【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：弦长与面积

这是一份【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：弦长与面积，共10页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共29小题；共145分）
1. 过抛物线 y2=4x 焦点的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 2，则 AB=
A. 4B. 6C. 3D. 8

2. 若 F1，F2 是椭圆 x29+y27=1 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且 AF1⊥AF2 则 △AF1F2 的面积为
A. 14B. 73C. 7D. 6

3. 抛物线 y2=2pxp>0 的焦点为 F，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且 ∣MF∣=3∣OF∣，△MFO 的面积为 162，则抛物线的方程为
A. y2=6xB. y2=8xC. y2=16xD. y2=20x

4. 设双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 5．P 是 C 上一点，且 F1P⊥F2P．若 △PF1F2 的面积为 4，则 a=
A. 1B. 2C. 4D. 8

5. 设倾斜角为 45∘ 的直线 l 通过抛物线 y2=4x 的焦点且与抛物线相交于 M，N 两点，则弦 MN 的长为
A. 13B. 82C. 16D. 8

6. 若直线 l 过抛物线 y2=8x 的焦点，与抛物线相交于 A，B 两点，且 ∣AB∣=16，则线段 AB 的中点 P 到 y 轴的距离为
A. 6B. 8C. 10D. 12

7. 设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F，直线 l 过点 M2,0 且与 C 交于 A，B 两点，∣BF∣=32，若 ∣AM∣=λ∣BM∣，则 λ=
A. 32B. 2C. 4D. 6

8. 过抛物线 y2=4x 的焦点作一条直线与抛物线交于 A，B 两点，若它们的横坐标之和等于 5，则这样的直线
A. 有且仅有一条B. 有且仅有两条C. 有无穷多条D. 不存在

9. 已知抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F，准线与 y 轴相交于点 P，过 F 的直线与 C 交于 A，B 两点，若 ∣PA∣=2∣PB∣，则 ∣AB∣=
A. 5B. 92C. 5D. 322

10. 已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F，过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，且 FA⋅FB=8，则 AB=
A. 6B. 7C. 8D. 9

11. 已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F，准线为 l，过点 F 的直线交 l 于点 A，与抛物线的一个交点为 B，且 FA=−2FB，则 ∣AB∣=
A. 92B. 6C. 9D. 12

12. 已知直线 y=x−1 交抛物线 y2=2x 于 A，B 两点，点 O 为坐标原点，那么 △OAB 的面积是
A. 62B. 32C. 3D. 6

13. 已知 F1，F2 是椭圆 x210+y28=1 的两个焦点，P 为椭圆上一点，且 △F1PF2 是直角三角形，则 △F1PF2 的面积为
A. 1655B. 855C. 1655 或 8D. 855 或 8

14. 已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F，过点 M4,0 的直线与抛物线 C 交于 A，B 两点，则 △ABF 的面积的最小值为
A. 8B. 12C. 16D. 24

15. 已知直线 l:y=kx+2k>0 与抛物线 C:y2=8x 相交于 A，B 两点，F 为 C 的焦点，若 ∣FA∣=2∣FB∣，则 k=
A. 13B. 23C. 23D. 223

16. 已知抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点为 F，准线为 l，点 M 在抛物线 C 上且在第一象限，直线 MF 的斜率为 3，点 M 在直线 l 上的射影为 A，且 △MAF 的面积为 43，则 p 的值为
A. 1B. 2C. 23D. 4

17. 已知 y2=x，点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，O 为坐标原点，若 OA⋅OB=12，则 △AOB 面积的最小值为
A. 6B. 8C. 10D. 12

18. 已知椭圆 x24+y22=1，则以点 1,1 为中点的弦的长度为
A. 32B. 23C. 303D. 362

19. 设双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 5．P 是 C 上一点，且 F1P⊥F2P．若 △PF1F2 的面积为 4，则 a=
A. 1B. 2C. 4D. 8

20. 已知直线 l 过抛物线 C：y2=3x 的焦点 F，交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于点 P，若 AF=FP，则 ∣AB∣=
A. 3B. 4C. 6D. 8

21. 过椭圆 x25+y24=1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A，B 两点，O 为坐标原点，则 △OAB 的面积为
A. 43B. 53C. 54D. 103

22. 已知 F 为抛物线 y2=8x 的焦点，过点 F 且斜率为 1 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，则 ∣FA−FB∣ 的值为
A. 42B. 8C. 82D. 16

23. 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2=ax a≠0 的焦点 F，且和 y 轴交于点 A，若 △OAF（O 为坐标原点）的面积为 4，则抛物线方程为
A. y2=±4xB. y2=±8xC. y2=4xD. y2=8x

24. 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2=axa≠0 的焦点 F，且与 y 轴交于点 A，若 △OAF（O 为坐标原点）的面积为 4，则抛物线的方程为
A. y2=±4xB. y2=±8xC. y2=4xD. y2=8x

25. 设 F1，F2 为椭圆 x24+y23=1 的左、右焦点，过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于 P，Q 两点，当四边形 PF1QF2 的面积最大时，PF1⋅PF2 的值等于
A. 0B. 1C. 2D. 4

26. 设直线 l:2x+y−2=0 与椭圆 x2+y24=1 的交点为 A，B，点 P 为椭圆上的动点，则使 △PAB 的面积为 12 的点 P 的个数为
A. 1B. 2C. 3D. 4

27. 已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B 两点，AB=12，P 为 C 的准线上一点，则 △ABP 的面积为
A. 18B. 24C. 36D. 48

28. 斜率为 1 的直线 l 与椭圆 x24+y2=1 相交于 A，B 两点，则 ∣AB∣ 的最大值为
A. 2B. 455C. 4105D. 8105

29. 椭圆 x24+y29=1 与直线 y=2x+1 相交于 A，B 两点，C，D 两点在椭圆上，若四边形 ABCD 为平行四边形，则直线 CD 的方程为
A. y=2x+1B. y=2x−1C. y=−12x+1D. y=−12x−1

二、选择题（共1小题；共5分）
30. 已知直线 l:y=2x+3 被椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 截得的弦长为 7，则下列直线中被椭圆 C 截得的弦长一定为 7 的有
A. y=2x−3B. y=2x+1C. y=−2x−3D. y=−2x+3
答案
第一部分
1. B【解析】因为 y2=4x，所以 2p=4，p=2．设 Ax1,y1，Bx2,y2，则线段 AB 的中点坐标为 x1+x22,y1+y22，依题意有 x1+x22=2，
所以 x1+x2=4，于是 AB=x1+x2+2=6．
2. C【解析】依题意有 F1F2=29−7=22，AF1+AF2=2×3=6，由于 AF1⊥AF2，所以 AF12+AF22=8，即 AF1+AF22−2∣AF1∣⋅AF2=8，因此 ∣AF1∣⋅AF2=14，于是 △AF1F2 的面积 S=12AF1⋅AF2=7．
3. C【解析】设 Mx0,y0，
由 ∣MF∣=3∣OF∣ 可得 x0+p2=3p2，解得 x0=p，
所以 Mp,±2p，
所以 S△MFO=12×p2×2p=162，解得 p=±8．
因为 p>0，
所以 p=8．
所以抛物线的方程为 y2=16x．
4. A【解析】由题意，设 PF2=m，PF1=n，
可得 m−n=2a，12mn=4，m2+n2=4c2，e=ca=5，
可得 4c2=16+4a2，可得 5a2=4+a2，解得 a=1．
5. D
6. A【解析】设 Ax1,y1，Bx2,y2，
根据抛物线的定义可得，x1+x2+p=16，
因为 y2=8x，所以 p=4，
所以 x1+x22=6，
所以线段 AB 的中点 P 到 y 轴的距离为 6．
7. C【解析】由题意得抛物线的焦点为 F1,0，准线为 x=−1，由 ∣BF∣=32 及抛物线的定义知点 B 的横坐标为 12，代人抛物线方程得 B12,±2，根据抛物线的对称性，不妨取 B12,−2，则 l 的方程为 y=223x−2，
联立 y=223x−2,y2=4x 得 A8,42，于是 λ=∣AM∣∣BM∣=4．
8. B【解析】由抛物线性质知 ∣AB∣=5+2=7，
因为当线段 AB 与 x 轴垂直时，∣AB∣min=4，
所以这样的直线有两条．
9. B【解析】易知 P0,−1，由题意可设直线 AB 的方程为 y=kx+1，
由 y=kx+1,x2=4y, 得 x2−4kx−4=0，
设 Ax1,y1，Bx2,y2，
则 x1x2=−4 ⋯⋯①，
x1+x2=4k ⋯⋯②，
Δ=16k2+16．
解法一：
因为 ∣PA∣=2∣PB∣，
所以 x12+y1+12=4x22+y2+12，
即 x12+kx1+22=4x22+kx2+22 ⋯⋯③，
所以 x12+x124+12=4x22+x224+12=416x12+4x12+12，
即 16x12+x12+4216=4×16x12+x12+42x14，
所以 x14=64，即 x12=8，则 x22=2，
所以 ∣AB∣=y1+y2+2=x12+x224+2=92 .
解法二：
因为
kPA+kPB=y1+1x1+y2+1x2=x2kx1+2+x1kx2+2x1x2=2k+2×x1+x2x1x2=2k−2k=0,
所以射线 PF 是 ∠APB 的平分线，
因为 ∣PA∣=2∣PB∣，
所以 ∣AF∣=2∣FB∣，x1=−2x2 ⋯⋯④，
由①④得 x12=8，x22=2，
所以 ∣AB∣=y1+y2+2=x12+x224+2=92 .
10. C
【解析】由 y2=4x 得 p=2，
所以 F1,0，准线为 x=−1，
设直线 AB：x=ty+1，
联立 x=ty+1,y2=4x,
消去 x 并整理得 y2−4ty−4=0，
设 Ax1,y1，Bx2,y2，
则 y1+y2=4t，y1y2=−4，
所以 x1+x2=ty1+y2+2=4t2+2，x1x2=y124×y224=y1y2216=1，
因为 AF=x1+1，BF=x2+1，FA⋅FB=8，
所以 x1+1⋅x2+1=8，
所以 x1x2+x1+x2+1=8，
所以 1+4t2+2+1=8，即 t2=1，
所以 x1+x2=4+2=6，
所以 AB=AF+BF=x1+1+x2+1=x1+x2+2=6+2=8．
故选C．
11. C【解析】抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F1,0，准线 l:x=−1，设 A−1,a，Bm,n，准线与 x 轴的交点为 D．过 B 作 BC⊥l 于 C，不妨令点 A 在 x 轴下方，则 a<0，n>0．
因为 FA=−2FB，
所以 ∣FA∣:∣AB∣=2:3，
所以 ∣FD∣:∣BC∣=2:3，
所以 ∣BC∣=3，
所以 m=2，n2=4×2，n=22（负值舍去），
易知 a=−42，
所以 ∣AC∣=62，
所以 ∣AB∣=32+622=9．
12. C【解析】设 Ax1,y1，Bx2,y2，
由 y=x−1,y2=2x,
得 x2−4x+1=0．
所以 x1+x2=4，x1x2=1，
所以 AB=x1−x2⋅1+k2=16−4×1+12=26，
又点 O 到直线 y=x−1 的距离为 ∣0−0−1∣2=22，
所以 S△OAB=12×26×22=3，
故选C．
13. B【解析】由题意得 a2=10，b2=8，
所以 c2=a2−b2=2，
设椭圆的上顶点为 B，由 c ∠F1PF2≤∠F1BF2<90∘，
因此 PF1⊥F1F2 或 PF2⊥F1F2．
当 PF1⊥F1F2 时，∣PF1∣=b2a=810，
所以 S△F1PF2=12∣F1F2∣∣PF1∣=12×22×810=855，同理，当 PF2⊥F1F2 时，S△F1PF2=855．
14. B
15. D
【解析】设 Ax1,y1，Bx2,y2，x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，
因为 ∣FA∣=2∣FB∣，所以 x1+2=2x2+2，
因为 y1x1+2=y2x2+2，
所以 y1=2y2，所以 y12=4y22，即 8x1=4×8x2，
所以 x1=4x2，与 x1+2=2x2+2 联立，解得 x2=1，
所以 y2=22，
因此 k=y2x2+2=223．
16. B
17. B【解析】设直线 AB 的方程为 x=ty+m，点 Ax1,y1，Bx2,y2，直线 AB 与 x 轴的交点为 Mm,0，将 x=ty+m 代入 y2=x，可得 y2−ty−m=0，
根据根与系数的关系得 y1y2=−m，y1+y2=t，
因为 OA⋅OB=12，
所以 x1⋅x2+y1⋅y2=12，
又 x1x2=y12y22，
所以 y1⋅y22+y1⋅y2−12=0，
令 y1y2=u，则 u2+u−12=0，
解得 u=−4 或 u=3，
因为点 A，B 位于 x 轴的两侧，
所以 u=y1⋅y2=−4，故 m=4．
故直线 AB 所过的定点坐标是 4,0，
故 △AOB 的面积 S=12×4×∣y1−y2∣=2×y1+y22−4y1y2=2t2+16≥8，
当 t=0 时，直线 AB 垂直于 x 轴，△AOB 的面积取得最小值，为 8．
18. C【解析】由题可知，以点 1,1 为中点的弦所在直线的斜率存在且不为 0．设直线方程为 y=kx−1+1，与椭圆方程联立，消去 y 得 1+2k2x2−4k2−4kx+2k2−4k−2=0．设直线与椭圆交点坐标为 Ax1,y1，Bx2,y2，因为线段 AB 中点坐标为 1,1，所以 x1+x2=2，由根与系数的关系得 x1+x2=4k2−4k1+2k2=2，解得 k=−12，所以 x1⋅x2=2k2−4k−21+2k2=13，所以 ∣AB∣=1+k2x1+x22−4x1x2=303．
19. A【解析】因为 ca=5，所以 c=5a，根据双曲线的定义可得 PF1−PF2=2a，
S△PF1F2=12PF1⋅PF2=4，即 PF1⋅PF2=8，
因为 F1P⊥F2P，所以 PF12+PF22=2c2，
所以 PF1−PF22+2PF1⋅PF2=4c2，
即 a2−5a2+4=0，解得 a=1．
20. B
【解析】如图所示．
不妨设 A 在第一象限，由抛物线 C：y2=3x 可得 F34,0，准线 DP：x=−34，
因为 AF=FP，
所以 F 是 AP 的中点，则 AD=2CF=3，
所以可得 A94,332，
则 kAF=3，所以直线 AP 的方程为：y=3x−34，
联立方程 y=3x−34,y2=3x, 整理得：x2−52x+916=0，
所以 x1+x2=52，
则 ∣AB∣=x1+x2+p=52+32=4．
21. B【解析】由题意知椭圆的右焦点 F 的坐标为 1,0，
则直线 AB 的方程为 y=2x−2．联立 x25+y24=1,y=2x−2,
解得交点 A0,−2，B53,43，
所以 S△OAB=12⋅∣OF∣⋅∣yA−yB∣=12×1×∣−2−43∣=53．
22. C【解析】依题意知 F2,0，所以直线 l 的方程为 y=x−2，
联立方程，得 y=x−2,y2=8x, 消去 y 得 x2−12x+4=0．
设 Ax1,y1，Bx2,y2，则 x1x2=4，x1+x2=12，
则
∣FA−FB∣=x1+2−x2+2=x1−x2=x1+x22−4x1x2=144−16=82.
23. B【解析】提示：由题可设直线 l 的方程为 y=2x−a4，可解得其与 y 轴交点 A0,−a2，再结合抛物线焦点 Fa4,0，所以 S△OAF=12∣OF∣⋅∣OA∣=12a4⋅a2=4．
24. B【解析】抛物线 y2=axa≠0 的焦点F的坐标为 a4,0，
则直线 l 的方程为 y=2x−a4，它与 y 轴的交点为 A0,−a2，
所以 △OAF 的面积为 12a4⋅a2=4，解得 a=±8．
所以抛物线的方程为 y2=±8x．
25. C
【解析】提示：SPF1QF2=2S△PF1F2，∣F1F2∣=2，所以当 P 为短轴顶点时，四边形 PF1QF2 的面积取得最大值，即 P0,±3，所以 PF1⋅PF2=−1,±3⋅1,±3=2．
26. B
27. C【解析】不妨设抛物线方程为 y2=2pxp>0．
因为当 x=p2 时，y=p，
所以 p=AB2=122=6．
又 P 到直线 AB 的距离为 p，
所以 S△ABP=12×12×6=36．
28. C【解析】设 A，B 两点的坐标分别为 x1,y1，x2,y2，直线 l 的方程为 y=x+t，由 x2+4y2=4,y=x+t 消去 y，得 5x2+8tx+4t2−1=0，则 x1+x2=−85t，x1x2=4t2−15．
所以
∣AB∣=1+k2∣x1−x2∣=1+k2⋅x1+x22−4x1x2=2⋅−85t2−4×4t2−15=425⋅5−t2,
当 t=0 时，∣AB∣max=4105．
29. B
第二部分
30. A， C， D
【解析】直线 y=2x−3 与直线 l 关于原点对称，直线 y=−2x−3 与直线 l 关于 x 轴对称，直线 y=−2x+3 与直线 l 关于 y 轴对称，因此A，C，D中的直线被椭圆 C 截得的弦长一定为 7，而直线 y=2x+1 被椭圆 C 截得的弦长大于 7．