【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：直线综合

这是一份【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：直线综合，共8页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共26小题；共130分）
1. 若直线 l 经过点 a−2,−1 和 −a−2,1，与经过点 −2,1 且斜率为 −23 的直线垂直，则实数 a 的值是
A. −23B. −32C. 23D. 32

2. 已知点 M0,−1，点 N 在直线 x−y+1=0 上，若直线 MN 垂直于直线 x+2y−3=0，则点 N 的坐标是
A. −2,−3B. 2,1C. 2,3D. −2,−1

3. 已知直线 l1 和 l2 互相垂直，且直线 l1 的斜率是 −12，则直线 l2 的斜率是
A. 1B. 3C. 2D. −2

4. 若直线 l1:2x−ay−1=0 过点 1,1，则直线 l1 与 l2:x+2y=0
A. 平行B. 相交但不垂直
C. 垂直D. 相交于点 2,−1

5. 以 A−1,1，B2,−1，C1,4 为顶点的三角形是
A. 以 A 点为直角顶点的直角三角形B. 以 B 点为直角顶点的直角三角形
C. 锐角三角形D. 钝角三角形

6. 两直线 l1：3ax−y−2=0 和 l2：2a−1x+5ay−1=0 分别过定点 A 和 B，则 ∣AB∣ 等于
A. 135B. 175C. 115D. 895

7. 已知 a>0，b>0，两直线 l1:a−1x+y−1=0，l2:x+2by+1=0 且 l1⊥l2，则 2a+1b 的最小值为
A. 2B. 4C. 6D. 8

8. 已知点 Am,3，B2m,m+4，Cm+1,2，D1,0，且直线 AB 与直线 CD 平行，则实数 m 的值为
A. 1B. 0C. 0 或 1D. 0 或 2

9. 已知 △ABC 的两顶点坐标为 B2,1，C−6,3，其垂心为 H−3,2，则顶点 A 的坐标为
A. −19,−62B. 19,−62
C. −19,62D. 19,62

10. 下列条件中，使得 l1⊥l2 的是
① l1 的斜率为 −23，l2 经过点 A1,1，B0,−12；
② l1 的倾斜角为 45∘，l2 经过点 P−2,−1，Q3,−5；
③ l1 经过点 M1,0，N4,−5，l2 经过点 R−6,0，S−1,3．
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③

11. 若直线 l 经过点 a−2,−1 和 −a−2,1，且与斜率为 −23 的直线垂直，则实数 a 的值是
A. −23B. −32C. 23D. 32

12. 若直线 y=2x 与直线 a2−ax−y+a+1=0 平行，则 a=
A. −1B. 2C. −1 或 2D. 1 或 −2

13. 已知三角形的三个顶点 A2,4，B3,−6，C5,2，则过 A 点的中线长为
A. 10B. 210C. 112D. 310

14. 若直线 x+1+my−2=0 与直线 mx+2y+4=0 平行，则 m 的值是
A. 1B. −2C. 1 或 −2D. −32

15. 已知点 P 是 x 轴上的点，且点 P 到直线 3x−4y+6=0 的距离为 6，则点 P 的坐标为
A. −6,0B. −12,0
C. −12,0 或 8,0D. −6,0 或 6,0

16. 已知过点 M−2,a，Na,4 的直线的斜率为 −12，则 ∣MN∣ 等于
A. 10B. 180C. 63D. 65

17. 已知 a，b 满足 2a+b=1，则直线 ax+3y+b=0 必过定点
A. −13,2B. 12,16C. 12,−16D. 2,−13

18. 已知 P1a1,b1 与 P2a2,b2 是直线 y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于 x 和 y 的方程组 a1x+b1y=1,a2x+b2y=1 的解的情况是
A. 无论 k，P1，P2 如何，总是无解B. 无论 k，P1，P2 如何，总有唯一解
C. 存在 k，P1，P2，使之恰有两解D. 存在 k，P1，P2，使之有无穷多解

19. 已知点 M1,−2，Nm,2, 若线段 MN 的垂直平分线的方程是 x2+y=1，则实数 m 的值是
A. −2B. −7C. 3D. 1

20. 已知点 Px0,y0 是直线 l：Ax+By+C=0 外一点，则方程 Ax+By+C+Ax0+By0+C=0 表示
A. 过点 P 且与 l 垂直的直线B. 过点 P 且与 l 平行的直线
C. 不过点 P 且与 l 垂直的直线D. 不过点 P 且与 l 平行的直线

21. 若三条直线 l1:ax+y+1=0，l2:x+ay+1=0，l3:x+y+a=0 能构成三角形，则 a 应满足的条件是
A. a=1 或 a=−2B. a≠±1
C. a≠1 且 a≠−2D. a≠±1 且 a≠−2

22. 两圆 x2+y2=16 与 x−42+y+32=r2r>0 在交点处的切线互相垂直，则 r=
A. 5B. 4C. 3D. 22

23. 过直线 l1:2x+y−3=0 与 l2:x−3y+2=0 的交点，并与 l1 垂直的直线的方程为
A. x−2y−1=0B. x−2y+1=0C. x+2y−1=0D. x+2y+1=0

24. “a=1”是“直线 l：ax−y+1=0 与直线 m：x+y=a 垂直”的
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件

25. 已知直线 l1:2x+y+n=0 与 l2:4x+my−4=0 互相平行，且 l1，l2 之间的距离为 355，则 m+n=
A. −3 或 3B. −2 或 4C. −1 或 5D. −2 或 2

26. 点 0,−1 到直线 y=kx+1 距离的最大值为
A. 1B. 2C. 3D. 2

二、选择题（共4小题；共20分）
27. 下列说法正确的是
A. 若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行
B. 若两直线平行，则它们的斜率相等
C. 若两直线的斜率之积为 −1，则它们垂直
D. 若两直线垂直，则它们的斜率之积为 −1

28. 已知直线 l 经过点 3,4，且点 A−2,2，B4,−2 到直线 l 的距离相等，则直线 l 的方程可能为
A. 2x+3y−18=0B. 2x−y−2=0C. x+2y+2=0D. 2x−3y+6=0

29. 下列说法错误的是
A. “a=−1”是“直线 a2x−y+1=0 与直线 x−ay−2=0 互相垂直”的充要条件
B. 直线 xsinα+y+2=0 的倾斜角 θ 的取值范围是 0,π4∪3π4,π
C. 过 x1,y1，x2,y2 两点的所有直线的方程为 y−y1y2−y1=x−x1x2−x1
D. 经过点 1,1 且在 x 轴和 y 轴上截距都相等的直线方程为 x+y−2=0

30. 已知直线 l:3x−y+1=0，则下列结论正确的是
A. 直线 l 的倾斜角是 π6
B. 若直线 m:x−3y+1=0，则 l⊥m
C. 点 3,0 到直线 l 的距离是 2
D. 过 23,2 与直线 l 平行的直线方程是 3x−y−4=0
答案
第一部分
1. A【解析】因为直线 l 与经过点 −2,1 且斜率为 −23 的直线垂直，
所以 a−2≠−a−2，即 a≠0．
因为 kl=1−−1−a−2−a−2=−1a，
所以 −1a⋅−23=−1，
所以 a=−23．
2. C【解析】利用排除法，由点 N 在直线 x−y+1=0 上，排除A，B．
由 kMN=2，排除D．
3. C【解析】因为 l1⊥l2，
又因为 kl1=−12，
所以 kl2 斜率存在，
所以 kl1⋅kl2=−1，
所以 −12⋅kl2=−1，
所以 kl2=2．
4. C【解析】由题意，得 2×1−a−1=0，解得 a=1．
l1:2x−y−1=0，斜率 k1=2，l2 的斜率 k2=−12，k1k2=−1，
所以两条直线垂直．
5. A
【解析】因为 A−1,1，B2,−1，C1,4，
所以 kAB=−1−12+1=−23，kAC=4−11+1=32，
所以 kAB⋅kAC−1，
所以 AB⊥AC，∠A 为直角．故选A．
6. A【解析】直线 l1：y=3ax−2 过定点 A0,−2，直线 l2：a2x+5y−x+1=0 过定点 B−1,25，
所以 ∣AB∣=−1−02+25−−22=135．
7. C【解析】因为 a>0，b>0，两直线 l1:a−1x+y−1=0，l2:x+2by+1=0，且 l1⊥l2，
所以 a−1+2b=0，即 a+2b=1≥22ab，
所以 ab≤18，1ab≥8，
当且仅当 a=2b=12 时，等号成立，
则 2a+1b=2b+aab=1ab 的最小值为 8．
8. C【解析】解法一：
因为 Am,3，B2m,m+4，
所以其方向向量为 AB=m,m+1，
因为 Cm+1,2，D1,0，
所以其方向向量为 CD=−m,−2，
由直线 AB 与直线 CD 平行，得 m×−2−m+1×−m=0，解得 m=0 或 m=1，
经检验，m=0 或 m=1 时，两直线不重合，故选C．
解法二：
当 m=0 时，直线 AB 与直线 CD 的斜率均不存在，此时 AB∥CD，满足题意，
当 m≠0 时，kAB=m+4−32m−m=m+1m，kCD=2−0m+1−1=2m，
由题意得 kAB=kCD，即 m+1m=2m，解得 m=1 或 m=0（舍去），
经检验，m=0 或 m=1 时，两直线不重合，
所以 m 的值为 0 或 1．
故选C．
9. A【解析】设 A 的坐标为 x,y，由已知得，AH⊥BC，BH⊥AC，且直线 AH，BH 的斜率存在，所以 kAH⋅kBC=−1,kBH⋅kAC=−1, 即 y−2x+3×−14=−1,−15×y−3x+6=−1, 解得 x=−19,y=−62, 即顶点 A 的坐标为 −19,−62．
10. B
【解析】由两直线垂直的判定知①③正确．故选B．
11. A【解析】依题意得，−23×kl=−1，即 kl=1+1−a−2−a+2=32，解得 a=−23，故选A．
12. B【解析】依题意得，a2−a=2，解得 a1=2，a2=−1，又 a+1≠0，因此 a=2，故选B．
13. B【解析】根据题意，设 BC 的中点为 D，
又由 B3,−6，C5,2，则 BC 的中点 D 坐标为 4,−2，
则 ∣AD∣=4+36=210．
14. A
15. C
【解析】设点 P 的坐标为 x,0．
由点 P 到直线 3x−4y+6=0 的距离为 6，
得 3x−4×0+632+−42=6，
即 3x+6=30，
所以 3x+6=±30，
解得 x=8 或 x=−12．
所以点 P 的坐标为 8,0 或 −12,0．
故选C．
16. D【解析】因为过点 M−2,a，Na,4 的直线的斜率为 k=4−aa+2=−12，解得 a=10，
所以 ∣MN∣=a+22+4−a2=10+22+4−102=65．
17. D【解析】由 2a+b=1，得 b=1−2a，代入直线方程 ax+3y+b=0 中得 ax+3y+1−2a=0，即 ax−2+3y+1=0．
令 x−2=0,3y+1=0, 解得 x=2,y=−13,
所以该直线必过定点 2,−13．
18. B【解析】P1a1,b1 与 P2a2,b2 是直线 y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，直线 y=kx+1 的斜率存在，所以 k=b2−b1a2−a1，即 a1≠a2，并且 b1=ka1+1，b2=ka2+1，
所以 a2b1−a1b2=ka1a2−ka1a2+a2−a1=a2−a1．
a1x+b1y=1, ⋯⋯①a2x+b2y=1, ⋯⋯②
① ×b2− ② ×b1 得：a1b2−a2b1x=b2−b1，即 a1−a2x=b2−b1．
所以方程组有唯一解．故选B．
19. C【解析】由中点坐标公式，得线段 MN 的中点是 1+m2,0．
因为点 1+m2,0 在线段 MN 的垂直平分线 x2+y=1 上，
所以 1+m4+0=1，解得 m=3．
20. D
【解析】因为点 Px0,y0 不在直线 Ax+By+C=0 上，
所以 Ax0+By0+C≠0，
所以直线 Ax+By+C+Ax0+By0+C=0 不经过点 P．
又直线 Ax+By+C+Ax0+By0+C=0 与直线 l：Ax+By+C=0 平行．
21. D【解析】为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．
①若三条直线交于一点，由 x+ay+1=0,x+y+a=0, 解得 x=−a−1,y=1.
将直线 l2，l3 的交点 −a−1,1 代入 l1 的方程，
解得 a=1（舍去）或 a=−2．
②若 l1∥l2，则由 a×a−1×1=0，得 a=±1．
③若 l2∥l3，则由 1×1−a×1=0，得 a=1．
④若 l1∥l3，则由 a×1−1×1=0，得 a=1．
当 a=1 时，l1，l2 与 l3 三线重合，当 a=−1 时，l1，l2 平行．
所以要使三条直线能构成三角形，需 a≠±1 且 a≠−2．
22. C【解析】设一个交点 Px0,y0，则 x02+y02=16，x0−42+y0+32=r2，所以 r2=41−8x0+6y0，因为两切线互相垂直，所以 y0x0⋅y0+3x0−4=−1，所以 3y0−4x0=−16．所以 r2=41+23y0−4x0=9，所以 r=3．
23. B【解析】由 2x+y−3=0,x−3y+2=0, 解得 x=1,y=1,
所以交点坐标为 1,1．
又所求直线与 l1 垂直，
所以其斜率 k=−1kl1=12．
所以所求直线的方程为 y−1=12x−1，
即 x−2y+1=0．
24. A【解析】充分性：若 a=1，则 1×1+−1×1=0，
即两直线垂直，充分性满足；
必要性：直线 l：ax−y+1=0 与直线 m：x+y=a 垂直，
则 a×1+−1×1=0，
解得 a=1，必要性满足．
即“a=1”是“直线 l：ax−y+1=0 与直线 m：x+y=a 垂直”的充要条件．
25. A
【解析】由 l1∥l2，得 2m−4=0，解得 m=2，则 l2 的方程为 2x+y−2=0．
因为 l1，l2 之间的距离为 355，所以 ∣n+2∣5=355，
解得 n=1或−5，故 m+n=±3，故选A．
26. B【解析】由 y=kx+1 可知直线过定点 P−1,0，设 A0,−1，当直线 y=kx+1 与直线 AP 垂直时，点 A 到直线 y=kx+1 的距离最大，即为 ∣AP∣=2．故选B．
第二部分
27. A， C
【解析】当两直线 l1，l2 的斜率 k1，k2 都存在且两直线不重合时，l1∥l2⇔k1=k2，l1⊥l2⇔k1k2=−1，故AC正确；当两直线都与 x 轴垂直时，其斜率不存在，但它们也平行，故B错；当两直线中一条直线与 x 轴平行（或重合），另一条直线与 x 轴垂直时，它们垂直，但一条直线的斜率为 0，另一条直线的斜率不存在，故D错．
28. A， B
【解析】当直线 l 的斜率不存在时，显然不满足题意．当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y−4=kx−3，即 kx−y+4−3k=0．
由已知得 ∣−2k−2+4−3k∣k2+1=∣4k+2+4−3k∣k2+1，
所以 k=2 或 k=−23，
所以直线 l 的方程为 2x−y−2=0 或 2x+3y−18=0．
29. A， C， D
【解析】当 a=0 时，两直线方程分别为 y=1 和 x=2，此时也满足直线相互垂直，故A说法错误；
直线的斜率 k=−sinα，则 −1≤k≤1，即 −1≤tanθ≤1，则 θ∈0,π4∪3π4,π，故B说法正确；
当 x1=x2 或 y1=y2 时，直线方程为 x=x1 或 y=y1，此时直线方程 y−y1y2−y1=x−x1x2−x1 不成立，故C说法错误；
若直线过原点，则直线方程为 y=x，此时也满足条件，故D说法错误．
30. C， D
【解析】对于A，直线 l:3x−y+1=0 的斜率 k=3，故直线 l 的倾斜角是 π3，故A错误；
对于B，
因为直线 m:x−3y+1=0 的斜率 kʹ=33，kkʹ=1≠−1，
所以直线 l 与直线 m 不垂直，故B错误；
对于C，点 3,0 到直线 l 的距离 d=∣3⋅3−0+1∣32+−12=2，故C正确；
对于D，过 23,2 与直线 l 平行的直线方程是 y−2=3x−23，
整理得 3x−y−4=0，故D正确．
综上所述，正确的选项为CD．