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山西省运城市盐湖区2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷（word版 含答案）
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这是一份山西省运城市盐湖区2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷（word版 含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山西省运城市盐湖区九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中）
1．tan30°的相反数是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
2．若二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点（﹣2，0），则代数式2a﹣b的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
3．如图所示的物体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．若将抛物线y＝2x2+1先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（ ）
A．y＝2（x﹣1）2﹣2 B．y＝2（x+1）2﹣2
C．y＝2（x﹣1）2+3 D．y＝2（x+1）2+3
5．某地新高考有一项“6选3”选课制，高中学生李鑫和张锋都已选了地理和生物，现在他们还需要从“物理、化学、政治、历史”四科中选一科参加考试．若这四科被选中的机会均等，则他们恰好一人选物理，另一人选化学的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝1
C．顶点坐标为（1，0）
D．当x＜1时，y随x的增大而减小
7．如图，一艘轮船在小岛A的西北方向距小岛40海里的C处，沿正东方向航行一段时间后到达小岛A的北偏东60°的B处，则该船行驶的路程为（ ）
A．80海里 B．120海里
C．（40+40）海里 D．（40+40）海里
8．关于x的方程ax2+（1﹣a）x﹣1＝0，下列结论正确的是（ ）
A．当a＝0时，方程无实数根
B．当a＝﹣1时，方程只有一个实数根
C．当a＝1时，有两个不相等的实数根
D．当a≠0时，方程有两个相等的实数根
9．如图，在3×3的网格中，A，B均为格点，以点A为圆心，AB的长为半径作弧，图中的点C是该弧与格线的交点，则tan∠BAC的值是（ ）
A． B． C． D．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＜0；④a+b≥m（am+b）；⑤2c＜3b．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的影长BC为24米，那么旗杆AB的高度约是 米．（结果保留根号）
12．已知函数是关于x的一次函数，则m的值为 ．
13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为DC的中点，若OE＝2，则菱形的周长为 ．
14．抛物线y＝﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
﹣4
6
6
4
…
从表可知，抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ．
15．如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG，连接DF，DG，则△DFG面积的最小值为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（1）计算：（）﹣1﹣2tan45°+2sin60°﹣|1﹣|．
（2）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，BE＝8，sinA＝，求菱形的边长．
17．如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝4，AC＝3，∠A＝30°．
（1）求AD的长．
（2）求sinC的值．
18．如图1所示的是一辆混凝土布料机的实物图，图2是其工作时部分示意图，AC是可以伸缩的布料臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.2米．当布料臂AC长度为8米，张角∠HAC为118时，求布料口C离地面的高度．（结果保留一位小数；参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
19．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（m，8），B（4，n）两点，连接OA，OB．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
20．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点P在BC的延长线上，AP，DE交于点G，AP，CD交于点F．
（1）求证：AD•CF＝CP•DF．
（2）若DF＝2CF，AB＝6，求DG的长．
21．某企业生产了一套健身器材，通过实体店和网上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该企业对这种健身器材的销售情况进行了为期30天的跟踪调查，其中实体店的日销售量y1（套）与时间x（x为整数，单位：天）的部分对应值如表：
时间x（天）
0
5
10
15
20
25
30
日销售量
y1（套）
0
25
40
45
40
25
0
（1）已知y1与x满足二次函数关系，求y1与x的函数关系式．
（2）网上商店的日销售量y2（套）与时间x（x为整数，单位：天）的关系如图所示，求y2与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围．
（3）在跟踪调查的30天中，设实体店和网上商店的日销售总量为y（套），求当x为何值时，日销售总量y达到最大，并求出此时的最大值．
22．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B（2，2），点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D，连接CD．
（1）当点D运动到OA的中点时，求PC2+PD2的值．
（2）在运动过程中，∠CDP的大小是否有变化？若不变，求出∠CDP的大小；若改变，请说明理由．
（3）当△ODP为等腰三角形时，直接写出点D的坐标．
23．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于B（4，0），C（﹣1，0）两点，交y轴于点A，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的垂线PQ，过点A作AQ⊥PQ于点Q，连接AP（AP不平行x轴）．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如图1，若△AQP∽△AOC，求点P的坐标．
（3）如图2，若点P位于抛物线的对称轴的右侧，将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为Q，当点Q落在x轴上时，求点P的坐标．
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中）
1．tan30°的相反数是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
【分析】利用特殊角的三角函数值得到tan30°＝，然后根据相反数的定义求解．
解：∵tan30°＝，
∴tan30°的相反数为﹣．
故选：C．
2．若二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点（﹣2，0），则代数式2a﹣b的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
【分析】将（﹣2，0）代入函数解析式得4a﹣2b＝2，进而求解．
解：把（﹣2，0）代入y＝ax2+bx﹣2得0＝4a﹣2b﹣2，
∴4a﹣2b＝2，即2a﹣b＝1，
故选：B．
3．如图所示的物体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
解：从左面看，底层是一个圆，圆的正上方有一条线段．
故选：B．
4．若将抛物线y＝2x2+1先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（ ）
A．y＝2（x﹣1）2﹣2 B．y＝2（x+1）2﹣2
C．y＝2（x﹣1）2+3 D．y＝2（x+1）2+3
【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可．
解：抛物线y＝2x2+1的顶点坐标为（0，1），点（0，1）向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度所得对应点的坐标为（1，﹣2），所以新抛物线的解析式为y＝2（x﹣1）2﹣2．
故选：A．
5．某地新高考有一项“6选3”选课制，高中学生李鑫和张锋都已选了地理和生物，现在他们还需要从“物理、化学、政治、历史”四科中选一科参加考试．若这四科被选中的机会均等，则他们恰好一人选物理，另一人选化学的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意画出树状图，共有16种可能性结果，其中他们恰好一人选物理，另一人选化学的结果有2种，再由概率公式求解即可．
解：设“物理、化学、政治、历史”分别用A、B、C、D表示，
画树状图如图所示：
共有16种可能性结果，其中李鑫和张锋恰好一人选物理，另一人选化学的结果有2种，
∴李鑫和张锋恰好一人选物理，另一人选化学的概率为＝，
故选：A．
6．对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝1
C．顶点坐标为（1，0）
D．当x＜1时，y随x的增大而减小
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
解：∵二次函数y＝﹣（x﹣1）2，
∴该函数图象开口向下，故选项A正确，不符合题意；
对称轴是直线x＝1，故选项B正确，不符合题意；
顶点坐标为（1，0），故选项C正确，不符合题意；
当x＜1时，y随x的增大而增大，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
7．如图，一艘轮船在小岛A的西北方向距小岛40海里的C处，沿正东方向航行一段时间后到达小岛A的北偏东60°的B处，则该船行驶的路程为（ ）
A．80海里 B．120海里
C．（40+40）海里 D．（40+40）海里
【分析】通过作垂线，构造直角三角形，在两个直角三角形中，利用直角三角形的边角关系分别求出CD、BD的长，进而求出BC即可．
解：如图，过点A作AD⊥BC于D，
由题意得，∠CAD＝45°，∠BAD＝60°，AC＝40海里，
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠CAD＝45°，AC＝40海里，
∴AD＝CD＝×40＝40（海里），
在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∠BAD＝45°，AD＝40海里，
∴BD＝AD＝40（海里），
∴BC＝CD+BD＝（40+40）海里，
故选：D．
8．关于x的方程ax2+（1﹣a）x﹣1＝0，下列结论正确的是（ ）
A．当a＝0时，方程无实数根
B．当a＝﹣1时，方程只有一个实数根
C．当a＝1时，有两个不相等的实数根
D．当a≠0时，方程有两个相等的实数根
【分析】直接利用方程解的定义根的判别式分析求出即可．
解：A、当a＝0时，方程为x﹣1＝0，
解得x＝1，
故当a＝0时，方程有一个实数根；不符合题意；
B、当a＝﹣1时，关于x的方程为﹣x2+2x﹣1＝0，
∵Δ＝4﹣4＝0，
∴当a＝﹣1时，方程有两个相等的实数根，故不符合题意；
C、当a＝1时，关于x的方程x2﹣1＝0，
故当a＝1时，有两个不相等的实数根，符合题意；
D、当a≠0时，Δ＝（1﹣a）2+4a＝（1+a）2≥0，
∴当a≠0时，方程有相等的实数根，故不符合题意，
故选：C．
9．如图，在3×3的网格中，A，B均为格点，以点A为圆心，AB的长为半径作弧，图中的点C是该弧与格线的交点，则tan∠BAC的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中，先利用勾股定理求出AH，再根据正切函数定义即可求出的tan∠BAC的值．
解：如图，作CH⊥AB于H．
在Rt△ACH中，∠AHC＝90°，CH＝2，AC＝AB＝3，
∴AH＝＝，
∴tan∠BAC＝＝＝，
故选：B．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＜0；④a+b≥m（am+b）；⑤2c＜3b．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据图象可得a，b，c符号，根据对称轴为直线x＝﹣＝1可得b+2a＝0，从而判断①②，根据x＝﹣2时y＜0可判断③，由x＝1时y取最大值可得a+b+c≥am2+bm+c，从而判断④，由抛物线对称性可得x＝3时，y＜0，即9a+3b+c＜0，由﹣＝1可得a＝﹣，从而判断⑤．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，①错误，
∴b+2a＝0，②正确．
∵x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，③正确．
∵当x＝1时，y取最大值，
∴a+b+c≥ax2+bx+c，
令x＝m，则a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥m（am+b），
∴④正确．
∵x＝﹣1时y＜0，抛物线对称轴为直线x＝1，
∴x＝3时，y＜0，
∴9a+3b+c＜0，
∵﹣＝1，
∴a＝﹣，
∴﹣b+3b+c＜0，即﹣b+c＜0，
∴3b＞2c，⑤正确．
故选：D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的影长BC为24米，那么旗杆AB的高度约是 8 米．（结果保留根号）
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出tan30°＝，求出即可．
解：由题意可得出：
tan30°＝，
则AB＝BCtan30°＝24×＝8（m），
故答案为：8．
12．已知函数是关于x的一次函数，则m的值为 ﹣1 ．
【分析】根据一次函数的概念求解可得．
解：根据题意知m2＝1且m﹣1≠0，
解得m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为DC的中点，若OE＝2，则菱形的周长为 16 ．
【分析】解法一：根据OE是△BCD的中位线，即可得到BC的长，然后根据菱形的周长公式计算即可得解．
解法二：根据OE是Rt△COD斜边上的中线，即可得到CD的长，然后根据菱形的周长公式计算即可得解．
【解答】解法一：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO，
又∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴BC＝2OE＝2×2＝4，
∴菱形ABCD的周长＝4×4＝16．
解法二：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，
又∵点E是CD的中点，
∴OE是Rt△COD斜边上的中线，
∴CD＝2OE＝2×2＝4，
∴菱形ABCD的周长＝4×4＝16．
故答案为：16．
14．抛物线y＝﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
﹣4
6
6
4
…
从表可知，抛物线与x轴的另一个交点坐标为 （3，0） ．
【分析】求出抛物线的对称轴为x＝，则可得出答案．
解：∵抛物线经过点（0，6），（1，6），
∴抛物线的对称轴是x＝，
∵抛物线经过点（﹣2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）．
故答案为：（3，0）．
15．如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG，连接DF，DG，则△DFG面积的最小值为 ．
【分析】设DE＝x，则CE＝，由S△DEC+S△DFG＝S正方形ECGF可得S△DFG＝（x﹣1）2+，进而求解．
解：设DE＝x，则CE＝，
∵S△DEC+S△DFG＝S正方形ECGF，
∴S△DFG＝（x2+4）﹣×2x＝x2﹣x+2＝（x﹣1）2+，
∴当x＝1时，△DFG面积的最小值为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（1）计算：（）﹣1﹣2tan45°+2sin60°﹣|1﹣|．
（2）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，BE＝8，sinA＝，求菱形的边长．
【分析】（1）利用负整数指数幂及特殊角的函数值计算后即可确定正确的答案；
（2）由sinA＝，设DE＝12k，AD＝13k，则AE＝5k，根据EB＝13k﹣5k＝8k＝8，得到k＝1，AD＝13，由此即可解决问题．
解：（1）原式＝2﹣+﹣（）
＝3﹣；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵DE⊥AB，sinA，
∴设DE＝12k，AD＝13k，
则AE＝＝＝5k，
∴EB＝13k﹣5k＝8k＝8，
∴k＝1，AD＝13，
∴菱形的边长为13．
17．如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝4，AC＝3，∠A＝30°．
（1）求AD的长．
（2）求sinC的值．
【分析】（1）在Rt△ABD中，根据含30°角的直角三角形的性质得出BD＝AB＝2，AD＝BD＝2；
（2）先求出CD＝AC﹣AD＝，然后在Rt△CBD中，利用勾股定理求出BC＝＝，最后根据三角函数的定义即可求出sinC的值．
解：（1）在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝4，∠A＝30°，
∴BD＝AB＝2，AD＝BD＝2；
（2）∵AC＝3，AD＝2，
∴CD＝AC﹣AD＝．
在Rt△CBD中，∠CDB＝90°，BD＝2，CD＝，
∴BC＝＝，
sinC＝＝＝．
18．如图1所示的是一辆混凝土布料机的实物图，图2是其工作时部分示意图，AC是可以伸缩的布料臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.2米．当布料臂AC长度为8米，张角∠HAC为118时，求布料口C离地面的高度．（结果保留一位小数；参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
【分析】过点C作CE⊥BD于点E，过点A作AF⊥CE于点F，求出∠CAF＝28°，利用三角函数求出CF，根据CE＝CF+EF求出CE即可．
解：过点C作CE⊥BD于点E，过点A作AF⊥CE于点F，
∴四边形AHEF为矩形，
∴EF＝AH＝3.2米，∠HAF＝90°，
∴∠CAF＝∠CAH﹣∠HAF＝118°﹣90°＝28°，
在Rt△ACF中，sin∠CAF＝，
∴CF＝8×sin28°≈8×0.47＝3.76（米），
∴CE＝CF+EF＝3.76+3.2≈7.0（米），
答：布料口C离地面的高度为7.0米．
19．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（m，8），B（4，n）两点，连接OA，OB．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
【分析】（1）依据反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A（m，8），B（4，n）两点，即可得到m＝1，n＝2，把A（1，8），B（4，2），代入一次函数y＝kx+b，可得一次函数的解析式为y＝﹣2x+10；
（2）依据D（5，0），可得OD＝5，再根据△AOB的面积＝△AOD的面积﹣△BOD的面积，进行计算即可得到结论．
解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A（m，8），B（4，n）两点，
∴8m＝8，4n＝8，
解得m＝1，n＝2，
∴A（1，8），B（4，2），
代入一次函数y＝kx+b，可得，解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+10；
（2）如图，在y＝﹣2x+10中，令y＝0，则x＝5，即D（5，0），
∴OD＝5，
∴△AOB的面积＝△AOD的面积﹣△BOD的面积
＝×5×8﹣×5×2
＝15．
20．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点P在BC的延长线上，AP，DE交于点G，AP，CD交于点F．
（1）求证：AD•CF＝CP•DF．
（2）若DF＝2CF，AB＝6，求DG的长．
【分析】（1）根据正方形的性质，得△ADE∽△PCF，然后由相似三角形的性质可得结论；
（2）求出PC的长，从而可得PE，再利用△PGE≌△AGD及勾股定理，即可求出DG的长．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，有AD∥BP，
△ADF∽△PCF，
∴，即AD•CF＝CP•DF．
（2）解：由（1）知，
∵DF＝2CF，AB＝6，
∴CP＝3，
又∵点E是BC的中点，
∴EC＝BC＝3，
∴EP＝AD＝6，
∵AD∥EP，
∴∠ADG＝∠PEG，∠DAG＝∠P，
∴△PGE≌△AGD，
∴DG＝GE，
∵DE＝＝3，
∴DG＝，
故DG的长为：．
21．某企业生产了一套健身器材，通过实体店和网上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该企业对这种健身器材的销售情况进行了为期30天的跟踪调查，其中实体店的日销售量y1（套）与时间x（x为整数，单位：天）的部分对应值如表：
时间x（天）
0
5
10
15
20
25
30
日销售量
y1（套）
0
25
40
45
40
25
0
（1）已知y1与x满足二次函数关系，求y1与x的函数关系式．
（2）网上商店的日销售量y2（套）与时间x（x为整数，单位：天）的关系如图所示，求y2与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围．
（3）在跟踪调查的30天中，设实体店和网上商店的日销售总量为y（套），求当x为何值时，日销售总量y达到最大，并求出此时的最大值．
【分析】（1）根据观察可设y1＝ax2+bx，将（5，25），（10，40）代入即可得到结论；
（2）当0≤x≤10时，设y2＝kx，求得y2与x的函数关系式为：y2＝4x，当10≤x≤30时，设y2＝mx+n，将（10，40），（30，80）代入得到y2与x的函数关系式为：y2＝2x+20；
（3）依题意得y＝y1+y2，当0≤x≤10时，得到y最大＝80；当10＜x≤30时，得到y最大＝100，于是得到结论．
解：（1）根据观察可设y1＝ax2+bx，将，（5，25），（10，40）代入得：，
解得，
∴y1与x的函数关系式为：y1＝﹣x2+6x（0≤x≤30，且x为整数）；
（2）当0≤x≤10时，设y2＝kx，
∵（10，40）在其图象上，
∴10k＝40，
∴k＝4，
∴y2与x的函数关系式为：y2＝4x，
当10≤x≤30时，设y2＝mx+n，
将（10，40），（30，80）代入得，
解得，
∴y2与x的函数关系式为：y2＝2x+20，
综上所述，y2＝；
（3）依题意得y＝y1+y2，当0≤x≤10时，y＝﹣x2+6x+4x＝﹣x+10x＝﹣（x﹣25）2+125，
∴x＝10时，y最大＝80；
当10＜x≤30时，y＝﹣x2+6x+2x+20＝﹣x2+8x+20＝﹣（x﹣20）2+100，
∵x为整数，
∴x＝20时，y最大＝100，
∵100＞80，
∴当x＝20时，y最大＝100（百件）．
22．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B（2，2），点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D，连接CD．
（1）当点D运动到OA的中点时，求PC2+PD2的值．
（2）在运动过程中，∠CDP的大小是否有变化？若不变，求出∠CDP的大小；若改变，请说明理由．
（3）当△ODP为等腰三角形时，直接写出点D的坐标．
【分析】（1）由点D为OA的中点，得到OD＝OA＝，根据勾股定理即可得到PC2+PD2＝CD2＝OC2+OD2＝22+（）2＝7即可；
（2）过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E，PE＝a，则PF＝EF﹣PE＝2﹣a，根据三角函数的定义得到BE＝PE＝a，求得CE＝（2﹣a），根据相似三角形的性质得到，根据三角函数的定义得到∠PDC＝60°即可；
（3）当△ODP为等腰三角形时，Ⅰ、OD＝PD，解直角三角形得到OD＝OC＝，Ⅱ、OP＝OD，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去；Ⅲ、OP＝PD，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去；于是得到当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（2﹣4，0）或（，0）．
解：（1）∵点D为OA的中点，
∴OD＝OA＝，
∵PD⊥PC，
∴∠CPD＝90°，
∴PC2+PD2＝CD2＝OC2+OD2＝22+（）2＝7；
（2）∠CDP的大小不会变化，理由如下：
过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E，
∴PE⊥BC，四边形OFEC是矩形，
∴EF＝OC＝2，
设PE＝a，则PF＝EF﹣PE＝2﹣a，
在Rt△BEP中，tan∠CBO＝，
∴BE＝PE＝a，
∴CE＝BC﹣BE＝2﹣a＝（2﹣a），
∵PD⊥PC，
∴∠CPE+∠FPD＝90°，
∵∠CPE+∠PCE＝90°，
∴∠FPD＝∠ECP，
∵∠CEP＝∠PFD＝90°，
∴△CEP∽△PFD，
∴，
∴tan∠CDP＝＝＝，
∴∠CDP＝60°；
（3）∵B（2，2），四边形OABC是矩形，
∴OA＝2，AB＝2，
∵tan∠AOB＝＝，
∴∠AOB＝30°，
当△ODP为等腰三角形时，
Ⅰ、OD＝PD，
∴∠DOP＝∠DPO＝30°，
∴∠ODP＝120°，
∴∠ODC＝60°
∴OD＝OC＝，
∴D（，0）；
Ⅱ、当D在x轴的正半轴上时，OP＝OD，
∴∠ODP＝∠OPD＝75°，
∵∠COD＝∠CPD＝90°，
∴∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去；
当D在x轴的负半轴上时，OP′＝OD′，如图，
∵∠AOB＝30°，
∴∠D′OP′＝150°，
∵∠CP′D′＝90°，
∴∠CP′O＝105°，
∵∠COP′＝60°，
∴∠OCP′＝15°，
∴∠BCP′＝75°，
∴∠CP′B＝180°﹣75°﹣30°＝75°，
∴BC＝BP′＝2，
∴OD′＝OP′＝4﹣2，
∴D′（2﹣4，0）；
Ⅲ、OP＝PD，
∴∠POD＝∠PDO＝30°，
∴∠OCP＝150°＞90°，故不合题意舍去，
点D的坐标为（2﹣4，0）或（，0）．
23．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于B（4，0），C（﹣1，0）两点，交y轴于点A，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的垂线PQ，过点A作AQ⊥PQ于点Q，连接AP（AP不平行x轴）．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如图1，若△AQP∽△AOC，求点P的坐标．
（3）如图2，若点P位于抛物线的对称轴的右侧，将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为Q，当点Q落在x轴上时，求点P的坐标．
【分析】（1）将B（4，0），C（﹣1，0）分别代入y＝﹣x2+bx+c即可；
（2）由△AQP∽△AOC，得，即AQ＝4PQ，则m＝4|4﹣（﹣m2+3m+4）|，解绝对值方程即可；
（3）当点Q'落在x轴上，延长QP交x轴于点H，得PQ＝4﹣（﹣m2+3m+4）＝m2﹣3m，则△AOQ'∽△Q'HP，得，Q'H＝4m﹣12，则OQ'＝m﹣（4m﹣12）＝12﹣3m，再利用勾股定理解决问题．
解：（1）将B（4，0），C（﹣1，0）分别代入y＝﹣x2+bx+c得，
，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；
（2）当x＝0时，y＝4，
∴A（0，4），
∴OA＝4，
∵△AQP∽△AOC，
∴，即AQ＝4PQ，
∵P（m，﹣m2+3m+4），
∴m＝4|4﹣（﹣m2+3m+4）|，即4|m2﹣3m|＝m，
当4（m2﹣3m）＝m时，解得m＝0（舍去），或m＝，此时P（）；
当4（m2﹣3m）﹣m时，解得：m＝0（舍去）或m＝，此时P（），
综上所述：P（）或（）；
（3）P（m，﹣m2+3m+4）（m），
如图，当点Q'落在x轴上，延长QP交x轴于点H，
则PQ＝4﹣（﹣m2+3m+4）＝m2﹣3m，
∵将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为Q'，
∴∠AQ'P＝∠AQP＝90°，AQ'＝AQ＝m，PQ'＝PQ＝m2﹣3m，
∵∠AQ'O＝∠Q'PH，
∴△AOQ'∽△Q'HP，
∴，
解得：Q'H＝4m﹣12，
∴OQ'＝m﹣（4m﹣12）＝12﹣3m，
在Rt△AOQ'中，42+（12﹣3m）2＝m2，
解得：m＝4或5，
此时点P的坐标为（4，0）或（5，﹣6），
综上所述：点P的坐标为（4，0）或（5，﹣6）．
2021-2022学年山西省运城市盐湖区九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中）
1．tan30°的相反数是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
2．若二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点（﹣2，0），则代数式2a﹣b的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
3．如图所示的物体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．若将抛物线y＝2x2+1先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（ ）
A．y＝2（x﹣1）2﹣2 B．y＝2（x+1）2﹣2
C．y＝2（x﹣1）2+3 D．y＝2（x+1）2+3
5．某地新高考有一项“6选3”选课制，高中学生李鑫和张锋都已选了地理和生物，现在他们还需要从“物理、化学、政治、历史”四科中选一科参加考试．若这四科被选中的机会均等，则他们恰好一人选物理，另一人选化学的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝1
C．顶点坐标为（1，0）
D．当x＜1时，y随x的增大而减小
7．如图，一艘轮船在小岛A的西北方向距小岛40海里的C处，沿正东方向航行一段时间后到达小岛A的北偏东60°的B处，则该船行驶的路程为（ ）
A．80海里 B．120海里
C．（40+40）海里 D．（40+40）海里
8．关于x的方程ax2+（1﹣a）x﹣1＝0，下列结论正确的是（ ）
A．当a＝0时，方程无实数根
B．当a＝﹣1时，方程只有一个实数根
C．当a＝1时，有两个不相等的实数根
D．当a≠0时，方程有两个相等的实数根
9．如图，在3×3的网格中，A，B均为格点，以点A为圆心，AB的长为半径作弧，图中的点C是该弧与格线的交点，则tan∠BAC的值是（ ）
A． B． C． D．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＜0；④a+b≥m（am+b）；⑤2c＜3b．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的影长BC为24米，那么旗杆AB的高度约是 米．（结果保留根号）
12．已知函数是关于x的一次函数，则m的值为 ．
13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为DC的中点，若OE＝2，则菱形的周长为 ．
14．抛物线y＝﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
﹣4
6
6
4
…
从表可知，抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ．
15．如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG，连接DF，DG，则△DFG面积的最小值为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（1）计算：（）﹣1﹣2tan45°+2sin60°﹣|1﹣|．
（2）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，BE＝8，sinA＝，求菱形的边长．
17．如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝4，AC＝3，∠A＝30°．
（1）求AD的长．
（2）求sinC的值．
18．如图1所示的是一辆混凝土布料机的实物图，图2是其工作时部分示意图，AC是可以伸缩的布料臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.2米．当布料臂AC长度为8米，张角∠HAC为118时，求布料口C离地面的高度．（结果保留一位小数；参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
19．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（m，8），B（4，n）两点，连接OA，OB．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
20．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点P在BC的延长线上，AP，DE交于点G，AP，CD交于点F．
（1）求证：AD•CF＝CP•DF．
（2）若DF＝2CF，AB＝6，求DG的长．
21．某企业生产了一套健身器材，通过实体店和网上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该企业对这种健身器材的销售情况进行了为期30天的跟踪调查，其中实体店的日销售量y1（套）与时间x（x为整数，单位：天）的部分对应值如表：
时间x（天）
0
5
10
15
20
25
30
日销售量
y1（套）
0
25
40
45
40
25
0
（1）已知y1与x满足二次函数关系，求y1与x的函数关系式．
（2）网上商店的日销售量y2（套）与时间x（x为整数，单位：天）的关系如图所示，求y2与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围．
（3）在跟踪调查的30天中，设实体店和网上商店的日销售总量为y（套），求当x为何值时，日销售总量y达到最大，并求出此时的最大值．
22．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B（2，2），点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D，连接CD．
（1）当点D运动到OA的中点时，求PC2+PD2的值．
（2）在运动过程中，∠CDP的大小是否有变化？若不变，求出∠CDP的大小；若改变，请说明理由．
（3）当△ODP为等腰三角形时，直接写出点D的坐标．
23．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于B（4，0），C（﹣1，0）两点，交y轴于点A，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的垂线PQ，过点A作AQ⊥PQ于点Q，连接AP（AP不平行x轴）．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如图1，若△AQP∽△AOC，求点P的坐标．
（3）如图2，若点P位于抛物线的对称轴的右侧，将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为Q，当点Q落在x轴上时，求点P的坐标．
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中）
1．tan30°的相反数是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
【分析】利用特殊角的三角函数值得到tan30°＝，然后根据相反数的定义求解．
解：∵tan30°＝，
∴tan30°的相反数为﹣．
故选：C．
2．若二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点（﹣2，0），则代数式2a﹣b的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
【分析】将（﹣2，0）代入函数解析式得4a﹣2b＝2，进而求解．
解：把（﹣2，0）代入y＝ax2+bx﹣2得0＝4a﹣2b﹣2，
∴4a﹣2b＝2，即2a﹣b＝1，
故选：B．
3．如图所示的物体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
解：从左面看，底层是一个圆，圆的正上方有一条线段．
故选：B．
4．若将抛物线y＝2x2+1先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（ ）
A．y＝2（x﹣1）2﹣2 B．y＝2（x+1）2﹣2
C．y＝2（x﹣1）2+3 D．y＝2（x+1）2+3
【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可．
解：抛物线y＝2x2+1的顶点坐标为（0，1），点（0，1）向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度所得对应点的坐标为（1，﹣2），所以新抛物线的解析式为y＝2（x﹣1）2﹣2．
故选：A．
5．某地新高考有一项“6选3”选课制，高中学生李鑫和张锋都已选了地理和生物，现在他们还需要从“物理、化学、政治、历史”四科中选一科参加考试．若这四科被选中的机会均等，则他们恰好一人选物理，另一人选化学的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意画出树状图，共有16种可能性结果，其中他们恰好一人选物理，另一人选化学的结果有2种，再由概率公式求解即可．
解：设“物理、化学、政治、历史”分别用A、B、C、D表示，
画树状图如图所示：
共有16种可能性结果，其中李鑫和张锋恰好一人选物理，另一人选化学的结果有2种，
∴李鑫和张锋恰好一人选物理，另一人选化学的概率为＝，
故选：A．
6．对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝1
C．顶点坐标为（1，0）
D．当x＜1时，y随x的增大而减小
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
解：∵二次函数y＝﹣（x﹣1）2，
∴该函数图象开口向下，故选项A正确，不符合题意；
对称轴是直线x＝1，故选项B正确，不符合题意；
顶点坐标为（1，0），故选项C正确，不符合题意；
当x＜1时，y随x的增大而增大，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
7．如图，一艘轮船在小岛A的西北方向距小岛40海里的C处，沿正东方向航行一段时间后到达小岛A的北偏东60°的B处，则该船行驶的路程为（ ）
A．80海里 B．120海里
C．（40+40）海里 D．（40+40）海里
【分析】通过作垂线，构造直角三角形，在两个直角三角形中，利用直角三角形的边角关系分别求出CD、BD的长，进而求出BC即可．
解：如图，过点A作AD⊥BC于D，
由题意得，∠CAD＝45°，∠BAD＝60°，AC＝40海里，
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠CAD＝45°，AC＝40海里，
∴AD＝CD＝×40＝40（海里），
在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∠BAD＝45°，AD＝40海里，
∴BD＝AD＝40（海里），
∴BC＝CD+BD＝（40+40）海里，
故选：D．
8．关于x的方程ax2+（1﹣a）x﹣1＝0，下列结论正确的是（ ）
A．当a＝0时，方程无实数根
B．当a＝﹣1时，方程只有一个实数根
C．当a＝1时，有两个不相等的实数根
D．当a≠0时，方程有两个相等的实数根
【分析】直接利用方程解的定义根的判别式分析求出即可．
解：A、当a＝0时，方程为x﹣1＝0，
解得x＝1，
故当a＝0时，方程有一个实数根；不符合题意；
B、当a＝﹣1时，关于x的方程为﹣x2+2x﹣1＝0，
∵Δ＝4﹣4＝0，
∴当a＝﹣1时，方程有两个相等的实数根，故不符合题意；
C、当a＝1时，关于x的方程x2﹣1＝0，
故当a＝1时，有两个不相等的实数根，符合题意；
D、当a≠0时，Δ＝（1﹣a）2+4a＝（1+a）2≥0，
∴当a≠0时，方程有相等的实数根，故不符合题意，
故选：C．
9．如图，在3×3的网格中，A，B均为格点，以点A为圆心，AB的长为半径作弧，图中的点C是该弧与格线的交点，则tan∠BAC的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中，先利用勾股定理求出AH，再根据正切函数定义即可求出的tan∠BAC的值．
解：如图，作CH⊥AB于H．
在Rt△ACH中，∠AHC＝90°，CH＝2，AC＝AB＝3，
∴AH＝＝，
∴tan∠BAC＝＝＝，
故选：B．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＜0；④a+b≥m（am+b）；⑤2c＜3b．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据图象可得a，b，c符号，根据对称轴为直线x＝﹣＝1可得b+2a＝0，从而判断①②，根据x＝﹣2时y＜0可判断③，由x＝1时y取最大值可得a+b+c≥am2+bm+c，从而判断④，由抛物线对称性可得x＝3时，y＜0，即9a+3b+c＜0，由﹣＝1可得a＝﹣，从而判断⑤．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，①错误，
∴b+2a＝0，②正确．
∵x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，③正确．
∵当x＝1时，y取最大值，
∴a+b+c≥ax2+bx+c，
令x＝m，则a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥m（am+b），
∴④正确．
∵x＝﹣1时y＜0，抛物线对称轴为直线x＝1，
∴x＝3时，y＜0，
∴9a+3b+c＜0，
∵﹣＝1，
∴a＝﹣，
∴﹣b+3b+c＜0，即﹣b+c＜0，
∴3b＞2c，⑤正确．
故选：D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的影长BC为24米，那么旗杆AB的高度约是 8 米．（结果保留根号）
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出tan30°＝，求出即可．
解：由题意可得出：
tan30°＝，
则AB＝BCtan30°＝24×＝8（m），
故答案为：8．
12．已知函数是关于x的一次函数，则m的值为 ﹣1 ．
【分析】根据一次函数的概念求解可得．
解：根据题意知m2＝1且m﹣1≠0，
解得m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为DC的中点，若OE＝2，则菱形的周长为 16 ．
【分析】解法一：根据OE是△BCD的中位线，即可得到BC的长，然后根据菱形的周长公式计算即可得解．
解法二：根据OE是Rt△COD斜边上的中线，即可得到CD的长，然后根据菱形的周长公式计算即可得解．
【解答】解法一：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO，
又∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴BC＝2OE＝2×2＝4，
∴菱形ABCD的周长＝4×4＝16．
解法二：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，
又∵点E是CD的中点，
∴OE是Rt△COD斜边上的中线，
∴CD＝2OE＝2×2＝4，
∴菱形ABCD的周长＝4×4＝16．
故答案为：16．
14．抛物线y＝﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
﹣4
6
6
4
…
从表可知，抛物线与x轴的另一个交点坐标为 （3，0） ．
【分析】求出抛物线的对称轴为x＝，则可得出答案．
解：∵抛物线经过点（0，6），（1，6），
∴抛物线的对称轴是x＝，
∵抛物线经过点（﹣2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）．
故答案为：（3，0）．
15．如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG，连接DF，DG，则△DFG面积的最小值为 ．
【分析】设DE＝x，则CE＝，由S△DEC+S△DFG＝S正方形ECGF可得S△DFG＝（x﹣1）2+，进而求解．
解：设DE＝x，则CE＝，
∵S△DEC+S△DFG＝S正方形ECGF，
∴S△DFG＝（x2+4）﹣×2x＝x2﹣x+2＝（x﹣1）2+，
∴当x＝1时，△DFG面积的最小值为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（1）计算：（）﹣1﹣2tan45°+2sin60°﹣|1﹣|．
（2）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，BE＝8，sinA＝，求菱形的边长．
【分析】（1）利用负整数指数幂及特殊角的函数值计算后即可确定正确的答案；
（2）由sinA＝，设DE＝12k，AD＝13k，则AE＝5k，根据EB＝13k﹣5k＝8k＝8，得到k＝1，AD＝13，由此即可解决问题．
解：（1）原式＝2﹣+﹣（）
＝3﹣；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵DE⊥AB，sinA，
∴设DE＝12k，AD＝13k，
则AE＝＝＝5k，
∴EB＝13k﹣5k＝8k＝8，
∴k＝1，AD＝13，
∴菱形的边长为13．
17．如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝4，AC＝3，∠A＝30°．
（1）求AD的长．
（2）求sinC的值．
【分析】（1）在Rt△ABD中，根据含30°角的直角三角形的性质得出BD＝AB＝2，AD＝BD＝2；
（2）先求出CD＝AC﹣AD＝，然后在Rt△CBD中，利用勾股定理求出BC＝＝，最后根据三角函数的定义即可求出sinC的值．
解：（1）在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝4，∠A＝30°，
∴BD＝AB＝2，AD＝BD＝2；
（2）∵AC＝3，AD＝2，
∴CD＝AC﹣AD＝．
在Rt△CBD中，∠CDB＝90°，BD＝2，CD＝，
∴BC＝＝，
sinC＝＝＝．
18．如图1所示的是一辆混凝土布料机的实物图，图2是其工作时部分示意图，AC是可以伸缩的布料臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.2米．当布料臂AC长度为8米，张角∠HAC为118时，求布料口C离地面的高度．（结果保留一位小数；参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
【分析】过点C作CE⊥BD于点E，过点A作AF⊥CE于点F，求出∠CAF＝28°，利用三角函数求出CF，根据CE＝CF+EF求出CE即可．
解：过点C作CE⊥BD于点E，过点A作AF⊥CE于点F，
∴四边形AHEF为矩形，
∴EF＝AH＝3.2米，∠HAF＝90°，
∴∠CAF＝∠CAH﹣∠HAF＝118°﹣90°＝28°，
在Rt△ACF中，sin∠CAF＝，
∴CF＝8×sin28°≈8×0.47＝3.76（米），
∴CE＝CF+EF＝3.76+3.2≈7.0（米），
答：布料口C离地面的高度为7.0米．
19．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（m，8），B（4，n）两点，连接OA，OB．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
【分析】（1）依据反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A（m，8），B（4，n）两点，即可得到m＝1，n＝2，把A（1，8），B（4，2），代入一次函数y＝kx+b，可得一次函数的解析式为y＝﹣2x+10；
（2）依据D（5，0），可得OD＝5，再根据△AOB的面积＝△AOD的面积﹣△BOD的面积，进行计算即可得到结论．
解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A（m，8），B（4，n）两点，
∴8m＝8，4n＝8，
解得m＝1，n＝2，
∴A（1，8），B（4，2），
代入一次函数y＝kx+b，可得，解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+10；
（2）如图，在y＝﹣2x+10中，令y＝0，则x＝5，即D（5，0），
∴OD＝5，
∴△AOB的面积＝△AOD的面积﹣△BOD的面积
＝×5×8﹣×5×2
＝15．
20．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点P在BC的延长线上，AP，DE交于点G，AP，CD交于点F．
（1）求证：AD•CF＝CP•DF．
（2）若DF＝2CF，AB＝6，求DG的长．
【分析】（1）根据正方形的性质，得△ADE∽△PCF，然后由相似三角形的性质可得结论；
（2）求出PC的长，从而可得PE，再利用△PGE≌△AGD及勾股定理，即可求出DG的长．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，有AD∥BP，
△ADF∽△PCF，
∴，即AD•CF＝CP•DF．
（2）解：由（1）知，
∵DF＝2CF，AB＝6，
∴CP＝3，
又∵点E是BC的中点，
∴EC＝BC＝3，
∴EP＝AD＝6，
∵AD∥EP，
∴∠ADG＝∠PEG，∠DAG＝∠P，
∴△PGE≌△AGD，
∴DG＝GE，
∵DE＝＝3，
∴DG＝，
故DG的长为：．
21．某企业生产了一套健身器材，通过实体店和网上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该企业对这种健身器材的销售情况进行了为期30天的跟踪调查，其中实体店的日销售量y1（套）与时间x（x为整数，单位：天）的部分对应值如表：
时间x（天）
0
5
10
15
20
25
30
日销售量
y1（套）
0
25
40
45
40
25
0
（1）已知y1与x满足二次函数关系，求y1与x的函数关系式．
（2）网上商店的日销售量y2（套）与时间x（x为整数，单位：天）的关系如图所示，求y2与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围．
（3）在跟踪调查的30天中，设实体店和网上商店的日销售总量为y（套），求当x为何值时，日销售总量y达到最大，并求出此时的最大值．
【分析】（1）根据观察可设y1＝ax2+bx，将（5，25），（10，40）代入即可得到结论；
（2）当0≤x≤10时，设y2＝kx，求得y2与x的函数关系式为：y2＝4x，当10≤x≤30时，设y2＝mx+n，将（10，40），（30，80）代入得到y2与x的函数关系式为：y2＝2x+20；
（3）依题意得y＝y1+y2，当0≤x≤10时，得到y最大＝80；当10＜x≤30时，得到y最大＝100，于是得到结论．
解：（1）根据观察可设y1＝ax2+bx，将，（5，25），（10，40）代入得：，
解得，
∴y1与x的函数关系式为：y1＝﹣x2+6x（0≤x≤30，且x为整数）；
（2）当0≤x≤10时，设y2＝kx，
∵（10，40）在其图象上，
∴10k＝40，
∴k＝4，
∴y2与x的函数关系式为：y2＝4x，
当10≤x≤30时，设y2＝mx+n，
将（10，40），（30，80）代入得，
解得，
∴y2与x的函数关系式为：y2＝2x+20，
综上所述，y2＝；
（3）依题意得y＝y1+y2，当0≤x≤10时，y＝﹣x2+6x+4x＝﹣x+10x＝﹣（x﹣25）2+125，
∴x＝10时，y最大＝80；
当10＜x≤30时，y＝﹣x2+6x+2x+20＝﹣x2+8x+20＝﹣（x﹣20）2+100，
∵x为整数，
∴x＝20时，y最大＝100，
∵100＞80，
∴当x＝20时，y最大＝100（百件）．
22．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B（2，2），点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D，连接CD．
（1）当点D运动到OA的中点时，求PC2+PD2的值．
（2）在运动过程中，∠CDP的大小是否有变化？若不变，求出∠CDP的大小；若改变，请说明理由．
（3）当△ODP为等腰三角形时，直接写出点D的坐标．
【分析】（1）由点D为OA的中点，得到OD＝OA＝，根据勾股定理即可得到PC2+PD2＝CD2＝OC2+OD2＝22+（）2＝7即可；
（2）过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E，PE＝a，则PF＝EF﹣PE＝2﹣a，根据三角函数的定义得到BE＝PE＝a，求得CE＝（2﹣a），根据相似三角形的性质得到，根据三角函数的定义得到∠PDC＝60°即可；
（3）当△ODP为等腰三角形时，Ⅰ、OD＝PD，解直角三角形得到OD＝OC＝，Ⅱ、OP＝OD，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去；Ⅲ、OP＝PD，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去；于是得到当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（2﹣4，0）或（，0）．
解：（1）∵点D为OA的中点，
∴OD＝OA＝，
∵PD⊥PC，
∴∠CPD＝90°，
∴PC2+PD2＝CD2＝OC2+OD2＝22+（）2＝7；
（2）∠CDP的大小不会变化，理由如下：
过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E，
∴PE⊥BC，四边形OFEC是矩形，
∴EF＝OC＝2，
设PE＝a，则PF＝EF﹣PE＝2﹣a，
在Rt△BEP中，tan∠CBO＝，
∴BE＝PE＝a，
∴CE＝BC﹣BE＝2﹣a＝（2﹣a），
∵PD⊥PC，
∴∠CPE+∠FPD＝90°，
∵∠CPE+∠PCE＝90°，
∴∠FPD＝∠ECP，
∵∠CEP＝∠PFD＝90°，
∴△CEP∽△PFD，
∴，
∴tan∠CDP＝＝＝，
∴∠CDP＝60°；
（3）∵B（2，2），四边形OABC是矩形，
∴OA＝2，AB＝2，
∵tan∠AOB＝＝，
∴∠AOB＝30°，
当△ODP为等腰三角形时，
Ⅰ、OD＝PD，
∴∠DOP＝∠DPO＝30°，
∴∠ODP＝120°，
∴∠ODC＝60°
∴OD＝OC＝，
∴D（，0）；
Ⅱ、当D在x轴的正半轴上时，OP＝OD，
∴∠ODP＝∠OPD＝75°，
∵∠COD＝∠CPD＝90°，
∴∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去；
当D在x轴的负半轴上时，OP′＝OD′，如图，
∵∠AOB＝30°，
∴∠D′OP′＝150°，
∵∠CP′D′＝90°，
∴∠CP′O＝105°，
∵∠COP′＝60°，
∴∠OCP′＝15°，
∴∠BCP′＝75°，
∴∠CP′B＝180°﹣75°﹣30°＝75°，
∴BC＝BP′＝2，
∴OD′＝OP′＝4﹣2，
∴D′（2﹣4，0）；
Ⅲ、OP＝PD，
∴∠POD＝∠PDO＝30°，
∴∠OCP＝150°＞90°，故不合题意舍去，
点D的坐标为（2﹣4，0）或（，0）．
23．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于B（4，0），C（﹣1，0）两点，交y轴于点A，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的垂线PQ，过点A作AQ⊥PQ于点Q，连接AP（AP不平行x轴）．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如图1，若△AQP∽△AOC，求点P的坐标．
（3）如图2，若点P位于抛物线的对称轴的右侧，将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为Q，当点Q落在x轴上时，求点P的坐标．
【分析】（1）将B（4，0），C（﹣1，0）分别代入y＝﹣x2+bx+c即可；
（2）由△AQP∽△AOC，得，即AQ＝4PQ，则m＝4|4﹣（﹣m2+3m+4）|，解绝对值方程即可；
（3）当点Q'落在x轴上，延长QP交x轴于点H，得PQ＝4﹣（﹣m2+3m+4）＝m2﹣3m，则△AOQ'∽△Q'HP，得，Q'H＝4m﹣12，则OQ'＝m﹣（4m﹣12）＝12﹣3m，再利用勾股定理解决问题．
解：（1）将B（4，0），C（﹣1，0）分别代入y＝﹣x2+bx+c得，
，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；
（2）当x＝0时，y＝4，
∴A（0，4），
∴OA＝4，
∵△AQP∽△AOC，
∴，即AQ＝4PQ，
∵P（m，﹣m2+3m+4），
∴m＝4|4﹣（﹣m2+3m+4）|，即4|m2﹣3m|＝m，
当4（m2﹣3m）＝m时，解得m＝0（舍去），或m＝，此时P（）；
当4（m2﹣3m）﹣m时，解得：m＝0（舍去）或m＝，此时P（），
综上所述：P（）或（）；
（3）P（m，﹣m2+3m+4）（m），
如图，当点Q'落在x轴上，延长QP交x轴于点H，
则PQ＝4﹣（﹣m2+3m+4）＝m2﹣3m，
∵将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为Q'，
∴∠AQ'P＝∠AQP＝90°，AQ'＝AQ＝m，PQ'＝PQ＝m2﹣3m，
∵∠AQ'O＝∠Q'PH，
∴△AOQ'∽△Q'HP，
∴，
解得：Q'H＝4m﹣12，
∴OQ'＝m﹣（4m﹣12）＝12﹣3m，
在Rt△AOQ'中，42+（12﹣3m）2＝m2，
解得：m＝4或5，
此时点P的坐标为（4，0）或（5，﹣6），
综上所述：点P的坐标为（4，0）或（5，﹣6）．
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