2020-2021学年辽宁省高二（上）期末数学试卷人教A版（Word含解析）

这是一份2020-2021学年辽宁省高二（上）期末数学试卷人教A版（Word含解析），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 若O、A、B、C为空间四点，且向量OA→，OB→，OC→不能构成空间的一个基底，则（ ）
A.OA→，OB→，OC→共线B.OA→，OB→共线
C.OB→，OC→共线D.O，A，B，C四点共面

2. 3位老师和4名学生站成一排，要求任意两位老师都不相邻，则不同的排法种数为（ ）
A.AB.A+AC.AAD.AA

3. 已知△ABC的顶点分别为A(1, −1, 2)，B(5, −6, 2)，C(1, 3, −1)，则AC边上的高BD等于（ ）
A.3B.4C.5D.6

4. 如图所示，设E、F分别是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱CD上两点，且AB＝2，EF＝1，其中正确的命题为（ ）

A.异面直线B1D1与EF所成的角为45∘
B.异面直线B1D1与EF所成的角为30∘
C.直线B1D1与平面B1EF所成的角为45∘
D.直线B1D1与平面B1EF所成的角为60∘

5. 在（-）​50的展开式中有理项的项数是（ ）
A.9B.8C.7D.6

6. 已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(−2,3)，B(−2，−1)，C(6,−1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为（ ）
A.x2+y2=1B.x2+y2=4
C.x2+y2=165D.x2+y2=1或x2+y2=37

7. 已知抛物线y2＝4x上的点P到x＝−2的距离为d1，到直线3x−4y+9＝0的距离为d2，则d1+d2的最小值是（ ）
A.B.C.3D.

8. 已知A，B，C是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且2|AF|=|CF|，则该双曲线的离心率是( )

A.53B.173C.172D.94
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得3分）

过点P(2, 3)，并且在两轴上的截距相等的直线方程为（ ）
A.x+y−5=0B.2x+y−4=0C.3x−2y=0D.4x−2y+5=0

正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，下列结论正确的有（ ）
A.AD与BC所成的角为30∘
B.AC与BD所成的角为90∘
C.BC与面ACD所成角的正弦值为
D.平面ABC与平面BCD的夹角的正切值是

在(2x−1)8的展开式中，下列说法正确的有（ ）
A.展开式中所有项的系数和为28
B.展开式中所有奇数项的二项式系数和为128
C.展开式中二项式系数的最大项为第五项
D.展开式中含x3项的系数为−448

设椭圆＝1的右焦点为F，直线y＝m(0A.AF+BF为定值
B.△ABF的周长的取值范围是[6, 12]
C.当m＝时，△ABF 为直角三角形
D.当m＝1时，△ABF 的面积为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

已知F是抛物线C:y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|=________．

如图所示，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，O为AC的中点．用，，表示，则＝________．


某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有________.（用数字作答）

已知双曲线＝1(a>0, b>0)，点P(x0, y0)是直线bx−ay+2a＝0上任意点，若圆(x−x0)2+(y−y0)2＝1与双曲线C的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围为________．
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

已知(1+mx)7＝a0+a1x+a2x2+...+a7x7中，且a3＝−35．
（1）求m的值；

（2）求|a1|+|a3|+|a5|+|a7|的值．

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，BC⊥AC，AC＝BC＝CC1＝3，AE=13AA1，C1F=13CC1．
(Ⅰ)求证：CE // 面A1FB1；
(Ⅱ)求直线AC1与面A1FB1所成角的正弦值；
(Ⅲ)求二面角A−FB1−A1的余弦值．


已知直线l过点P(2, 3)且与定直线l′:y＝2x在第一象限内交于点A，与x轴正半轴交于点B，记△AOB的面积为S（O为坐标原点），点B(a, 0)．
（1）求实数a的取值范围；

（2）求当S取得最小值时，直线l的方程．

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB // CD，且CD＝2，AB＝1，BC＝2，PA＝1，AB⊥BC，N为PD的中点．

（1）求证：AN // 平面PBC；

（2）在直线PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

已知动点M到定点F(0，）的距离比到x轴距离大．
（1）求动点M的轨迹方程C；

（2）过F作互相垂直的直线l与m交轨迹C(y≥0)于P、Q两点及S、T两点，A，B分别是弦PQ、ST的中点，当|AB|＝1时，求直线l与m的方程．

已知曲线C1：＝1(a>b>0)的短轴长为2，曲线C2:y2＝4x，C1的一个焦点在C2的准线上．
（1）求曲线C1的方程；

（2）设曲线C1的左焦点为F1，右焦点为F2，若过点F1的直线l与曲线C1的y轴左侧部分（包含C1与y轴的交点）交于A，B两点，直线AF2与曲线C2交于C，D两点，直线BF2与曲线C2交于E，F两点，试求|CD|+|EF|的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年辽宁省高二（上）期末数学试卷
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1.
【答案】
D
【考点】
空间向量的基本定理及其意义
【解析】
向量OA→，OB→，OC→不能构成空间的一个基底，可得：向量OA→，OB→，OC→共面，即可得出．
【解答】
解：∵ 向量OA→，OB→，OC→不能构成空间的一个基底，
∴ 向量OA→，OB→，OC→共面，
因此O，A，B，C四点共面，
故选：D．
2.
【答案】
D
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
C
【考点】
平面向量的坐标运算
【解析】
利用向量共线的充要条件及向量垂直的充要条件列出方程组，求出BD→的坐标；利用向量模的坐标公式求出BD长．
【解答】
解：设AD→=λAC→，又AC→=(0, 4, −3)．
则AD→=(0, 4λ, −3λ)．AB→=(4, −5, 0)，BD→=(−4, 4λ+5, −3λ)，
由AC→⋅BD→=0，
得λ=−45，∴ BD→=(−4, 95, 125)，
∴ |BD→|=5．
故选C
4.
【答案】
A
【考点】
异面直线及其所成的角
直线与平面所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
A
【考点】
二项式定理及相关概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
6.
【答案】
D
【考点】
圆的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图，∵ A(−2,3)，C(6,−1)，
∴ 过A，C的直线方程为y+13+1=x−6−2−6，
化为一般式方程为x+2y−4=0．
点O到直线x+2y−4=0的距离d=|−4|5=455>1．
又∵ |OA|=(−2)2+32=13，
|OB|=(−2)2+(−1)2=5，
|OC|=62+(−1)2=37，
∴ 以原点为圆心的圆若与三角形ABC有唯一的公共点，
则公共点为(0,−1)或(6,−1)，
∴ 圆的半径为1或37．
则圆的方程为x2+y2=1或x2+y2=37．
故选D．
7.
【答案】
A
【考点】
抛物线的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
B
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
运用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，即有|AB|＝2|OA|＝2|OF|＝2c，令|BF|＝|AE|＝m，|AF|＝n，|CF|＝2n，CE＝2n+2a
在直角三角形EAC中，m2+(3n)2＝(2n+2a)2，可得m＝4n，n=23a，m=83a，在直角三角形EAF中，m2+n2＝(2c)2，即可求解．
【解答】
解：设双曲线的另一个焦点为E，连接AE，BE，CE，
由题意可得在直角三角形ABF中，
OF为斜边AB上的中线，即有|AB|=2|OA|=2|OF|=2c，
令|BF|=|AE|=m，|AF|=n，|CF|=2n，
由双曲线的定义有，|CE|−|CF|=|AE|−|AF|=2a，
∴ CE=2n+2a.
在直角三角形EAC中，m2+(3n)2=(2n+2a)2，
代入2a=m−n，化简可得m=4n，
又m−n=2a得n=23a，m=83a，
在直角三角形EAF中，m2+n2=(2c)2，
即为49a2+649a2=4c2，
可得e=ca=173．
故选B.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得3分）
【答案】
A,C
【考点】
直线的截距式方程
【解析】
讨论直线经过原点时和不过原点时，分别求出对应直线的方程即可．
【解答】
当直线经过原点时，直线的斜率为k=32，
所以直线的方程为y=32x，即3x−2y=0；
当直线不过原点时，设直线的方程为x+y=a，
代入点P(2, 3)可得a=5，
所以所求直线方程为x+y=5，即x+y−5=0．
综上可得，所求直线方程为：x+y−5=0或3x−2y=0．
【答案】
B,D
【考点】
异面直线及其所成的角
二面角的平面角及求法
直线与平面所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
B,C,D
【考点】
二项式定理及相关概念
【解析】
由题意利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】
对于(2x−1)8的展开式，令x＝1，故A不正确．
展开式中奇数项的二项式系数和为＝，故B正确；
易知展开式中，二项式系数的最大项为第五项；
由通项公式可得展开式中含x3的项为，故D正确，
【答案】
A,D
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
【答案】
6
【考点】
抛物线的性质
【解析】
本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．
【解答】
解：抛物线C:y2＝8x的焦点F(2, 0)，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，
可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：±22，
|FN|=2|FM|=2(1−2)2+(±22−0)2=6．
故答案为：6．
【答案】
++
【考点】
空间向量
向量的线性运算性质及几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
16
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
(1, 2]
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
【答案】
∵ (1+mx)7＝a3+a1x+a2x7+...+a7x7中，且a5＝•m7＝−35，∴ m＝−1．
∵ (1+mx)2＝(1−x)7＝a8+a1x+a2x6+...+a7x7，
令x＝4，则a0+a1+a6+...+a7＝0，
令x＝−2，则a0−a1+a8−...+a7＝24，
两式相减除以2，可得|a1|+|a6|+|a5|+|a7|＝＝64．
【考点】
二项式定理及相关概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
（1）证明：∵ AE=13AA1，C1F=13CC1，∴ A1E＝CF，
又A1E // CF，∴ 四边形A1ECF为平行四边形，∴ A1F // CE，
∵ A1F⊂面A1FB1，A1F⊄面A1FB1，∴ CE // 面A1FB1．
（2）∵ CC1⊥底面ABC，∴ CC1⊥C1A1，CC1⊥C1B1，
∵ BC⊥AC，∴ C1B1⊥C1A1，
于是以C1为原点，C1A1，C1B1，和C1C分别为x、y和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则C1(0, 0, 0)，A1(3, 0, 0)，A(3, 0, 3)，B1(0, 3, 0)，F(0, 0, 1)，
∴ C1A→=(3, 0, 3)，A1F→=(−3, 0, 1)，A1B1→=(−3, 3, 0)，
设平面A1FB1的法向量为m→=(x, y, z)，则m→⋅A1F→=0m→⋅A1B1→=0 ，即−3x+z=0−3x+3y=0 ，
令x＝1，则y＝1，z＝3，∴ m→=(1, 1, 3)，
设直线AC1与面A1FB1所成的角为α，则sinα＝|cs|=|m→⋅C1A→|m→|⋅|C1A→||=3+911×32=22211．
故直线AC1与面A1FB1所成角的正弦值为22211．
（3）由（2）可知，AF→=(−3, 0, −2)，AB1→=(−3, 3, −3)，
设平面AFB1的法向量为n→=(x1, y1, z1)，则n→⋅AF→=0n→⋅AB1→=0 ，即−3x1−2z1=0−3x1+3y1−3z1=0 ，
令x1＝2，则y1＝−1，z1＝−3，∴ n→=(2, −1, −3)，
∴ cs=m→⋅n→|m→|⋅|n→|=2−1−914×11=−415477．
由题可知，二面角A−FB1−A1为锐二面角，
故二面角A−FB1−A1的余弦值为415477．
【考点】
直线与平面平行
二面角的平面角及求法
直线与平面所成的角
【解析】
（1）易证四边形A1ECF为平行四边形，推出A1F // CE，再利用线面平行的判定定理即可得证；
（2）由题可知，C1A1，C1B1，和C1C两两垂直，于是以C1为原点，C1A1，C1B1，和C1C分别为x、y和z轴建立空间直角坐标系，根据法向量的性质求出平面A1FB1的法向量m→，设直线AC1与面A1FB1所成的角为α，则sinα＝|cs|，再根据空间向量数量积的坐标运算进行求解即可；
（3）在（2）的基础上，根据法向量的性质求出平面AFB1的法向量n→，从而得cs=m→⋅n→|m→|⋅|n→|，再由二面角与法向量夹角的关系即可得解．
【解答】
（1）证明：∵ AE=13AA1，C1F=13CC1，∴ A1E＝CF，
又A1E // CF，∴ 四边形A1ECF为平行四边形，∴ A1F // CE，
∵ A1F⊂面A1FB1，A1F⊄面A1FB1，∴ CE // 面A1FB1．
（2）∵ CC1⊥底面ABC，∴ CC1⊥C1A1，CC1⊥C1B1，
∵ BC⊥AC，∴ C1B1⊥C1A1，
于是以C1为原点，C1A1，C1B1，和C1C分别为x、y和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则C1(0, 0, 0)，A1(3, 0, 0)，A(3, 0, 3)，B1(0, 3, 0)，F(0, 0, 1)，
∴ C1A→=(3, 0, 3)，A1F→=(−3, 0, 1)，A1B1→=(−3, 3, 0)，
设平面A1FB1的法向量为m→=(x, y, z)，则m→⋅A1F→=0m→⋅A1B1→=0 ，即−3x+z=0−3x+3y=0 ，
令x＝1，则y＝1，z＝3，∴ m→=(1, 1, 3)，
设直线AC1与面A1FB1所成的角为α，则sinα＝|cs|=|m→⋅C1A→|m→|⋅|C1A→||=3+911×32=22211．
故直线AC1与面A1FB1所成角的正弦值为22211．
（3）由（2）可知，AF→=(−3, 0, −2)，AB1→=(−3, 3, −3)，
设平面AFB1的法向量为n→=(x1, y1, z1)，则n→⋅AF→=0n→⋅AB1→=0 ，即−3x1−2z1=0−3x1+3y1−3z1=0 ，
令x1＝2，则y1＝−1，z1＝−3，∴ n→=(2, −1, −3)，
∴ cs=m→⋅n→|m→|⋅|n→|=2−1−914×11=−415477．
由题可知，二面角A−FB1−A1为锐二面角，
故二面角A−FB1−A1的余弦值为415477．
【答案】
当a＝2时，则直线l的斜率不存在，可得A(2，
a≠4时直线l的斜率为：k＝，要使直线l与定直线l′交点在第一象限>2，或，解得：，或a>2，
综上所述：实数a的取值范围为（，+∞)；
当直线l的斜率存在时，直线l的方程为：y−3＝，与y＝2x联立可得：，
所以可得A的纵坐标为：，
由题意S△AOB＝•a•＝3•，
令t＝(0所以S△AOB≥5，所以面积的最小值为3，直线l的方程为：y−3＝5(x−2)，
即直线l的方程为：3x−y−3＝0．
当直线l的斜率不存在时，由（1）可得A(2，B(6，
所以S△AOB＝×2×4＝4，
即直线l的方程为：5x−y−3＝0．
【考点】
直线的一般式方程与直线的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
证明：取PC的中点E，连接BE，
∵ N为PD的中点，∴ NE // CD // ABCD＝AB，
∴ 四边形ABEN为平行四边形，
∴ BE // AN，
又BE⊂平面PBC，AN⊄平面PBC，
∴ AN // 平面PBC．
取CD的中点F，连接AF，AB＝，
∴ 四边形ABCF为平行四边形，
又AB⊥BC，∴ 四边形ABCF为矩形，
∵ PA⊥平面ABCD，∴ PA⊥AB，
故以A为原点，AF，AP所在直线分别为x，y，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0, 3, 1)，1，4)，1，2)，−1，
设＝λ−2λ，λ)，
∴ ＝(−7λ，λ)，，1，−3)，，1，−2)，
设平面PBC的法向量为＝(x，y，则，即，
令y＝1，则x＝0，∴ ＝(6，1，
∵ CM与平面PBC所成角的余弦值为，
∴ ＝|cs<，|＝||，
化简得，21λ2−50λ+24＝0，
解得λ＝或，
∴ 直线PD上存在点M满足题意，且＝或．
【考点】
直线与平面平行
直线与平面所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
设M(x, y)
，化简可得：x2＝y，
所以轨迹C方程为：x2＝y；
设直线l的方程为：y＝kx+，k≠0，
联立方程组，消去y可得：x，
设P(x1, y1)，Q(x7, y2)，所以x1+x8＝k，x，
所以x，代入直线l得：y，
所以A（），
同理可得B(−，），
所以|AB|，
整理可得：k，即(k），
令k>42+t−6＝5，则t＝2或−3（舍去），
所以k，解得k2＝1，所以k＝±8，
所以直线l的方程为：y＝x+，m的方程为：y＝−x+．
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
轨迹方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
根据题意可得2b＝2，解得b＝，
曲线C2:y2＝4x的准线为x＝-，
因为C1的一个焦点在C2的准线上．
所以c＝，a2＝b2+c7＝6，
所以椭圆的方程为+＝8．
由（1）知，F1(−，5)，F2（，4)，
设直线l的方程为x＝my−，
过点(0，）时；过点(0，-，m＝−2，
所以m∈[−1, 1]，
联立，得(m2+2)y2−4my−3＝2，
所以y1+y2＝，y1y2＝，
设AF3的方程为x＝y+＝，
设C(x5, y3)，D(x4, y4)
代入y2＝4x，
y2−(my1−6）y−12＝0，
所以y8+y4＝(my1−3），y3y2＝−12，
所以|CD|＝|CF2|+|DF2|＝x4+x4+2＝+6，
同理可得|EF|＝+4，
所以|CD|+|EF|＝6+8m2++--
＝8+4m2+48(2m2+）−48m(−
＝136m2+72，m∈[−1，
所以|CD|+|EF|∈[72，208]．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答