【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：直线与平面垂直关系的性质

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一、选择题（共30小题；共150分）
1. 若直线 l⊥平面α，直线 m⊂α，则
A. l⊥mB. l 可能和 m 平行
C. l 和 m 相交D. l 和 m 不相交

2. 已知 l⊥α，则过 l 与 α 垂直的平面有
A. 1 个B. 2 个C. 无数个D. 不存在

3. 下列说法错误的是
A. 垂直于同一个平面的两条直线平行
B. 若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直
C. 一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行
D. 一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直

4. 已知 m 和 n 是两条不同的直线，α 和 β 是两个不重合的平面，则下列给出的条件中一定能推出 m⊥β 的是
A. α⊥β 且 m⫋αB. α⊥β 且 m∥α
C. m∥n 且 n⊥βD. m⊥n 且 n∥β

5. ABCD−A1B1C1D1 为正方体，下列结论错误的是
A. BD∥平面CB1D1B. AC1⊥BD
C. AC1⊥平面CB1D1D. AC1⊥BD1

6. 如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，点 P 在侧面 BB1C1C 上运动，并且保持 AP⊥BD1 ，则动点 P 的轨迹是
A. 线段 B1C
B. 线段 BC1
C. BB1 的中点与 CC1 的中点连成的线段
D. BC 的中点与 B1C1 的中点连成的线段

7. 直线 l 垂直于平面 α 内的无数条直线，则
A. l⊥αB. l⊂αC. l∥αD. 以上均有可能

8. 下列命题正确的是
A. 垂直于同一条直线的两直线平行
B. 垂直于同一条直线的两直线垂直
C. 垂直于同一个平面的两直线平行
D. 垂直于同一条直线的直线和平面平行

9. 设 m，n 是不同的直线，α，β 是不同的平面，下列命题中正确的是
A. 若 m∥α，n⊥β，m⊥n，则 α⊥β
B. 若 m∥α，n⊥β，m∥n，则 α⊥β
C. 若 m∥α，n⊥β，m⊥n，则 α∥β
D. 若 m∥α，n⊥β，m∥n，则 α∥β

10. 设 a,b 是两条直线，α,β 是两个平面，则能够得出 a⊥b 的是
A. a⊥α,b∥β,α⊥βB. a⊥α,b⊥β,α∥β
C. a⊂α,b⊥β,α∥βD. a⊂α,b∥β,α⊥β

11. 已知 a，b 为两条不同的直线，α，β 为两个不同的平面，且 a⊥α，b⊥β ，则下列结论错误的是
A. 若 a∣∣b ，则 α∣∣βB. 若 α⊥β ，则 a⊥b
C. 若 a，b 相交，则 α，β 相交D. 若 α，β 相交，则 a，b 相交

12. 设 l，m，n 均为直线，其中 m，n 在平面 α 内，则“l⊥α”是“l⊥m 且 l⊥n”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 即不充分也不必要条件

13. 如图，在 △ABC 中，∠BAC=90∘，AD 是边 BC 上的高，PA⊥平面ABC，则图中直角三角形的个数是
A. 5B. 6C. 8D. 10

14. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．在如图所示的四棱锥 P−ABCD 中，PD⊥平面ABCD，底面 ABCD 是正方形，且 PD=CD，点 E，F 分别为 PC，PD 的中点，则图中的鳖臑有
A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个

15. 如图，α∩β=l，点 A,C∈α，点 B∈β，且 BA⊥α，BC⊥β，那么直线 l 与直线 AC 的关系是
A. 异面B. 平行C. 垂直D. 不确定

16. 空间中直线 l 和三角形的一边 AC 及另一边 BC 的中线同时垂直，则这条直线和三角形的第三边 AB 的位置关系是
A. 平行B. 垂直C. 相交D. 不确定

17. 在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，E 为棱 CD 的中点，则
A. A1E⊥DC1B. A1E⊥BDC. A1E⊥BC1D. A1E⊥AC

18. 如图，已知线段 AB 垂直于定圆所在的平面，B，C 是 ⊙O 上的两个点，H 是点 B 在 AC 上的射影，当点 C 运动时，点 H 运动的轨迹是
A. 圆B. 椭圆C. 抛物线D. 不是平面图形

19. 如图所示，平面四边形 ABCD 中，AB=AD，AB⊥AD，BD⊥CD，将其沿对角线 BD 折成四面体 A−BCD，使 平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中正确的是
① 平面ACD⊥平面ABD；
② AB⊥AC；
③ 平面ABC⊥平面ACD．
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③

20. 已知三棱锥 P−ABC 的高为 PO，O 为垂足，若 P 到底面 △ABC 三边所在的直线的距离相等，则 O（假设 O 在 △ABC 内部）是 △ABC 的
A. 外心B. 内心C. 垂心D. 重心

21. 已知 m，n 是两条不同直线，α，β 是两个不同平面，则下列命题正确的是
A. 若 α，β 垂直于同一平面，则 α 与 β 平行
B. 若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行
C. 若 α，β 不平行，则在 α 内不存在与 β 平行的直线
D. 若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面

22. 如图，四棱锥 S−ABCD 的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是
A. AC⊥SB
B. AB∥平面SCD
C. SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角
D. AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角

23. 如图所示，BC 是 Rt△ABC 的斜边，PA⊥平面ABC，PD⊥BC 于点 D，则图中直角三角形的个数是
A. 8B. 7C. 6D. 5

24. 设直线 m 与平面 α 相交但不垂直，则下列说法中，正确的是
A. 在平面 α 内有且只有一条直线与直线 m 垂直
B. 过直线 m 有且只有一个平面与平面 α 垂直
C. 与直线 m 垂直的直线不可能与平面 α 平行
D. 与直线 m 平行的平面不可能与平面 α 垂直

25. 设平面 α 与平面 β 相交于直线 m，直线 a 在平面 α 内，直线 b 在平面 β 内，且 b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件

26. 如图，PA 垂直于以 AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于 A，B 的任一点，则下列关系不正确的是
A. PA⊥BCB. BC⊥平面PAC
C. AC⊥PBD. PC⊥BC

27. 已知 S 、 A 、 B 、 C 是球 O 表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=2，则球 O 的表面积等于
A. 4πB. 3πC. 2πD. π

28. 在四面体 ABCD 中，已知 AD⊥BC，AD=6，BC=2，且 ABBD=ACCD=2，则 V四面体ABCD 的最大值为
A. 6B. 211C. 215D. 8

29. 如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，P 为底面 ABCD 上的动点，PE⊥A1C 于 E，且 PA=PE，则点 P 的轨迹是
A. 线段B. 圆弧
C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分

30. 已知三棱锥 ABCD 中，AB⊥CD，且 AB 与平面 BCD 成 60∘ 角．当 S△BCDS△ACD 的值取到最大值时，二面角 A−CD−B 的大小为
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘
答案
第一部分
1. A【解析】一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任意一条直线．
2. C
3. D【解析】由线面垂直的性质定理知，垂直于同一个平面的两条直线平行，A正确；
由面面垂直的性质定理知，若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直，B正确；
由面面平行的判定定理知，一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行，C正确；
当一条直线与平面内无数条相互平行的直线垂直时，该直线与平面不一定垂直，D错误，故选D．
4. D
5. D
【解析】正方体中由 BD∥B1D1，易知A正确；
由 BD⊥AC，BD⊥OC1 可易得 BD⊥平面ACC1，从而 BD⊥AC1，即B正确；
由以上可得 AC1⊥B1D1，同理 AC1⊥D1C，因此 AC1⊥平面CB1D1，即C正确；
由于四边形 ABC1D1 不是菱形，所以 AC1⊥BD1 不正确．
6. A
7. D
8. C
9. B
10. C
【解析】b⊥β,α∥β，所以 b⊥α，又 a⊂α，所以 b⊥a．
11. D
12. A【解析】l⊥α，m,n⊂α⇒l⊥m 且 l⊥n．
但当 l⊥m，l⊥n 时，m，n 可能平行且 l，m，n 共面，得不到结论 l⊥α．
13. C
14. C【解析】由题意，
因为 PD⊥底面ABCD，
所以 PD⊥DC，PD⊥BC，
又四边形 ABCD 为正方形，
所以 BC⊥CD，
因为 PD∩CD=D，
所以 BC⊥平面PCD，BC⊥PC，
所以四面体 P−DBC 是一个鳖臑，
因为 DE⊂平面PCD，
所以 BC⊥DE，
因为 PD=CD，点 E 是 PC 的中点，
所以 DE⊥PC，
因为 PC∩BC=C，
所以 DE⊥平面PBC，可知四面体 E−BCD 的四个面都是直角三角形，即四面体 E−BCD 是一个鳖臑，
同理可得，四面体 P−ABD 和 F−ABD 都是鳖臑，故选C．
15. C
【解析】因为 α∩β=l，
所以 l⊂α，
又 BA⊥α，
所以 BA⊥l．
同理 BC⊥l．
又 BA∩BC=B，
所以 l⊥平面ABC，
因为 AC⊂平面ABC，
所以 l⊥AC．
16. B
17. C【解析】如图，由题设知，A1B1⊥平面BCC1B1，
从而 A1B1⊥BC1，
又 B1C⊥BC1，且 A1B1∩B1C=B1，
A1B1,B1C⊂平面A1B1CD，
所以 BC1⊥平面A1B1CD，
又 A1E⊂平面A1B1CD，
所以 A1E⊥BC1．
18. A【解析】如图，设 ⊙O 的半径为 r，取 BC 的中点 M，
则 OM⊥BC，MH=MC．
因为 AB⊥平面BCD，
所以 BC 是 AC 在平面 BCD 上的射影，
从而 OM⊥平面ABC，得 OM⊥MH，
于是 OH2=MO2+MH2=MO2+MC2=r2，
即 OH=r，亦即动点 H 在以 O 为球心、 r 为半径的球面上．
又因为 BH⊥AD，B 为定点，
所以动点 H 又在过点 B 且垂直于直线 AD 的定平面上，
故点 H 运动的轨迹是圆．
19. D
20. B
【解析】因为 P 到 △ABC 三边所在直线的距离相等，所以 O 点到三边的距离相等，所以 O 为 △ABC 的内心．
21. D【解析】若 α，β 垂直于同一个平面 γ，则 α，β 可以都过 γ 的同一条垂线，即 α，β 可以相交，故A错；
若 m，n 平行于同一个平面，则 m 与 n 可能平行，也可能相交，还可能异面，故B错；
若 α，β 不平行，则 α，β 相交，设 α∩β=l，在 α 内存在直线 a，使 a∥l，则 a∥β，故C错；
从原命题的逆否命题进行判断，若 m 与 n 垂直于同一个平面，由线面垂直的性质定理知 m∥n，故D正确．
22. D【解析】选项A正确，因为 SD 垂直于平面 ABCD，而 AC 在平面 ABCD 中，所以 AC 垂直于 SD；再由 ABCD 为正方形，所以 AC 垂直于 BD；而 BD 与 SD 相交，所以，AC 垂直于平面 SBD，进而垂直于 SB．选项B正确，因为 AB 平行于 CD，而 CD 在平面 SCD 内，AB 不在平面 SCD 内，所以 AB 平行于平面 SCD．选项C正确，设 AC 与 BD 的交点为 O，连接 SO，则 SA 与平面 SBD 所成的角就是 ∠ASO，SC 与平面 SBD 所成的角就是 ∠CSO，易知这两个角相等．选项D错误，AB 与 SC 所成的角等于 ∠SCD，而 DC 与 SA 所成的角是 ∠SAB，这两个角不相等．
23. A【解析】易知 PA⊥AC，PA⊥AD，PA⊥AB，BC⊥AD，BC⊥PD，AC⊥AB．图中的直角三角形分别为 △PAC，△PAD，△PAB，△ADC，△ADB，△PCD，△PDB，△ABC，共 8 个，故选A．
24. B【解析】由题意，m 与 α 斜交，令其在 α 内的射影为 m′，则在 α 内可作无数条与 m′ 垂直的直线，它们都与 m 垂直；
如图示（1），在 α 外，可作与 α 内直线 l 平行的直线；如图（2），m⊂β,α⊥β．可作 β 的平行平面 γ，则 m∥γ 且 γ⊥α．
25. A
【解析】当 α⊥β 时，由线面垂直的性质定理可得 a⊥b，
所以具有充分性．
当 a⊥b 时，如果 a∣∣m，就得不出 α⊥β，
所以不具有必要性．
26. C
27. A【解析】如图，设 △ABC 所在的小圆的圆心为 D，则 OD⊥平面ABC．
由 AB⊥BC，得 AC 为小圆 D 的直径；
又由 SA⊥平面ABC，得 SA⊥AC．
由此 SC 为球 O 的直径．
在 Rt△ABC 中，AC=AB2+BC2=3．
在 Rt△SAC 中，SC=SA2+AC2=2．
所以球 O 的半径为 R=1，从而球 O 的表面积为 4πR2=4π．
28. C
29. A
30. A
【解析】过 A 作 AO⊥平面BCD，连接 BO 并延长交 CD 于 E，连接 AE，则 BE 是 AB 在底面 BCD 上的射影，
则 ∠ABE=60∘，因为 AB⊥CD，AO⊥CD，所以 CD⊥面ABE，所以 CD⊥AE，则 ∠AEB 是二面角 A−CD−B 的平面角，则 S△BCDS△ACD=12CD⋅BE12CD⋅AE=BEAE，要使 S△BCDS△ACD 的值取到最大值，则 BEAE 取到最大，由正弦定理得 BEAE=sin∠BAEsin60∘，所以当 sin∠BAE 取得最大值，即当 ∠BAE=90∘ 时取最大值，此时 ∠AEB=30∘．