高一数学寒假作业同步练习题任意角与弧度制含解析

任意角与弧度制

1．设地球半径为，、是地球上两点，在北纬30°、东经20°，在北纬30°、东经140°，则 、两点截北纬30°圈上的劣弧长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

如图所示：设地球北纬纬圆的圆心为，

因为在北纬30°、东经20°，在北纬30°、东经140°，

所以，，

在直角中，，所以，

所以北纬纬圆的半径为，

所以 、两点截北纬30°圈上的劣弧长为，故选：A

2．下列角中，与角终边相同的角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】与角终边相同的角是，

令，得.故选：C

3． 是以下哪个象限的角（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】，角的终边在第四象限，所以角的终边也是第四象限.故选：D

4．已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题知：，解得.

，所以扇形的周长为.故选：D

5．在半径为2的圆中，长度为的弦与其所对劣弧围成的弓形的面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】如下图，圆的半径为2，弦的长度为2，则△为正三角形，，

所以扇形（圆心角为）的面积为，

又△的面积为，

所以弦与其所对劣弧围成的弓形的面积为.

故选：A.

6．下列转化结果正确的是（    ）

A．化成弧度是 B．化成角度是

C．化成弧度是 D．化成角度是

【答案】D

【解析】由得，对于A选项：化成弧度是，故A不正确；

对于B选项：化成角度是，故B不正确；

对于C选项：化成弧度是，故C错误；

对于D选项：化成角度是，故D正确，故选：D.

7．设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】因为扇形的周长为，面积为，

所以，

解得 ，

所以，

所以扇形的圆心角的弧度数是2故选：B

10．如图，在中， ，以为圆心、为半径作圆弧交于点．若圆弧等分的面积，且弧度，则=________.

【答案】

【解析】设扇形的半径为，则扇形的面积为，直角三角形中， ， ，面积为，由题意得，∴，∴，故答案为.

点睛：本题考查扇形的面积公式及三角形的面积公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题；设出扇形的半径，求出扇形的面积，再在直角三角形中求出高，计算直角三角形的面积，由条件建立等式，解此等式求出与的关系，即可得出结论.

11．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角是________度，即________rad.如果大轮的转速为（转/分），小轮的半径为10.5cm，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是________.

【答案】864           

【解析】∵相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，

∴当大轮转动一周时，大轮转动了48个齿，

∴小轮转动周，即，，

∴当大轮的转速为时，，小轮转速为 ，

∴小轮周上一点每1s转过的弧度数为：，

∵小轮的半径为10.5cm，

∴小轮周上一点每1s转过的弧长为：，

故答案为：864；；.

12．如图，在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点，它的终边与单位圆相交于轴上方一点，始边不动，终边在运动.若，则弓形的面积的最大值为_______.

【答案】

【解析】易知，

，

故弓形的面积 ，，

导函数：，∵，∴，

∴

即0.在上是增函数

∴

故答案为.

11．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（    ）

A．1.012米 B．1.768米 C．2.043米 D．2.945米

【答案】B

【解析】由题得：弓所在的弧长为：；

所以其所对的圆心角；

两手之间的距离．

故选：．

12．已知某扇形的面积为，若该扇形的半径，弧长满足，则该扇形圆心角大小的弧度数是（）

A． B． C． D．或

【答案】D

【解析】据题意，得解得或所以或.故选D.

13．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积（弦矢矢2）．弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径为米的弧田，如图所示．按照上述经验公式计算所得弧田面积大约是______平方米．（结果保留整数，）

【答案】

【解析】由题意可知，弧田的“弦”（米），“矢”为（米），

因此，弧田面积为（平方米）.故答案为：.

14．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成的）.已知，线段、与弧、弧的长度之和为30米，圆心角为弧度.

（1）求关于的函数解析式；

（2）记铭牌的截面面积为，试问取何值时，的值最大？并求出最大值.

【答案】（1）；（2）当米时铭牌的面积最大，且最大面积为平方米.

【解析】（1）更具体求出扇形的周长，即可得到关于的函数解析式；；
（2）根据扇形面积公式，求出函数解析式利用二次函数求出的值最大．

试题解析：(1)根据题意，可算得()， ().               

  又，

  于是，，                              

  所以，.                                        

(2) 依据题意，可知                   

   化简，得                                          

              .                                       

于是，当(满足条件)时，().                   

答 所以当米时铭牌的面积最大，且最大面积为平方米.