【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：直线与圆的综合问题

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【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：直线与圆的综合问题 一、选择题（共17小题；共85分）1. 若直线 l:2m+1x+m+1y−7m−4=0 与圆 C:x−12+y−22=25 交于 A，B 两点，则弦长 ∣AB∣ 的最小值为    A. 85 B. 45 C. 25 D. 5 2. 圆 x2+y2−2x−2y+1=0 上的点到直线 x−y=2 距离的最大值是    A. 2 B. 1+2 C. 1+22 D. 1+22 3. 已知圆 C:x2+y2=4，则圆 C 关于直线 l:x−y−3=0 对称的圆的方程为    A. x2+y2−6x+6y+14=0 B. x2+y2+6x−6y+14=0 C. x2+y2−4x+4y+4=0 D. x2+y2+4x−4y+4=0 4. 已知直线 l 过点 Aa,0 且斜率为 1，若圆 x2+y2=4 上恰有 3 个点到 l 的距离为 1，则 a 的值为    A. 32 B. ±32 C. ±2 D. ±2 5. 圆 x+12+y2=2 的圆心到直线 y=x+3 的距离为    A. 1 B. 2 C. 2 D. 22 6. 若圆 x2+y2+2x−4y=0 关于直线 3x+y+a=0 对称，则 a 的值为    A. −1 B. 1 C. 3 D. −3 7. 已知点 A 是圆 C1:x+12+y−12=5 上一点，点 B 在直线 l:3x−4y−8=0 上，则 ∣AB∣ 的最小值为    A. 35 B. 3+5 C. 3−5 D. 3 8. 在圆 x2+y2−2x−6y=0 内，过点 E0,1 的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为    A. 52 B. 102 C. 152 D. 202 9. 设点 Mx0,1，若在圆 O:x2+y2=1 上存在点 N，使得 ∠OMN=45∘，则 x0 的取值范围是    A. −1,1 B. −12,12 C. −2,2 D. −22,22 10. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 x2+y2≤3，若将军从点 A3,1 处出发，河岸线所在直线的方程为 x+y=5，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为    A. 10−3 B. 10 C. 25−3 D. 25 11. 赵州桥，是一座位于河北省石家庄市赵县城南狡河之上的石拱桥，因赵县古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的一座圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是 20 米，拱顶离水面 4 米；当水面上涨 2 米后，桥在水面的跨度为    A. 10 米 B. 102 米 C. 66 米 D. 65 米 12. 已知 P 为抛物线 y2=4x 上的一个动点，P 到其准线的距离为 d，Q 为圆 C:x+22+y−42=1 上的一个动点，则 d+∣PQ∣ 的最小值是    A. 5 B. 4 C. 25+1 D. 13+1 13. 设双曲线 x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为 F1，F2，O 为坐标原点．以 F1F2 为直径的圆与双曲线的右支的一个交点为 P，且以 OF2 为直径的圆与直线 PF1 相切，若 PF1=8，则双曲线的焦距等于    A. 62 B. 6 C. 32 D. 3 14. 已知 B0,0，A3,3，C23,0，平面 ABC 内的动点 P，M 满足 AP=1，PM=MC，则 ∣BM∣2 的最大值是    A. 37+2334 B. 37+6334 C. 434 D. 494 15. 若直线 y=kx 与圆 x−22+y2=1 的两个交点关于直线 2x+y+b=0 对称，则 k，b 的值分别为    A. −12，−4 B. 12，4 C. 12，−4 D. 4，3 16. 一条光线从点 −2,−3 射出，经 y 轴反射后与圆 x+32+y−22=1 相切，则反射光线所在直线的斜率为    A. −53 或 −35 B. −32 或 −23 C. −54 或 −45 D. −43 或 −34 17. 设抛物线 y2=8x 的焦点为 F，过 F 的直线 l 与抛物线交于点 A，B，与圆 x2+y2−4x+3=0 交于点 P，Q，其中点 A，P 在第一象限，则 2AP+QB 的最小值为    A. 22+3 B. 22+5 C. 42+5 D. 42+3 二、选择题（共13小题；共65分）18. 已知圆 C:x−32+y−42=1 和两点 A−m,0，Bm,0m>0，若圆 C 上存在点 P，使得 ∠APB=90∘，则 m 的可能取值为    A. 7 B. 6 C. 5 D. 8 19. 已知圆 x2+y2−2x−4y+a−5=0 上有且仅有两个点到直线 3x−4y−15=0 的距离为 1，则实数 a 的可能取值有    A. −15 B. −6 C. 0 D. 1 20. 由点 A−3,3 发出的光线 l 经 x 轴反射，反射光线与圆 x2+y2−4x−4y+7=0 相切，则 l 的方程为    A. 4x−3y−3=0 B. 4x+3y+3=0 C. 3x+4y−3=0 D. 3x−4y+3=0 21. 已知圆 C:x2+y2−2x=0，点 A 是直线 y=kx−3 上任意一点，若以点 A 为圆心，半径为 1 的圆 A 与圆 C 没有公共点，则整数 k 的值可能为    A. −2 B. −1 C. 0 D. 1 22. 圆 x2+y2−4x−1=0    A. 关于点 2,0 对称 B. 关于直线 y=0 对称 C. 关于直线 x+3y−2=0 对称 D. 关于直线 x−y+2=0 对称 23. 已知实数 x，y 满足方程 x2+y2−4x+1=0，则下列说法错误的是    A. y−x 的最大值为 6−2 B. x2+y2 的最大值为 7+43 C. yx 的最大值为 32 D. x+y 的最大值为 2+3 24. 已知双曲线 C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的两个顶点分别为 A1−a,0，A2a,0，P，Q 的坐标分别为 0,b，0,−b，且四边形 A1PA2Q 的面积为 22，四边形 A1PA2Q 内切圆的周长为 263π，则双曲线 C 的方程可以为    A. x22−y2=1 B. x2−y22=1 C. x24−x22=1 D. x22−y22=1 25. 直线 x=m，y=x 将圆面 x2+y2≤4 分成若干块，现有 5 种颜色给这若干块涂色，且任意两块不同色，则可能的涂色种数有    A. 20 B. 60 C. 120 D. 240 26. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2+y2−4x=0．若直线 y=kx+1 上存在一点 P，使过 P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数 k 的值可以是    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 27. 在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 与两个定点 F1−3,0 和 F23,0 连线的斜率之积等于 13，记点 P 的轨迹为曲线 E，直线 l:y=kx−2 与 E 交于 A，B 两点，则    A. E 的方程为 x23−y2=1 B. E 的离心率为 3 C. E 的渐近线与圆 x−22+y2=1 相切 D. 满足 AB=23 的直线 l 有 2 条 28. 已知抛物线 x2=2pyp>0 的焦点为 F，过点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，以线段 AB 为直径的圆交 x 轴于 M，N 两点，设线段 AB 的中点为 Q．若抛物线上存在一点 Et,2 到点 F 的距离等于 3，则下列说法正确的是    A. 抛物线的方程是 x2=2y B. 抛物线的准线是 y=−1 C. sin∠QMN 的最小值是 12 D. 线段 AB 的最小值是 6 29. 已知 F1，F2 分别是双曲线 C:x2−y2=1 的左，右焦点，点 Р 是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且 PF1⋅PF2=0，则下列结论正确的是    A. 双曲线 C 的渐近线方程为 y=±x B. 以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2+y2=1 C. 点 F1 到双曲线的一条渐近线的距离为 1 D. △PF1F2 的面积为 1 30. 以下四个命题表述正确的是    A. 直线 mx+4y−12=0m∈R 过定点 0,3 B. 圆 C:x2+y2−2x−8y+13=0 的圆心到直线 4x−3y+3=0 的距离为 2 C. 圆 C1:x2+y2+2x=0 与圆 C2:x2+y2−4x−8y+4=0 恰有三条公切线 D. 两圆 x2+y2+4x−4y=0 与 x2+y2+2x−12=0 的公共弦所在直线的方程为 x+2y+6=0答案第一部分1. B 【解析】直线 l:2m+1x+m+1y−7m−4=0 可化为 2x+y−7m+x+y−4=0，令 2x+y−7=0,x+y−4=0, 解得 x=3,y=1, 所以直线 l 过定点 3,1．设 M3,1，圆心 C1,2 到直线 l 的距离为 d，则 dmax=∣CM∣=3−12+1−22=5，又 ∣AB∣=2r2−d2，其中 r 为圆 C 的半径，所以 ∣AB∣min=2r2−dmax2=252−52=45，故弦长 ∣AB∣ 的最小值为 45．2. B 【解析】圆心为 C1,1，r=1，dmax=22+1=2+1．3. A 【解析】设圆心 C0,0 关于直线 l:x−y−3=0 的对称点为 Da,b，则由 a2−b2−3=0,b−0a−0=−1, 解得 a=3,b=−3. 所以所求的圆的方程为 x−32+y+32=4，化为一般方程为 x2+y2−6x+6y+14=0．4. D 5. C 【解析】由于圆 x+12+y2=2 的圆心为 −1,0，则圆心 −1,0 到直线 x−y+3=0 的距离为 ∣−1−0+3∣2=2．6. B 【解析】因为圆 x2+y2+2x−4y=0 关于直线 3x+y+a=0 对称，所以圆心 −1,2 在直线 3x+y+a=0 上，因此有 3×−1+2+a=0，所以 a=1．7. C 【解析】如图，圆 C1:x+12+y−12=5 的圆心到直线 l:3x−4y−8=0 的距离 d=∣−3−4−8∣32+−42=3．所以 ∣AB∣ 的最小值为 3−5．8. B 【解析】圆 x2+y2−2x−6y=0 变形为 x−12+y−32=10，设该圆圆心为 P，则 P1,3，该圆半径 r=10，因为点 E0,1，所以 ∣PE∣=12+3−12=5，因为过圆 x2+y2−2x−6y=0 内点 E0,1 的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，所以 ∣AC∣=2r=210，∣BD∣=2r2−∣PE∣2=210−5=25，且 AC⊥BD，所以四边形 ABCD 的面积 S=12×∣AC∣×∣BD∣=12×210×25=102．故选B．9. A 【解析】依题意，直线 MN 与圆 O 有公共点，即圆心 O 到直线 MN 的距离小于或等于 1，过 O 作 OA⊥MN，垂足为 A，在 Rt△OMA 中，因为 ∠OMA=45∘，所以 ∣OA∣=∣OM∣sin45∘=22∣OM∣≤1，所以 ∣OM∣≤2，则 x02+1≤2，解得 −1≤x0≤1．10. C 【解析】设点 A 关于直线 x+y=5 的对称点为 Aʹa,b，根据题意，AʹO−3 为最短总路程（O 为坐标原点），易知 AAʹ 的中点为 a+32,b+12，直线 AAʹ 的斜率为 1，故直线 AAʹ 的方程为 y−1=x−3，即 y=x−2．由 a+32+b+12=5,b=a−2, 得 a=4，b=2，故 Aʹ4,2，则 AʹO=42+22=25，故 AʹO−3=25−3，所以“将军饮马”的最短总路程为 25−3．11. C 【解析】根据题意，建立圆拱桥模型，如图，设圆 O 的半径为 R 米，当水面跨度是 20 米，拱顶离水面 4 米时，设水面为 AB，M 为 AB 的中点，即 ∣AB∣=20，∣OM∣=R−4，由勾股定理可知，∣AM∣2=AB22=∣OA∣2−∣OM∣2，即 100=R2−R−42，解得 R=292，当水面上涨 2 米，即水面到达 CD 时，设 N 为 CD 的中点，此时 ∣ON∣=R−2，由勾股定理得 ∣CD∣=2∣CN∣=2R2−R−22=66．故选C．12. B 【解析】设抛物线 y2=4x 的焦点为 F，则 F1,0，准线方程为 x=−1，圆 C:x+22+y−42=1 的圆心为 C−2,4，半径 r=1． ∣FC∣=−2−12+42=5，由抛物线的定义可知 P 到抛物线准线的距离 d=∣PF∣，则 d+∣PQ∣=∣PF∣+∣PQ∣，如图，当 C，Q，P，F 四点共线时，d+∣PQ∣ 取得最小值，所以 d+∣PQ∣min=∣FC∣−r=5−1=4．故选B．13. A 【解析】依题意知 PF1⊥PF2，设以 OF2 为直径的圆与直线 PF1 相切于点 N，圆心为 M，则 MN⊥PF1，因此 Rt△PF1F2∽Rt△NF1M，所以 NMPF2=F1MF1F2．设双曲线的焦距为 2c，则 c2PF2=3c22c，解得 PF2=2c3，由勾股定理可得 PF1=F1F22−PF22=2c2−2c32=42c3，于是 42c3=8，c=32，故焦距 2c=62．14. D 【解析】由题易得，点 P 的轨迹为以 A 为圆心，1 为半径的圆．如图所示，建立平面直角坐标系，取 AC 的中点 N，因为 PM=MC，所以 M 为 PC 的中点，因为 AP=1，所以 ∣MN∣=12，从而 M 的轨迹为以 N 为圆心，12 为半径的圆，所以 B，N，M 三点共线时，BM 最大．又因为 A3,3，C23,0，所以 N332,32．则 BN=3322+322=3，所以 ∣BM∣ 的最大值为 3+12=72，所以 ∣BM∣2 的最大值是 494．15. C 【解析】因为直线 y=kx 与圆 x−22+y2=1 的两个交点关于直线 2x+y+b=0 对称，所以直线 y=kx 与直线 2x+y+b=0 垂直，且直线 2x+y+b=0 过圆心 2,0，所以 k×−2=−1，2×2+0+b=0，所以 k=12，b=−4．16. D 【解析】点 −2,−3 关于 y 轴的对称点为 2,−3，故可设反射光线所在直线的方程为 y+3=kx−2，因为反射光线与圆 x+32+y−22=1 相切，所以圆心 −3,2 到直线的距离 d=∣−3k−2−2k−3∣k2+1=1，化简得 12k2+25k+12=0，解得 k=−43 或 k=−34．17. D 【解析】由抛物线方程，得 p=4，因此 F2,0．设直线 l 的方程为 x=my+2，联立 y2=8x,x=my+2, 得 y2−8my−16=0．设 Ax1,y1x1>0,y1>0，Bx2,y2x2>0,y2<0，则 y1⋅y2=−16，所以 x1⋅x2=y128⋅y228=−16264=4，从而 x2=4x1．又 AP=x1+p2−1=x1+2−1=x1+1，QB=x2+p2−1=x2+2−1=x2+1，所以 2AP+QB=2x1+x2+3=2x1+4x1+3x1>0．因此 2AP+QB≥22x1⋅4x1+3=42+3，当且仅当 x1=2 时取等号．故选D．第二部分18. B， C【解析】圆 C:x−32+y−42=1 的圆心 C3,4，半径为 1，因为圆心 C 到 O0,0 的距离为 5，所以圆 C 上的点到点 O 的距离的最大值为 6，最小值为 4，因为圆 C 上存在点 P，使得 ∠APB=90∘，所以以 AB 为直径的圆与圆 C 有交点，所以 ∣OP∣=12∣AB∣=m，所以 4≤m≤6．19. B， C【解析】圆 x2+y2−2x−4y+a−5=0，即 x−12+y−22=10−a．当 a<10 时，该方程表示圆心为 1,2，半径 r=10−a 的圆．圆心 C 到直线 3x−4y−15=0 的距离 d=∣3×1−4×2−15∣32+−42=4．如图，半径 CB 所在直线与直线 l1，l2 都垂直，且 AB=BD=1，则当直线介于 l1 与 l2 之间时，符合题意．所以 10−a−1<4<10−a+1，解得 −150，设 Ax1,y1，Bx2,y2，则 x1+x2=12k23k2−1，x1x2=34k2+13k2−1，而 AB=1+k2x1−x2=23，代入整理得 AB=231+k23k2−1=23，解得 k2=1 或 k2=0（k2=0 时，y=0，但直线 y=0 与曲线 E:x23−y2=1，x≠±3 无交点，舍去），故 k=±1，所以D正确．28. B， C【解析】易知抛物线 x2=2pyp>0 的焦点为 F0,p2，抛物线的准线方程为 y=−p2，由抛物线的定义，可得 2+p2=3，解得 p=2，则抛物线的方程为 x2=4y，准线方程为 y=−1，故A错误，B 正确．由题意知直线 l 的斜率存在，F0,1，设 Ax1,y1，Bx2,y2，直线 l 的方程为 y=kx+1，由 y=kx+1,x2=4y, 消去 y 得 x2−4kx−4=0，所以 x1+x2=4k，x1x2=−4，所以 y1+y2=kx1+x2+2=4k2+2，所以 AB 的中点 Q 的坐标为 2k,2k2+1，∣AB∣=y1+y2+p=4k2+2+2=4k2+4，故线段 AB 的最小值是 4，故D错误．易知圆 Q 的半径 r=2k2+2，在等腰 △QMN 中，sin∠QMN=∣yQ∣r=2k2+12k2+2=1−12k2+2≥1−12=12，当且仅当 k=0 时取等号，所以 sin∠QMN 的最小值是 12，故C正确，故选BC．29. A， C， D【解析】由已知得 a=b=1，c=2，因此渐近线方程为 y=±x，以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2+y2=2，点 F1 到双曲线的一条渐近线的距离为 b=1，由 PF1⋅PF2=0 得 ∠F1PF2=90∘，所以 △PF1F2 的面积为 b2tan∠F1PF22=b2tan45∘=1，故A，C，D正确，B错误．30. A， C【解析】对于A，mx+4y−12=0 可变形为 4y−3=−mx，所以直线过定点 0,3，故A正确．对于B，圆 C 的圆心为 1,4，其到直线 4x−3y+3=0 的距离为 4−12+35=1，所以B错误．对于C，圆 C1 的圆心为 −1,0，半径 r1=1；圆 C2 的圆心为 2,4，半径 r2=4，所以两圆的圆心距为 32+42=5=r1+r2，所以两圆外切，故恰有三条公切线，故C正确．对于D，由 x2+y2+4x−4y=0,x2+y2+2x−12=0. 两式相减并化简得 x−2y+6=0，所以D错误．故选AC．