2020-2021学年陕西省西安市阎良区高二（上）期末数学试卷（文科）人教A版（Word 含解析）

这是一份2020-2021学年陕西省西安市阎良区高二（上）期末数学试卷（文科）人教A版（Word 含解析），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 抛物线y2＝x的焦点到准线的距离为（ ）
A.1B.12C.14D.4

2. 在等差数列{an}中，若a3＝−5，a5＝−9，则a7＝（ ）
A.−12B.−13C.12D.13

3. 已知函数f(x)在x＝x0处的导数为1，则limh→0f(x0−h)−f(x0)h=( )
A.1B.−1C.3D.−3

4. 命题：“∃x<1，x2<1”的否定是（ ）
A.∀x≥1，x2<1B.∃x≥1，x2≥1C.∀x<1，x2≥1D.∃x<1，x2≥1

5. 己知实数a，b满足a>b，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A.a2>b2B.1a<1bC.|a|>|b|D.2a>2b

6. 已知函数y＝f(x)的部分图象如图所示，f′(x)为函数f(x)的导函数，则f′(x1)与f′(x2)的大小关系为（ ）

A.f′(x1)f′(x2)C.f′(x1)＝f′(x2)D.无法确定

7. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a4＝2a3，a1＝1，则S4＝（ ）
A.31B.15C.8D.7

8. “α=π3“是“csα=12“成立的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9. 下列说法中正确的个数是（ ）
（1）若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；
（2）命题“若x＝−2，则x2+5x+6＝0”的逆否命题是假命题；
（3）命题“若x≠1，则x2−3x+2＝0”的否命题是“若x≠1，则x2−3x+2＝0”．
A.0B.1C.2D.3

10. 若实数x，y满足约束条件x+y−1≥0,x−2y≥0,x≤2, 则z＝4x−y的最大值为（ ）
A.73B.4C.7D.9

11. 已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则（ ）

A.函数y＝f(x)的区间上单调递减
B.当x＝3时函数y＝f(x)取得极小值
C.
D.当时函数y＝f(x)取得极大值

12. 已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为2，且离心率为，则双曲线C的实轴长为（ ）
A.B.2C.2D.4
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

关于x的不等式≥0的解集是________．

设x>2，则y=x+4x−2的最小值是________．

若不等式ax2+ax−1≤0的解集为实数集R，则实数a的取值范围为________．

已知定义在(0, +∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f′(x)⋅x0的解集为________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

求下列函数的导数：
(Ⅰ)y＝x4−3x2−5x+6；
(Ⅱ)y＝x3ex．

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝．
(Ⅰ)若b＝1，c＝4，求a的值；
(Ⅱ)若sinC＝4sinB，△ABC的面积为4，求b的值．

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝6，S4＝20．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)若a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数k的值．

已知抛物线C:x2＝2py(p>0)，直线l经过抛物线C的焦点，且垂直于抛物线C的对称轴，直线l与抛物线C交于M，N两点，且|MN|＝4．
(Ⅰ)求抛物线C的方程；
(Ⅱ)已知点P(2, 1)，直线m:y＝k(x+2)与抛物线C相交于不同的两点A，B，设直线PA与直线PB的斜率分别为k1和k2，求证：k1⋅k2为定值．

已知函数f(x)＝2xlnx−x−+2．
(Ⅰ)求曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；
(Ⅱ)设函数g(x)＝f′(x)（f′(x)为f(x)的导函数），若方程g(x)＝a在上有且仅有两个实根，求实数a的取值范围．

已知椭圆C的中心在原点O，左焦点为F1(−1, 0)，长轴长为2．
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)过左焦点F1的直线交椭圆C于A，B两点，若OA⊥OB，求直线AB的方程．
参考答案与试题解析
2020-2021学年陕西省西安市阎良区高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.
【答案】
B
【考点】
抛物线的性质
【解析】
利用抛物线的标准方程直接求解p即可．
【解答】
抛物线y2＝x的焦点到准线的距离为：P，
所以P=12．
2.
【答案】
B
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
由等差数列的性质可得，d=a5−a35−3，然后代入a7＝a5+2d即可求解．
【解答】
等差数列{an}中，a3＝−5，a5＝−9，
d=a5−a35−3=−2，
则a7＝a5+2d＝−9−4＝−13．
3.
【答案】
B
【考点】
导数的几何意义
【解析】
根据题意，由极限的运算性质可得limh→0f(x0−h)−f(x0)h=−limh→0f(x0−h)−f(x0)−h，结合导数的定义分析可得答案．
【解答】
根据题意，limh→0f(x0−h)−f(x0)h=−limh→0f(x0−h)−f(x0)−h=−f′(x0)＝−1，
4.
【答案】
C
【考点】
命题的否定
【解析】
直接利用含有一个量词的命题的否定方法进行求解即可．
【解答】
根据含有量词的命题的否定，
则“∃x<1，x2<1”的否定是“∀x<1，x2≥1”．
5.
【答案】
D
【考点】
不等式的概念
【解析】
由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断，由于a，b为非零实数，故可利用特例进行讨论得出正确选项
【解答】
A选项不正确，当a＝1，b＝−2时，不等式就不成立；
B选项不正确，因为a＝1，b＝−2时，不等式就不成立；
C选项不正确，因为a＝1，b＝−2时，不等式就不成立；
D选项正确，因为y＝2x是一个增函数，故当a>b时一定有2a>2b，
6.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
结合函数图象及导数的几何意义即可求解．
【解答】
由图象可知，函数在x＝x1处的切线斜率比在x＝x2处的切线斜率小，
根据导数的几何意义可得f′(x1)7.
【答案】
B
【考点】
等比数列的前n项和
【解析】
利用等比数列的通项公式求出公比q＝2，由此能求出S4．
【解答】
∵ 等比数列{an}的前n项和为Sn，a4＝2a3，a1＝1，
∴ q3＝2q2，
解得q＝2，
∴ S4=1−241−2=15．
8.
【答案】
A
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
根据充分条件和必要条件的定义和三角函数的值即可判断
【解答】
由α=π3一定能推出csα=12，当由csα=12，则不一定推出α=π3，
故“α=π3“是“csα=12“成立的充分不必要条件，
9.
【答案】
A
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
利用复合命题的真假，四种命题的逆否关系判断真假即可．
【解答】
（2）命题“若x＝−2，则x2+5x+6＝0”的逆否命题是：“若x2+5x+6≠0，则x≠−2”是真命题，所以原判断不正确（1）（3）命题“若x≠1，则x2−3x+2＝0”的否命题是“若x＝1，则x2−3x+2≠0”．否命题不是“若x≠1，则x2−3x+2＝0”．所以原判断不正确（2）故选：A．
10.
【答案】
D
【考点】
简单线性规划
【解析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】
由约束条件x+y−1≥0,x−2y≥0,x≤2, 作出可行域如图，
联立x=2x+y−1=0 ，解得A(2, −1)，
化目标函数z＝4x−y为y＝4x−z，由图可知，当直线y＝4x−z过A时，直线在y轴上的截距最小，
z有最大值为9．
11.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
利用导函数的图象，判断函数的单调性以及函数的极值点，即可推出结果．
【解答】
由导函数的图象，可知x∈(−4，），x∈(1, 3)时，f′(x)<0，函数是减函数，
x<−4，x∈(−，1)，x>3时，f′(x)>0，函数是增函数；
所以A函数y＝f(x)的区间上单调递减不正确；
当x＝3时函数y＝f(x)取得极小值正确；
．所以C不正确；
当时函数y＝f(x)取得极小值，所以D不正确；
12.
【答案】
C
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
根据题意，由双曲线的几何性质分析可得b的值，又由双曲线的离心率分析可得c＝a，联立两式分析可得a的值，由双曲线的长轴长2a计算可得答案．
【解答】
根据题意，双曲线C：的焦点到渐近线的距离为2，则b＝2，
又由双曲线的离心率，即e＝＝，即c＝a，
则有b＝＝a，
解可得a＝，
则双曲线的实轴2a＝2；
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
【答案】
(−3, 1]
【考点】
其他不等式的解法
【解析】
根据题意，原不等式等价于(1−x)(2x+6)≥0且2x+6≠0，解可得x的取值范围，即可得答案．
【解答】
根据题意，≥0⇒(1−x)(2x+6)≥0且2x+6≠0，
即(x−1)(x+3)≤0且x+3≠0，
解可得：−3【答案】
6
【考点】
基本不等式
【解析】
变形利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】
解：∵ x>2，则x−2>0，
∴ y=x+4x−2=x−2+4x−2+2≥2(x−2)⋅4x−2+2=6，当且仅当x=4时取等号．
因此y的最小值是6．
故答案为：6．
【答案】
[−4, 0]
【考点】
一元二次不等式的应用
【解析】
讨论a＝0时和a≠0时，分别求出不等式的解集为实数集R时对应a的取值范围．
【解答】
a＝0时，不等式ax2+ax−1≤0化为−1<0，不等式的解集为实数集R；
a≠0时，不等式ax2+ax−1≤0的解集为实数集R时，
应满足，解得−4≤a<0；
所以实数a的取值范围是[−4, 0]．
【答案】
(0, 3)
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
设g(x)＝(x>0)，利用导数可得函数g(x)在(0, +∞)上是减函数，利用f(3)的值计算可得g(3)的值，则原不等式可以变形为g(x)>g(3)，结合函数的定义域以及单调性分析可得答案．
【解答】
根据题意，设g(x)＝(x>0)，
其导数g′(x)＝，
又由f′(x)⋅x即函数g(x)在(0, +∞)上为减函数；
又由f(3)＝0，则g(3)＝＝0，
则>0，即g(x)>g(3)，
又由函数g(x)在(0, +∞)上是减函数，
则有0即不等式的解集为(0, 3)．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
【答案】
（1）因为y＝x4−3x2−5x+6，
所以y′＝4x3−6x−5；
（2）因为y＝x3ex，
所以y′＝3x2⋅ex+x3⋅ex＝exx2(3+x)．
【考点】
导数的运算
【解析】
(Ⅰ)利用常见函数的求导公式以及导数的运算法则进行求解即可；
(Ⅱ)利用常见函数的求导公式以及导数的运算法则进行求解即可．
【解答】
（1）因为y＝x4−3x2−5x+6，
所以y′＝4x3−6x−5；
（2）因为y＝x3ex，
所以y′＝3x2⋅ex+x3⋅ex＝exx2(3+x)．
【答案】
（1）因为A＝，b＝1，c＝4，
所以由余弦定理，得a2＝b2+c2−2bccsA＝1+48−2×＝37，
所以a＝．
（2）因为sinC＝4sinB，
由正弦定理，可得c＝4b，
又因为A＝，△ABC的面积为4＝bcsinA＝b×4b×，
所以b＝2或−2（舍去）．
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
(Ⅰ)由已知利用余弦定理，即可解得a的值．
(Ⅱ)由正弦定理化简已知等式可得c＝4b，根据三角形的面积公式，即可求解b的值．
【解答】
（1）因为A＝，b＝1，c＝4，
所以由余弦定理，得a2＝b2+c2−2bccsA＝1+48−2×＝37，
所以a＝．
（2）因为sinC＝4sinB，
由正弦定理，可得c＝4b，
又因为A＝，△ABC的面积为4＝bcsinA＝b×4b×，
所以b＝2或−2（舍去）．
【答案】
（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由a3＝6，S4＝20，得，解得．
∴ 数列{an}的通项公式为an＝2+2(n−1)＝2n；
（2）由a1，ak，Sk+2成等比数列，可得，
即4k2＝2，
整理得k2−5k−6＝0，解得k＝−1（舍），或k＝6．
【考点】
等差数列的通项公式
等差数列与等比数列的综合
【解析】
(Ⅰ)由已知列关于首项与公差的方程组，求解可得首项与公差，再由等差数列的通项公式得答案；
(Ⅱ)由等差数列的通项公式结合等比数列的性质列式求解．
【解答】
（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由a3＝6，S4＝20，得，解得．
∴ 数列{an}的通项公式为an＝2+2(n−1)＝2n；
（2）由a1，ak，Sk+2成等比数列，可得，
即4k2＝2，
整理得k2−5k−6＝0，解得k＝−1（舍），或k＝6．
【答案】
（1）由题意可得2p＝4，得p＝2，
∴ 抛物线C:x2＝4y；
（2）证明：m:y＝k(x+2)，
联立，得x2−4kx−8k＝0．
由△＝16k2+32k>0，得k>0或k<−2，
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
则x1+x2＝4k，x1x2＝−8k，
∴ ＝
＝＝．
【考点】
直线与抛物线的位置关系
【解析】
(Ⅰ)由已知求得p，则抛物线方程可求；
(Ⅱ)设m:y＝k(x+2)，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及斜率公式证明．
【解答】
（1）由题意可得2p＝4，得p＝2，
∴ 抛物线C:x2＝4y；
（2）证明：m:y＝k(x+2)，
联立，得x2−4kx−8k＝0．
由△＝16k2+32k>0，得k>0或k<−2，
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
则x1+x2＝4k，x1x2＝−8k，
∴ ＝
＝＝．
【答案】
（1）由函数f(x)＝2xlnx−x−+2，
得f(1)＝0，f′(x)＝2(lnx+1)−1+，
∴ f′(1)＝2，
∴ 曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为y＝2(x−1)，
即2x−y−2＝0；
（2）由(Ⅰ)得，f′(x)＝2lnx+1+，
f′′(x)＝，
当≤x<1，f′′(x)<0，f′(x)单调递减，
当x>1，f′′(x)>0，f′(x)单调递增，
而f′（）＝−2+1+e2＝e2−1>0，最小值f′(1)＝2>0时，f(x)→+∞，
∴ f′(x)＝a有两个根的取值范围：(2, e2−1]．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
(Ⅰ)先求切点的纵坐标，再求导，进而求出在切点处的导数值，即切点处的斜率，代入点斜式方程可得切线方程；
(Ⅱ)求出函数f(x)的导函数f′(x)，然后再求导得f′(x)在[，+∞)的单调性，求出最小值，即可得到方程g(x)＝a在上有且仅有两个实根的实数a的取值范围．
【解答】
（1）由函数f(x)＝2xlnx−x−+2，
得f(1)＝0，f′(x)＝2(lnx+1)−1+，
∴ f′(1)＝2，
∴ 曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为y＝2(x−1)，
即2x−y−2＝0；
（2）由(Ⅰ)得，f′(x)＝2lnx+1+，
f′′(x)＝，
当≤x<1，f′′(x)<0，f′(x)单调递减，
当x>1，f′′(x)>0，f′(x)单调递增，
而f′（）＝−2+1+e2＝e2−1>0，最小值f′(1)＝2>0时，f(x)→+∞，
∴ f′(x)＝a有两个根的取值范围：(2, e2−1]．
【答案】
（1）由题意设椭圆方程为，
2a＝2，c＝1，a2＝b2+c2⇒a＝，c＝1，b＝1，所以椭圆方程为：．
（2）设AB直线斜率为k，A(x1, y1)，B(x2, y2)，则直线AB的方程：y−0＝k(x+1)；
⇒(k2+）x2+2k2x+k2−1＝0⇒，
OA⊥OB⇒kOA⋅kOB＝−1⇒＝＝−1⇒k＝±；
直线AB的方程：y＝±(x+1)．
再考虑特殊情况：
①若k＝±1时，直线AB过短轴端点，显然OA与OB不垂直；
②若AB⊥x轴时，此时OA与OB也不垂直．
【考点】
椭圆的应用
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
直线与椭圆的位置关系
【解析】
（1）用待定参数法求椭圆方程，（2）建联立方程组，用求待定直线斜率求直线方程．
【解答】
（1）由题意设椭圆方程为，
2a＝2，c＝1，a2＝b2+c2⇒a＝，c＝1，b＝1，所以椭圆方程为：．
（2）设AB直线斜率为k，A(x1, y1)，B(x2, y2)，则直线AB的方程：y−0＝k(x+1)；
⇒(k2+）x2+2k2x+k2−1＝0⇒，
OA⊥OB⇒kOA⋅kOB＝−1⇒＝＝−1⇒k＝±；
直线AB的方程：y＝±(x+1)．
再考虑特殊情况：
①若k＝±1时，直线AB过短轴端点，显然OA与OB不垂直；
②若AB⊥x轴时，此时OA与OB也不垂直．