【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：指数函数及其性质

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一、选择题（共25小题；共125分）
1. 已知函数 fx=a2−1x，当 x>0 时，总有 fx>1，则实数 a 的取值范围是
A. −2,−1∪1,2B. −2,2
C. −∞,−1∪1,+∞D. −∞,−2∪2,+∞

2. 如图是某变量所对应的散点图，采用哪一种拟合函数较好
A. 一次函数模型B. 指数函数模型C. 对数函数模型D. 幂函数模型

3. 函数 y=a1−x（a>0，a≠1）的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx+ny−1=0（mn>0）上，则 1m+1n 的最小值为
A. 3B. 4C. 5D. 6

4. 指数函数 y=ax（a>0，且 a≠1）与 y=bx（b>0，且 b≠1）的图象如图所示，则
A. a>1，01，b>1
C. 01D. 0
5. 如图是指数函数① y=ax，② y=bx，③ y=cx，④ y=dx 的图象，则 a，b，c，d 与 1 的大小关系是
A. a
6. 函数 y=ax 在 0,1 上的最大值与最小值的和为 3，则函数 y=2ax−1 在 0,1 上的最大值是
A. 6B. 1C. 3D. 32

7. 若函数 y=a22−ax 是指数函数，则
A. a=1或−1B. a=1C. a=−1D. a>0 且 a≠1

8. 函数 y=a2−4a+4ax 是指数函数，则实数 a 的取值范围是
A. a>0，a≠1B. a=1C. a=3D. a=1 或 a=3

9. 函数 fx=m2−m−1axa>0,且a≠1 是指数函数，则实数 m=
A. 2B. 1C. 3D. 2 或 −1

10. 函数 y=ax−b+1a>0,a≠1 的图象经过第一、三、四象限，则必有
A. 00B. 01，b>0D. a>1，b<0

11. 设 −1A. 2a>12a>0.2aB. 2a>0.2a>12a
C. 12a>0.2a>2aD. 0.2a>12a>2a

12. 若 a=0.512，b=0.513，c=0.514，则 a，b，c 的大小关系是
A. a>b>cB. a
13. 设 x<0，且 1A. 0
14. 若 fx：对定义域内的任意 x1，x2，都有 fx1fx2=fx1+x2，且当 x>1 时，fx<1，则称 fx 为“好函数”，则下列函数是“好函数”的是
A. fx=2xB. fx=12xC. fx=lg12xD. fx=lg2x

15. 设 a=1.012.2，b=0.993.2，c=0.990.8，则
A. b
16. 设 n>0，且 1A. 0
17. 函数 fx 的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象与曲线 y=ex 关于 y 轴对称，则 fx=
A. ex+1B. ex−1C. e−x+1D. e−x−1

18. 已知 55<84，134<85．设 a=lg53，b=lg85，c=lg138，则
A. a
19. 已知函数 fx 满足：fx≥∣x∣ 且 fx≥2x，x∈R
A. 若 fa≤∣b∣，则 a≤bB. 若 fa≤2b，则 a≤b
C. 若 fa≥∣b∣，则 a≥bD. 若 fa≥2b，则 a≥b

20. 已知函数 fx=ax+b 的图象如图所示，则函数 gx=a−x+b 的图象为
A. B.
C. D.

21. 函数 fx=ax（a>0 且 a≠1），对于任意实数 x，y 都有
A. fxy=fxfyB. fxy=fx+fy
C. fx+y=fxfyD. fx+y=fx+fy

22. 设函数 fx=a−∣x∣（a>0 且 a≠1），f2=4，则
A. f−1>f−2B. f1>f2
C. f2f−2

23. 下列结论中正确的是
A. 函数 y=32x−1 的定义域为 12,+∞，值域为 0,+∞
B. 函数 y=0.31x+1 的定义域为 −∞,−1∪−1,+∞，值域为 0,1∪1,+∞
C. 函数 y=12x−1 的定义域为 0,+∞，值域为 0,+∞
D. 函数 y=13−2x2−8x+1 的定义域为 R，值域为 1,+∞

24. 当 x∈−∞,−1 时，不等式 2m−1⋅4x−2x<0 恒成立，则 m 的取值范围是
A. m<32B. m<0C. m≤32D. 0
25. 已知 a>0，且 a≠1，把底数相同的指数函数 fx=ax 与对数函数 gx=lgax 图象的公共点称为 fx（或 gx）的“亮点”．当 a=116 时，在下列四点 P11,1，P212,12，P312,14，P414,12 中，能成为 fx 的“亮点”的有
A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个

二、选择题（共5小题；共25分）
26. 若 fx=2x，则下列等式不成立的是
A. fx+1=2fxB. fx+y=fx⋅fy
C. fxy=fx⋅fyD. fxy=fx+fy

27. 以下关于数的大小的结论中正确的是
A. 1.72.5<1.73B. 0.8−0.1<0.8−0.2
C. 1.70.3<0.93.1D. 1313>1414

28. 函数 fx=4x+12x 的图象
A. 关于原点对称B. 关于 y 轴对称
C. 当 x=0 时，fx 有最小值D. 当 x=1 时，fx 有最小值

29. 若函数 y=ax+b−1（a>0 且 a≠1）的图象经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有
A. a>1B. 00D. b<0

30. 设函数 fx=2cs2x−2−cs2x，则
A. fx 在 0,π2 上单调递增
B. fx 的值域为 −32,32
C. fx 的一个周期为 π
D. fx+π4 的图象关于点 π4,0 对称
答案
第一部分
1. D【解析】由题意知 a2−1>1，解得 a>2 或 a<−2，故选D．
2. B【解析】从散点图可以看出，随着 x 的增大，y 的值呈指数函数型“爆炸式”增大．
3. B【解析】函数 y=a1−x（a>0，a≠1）的图象恒过定点 A1,1，
因为点 A 在直线 mx+ny−1=0（mn>0）上，
所以 m+n=1．
则 1m+1n=m+n1m+1n=2+nm+mn≥2+2nm⋅mn=4，当且仅当 m=n=12 时取等号．
4. C【解析】函数 y=ax 的图象是下降的，所以 01．
故选C．
5. B
【解析】解法一：当指数函数的底数大于 1 时，图象上升，且底数越大，图象上升得越快；当底数大于 0 小于 1 时，图象下降，且底数越小，图象下降得越快．
故 b解法二：令 x=1，由题图知 c1>d1>1>a1>b1，
所以 b6. C
7. C
8. C【解析】a2−4a+4=1,a>0,a≠1⇒a=3．
9. D【解析】由指数函数的定义，得 m2−m−1=1，解得 m=2或−1．
10. C
【解析】由题意知 a>1，b+1>1，即 a>1，b>0．
故选C．
11. D【解析】因为 −1所以 2a<1，12a>1，
因为 0.2a=15a，
所以 15a>12a，
所以 0.2a>12a>2a．
12. B【解析】∵ 函数 y=0.5x 是减函数，且 12>13>14，
∴a故选B．
13. B【解析】因为 1所以 0当 x=−1 时，1b<1a，即 b>a，
所以 0故选B．
14. B
15. D
16. C
17. D【解析】利用两曲线关于 y 轴对称的性质，逆用函数图象的平移变换规则求解．曲线 y=ex 关于 y 轴对称的曲线为 y=e−x，将 y=e−x 向左平移 1 个单位长度得到 y=e−x+1，即 fx=e−x−1．
18. A【解析】由题意可知 a,b,c∈0,1，
ab=lg53lg85=lg3lg5⋅lg8lg5<1lg52⋅lg3+lg822=lg3+lg82lg52=lg24lg252<1，
所以 a由 b=lg85，得 8b=5；由 55<84，得 85b<84，所以 5b<4，可得 b<45；
由 c=lg138，得 13c=8；由 134<85，得 134<135c，所以 5c>4，可得 c>45．
综上所述，a19. B【解析】由题意得 fa≥∣a∣，所以A项中由不等式传递性可知 ∣a∣≤∣b∣，不能得到 a≤b，A错．因为 fa≥2a，所以B项中有 2a≤fa≤2b，所以 a≤b，故B正确．C，D选项无法确定．
20. A
【解析】由题中函数 fx=ax+b 的图象可知，−10．
当 x=1 时，可得 a+b<0，即 0所以函数 gx=a−x+b=1ax−b 在定义域上是递增函数，排除C，D．
当 x=0 时，g0=ab，
因为 −1所以 g0=ab>1．
21. C
22. D【解析】由 f2=4 得，a−2=4，
又因为 a>0，
所以 a=12，即 fx=2∣x∣，
所以函数 fx 为偶函数，在 −∞,0 上单调递减，在 0,+∞ 上单调递增，故选D．
23. B【解析】A中值域应为 1,+∞；
C中定义域应为 −∞,0；
D中 y=32x2+8x−1 值域应为 139,+∞．
24. C
25. C
第二部分
26. C， D
【解析】A中，fx+1=2x+1，2fx=2⋅2x=2x+1，等式成立；
B中，fx+y=2x+y，fx⋅fy=2x2y=2x+y，等式成立；
C中，fxy=2xy≠fx⋅fy=2x+y；
D中，fxy=2xy≠fx+fy=2x+2y．
27. A， B
28. B， C
29. A， D
【解析】因为函数 y=ax+b−1（a>0 且 a≠1）的图象经过第一、三、四象限，
所以其大致图象如图所示．
由图象可知函数为增函数，
所以 a>1．
当 x=0 时，y=1+b−1=b<0．
故选AD．
30. B， C
【解析】对于A，函数 fx=2cs2x−2−cs2x 是由 y=2t−2−t 和 t=cs2x 复合而成，
当 x∈0,π2 时，2x∈0,π，t=cs2x 单调递减．
又 y=2t−2−t 在 −∞,+∞ 上单调递增，
所以 fx 在 0,π2 上单调递减，故A错误．
对于B，
因为 t=cs2x，
所以 t∈−1,1，
又因为 y=2t−2−t 单调递增，
所以 ymin=2−1−2=−32，ymax=2−2−1=32，
所以 fx 的值域为 −32,32，故B正确．
对于C，
因为 fx+π=2cs2x+π−2−cs2x+π=2cs2x−2−cs2x=fx，
所以 π 是 fx 的一个周期，故C正确；
对于D，设 gx=fx+π4=2cs2x+π4−2−cs2x+π4=2−sin2x−2sin2x，
在 fx+π4 的图象上任取一点 x,gx，
则 x,gx 关于 π4,0 的对称点的坐标为 π2−x,−gx，
将 π2−x 代入 gx，
得 gπ2−x=2−sin2π2−x−2sin2π2−x=2−sin2x−2sin2x=gx≠−gx，
所以点 π2−x,−gx 不在函数 fx+π4 的图象上，
所以 fx+π4 的图象不关于点 π4,0 对称，故D错误．