【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：数列的概念与表示

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一、选择题（共30小题；共150分）
1. 已知数列 an 的通项公式 an=n2−2n−8n∈N*，则 a4 等于
A. 1B. 2C. 0D. 3

2. 在有一定规律的数列 0，3，8，15，24，x，48，63，⋯ 中，x 的值是
A. 30B. 35C. 36D. 42

3. 已知数列 an 满足 a1=0，an+1=an−33an+1n∈N*，则 a20=
A. 0B. −3C. 3D. 32

4. 数列 an 满足 an+1+an=2n−3．若 a1=2，则 a8−a4=
A. 7B. 6C. 5D. 4

5. 数列 an 中，an=2n，则 16 是这个数列的
A. 第 16 项B. 第 8 项C. 第 4 项D. 第 2 项

6. 已知数列 3，3，15，⋯，32n−1，⋯，那么 9 在此数列中的项数是
A. 12B. 13C. 14D. 15

7. 已知数列 an 的首项 a1=1，且满足 an+1=12an+67n，则此数列的第三项是
A. 1B. 12C. 3128D. 67

8. 下列四个数中，是数列 nn+1 中的一项的是
A. 380B. 39C. 32D. 23

9. 已知数列 an 满足 a1=0，an+1=an−33an+1（n∈N*），那么 a2010 等于
A. 0B. −3C. 3D. 32

10. 数列 1,3,6,10,⋯ 的一个通项公式是
A. an=n2−n−1B. an=n2−1
C. an=nn+12D. an=nn−12

11. 数列 1，3，7，15，⋯ 的一个通项公式是
A. an=2nB. an=2n+1C. an=2n−1D. an=2n+1

12. 在数列 an 中，a1=4，an+1=2an−1（n=1,2,3,⋯），则 a4 等于
A. 7B. 13C. 25D. 49

13. 数列 an 满足 a1=1，an=an−1+3n，则 a4 等于
A. 4B. 13C. 28D. 43

14. 数列 an 的通项公式为 an=2n−7，关于此数列的图象叙述正确的是
A. 此数列不能用图象表示
B. 此数列的图象仅在第一象限
C. 此数列的图象为直线 y=2x−7
D. 此数列图象为直线 y=2x−7 上满足 x∈N+ 的一系列孤立的点

15. 已知数列 an 对任意的 p,q∈N* 满足 ap+q=ap+aq，且 a2=−6，那么 a10 等于
A. −165B. −33C. −30D. −21

16. 数列 an 中，a1=1，a2=23，且 1an−1+1an+1=2ann∈N*,n≥2，则 a6 等于
A. 17B. 27C. 72D. 7

17. 已知数列的通项公式为 an=n2−8n+15，则
A. 3 不是数列 an 中的项
B. 3 只是数列 an 中的第 2 项
C. 3 只是数列 an 中的第 6 项
D. 3 是数列 an 中的第 2 项和第 6 项

18. 设数列 an 满足 a1=1，an=an−12−1n>1，则 a4 等于
A. −1B. 0C. 1D. −2

19. 数列 an 的首项 a1=1，且满足 an+1=12an+12n，则此数列的第三项是
A. 1B. 12C. 34D. 58

20. 在数列 an 中，已知 a1=a2=1，an+2=an+1+ann∈N*，则 a8=
A. 19B. 20C. 21D. 22

21. 数列 an 定义如下：a1=1，当 n≥2 时，an=1+an2,n为偶数1an−1,n为奇数，若 an=14，则 n 的值为
A. 7B. 8C. 9D. 10

22. 已知数列 an 的通项公式是 an=n−1n+1，那么这个数列是
A. 递增数列B. 递减数列C. 常数列D. 摆动数列

23. 已知数列 an 满足 a1=3，an+1=5an−133an−7，则 a2016=
A. 3B. 2C. 1D. −1

24. 已知数列 an 满足 a1=1，an=an−1+2nn≥2，则 a7=
A. 53B. 54C. 55D. 109

25. 设数列通项 an=−n2+10n+11，则数列 an 从首项到第几项的和最大
A. 第 10 项B. 第 11 项
C. 第 10 项或第 11 项D. 第 12 项

26. 已知数列 an 的通项公式为 an=lg2nn+1n∈N*，设其前 n 项和为 Sn，则使 Sn<−4 成立的自然数 n 有
A. 最大值 15B. 最小值 15C. 最大值 16D. 最小值 16

27. 已知在平面直角坐标系中有一个点列：P10,1，P2x2,y2，⋅⋅⋅，Pnxn,ynn∈N* .若点 Pnxn,yn 到点 Pn+1xn+1,yn+1 的变化关系为 yn+1=yn+xn,xn+1=yn−xn n∈N* ，则 ∣P2013P2014∣=
A. 21004B. 21005C. 21006D. 21007

28. 下列说法中不正确的是
A. 数列 a，a，a，⋯，是无穷数列
B. 数列 fn 就是定义在正整数集 N* 上或它的有限子集 1,2,3,⋯,n 上的函数值
C. 数列 0，−1，−2，−3，⋯ 不一定是递减数列
D. 已知数列 an，则 an+1−an 也是一个数列

29. 数列 1，3，6，10，15，⋯ 的递推公式是
A. a1=1an+1=an+n,n∈N*
B. a1=1an=an−1+n,n∈N*,n≥2
C. a1=1an=an−1+n+1,n∈N*
D. a1=1an+1=an−1+n+1,n∈N*,n≥2

30. 如下图所示的是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第 n 个图有化学键
A. 6n 个B. 4n+2 个C. 5n−1 个D. 5n+1 个
答案
第一部分
1. C【解析】a4=42−2×4−8=0．
2. B
3. B【解析】因为 a1=0，a2=−3，a3=3，a4=0，a5=−3=a2，a6=a3，⋯，
所以 an+3=an，
所以 a20=a2=−3．
4. D【解析】由 an+1+an=2n−3 得 an+an−1=2n−5n≥2，
两式作差得 an+1−an−1=2n≥2，
所以 a8−a4=a8−a6+a6−a4=2+2=4．
故选D．
5. C
【解析】根据题意可得 2n=16，解得 n=4，则 16 是这个数列的第 4 项，故选C．
6. C【解析】根据题意，an=32n−1．由 an=32n−1=9，
解得 n=14，
即 9 是此数列的第 14 项．
7. C
8. A【解析】分别令 nn+1=380,39,32,23，解出 n∈N* 即可，验证知 n=19 时，19×20=380．
9. C
10. C
【解析】1=1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，⋯，可归纳第 n 项：1+2+3+⋯+n=nn+12．所以数列 1,3,6,10,⋯ 的一个通项公式是 an=nn+12．
11. C
12. C
13. C
14. D【解析】函数 y=2x−7x∈R 的图象是直线，
当 x∈N+ 时就成了数列 an=2n−7x∈N+ 的图象．
15. C
16. B
17. D【解析】令 an=3，即 n2−8n+15=3，整理得 n2−8n+12=0，解得 n=2 或 n=6．
18. B【解析】由题意可得 a2=a12−1=0，a3=a22−1=−1，a4=a32−1=0．
19. C【解析】因为 a1=1，所以 a2=12a1+12=1，a3=12a2+14=12+14=34．
20. C
21. C【解析】因为 a1=1，
所以 a2=1+a1=2，a3=1a2=12，a4=1+a2=3，a5=1a4=13，a6=1+a3=32，a7=1a6=23，a8=1+a4=4，a9=1a8=14，
所以 n=9．
22. A【解析】an=n−1n+1=1−2n+1，所以当 n 越大，2n+1 越小，则 an 越大，故该数列是递增数列．
23. B【解析】由于 a1=3，an+1=5an−133an−7，
所以 a2=5×3−133×3−7=1，a3=5×1−133×1−7=2，a4=5×2−133×2−7=3，
所以数列 an 是周期为 3 的周期数列，
所以 a2016=a672×3=a3=2．
24. C【解析】由题意知，数列 an 满足 an=an−1+2nn≥2，
即 an−an−1=2nn≥2，
所以
a7=a1+a2−a1+a3−a2+a4−a3+⋯+a7−a6=a1+2×2+2×3+2×4+2×5+2×6+2×7=a1+2×2+3+4+⋯+7=a1+54.
又由 a1=1，得 a7=54+1=55．
25. C
【解析】令 an≥0，得 1≤n≤11．
26. D【解析】Sn=a1+a2+⋯+an−1+an=lg212+lg223+lg234+⋯+lg2n−1n+lg2nn+1=lg212×23×34×⋯×n−1n×nn+1=lg21n+1=−lg2n+1.
则 −lg2n+1<−4，
所以 n+1>24，即 n>15．
27. C【解析】由题设知 P10,1，P21,1，P30,2，P42,2，P50,4，⋅⋅⋅，
所以 ∣P1P2∣=1，∣P2P3∣=2，∣P3P4∣=2，∣P4P5∣=22，⋅⋅⋅，
所以 ∣P2013P2014∣=21006 .
28. B【解析】A，D 显然正确；对于 B，因为数列 fn 是定义在正整数集 N*（或它的有限子集 1,2,3,⋯,n）上的函数 an=fn 当自变量从小到大依次取值时所对应的一列函数值，所以B不正确；对于C，数列给出四项，后面的项依次递减．
29. B【解析】逐项验证知B正确．
30. D
【解析】各图中的“短线”依次是 6，6+5，6+5+5，⋯，若把 6 看成是 1+5，则上述数列为 1+5，1+5+5，1+5+5+5，⋯，于是第 n 个图有化学键 5n+1 个．