苏科版八年级上册1.2 全等三角形单元测试复习练习题

这是一份苏科版八年级上册1.2 全等三角形单元测试复习练习题，共30页。试卷主要包含了6第1章全等三角形单元测试，5，等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】
专题1.6第1章全等三角形单元测试（培优卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间90分钟，试题共28题，选择8道、填空10道、解答10道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019秋•江苏省盐都区期中）下列各组的两个图形属于全等图形的是（　　）
A．B． C．D．
【分析】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断．
【解析】A、两个图形能够完全重合，故本选项正确．
B、圆内两条相交的线段不能完全重合，故本选项错误；
C、两个正方形的边长不相等，不能完全重合，故本选项错误；
D、两只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本选项错误；
故选：A．
2．（2019秋•江苏省秦淮区校级期中）如图，△ABC≌△ADE，如果AB＝5cm，BC＝7cm，AC＝6cm，那么DE的长是（　　）

A．6cm B．5cm C．7cm D．无法确定
【分析】根据全等三角形的书写，DE与BC是对应边，再根据全等三角形对应边相等即可求出DE的长度也就是BC的长度．
【解析】∵△ABC≌△ADE，
∴DE＝BC，
∵BC＝7cm，
∴DE＝7cm．
故选：C．
3．（20219秋•江苏省贾汪区校级期中）如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上（如图），可以说明△ABC≌△EDC，得AB＝DE，因此测得DE的长就是AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是（　　）

A．SAS B．HL C．SSS D．ASA
【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
【解析】因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：D．
4．（2019秋•江苏省仪征市校级期中）如图所示，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，BE、CD交于点F，若∠BAC＝40°，则∠BFC的大小是（　　）

A．105° B．100° C．110° D．115°
【分析】延长C′D交AB′于H．利用全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质证明∠BFC＝∠C′+∠AHC′，再求出∠C′+∠AHC′即可解决问题．
【解析】延长C′D交AB′于H．
∵△AEB≌△AEB′，
∴∠ABE＝∠AB′E，
∵C′H∥EB′，
∴∠AHC′＝∠AB′E，
∴∠ABE＝∠AHC′，
∵△ADC≌△ADC′，
∴∠C′＝∠ACD，
∵∠BFC＝∠DBF+∠BDF，∠BDF＝∠CAD+∠ACD，
∴∠BFC＝∠AHC′+∠C′+∠DAC，
∵∠DAC＝∠DAC′＝∠CAB′＝40°，
∴∠C′AH＝120°，
∴∠C′+∠AHC′＝60°，
∴∠BFC＝60°+40°＝100°，
故选：B．

5．（2019秋•江苏省宜兴市期中）如图，D在AB上，E在AC上，且∠B＝∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（　　）

A．AD＝AE B．AB＝AC C．∠AEB＝∠ADC D．BE＝CD
【分析】根据全等三角形的判定定理进行解答．
【解析】A、根据AAS（∠A＝∠A，∠C＝∠B，AD＝AE）能推出△ABE≌△ACD，故本选项不符合题意；
B、根据ASA（∠A＝∠A，AB＝AC，∠B＝∠C）能推出△ABE≌△ACD，故本选项不符合题意；
C、三角对应相等的两三角形不一定全等，故本选项符合题意；
D、根据AAS（∠A＝∠A，∠B＝∠C，BE＝CD）能推出△ABE≌△ACD，故本选项不符合题意；
故选：C．
6．（2018秋•南京期中）如图，工人师傅常用“卡钳”这种工具测定工件内槽的宽．卡钳由两根钢条AA′、BB′组成，O为AA′、BB′的中点．只要量出A′B′的长度，由三角形全等就可以知道工件内槽AB的长度．那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（　　）

A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
【分析】根据SAS证明△AOB≌△A′OB′（SAS）即可；
【解析】∵O是AA′，BB′的中点，
∴AO＝A′O，BO＝B′O，
又∵∠AOB与∠A′OB′是对顶角，
∴∠AOB＝∠A′OB′，
在△AOB和△A′OB′中，
∵AO=A'O∠AOB=∠A'OB'BO=B'O，
∴△AOB≌△A′OB′（SAS），
∴A′B′＝AB，
∴只要量出A′B′的长度，就可以知道工作的内径AB是否符合标准，
∴判定△OAB≌△OA′B′的理由是SAS．
故选：A．

7．（2019秋•江苏省如皋市校级期中）如图，点C是△ABE的BE边上一点，点F在AE上，D是BC的中点，且AB＝AC＝CE，给出下列结论：①AD⊥BC；②CF⊥AE；③∠1＝∠2；④AB+BD＝DE．其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据等腰三角形三线合一的性质即可作出判断；②由于F在AE上，不一定是AE的中点，故无法作出判断；③无法证明∠1＝∠2；④根据等量关系即可作出判断．
【解析】①∵D是BC的中点，AB＝AC，
∴AD⊥BC，故①正确；
②∵F在AE上，不一定是AE的中点，AC＝CE，
∴无法证明CF⊥AE，故②错误；
③无法证明∠1＝∠2，故③错误；
④∵D是BC的中点，
∴BD＝DC，
∵AB＝CE，
∴AB+BD＝CE+DC＝DE，故④正确．
故其中正确的结论有①④，共两个．
故选：B．
8．（2019秋•江苏省江都区期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD＝CD，AB＝CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③四边形ABCD的面积＝2AC•BD，其中正确的结论有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】先证明△ABD与△CBD全等，再证明△AOD与△COD全等即可判断．
【解析】在△ABD与△CBD中，
AD=CDAB=BCDB=DB，
∴△ABD≌△CBD（SSS），故①正确；
∴∠ADB＝∠CDB，
在△AOD与△COD中，
AD=CD∠ADB=∠CDBOD=OD，
∴△AOD≌△COD（SAS），
∴∠AOD＝∠COD＝90°，AO＝OC，
∴AC⊥DB，故②正确；
四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BDC=12AC•BD，故③错误；
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2019秋•江苏省常州期中）下列4个图形中，属于全等的2个图形是　①③　．（填序号）

【分析】根据全等三角形的判定定理（SAS）即可得到结论．
【解析】根据全等三角形的判定（SAS）可知属于全等的2个图形是①③，
故答案为：①③．
10．（2019春•工业园区期末）连接正方形网格中的格点，得到如图所示的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4＝　180　°．

【分析】直接利用网格结合全等三角形的性质、等腰直角三角形的性质得出答案．
【解析】由网格可得：△AFE≌△BDA，
则∠1＝∠5，
∵AC＝BC=5，AB=10，
∴△ACB是直角三角形，
故∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠4+∠5＝∠4+∠1＝180°﹣45°＝135°，
∠2+∠3＝90°﹣45°＝45°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝135°+45°＝180°．
故答案为：180．

11．（2019秋•江苏省桦南县期中）如图，∠DAB＝∠EAC＝65°，AB＝AD，AC＝AE，BE和CD相交于点O，AB和CD相交于P，AC和BE相交于F，则∠DOE的度数是　115°　．

【分析】首先得出∠DAC＝∠EAB，进而利用ASA得出△ADC≌△AEB，进而得出∠E＝∠ACD，再利用三角形内角和定理得出∠EAF＝∠COF＝65°，即可得出答案．
【解析】∵∠DAB＝∠EAC＝65°，
∴∠DAB+∠BAC＝∠BAC+∠EAC，
∴∠DAC＝∠EAB，
在△ADC和△AEB中，
AD=AB∠DAC=∠EABAC=AE，
∴△ADC≌△AEB（SAS），
∴∠E＝∠ACD，
又∵∠AFE＝∠OFC，
∴∠EAF＝∠COF＝65°，
∴∠DOE＝180°﹣∠COF＝115°．
故答案为：115°．
12．（2019秋•江苏省沛县期中）一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、4，若这两个三角形全等，则x+y＝　9　．
【分析】根据全等三角形对应边相等求出x、y的值，然后相加即可得解．
【解析】∵两个三角形全等，
∴x＝4，y＝5，
∴x+y＝4+5＝9．
故答案为：9．
13．（2019秋•江苏省高淳区校级）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：
①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AC﹣AB＝2BE中
正确的是　①②④　．

【分析】利用“HL”证明Rt△BDE和Rt△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝DF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出AD平分∠BAC，然后利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，再根据图形表示出表示出AE、AF，再整理即可得到AC﹣AB＝2BE．
【解析】在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD=CDBE=CF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，故①正确；
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC，故②正确；
在Rt△ADE和Rt△ADF中，AD=ADDE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∴AB+BE＝AC﹣FC，
∴AC﹣AB＝BE+FC＝2BE，
即AC﹣AB＝2BE，故④正确；
由垂线段最短可得AE＜AD，故③错误，
综上所述，正确的是①②④．
故答案为：①②④．
14．（2019秋•江苏省连云区期中）如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．∠CAB＝∠DBA＝60°，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s），则点Q的运动速度为　1或1.5　cm/s，使得A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等．

【分析】设点Q的运动速度是xcm/s，有两种情况：①AP＝BP，AC＝BQ，②AP＝BQ，AC＝BP，列出方程，求出方程的解即可．
【解析】设点Q的运动速度是xcm/s，
∵∠CAB＝∠DBA＝60°，
∴A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等，有两种情况：
①AP＝BP，AC＝BQ，
则1×t＝4﹣1×t，
解得：t＝2，
则3＝2x，
解得：x＝1.5；
②AP＝BQ，AC＝BP，
则1×t＝tx，4﹣1×t＝3，
解得：t＝1，x＝1，
故答案为：1或1.5．
15．（2020春•太仓市期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，直线l经过点C且与边AB相交．动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为2cm/s和3cm/s，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，设运动时间为t秒，则当t＝　2或145　秒时，△PEC与△QFC全等．

【分析】分点Q在BC上和点Q在AC上两种情况，根据全等三角形的性质列式计算．
【解析】由题意得，AP＝2t，BQ＝3t，
∵AC＝6cm，BC＝8cm，
∴CP＝6﹣2t，CQ＝8﹣3t，
①如图1，当△PEC≌△CFQ时，
则PC＝CQ，
即6﹣2t＝8﹣3t，
解得：t＝2，
②如图2，∵点P与点Q重合，
∴△PEC与△QFC全等，
则PC＝CQ，
∴6﹣2t＝3t﹣8．
解得：t=145，
综上所述：当t＝2秒或145秒时，△PEC与△QFC全等，
故答案为：2或145．


16．（2019秋•江苏省松滋市期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为　20　cm．

【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．
【解析】由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB∠DAC=∠BCEAC=BC，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20（cm），
答：两堵木墙之间的距离为20cm．
故答案是：20．

17．（2019秋•江苏省江阴市期中）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的序号为　（1）（2）（3）　．

【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明Rt△POE≌Rt△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．
【解析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴∠EPF+∠AOB＝180°，
∵∠MPN+∠AOB＝180°，
∴∠EPF＝∠MPN，
∴∠EPM＝∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE＝PF，
在Rt△POE和Rt△POF中，
OP=OPPE=PF，
∴Rt△POE≌Rt△POF，
∴OE＝OF，
在△PEM和△PFN中，
∠MPE=∠NPFPE=PF∠PEM=∠PFN，
∴△PEM≌△PFN，
∴EM＝NF，PM＝PN，故（1）正确，
∴S△PEM＝S△PNF，
∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故（3）正确，
∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE＝定值，故（2）正确，
∵M，N的位置变化，∴MN的长度是变化的，故（4）错误，
故答案为：（1）（2）（3）

18．（2019春•崇川区校级期末）如图，在∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是　HL　．

【分析】利用判定方法“HL”证明Rt△OMP和Rt△ONP全等，进而得出答案．
【解析】在Rt△OMP和Rt△ONP中，
OM=ONOP=OP，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
∴∠MOP＝∠NOP，
∴OP是∠AOB的平分线．
故答案为：HL
三、解答题（本大题共10小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2019秋•江苏省南通期中）如图，已知∠ABD＝∠DCA，∠DBC＝∠ACB，求证：AB＝DC．

【分析】根据∠ABD＝∠DCA，∠ACB＝∠DBC，求证∠ABC＝∠DCB，然后利用AAS可证明△ABC≌△DCB，即可证明结论．
【解答】证明：∵∠ABD＝∠DCA，∠DBC＝∠ACB
∴∠ABD+∠DBC＝∠DCA+∠ACB
即∠ABC＝∠DCB
在△ABC和△DCB中
∠ABC=∠DCBBC=CB∠ACB=∠DBC
∴△ABC≌△DCB（ASA）
∴AB＝DC
20．（2019秋•江苏省建湖县期中）如图，点E、F分别为线段AC上的两个点，且DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，若AB＝CD，AE＝CF，BD交AC于点M．
求证：（1）AB∥CD；
（2）点M是线段EF的中点．

【分析】（1）证明Rt△ABF≌Rt△CDE可得∠BAF＝∠DCE，即可得出结论；
（2）可证明△DEM≌△BFM，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE．
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
AB=CDAF=CE，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴∠BAF＝∠DCE，
∴AB∥CD；
（2）∵Rt△ABF≌Rt△CDE，
∴DE＝BF，
在△DEM和△BFM中，
∠DEM=∠BFM∠DME=∠BMFDE=BF，
∴△DEM≌△BFM（AAS），
∴MB＝MD．
即点M是线段EF的中点．
21．（2019秋•江苏省沭阳县校级期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线EG交AB于点E，交AB的平行线CG于点G，DF⊥EG，交AC于点F．
（1）求证：BE＝CG；
（2）判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．

【分析】（1）先利用ASA判定△BED≌△CGD，从而得出BE＝CG；
（2）先连接FG，再利用全等的性质可得DE＝DG，再根据DF⊥GE，从而得出FG＝EF，依据三角形两边之和大于第三边得出BE+CF＞EF．
【解析】（1）∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵AB∥CG，
∴∠B＝∠DCG，
又∵∠BDE＝∠CDG，
∴△BDE≌△CDG，
∴BE＝CG；

（2）BE+CF＞EF．理由：
如图，连接FG，

∵△BDE≌△CDG，
∴DE＝DG，
又∵FD⊥EG，
∴FD垂直平分EG，
∴EF＝GF，
又∵△CFG中，CG+CF＞GF，
∴BE+CF＞EF．
22．（2019秋•江苏省睢宁县月考）已知，如图，△ABC中，∠B＝∠C，D是BC上一点，点E、F分别在AB、AC上，BD＝CF，CD＝BE，G为EF的中点，问：
（1）△BDE与△CFD全等吗？请说明理由．
（2）判断DG与EF的位置关系，并说明理由．

【分析】（1）根据SAS证明△BDE与△CFD全等即可；
（2）利用全等三角形的性质、等腰三角形的三线合一即可证明；
【解析】（1）△BDE与△CFD全等，
理由：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BED和△CDF中，
BE=CD∠B=∠CBD=CF，
∴△BDE≌△CFD（SAS），

（2）DG⊥EF，
理由：∵△BDE≌△CFD，
∴DE＝DF，
∵G是EF的中点，
∴DG⊥EF．
23．（2019秋•江苏省邗江区校级月考）如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，在河岸BM上截取BC＝CD，作ED⊥BD交AC的延长线于点E，垂足为点D．（DE≠CD）
（1）线段　DE　的长度就是A、B两点间的距离
（2）请说明（1）成立的理由．

【分析】（1）根据题意确定DE＝AB；
（2）根据已知条件得到两个三角形全等，利用全等三角形的性质得到结论即可．
【解析】（1）线段DE的长度就是A、B两点间的距离；
故答案为：DE；
（2）∵AB⊥BC，DE⊥BD
∴∠ABC＝∠EDC＝90°
又∵∠ACB＝∠DCE，BC＝CD
∴△ABC≌△CDE（ASA）
∴AB＝DE．
24．（2019秋•江苏省海安市期中）如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连接AD、AG．
（1）求证：AD＝AG；
（2）AD与AG的位置关系如何，请说明理由．

【分析】（1）由BE垂直于AC，CF垂直于AB，利用垂直的定义得∠HFB＝∠HEC，由得对顶角相等得∠BHF＝∠CHE，所以∠ABD＝∠ACG．再由AB＝CG，BD＝AC，利用SAS可得出三角形ABD与三角形ACG全等，由全等三角形的对应边相等可得出AD＝AG，
（2）利用全等得出∠ADB＝∠GAC，再利用三角形的外角和定理得到∠ADB＝∠AED+∠DAE，又∠GAC＝∠GAD+∠DAE，利用等量代换可得出∠AED＝∠GAD＝90°，即AG与AD垂直．
【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠HFB＝∠HEC＝90°，又∵∠BHF＝∠CHE，
∴∠ABD＝∠ACG，
在△ABD和△GCA中
AB=CG∠ABD=∠ACGBD=CA，
∴△ABD≌△GCA（SAS），
∴AD＝GA（全等三角形的对应边相等）；

（2）位置关系是AD⊥GA，
理由：∵△ABD≌△GCA，
∴∠ADB＝∠GAC，
又∵∠ADB＝∠AED+∠DAE，∠GAC＝∠GAD+∠DAE，
∴∠AED＝∠GAD＝90°，
∴AD⊥GA．

25．（2019秋•江苏省江阴市校级月考）在△ABC中，AD是△ABC的角平分线．

（1）如图1，过C作CE∥AD交BA延长线于点E，若F为CE的中点，连接AF，求证：AF⊥AD；
（2）如图2，M为BC的中点，过M作MN∥AD交AC于点N，若AB＝5，AC＝8，求NC的长．
【分析】（1）根据角平分线的性质和平行线的性质可以得到∠FAD的度数，从而可以证明结论成立；
（2）根据题意，作出合适的辅助线，再根据平行线的性质和等腰三角形的性质可以求得NC的长．
【解答】（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
又∵CE∥AD，
∴∠BAD＝∠E，∠DAC＝∠ACE，
∴∠E＝∠ACE，
∴AE＝AC，
又∵F为CE的中点，
∴AF平分∠EAC，
∴∠EAF＝∠CAF，
∴∠CAF+∠CAD＝90°，
∴∠DAF＝90°，
∴AF⊥AD．
（2）如图，延长BA与MN延长线交于点E，过点B作BF∥AC交NM延长线于点F，
∴∠3＝∠C，∠F＝∠4，
∵M为BC的中点
∴BM＝CM，
在△BFM和△CNM中
∠3=∠CBM=CM∠F=∠4
∴△BFM≌△CNM（AAS），
∴BF＝CN，
∵MN∥AD，
∴∠1＝∠E，∠2＝∠4＝∠5，
∴∠E＝∠5＝∠F，
∴AE＝AN，BE＝BF，
设CN＝x，则BF＝x，AE＝AN＝AC﹣CN＝8﹣x，BE＝AB+AE＝5+8﹣x＝BF，
即5+8﹣x＝x，
解得 x＝6.5，
即CN＝6.5，
即NC的长是6.5．

26．（2019秋•江苏省邳州市月考）如图（1），△ABC中，BC＝AC，△CDE中，CE＝CD，现把两个三角形的C点重合，且使∠BCA＝∠ECD，连接BE，AD．求证：BE＝AD．
若将△DEC绕点C旋转至图（2），（3）所示的情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？利用图（3）说明理由．

【分析】求出∠BCE＝∠ACD，根据SAS推出△BCE≌△ACD即可．图（3）中求出∠BCE＝∠ACD，根据SAS推出△BCE≌△ACD即可．
【解答】证明：∵∠BCA＝∠ECD，
∴∠BCA﹣∠ECA＝∠ECD﹣∠ECA，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
BC=AC∠BCE=∠ACDEC=CD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD．

解：图（2），图（3）中，BE和AD还相等，
理由是：如图（3）∵∠BCA＝∠ECD，∠ACD+∠BCA＝180°，∠ECD+∠BCE＝180°，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
BC=AC∠BCE=∠ACDCE=CD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD．
27．（2019秋•江苏省秦淮区校级月考）如图，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为AC上一点，分别过A、C作BD的垂线，垂足分别为E、F．求证：EF+AE＝CF．

【分析】根据已知和三角形内角和定理求出∠E＝∠BFC＝90°，∠EAB＝∠FBC，根据AAS推出△AEB≌△BFC，根据全等三角形的性质得出AE＝BF，BE＝CF即可．
【解答】证明：∵过A、C作BD的垂线，垂足分别为E．F，
∴∠E＝∠BFC＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠EAB+∠ABE＝90°，∠FBC+∠ABE＝90°，
∴∠EAB＝∠FBC，
在△AEB和△BFC中，
∠E=∠BFC∠EAB=∠FBCAB=BC，
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴AE＝BF，BE＝CF，
∴EF＝BE﹣BF＝CF﹣AE，
即EF+AE＝CF．
28．（2019秋•江苏省阜宁县期末）如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，点Q的运动速度为xcm/s，其他条件不变，当点P、Q运动到某处时，有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x、t的值．

【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP＝∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°得出结论即可；
（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC＝BP，AP＝BQ，②AC＝BQ，AP＝BP，建立方程组求得答案即可．
【解析】（1）△ACP≌△BPQ，
∵AC⊥AB，BD⊥AB
∴∠A＝∠B＝90°
∵AP＝BQ＝2，
∴BP＝5，
∴BP＝AC，
在△ACP和△BPQ中，AP=BQ∠A=∠BAC=BP，
∴△ACP≌△BPQ；
∴∠C＝∠BPQ，
∵∠C+∠APC＝90°，
∴∠APC+∠BPQ＝90°，
∴∠CPQ＝90°，
∴PC⊥PQ；
（2）存在x的值，使得△ACP与△BPQ全等，
①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，可得：5＝7﹣2t，2t＝xt
解得：x＝2，t＝1；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，可得：5＝xt，2t＝7﹣2t
解得：x=207，t=74．