【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：椭圆的基本量与方程

这是一份【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：椭圆的基本量与方程，共13页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共27小题；共135分）
1. 已知 P 是椭圆 x216+y24=1 上的动点，则 P 到该椭圆两个焦点的距离之和为
A. 23B. 4C. 43D. 8

2. 已知方程 x2∣m∣−1+y22−m=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是
A. −∞,2B. 1,2
C. −∞,−1∪1,2D. −∞,−1∪1,32

3. 已知 F1，F2 分别是椭圆 x24+y23=1 的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆 C 与 F1A 的延长线，F1F2 的延长线以及线段 AF2 相切．若 Mt,0 为一个切点，则
A. t=2B. t>2
C. t<2D. t 与 2 的大小关系不确定

4. 方程 x24+m+y22−m=1 表示椭圆的充要条件是
A. m∈−4,−1B. m∈−4,−1∪−1,2
C. m∈−4,2D. m∈−1,+∞

5. 已知点 M3,0，椭圆 x24+y2=1 与直线 y=kx+3k≠0 交于点 A，B，则 △ABM 的周长为
A. 23B. 8C. 4D. 25

6. 已知椭圆 C 的焦点为 F1−1,0，F21,0，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点．若 AF2=2F2B，AB=BF1，则 C 的方程为
A. x22+y2=1B. x23+y22=1C. x24+y23=1D. x25+y24=1

7. 已知椭圆 x24+y2=1 的左、右两个焦点分别为 F1，F2，过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，设其中一个交点为 P，则 ∣PF2∣=
A. 32B. 3C. 72D. 4

8. 已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 分别过点 A2,0 和 B0,−1，则该椭圆的焦距为
A. 3B. 23C. 5D. 25

9. 椭圆 x29+y25=1 上任意一点 P 到点 Q1,0 的距离的最小值为
A. 3B. 152C. 2D. 253

10. 焦点在 x 轴上的椭圆 x2a2+y225=1 的焦距为 8，两个焦点分别为 F1，F2，弦 AB 过点 F1，则 △ABF2 的周长为
A. 20B. 28C. 241D. 441

11. 某地的旅游地图如图所示，它的外轮廓线是椭圆，根据图中的数据可得该椭圆的离心率为
A. 25B. 35C. 235D. 255

12. 已知 P 是椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 上一点，F1，F2 分别是椭圆的左、右焦点，I 为 △PF1F2 的内心，若 S△IPF1+S△IPF2=3S△IF1F2 成立，则椭圆的离心率为
A. 13B. 23C. 34D. 35

13. 已知椭圆 x2m−2+y210−m=1 的焦点在 x 轴上，焦距为 4，则 m=
A. 8B. 7C. 6D. 5

14. 已知椭圆的长轴长为 4，左顶点在圆 x−42+y−12=4 上，左准线为 y 轴，则此椭圆离心率的取值范围是
（注：椭圆的准线方程为 x=±a2c）
A. 18,14B. 14,12C. 18,12D. 12,34

15. F1，F2 是椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点，M 为椭圆上的动点．若 △F1MF2 面积的最大值为 12ab，则椭圆的离心率为
A. 12B. 1C. 35D. 3−1

16. 设 P 是椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 上一点，F1，F2 分别是椭圆的左，右焦点，I 是 △PF1F2 的内心，若 △PF1F2 的面积是 △IF1F2 面积的 3 倍，则该椭圆的离心率为
A. 33B. 22C. 32D. 12

17. 已知椭圆 C:x28+y26=1 的左、右顶点分别为 A，B，点 P 为椭圆 C 上不同于 A，B 两点的动点，若直线 PA 的斜率的取值范围是 1,2，则直线 PB 的斜率的取值范围是
A. −2,−1B. −32,−34C. −1,−12D. −34,−38

18. 设 F1，F2 分别是椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点，过 F1 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，l 在 y 轴上的截距为 1，若 AF1=3F1B，且 AF2⊥x 轴，则此椭圆的长轴长为
A. 33B. 3C. 6D. 6

19. 已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的右焦点为 Fc,0，上顶点为 A0,b，直线 x=a2c 上存在一点 P 满足 FP+FA⋅AP=0，则椭圆的离心率 e 的取值范围为
A. 12,1B. 22,1C. 5−12,1D. 0,22

20. 已知椭圆 C 的焦点为 F1−1,0，F21,0，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点．若 AF2=2F2B，∣AB∣=BF1，则 C 的方程为
A. x22+y2=1B. x23+y22=1C. x24+y23=1D. x25+y24=1

21. 比较下列四个椭圆的形状，其中更接近于圆的是
A. 9x2+y2=36B. 3x2+4y2=48C. x2+9y2=36D. 5x2+3y2=30

22. 椭圆 x225+y29=1 与 x29−k+y225−k=10A. 有相等的长轴长和短轴长B. 有相等的焦距
C. 有相同的焦点D. 有相同的顶点

23. 已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的一个焦点是圆 x2+y2−6x+8=0 的圆心，且短轴长为 8，则该椭圆的左顶点为
A. −2,0B. −3,0C. −4,0D. −5,0

24. 已知 F1，F2 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且 F1P>F2P，线段 F1P 的垂直平分线过 F2．若椭圆的离心率为 e1，双曲线的离心率为 e2，则 2e1+e22 的最小值为
A. 6B. 3C. 6D. 3

25. 已知 F1，F2 是椭圆 x29+y225=1 的两个焦点，A 为椭圆上一点，则 △AF1F2 的周长为
A. 10B. 14C. 16D. 18

26. 已知抛物线的焦点为椭圆 x24+y29=1 的下焦点，顶点为椭圆中心，则该抛物线的方程为
A. x2=−45yB. y2=−45xC. x2=−413yD. y2=−413x

27. 已知 F 是椭圆 C:x22+y2=1 的左焦点，P 为椭圆 C 上任意一点，点 Q4,3，则 ∣PQ∣+∣PF∣ 的最大值为
A. 52B. 32C. 34D. 42

二、选择题（共3小题；共15分）
28. 设定点 F10,−3，F20,3，动点 P 满足 ∣PF1∣+∣PF2∣=a+9aa>0，则点 P 的轨迹是
A. 圆B. 线段C. 椭圆D. 不存在

29. 已知椭圆 x25+y2m=1m>0 的离心率 e=105，则 m 的值可以为
A. 3B. 253C. 5D. 5153

30. 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点 F1，F2 在 y 轴上，且短轴长为 2，离心率为 63，过焦点 F1 作 y 轴的垂线，交椭圆 C 于 P，Q 两点，则下列说法正确的是
A. 椭圆方程为 y23+x2=1B. 椭圆方程为 x23+y2=1
C. ∣PQ∣=233D. △PF2Q 的周长为 43
答案
第一部分
1. D【解析】由椭圆的方程可得 a=4，
所以 P 到该椭圆两个焦点的距离之和为 2a=8．
2. D【解析】由题意得 ∣m∣−1>0,2−m>0,2−m>∣m∣−1,
即 m<−1或m>1,m<2,m<32,
所以 m<−1 或 13. A【解析】如图，设 P，Q 分别是圆 C 与 F1A 的延长线，线段 AF2 相切的切点，
∣MF2∣=∣F2Q∣=2a−∣F1A∣+∣AQ∣=2a−∣F1P∣=2a−∣F1M∣，
即 ∣F1M∣+∣MF2∣=2a，
所以 t=a=2．
故选A．
4. B【解析】方程 x24+m+y22−m=1 表示椭圆的充要条件是 4+m>0,2−m>0,4+m≠2−m, 解得 m∈−4,−1∪−1,2．
5. B
【解析】设椭圆的左焦点为 F，由题意得 M3,0 与 F−3,0 是椭圆的焦点，
则直线 AB 过椭圆的左焦点 F−3,0，且 AB=AF+BF，
所以 △ABM 的周长为 AB+AM+BM=AF+AM+BF+BM=4a=8．
6. B【解析】设椭圆 C 的标准方程为 x2a2+y2b2=1a>b>0．
因为 AF2=2F2B，AB=BF1，
所以 BF1=3F2B．
又因为 BF1+F2B=2a，
所以 F2B=a2，
则 AF2=a，AB=BF1=32a，AF1=a．
方法一：
在 △ABF1 中，由余弦定理，
得 cs∠BAF1=AB2+AF12−BF122AB⋅AF1=3a22+a2−3a222⋅3a2⋅a=13．
因为椭圆 C 的焦点为 F1−1,0，F21,0，
所以 c=1，F1F2=2．
在 △AF1F2 中，由余弦定理，得 F1F22=AF12+AF22−2AF1AF2⋅cs∠BAF1，
即 4=a2+a2−2a2⋅13，
解得 a2=3，
所以 b2=a2−c2=2，
所以椭圆 C 的标准方程为 x23+y22=1，故选B．
方法二：
因为 AF1=AF2=a，
所以点 A 为椭圆的上、下顶点．
不妨设 A0,−b，F21,0，
因为 AF2=2F2B，
所以 B32,b2，代入椭圆方程得 94a2+b24b2=1，解得 a2=3．
又因为 c=1，
所以 b2=a2−c2=2，
所以椭圆 C 的标准方程为 x23+y22=1．
7. C【解析】c=4−1=3，所以当 x=−3 时，∣PF1∣=∣y∣=12，而 ∣PF1∣+∣PF2∣=4，
所以 ∣PF2∣=4−∣PF1∣=72．
8. B【解析】由题意可得 a=2，b=1，
所以 c=a2−b2=4−1=3，
所以 2c=23．
故选B．
9. B【解析】设点 P 的坐标为 m,n，其中 m∈−3,3，
由 x29+y25=1，可得 n2=5−5m29．
易知
PQ=m−12+n2=m−12+5−5m29=49m2−2m+6=49m−942+154,
当 m=94 时，PQ 取得最小值，为 152．
10. D
【解析】因为焦点在 x 轴上的椭圆 x2a2+y225=1 的焦距为 8，所以 a2−25=42，解得 a=41．
如图，
根据椭圆的定义可得 ∣AF1∣+∣AF2∣=2a，∣BF1∣+∣BF2∣=2a，
所以 △ABF2 的周长
C△ABF2=∣AB∣+∣AF2∣+∣BF2∣=∣AF1∣+∣BF1∣+∣AF2∣+∣BF2∣=4a=441,
故选D．
11. B【解析】由题意可知 2a=25.5，2b=20.4，
则 c=a2−b2=25.524−20.424=15.32，
所以椭圆的离心率 e=2c2a=．
12. A【解析】设 △PF1F2 的内切圆半径为 r，
则 S△IPF1=12PF1⋅r，
S△IPF2=12PF2⋅r，
3S△IF1F2=3×12F1F2⋅r，
因为 S△IPF1+S△IPF2=3S△IF1F2，
所以 12PF1⋅r+12PF2⋅r=3×12F1F2⋅r，
得 PF1+PF2=3F1F2，即 2a=3×2c．
所以椭圆的离心率 e=ca=13．
13. A【解析】因为椭圆 x2m−2+y210−m=1 的焦点在 x 轴上，焦距为 4，
所以 m−2−10−m=422，得 m=8．
14. B【解析】设椭圆的左顶点坐标为 Ax0,y0 点 A 到左准线的距离为 x0−0=−a−−a2c，由此得 c=4x0+2，
于是离心率 e=ca=c2=2x0+2．
又点 A 在圆上，
所以 x0∈2,6，
因此离心率 e∈14,12．
15. A
【解析】设 M 的纵坐标为 n，椭圆的半焦距为 c，
则 △F1MF2 的面积 S=12⋅2c⋅∣n∣=c∣n∣．
由 −b≤n≤b，可得 ∣n∣≤b，
所以 S 的最大值为 bc，
则 bc=12ab，即 c=12a．
所以 e=ca=12．
16. D【解析】设 △PF1F2 内切圆的半径为 r，
所以
S△PF1F2=S△IPF1+S△IPF2+S△IF1F2=12∣PF1∣+∣PF2∣+∣F1F2∣⋅r=a+c⋅r,
将大三角形面积转化为三个小三角形面积之和．
又 S△IF1F2=12∣F1F2∣⋅r=c⋅r，S△PF1F2=3S△IF1F2，
所以 a+c=3c，
所以 a=2c，
所以 e=ca=12．
17. D【解析】由题意得 A−22,0，B22,0，
设 Px0,y0，则 x028+y026=1，
其中 x0≠±22，
所以
kPA⋅kPB=y0x0+22⋅y0x0−22=y02x02−8=61−x028x02−8=−34.
又因为直线 PA 的斜率的取值范围是 1,2，
所以直线 PB 的斜率的取值范围是 −34,−38．
18. D【解析】AF2⊥x 轴，l 在 y 轴上的截距为 1，则 Ac,2，AF1=3F1B，由相似三角形可得 B−53c,−23，将 A，B 代入椭圆，
构建关于 a，b，c 的方程组，求 a，b，c 的值．
得 c2a2+4b2=1,25c29a2+49b2=1, 解得 b2=6，又 AF2=b2a=2，
所以 2a=6．故选D．
19. C【解析】取线段 AP 的中点 Q，故 2FQ⋅AP=0，
所以 FQ⊥AP，
故三角形 AFP 为等腰三角形，即 ∣FA∣=∣FP∣，
且 ∣FA∣=b2+c2=a，
由于点 P 在直线 x=a2c 上，
所以 ∣FP∣≥a2c−c，
即 a≥a2c−c，
所以 ac≥a2c2−1，
所以 e2+e−1≥0，
解得 e≥5−12 或 e≤−5−12，
又 0所以 5−12≤e<1．
20. B
【解析】设 F2B=x（x>0），则 AF2=2x，∣AB∣=3x，BF1=3x，AF1=4a−∣AB∣+BF1=4a−6x，
由椭圆的定义知 BF1+BF2=2a=4x，
所以 AF1=2x．
在 △BF1F2 中，由余弦定理得 BF12=F2B2+F1F22−2F2B⋅F1F2⋅cs∠BF2F1，
即 9x2=x2+22−4xcs∠BF2F1. ⋯⋯①
在 △AF1F2 中，由余弦定理得 AF12=AF22+F1F22−2AF2⋅F1F2⋅cs∠AF2F1，
即 4x2=4x2+22−8xcs∠AF2F1. ⋯⋯②
由①②，得 x=32，
所以 2a=4x=23，a=3，
所以 b2=a2−c2=2．
故椭圆的方程为 x23+y22=1．故选B．
21. B【解析】A．由 9x2+y2=36，得 x24+y236=1，a2=36，b2=4，c2=32，离心率 e=ca=426=223；
B．由 3x2+4y2=48，得 x216+y212=1，a2=16，b2=12，c2=4，离心率 e=ca=24=12；
C．由 x2+9y2=36，得 x236+y24=1，a2=36，b2=4，c2=32，离心率 e=ca=426=223；
D．由 5x2+3y2=30，得 x26+y210=1，a2=10，b2=6，c2=4，离心率 e=ca=210=105；
因为 223>105>12，且 e 越接近于 0，椭圆就越接近于圆，
所以 3x2+4y2=48 更接近于圆．
故选B．
22. B【解析】对于椭圆 x225+y29=1，a=5，b=3，c=4，焦点为 F1−4,0，F24,0，长轴长 2a=10，短轴长 2b=6，焦距 2c=8．
对于椭圆 x29−k+y225−k=10 a=25−k，b=9−k，c=25−k−9−k=4，焦点为 F10,−4，F20,4，长轴长 2a=225−k，短轴长 2b=29−k，与 k 的取值有关，焦距 2c=8．
故两个椭圆有相等的焦距．
23. D【解析】x2+y2−6x+8=0 可化为 x−32+y2=1，
故其圆心为 3,0，
所以椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的一个焦点为 F3,0，
所以 c=3，
又因为短轴长 2b=8，
所以 b=4，
所以 a=b2+c2=5，
所以椭圆的左顶点为 −5,0．
24. C【解析】设椭圆长轴长为 2a1，双曲线实轴长为 2a2，不妨设点 P 在第一象限，如图．
由题意可知 ∣F1F2∣=∣F2P∣=2c．
又因为 F1P+F2P=2a1，F1P−F2P=2a2，
所以 F1P+2c=2a1, ⋯⋯①
F1P−2c=2a2, ⋯⋯②
两式相减得 a1−a2=2c．
所以
2e1+e22=2a1c+c2a2=4a1a2+c22ca2=42c+a2a2+c22ca2=8ca2+4a22+c22ca2=4+2a2c+c2a2.
又因为 2a2c+c2a2≥22a2c⋅c2a2=2，当组仅当 2a2c=c2a2，即 c=2a2 时，等号成立，
所以 2e1+e22 的最小值为 6．故选C．
25. D
【解析】由题意，∣AF1∣+∣AF2∣=2a=10，c=25−9=4，即 ∣F1F2∣=2c=8，
所以 △AF1F2 的周长为 10+8=18．
26. A【解析】由 x24+y29=1 知 a2=9，b2=4，所以 c2=5，
故椭圆的下焦点为 0,−5．
设抛物线的方程为 x2=−2pyp>0，则 p=25，
所以抛物线的方程为 x2=−45y，故选A．
27. A【解析】因为 F 是椭圆 C:x22+y2=1 的左焦点，
所以 F−1,0，
设椭圆 C 的右焦点为 Fʹ，则 Fʹ 的坐标为 1,0，
因为点 P 为椭圆 C 上任意一点，点 Q 的坐标为 4,3，
所以 ∣PQ∣+∣PF∣=∣PQ∣+22−∣PFʹ∣=22+∣PQ∣−∣PFʹ∣，
因为 ∣PQ∣−∣PFʹ∣≤∣QFʹ∣=32，
所以 ∣PQ∣+∣PF∣≤52，即 ∣PQ∣+∣PF∣ 的最大值为 52，此时 Q，Fʹ，P 三点共线．
第二部分
28. B， C
【解析】因为 F10,−3，F20,3，所以 ∣F1F2∣=6，
因为 a>0，所以 ∣PF1∣+∣PF2∣=a+9a≥2a⋅9a=6，当且仅当 a=9a，即 a=3 时等号成立，
当 a+9a=6 时，∣PF1∣+∣PF2∣=∣F1F2∣，此时点 P 的轨迹是线段 F1F2；
当 a+9a>6 时，∣PF1∣+∣PF2∣>∣F1F2∣，此时点 P 的轨迹是椭圆．
29. A， B
【解析】当 0所以 e=ca=5−m5=105，解得 m=3；
当 m>5 时，a=m，b=5，c=m−5，
所以 e=ca=m−5m=105，解得 m=253．
综上，m 的值为 3 或 253．
30. A， C， D
【解析】由已知得，2b=2，b=1，ca=63．
又 a2=b2+c2，
所以 a2=3，
所以椭圆方程为 y23+x2=1，
设焦点 F1 在 y 轴的负半轴上，如图，
将 y=−c 代入椭圆方程得 c2a2+x2b2=1，解得 x=±b2a，
所以 ∣PQ∣=2b2a=23=233，△PF2Q 的周长为 4a=43．