高一数学寒假作业同步练习题函数的基本性质含解析

函数的基本性质

1．若是偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则与的大小关系是（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】C

【解析】因为是偶函数，所以，

又，在上是减函数，

所以，即.故选：C

2．若函数是上的单调减函数，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】易知函数在上单调递减，要使函数在上单调递减，

则函数在上单调递减，所以，

当时，，，要使在上单调递减，

还必须，即，所以.故选：D．

3．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

①为奇函数；②为偶函数；③在区间上单调递增；④的值域为.

A．①③④ B．②④ C．①③ D．②③④

【答案】A

【解析】易知定义域为R，且，故为奇函数，故①正确②错误；

任取，，且，则，

∵∴.显然当，时.，

则在上单调递增.同理可得在上单调递减，结合为奇函数且定义域为R，可得在和上单调递减；在上单调递增，故③正确；

又时，，时，，所以，，所以的值域为，故④正确.故选：A

4．已知函数为定义在上的奇函数，且时，，则（    ）

A．1 B．0 C．-2 D．2

【答案】C

【解析】因为函数为定义在上的奇函数，

所以，

所以.故选：C.

5．已知偶函数的定义域为R．且在上为增函数，比较与 的大小（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为偶函数的定义域为R．且在上为增函数，

所以在为减函数，且，

又因为，根据在为减函数，

所以，即，故选：D

6．下列函数中，既是奇函数又是定义域内减函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】对于A选项，函数的定义域为， ，故函数是奇函数，且函数均为定义域内的减函数，故函数在定义域内是减函数，故A正确；

对于B选项，函数定义域为，，故函数不是奇函数，故B选项错误；

对于C选项，函数定义域为，，故函数是奇函数，但函数在和 上单调递增，在定义域内不具有单调性，故C选项错误；

对于D选项，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，故不具有奇偶性，故D选项错误.故选：A.

7．若函数对于任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】对任意的正实数、，当时，，

不妨设，则，即，

所以，函数为上的增函数，

则，解得.

因此，实数的取值范围是.故选：C.

8．已知函数，若，则实数a的取值范围是___________.

【答案】

【解析】由，解得:，

又，∴为奇函数，

且为上的增函数，

，即，∴，

解得：，又的定义域为，，

解得：，∴，

即实数a的取值范围是.故答案为：.

9．已知函数，某同学利用计算器，算得的部分与的值如下表：

请你通过观察，研究后，写出关于的正确的一个性质______.（不包括定义域）

【答案】关于点对称

【解析】由表格中的数据可得，，

可得出，所以，函数的图象关于点对称.

故答案为：关于点对称.

10．已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则______.

【答案】2

【解析】令可得，由，分别是定义在上的偶函数和奇函数可得，，则.

故答案为：2.

11．已知函数，下列说法不正确的是（    ）

A．若对于，都有（为常数），则的图象关于直线对称

B．若对于，都有（为常数），则的图象关于点对称

C．若对于，都有，则是奇函数

D．若对于，都有，且，则是奇函数

【答案】D

【解析】A. 对于，都有（为常数），

则函数的图象关于对称；

B. 若对于，都有（为常数），

则函数的图象关于对称，故B正确；

C.令，则，再令，则，即，

则是奇函数，故C正确；

D. 令，则或，因为,所以，

根据奇函数的性质可知，若函数在处有定义，则，而，

所以不是奇函数，故D错误.故选：D

12．定义，例如：，，若，，则的最大值为（    ）

A．1 B．8 C．9 D．10

【答案】C

【解析】由得，，

所以，

所以在和上都是增函数，在和上都是减函数，

，，所以．故选：C．

13．已知函数的最小值是与无关的常数，则的范围是_______．

【答案】

【解析】时，，令，则，在时是增函数，无最小值．

时，令，，，

时，是减函数，∴，

时，，当且仅当时等号成立，

即时，在上递增，，

∴，，即时，与有关，故答案为：．

14．已知函数，若对于区间内的任意两个不等实数，，都有，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】函数，

若对于区间内的任意两个不等实数，，都有，

即，可得：函数在区间上是增函数，二次函数的对称轴为：，可得：，解得：，

故答案为：.

15．已知定义域为的函数是奇函数

（1）求，的值；

（2）用定义证明在上为减函数．

（3）若对于任意，不等式恒成立，求的范围．

【答案】(1)，；（2）证明见解析；（3）.

【解析】(1)因为是奇函数，所以，，所以，所以，

由，得，解得，

经检验：当,时，函数为上的奇函数，所以,.

(2)由(1)知，任取，且，则

，

因为，所以，，，所以，

所以，所以在上为减函数．

(3) 因为对于任意，不等式恒成立，所以，

因为是奇函数，所以，

因为在上为减函数，所以，即恒成立，

而，所以.