f′(0)=2，
所以曲线y=f(x)在点(0，−1)处的切线方程为y=2x−1.
(2)证明：因为f(x)=ax2+x−1ex，
所以f′(x)=−(ax+1)(x−2)ex.
因为a≥1，
所以0<1a≤1，
所以−1≤−1a<0.
令f′(x)=0，x=−1a或x=2.
所以函数f(x)在(−∞,−1a)
和(2,+∞)上单调递减；
在(−1a,2)上单调递增.
当x≥2时，
ax2+x−1>0，ex>0，
所以f(x)>0，即f(x)+e≥0.
当x<2时，f(x)在(−∞,−1a)上单调递增，
在(−1a,2)上单调递增，
所以f(x)min=f−1a=−e1a，
要证f(x)+e≥0，
即证e−e1a≥0，
令ℎ(a)=e−e1a，(a≥1)，
所以ℎ′(a)=e1a⋅1a2>0
在[1,+∞)上恒成立，
所以ℎ(a)在[1,+∞)上单调递增，
ℎ(a)min=ℎ(1)=e−e=0，
所以e−e1a≥0在[1,+∞)上恒成立.
故综上所述，当a≥1时，f(x)+e≥0.