【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：直线与圆锥曲线

这是一份【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：直线与圆锥曲线，共15页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共25小题；共125分）
1. 椭圆 C:x24+y2=1，过 A0,2 作直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，O 为坐标原点，若 △AOM 与 △AON 的面积之比为 5:3，则直线 l 的斜率为
A. 1B. 12C. ±1D. ±2

2. 已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F，M 为抛物线 C 上一点．若 ∣MF∣=4，则 △MOF（O 为坐标原点）的面积为
A. 3B. 23C. 43D. 63

3. 已知抛物线 y2=2pxp>0 的准线与圆 x2+y2−4y=0 相交所得的弦长为 23，则 p 的值为
A. 12B. 1C. 2D. 4

4. 过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 Ax1,y1，Bx2,y2 两点．如果 x1+x2=6，那么 ∣AB∣=
A. 6B. 8C. 9D. 10

5. 已知 A，B 是抛物线 y2=2pxp>0 上的两点，直线 AB 垂直于 x 轴，F 为抛物线的焦点，射线 BF 交抛物线的准线于点 C，且 ∣AB∣=455∣AF∣，△AFC 的面积为 25+2，则 p 的值为
A. 2B. 1C. 2D. 4

6. 已知直线 y=22x−1 与抛物线 C:y2=4x 交于 A，B 两点，点 M−1,m，若 MA⋅MB=0，则 m=
A. 2B. 22C. 12D. 0

7. 已知抛物线 C:y2=−2pxp>0 的焦点为 F，M−1,y0 是抛物线上一点，过点 M 向抛物线 C 的准线引垂线，垂足为 D．若 △MDF 为等边三角形，则 p 的值为
A. 23B. 34C. 1D. 2

8. 已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，OA⋅OB=6（其中 O 为坐标原点），则 △ABO 与 △AFO 面积之和的最小值是
A. 1728B. 3C. 338D. 3132

9. 斜率为 1 的直线 l 与椭圆 x24+y2=1 相交于 A，B 两点，则 ∣AB∣ 的最大值为
A. 455B. 4105C. 8105D. 855

10. 直线 y=kxk>0 与双曲线 x22−y26=1 没有交点，则 k 的取值范围为
A. 33,+∞B. 2,+∞C. 3,+∞D. 0,3

11. 与直线 2x−y+4=0 平行的抛物线 y=x2 的切线方程为
A. 2x−y+3=0B. 2x−y−3=0C. 2x−y+1=0D. 2x−y−1=0

12. 已知抛物线 y2=4x 的准线与 x 轴相交于点 P，过点 P 且斜率为 kk>0 的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，F 为抛物线的焦点，若 ∣FB∣=2∣FA∣，则 ∣AB∣=
A. 32B. 2C. 172D. 17

13. 已知抛物线 y2=4x，过焦点 F 作直线与抛物线交于点 A，B（点 A 在 x 轴下方），点 A1 与点 A 关于 x 轴对称．若直线 AB 的斜率为 1，则直线 A1B 的斜率为
A. 33B. 3C. 22D. 2

14. 如图，圆 F:x−12+y2=1 和拋物线 x=y24，过点 F 的直线与抛物线和圆依次交于 A，B，C，D 四点，则 ∣AB∣⋅∣CD∣ 的值是
A. 1B. 2C. 3D. 无法确定

15. 已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F，A−1,0，P 是抛物线上的动点，则当 ∣PF∣∣PA∣ 的值最小时，∣PF∣=
A. 1B. 2C. 22D. 4

16. 已知双曲线 x2−y22=1 的渐近线与抛物线 M:y2=2pxp>0 交于点 A2,a，直线 AB 过抛物线 M 的焦点，交抛物线 M 于另一点 B，则 ∣AB∣=
A. 3.5B. 4C. 4.5D. 5

17. 过点 0,1 且与抛物线 y2=4x 只有一个公共点的直线有
A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 0 条

18. 已知抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，准线为 l，过点 F 的直线交 l 于点 A，与抛物线的一个交点为 B，且 FA=−2FB 则 ∣AB∣=
A. 3B. 6C. 9D. 12

19. 过双曲线 x2−y22=1 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A，B 两点，若 ∣AB∣=4，则这样的直线 l 有
A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条

20. 直线 y=x−3 与抛物线 y2=4x 交于 A，B 两点，过 A，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 P，Q，则梯形 APQB 的面积为
A. 48B. 56C. 64D. 72

21. 已知点 P 在椭圆 C:x24+y2=1 上，直线 l:x−y+m=0，则“m=35”是“点 P 到直线 l 的距离的最小值是 10”的
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件

22. 已知 A 为椭圆 x24+y2=1 的左定点，直线 y=kxk≠0 与该椭圆相交于 P，Q 两点，连接 AP，AQ，设直线 AP，AQ 的斜率分别为 k1，k2，则 1k12+12k22 的最小值为
A. 2B. 22C. 32D. 42

23. 已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的右焦点为 F，离心率为 22，过点 F 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，若 AB 的中点为 1,1，则直线 l 的斜率 k=
A. 2B. −2C. 12D. −12

24. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的焦距为 2，右顶点为 A，过原点与 x 轴不重合的直线交 C 于 M，N 两点，线段 AM 的中点为 B，若直线 BN 经过 C 的右焦点，则 C 的方程为
A. x24+y23=1B. x26+y25=1C. x29+y28=1D. x236+y232=1

25. 已知抛物线 C:x2=2y 的焦点为 F，过点 F 分别作两条直线 l1，l2，直线 l1 与抛物线 C 交于 A，B 两点，直线 l2 与抛物线 C 交于 M，N 点，若直线 l1 与 l2 的斜率的乘积为 −1，则 ∣AB∣+∣MN∣ 的最小值为
A. 16B. 12C. 8D. 6

二、选择题（共5小题；共25分）
26. 已知抛物线 C:x2=3y 的焦点为 F，过点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，其中点 A 在第一象限，若弦 AB 的长为 4，则
A. 直线 l 的倾斜角为 30∘ 或 150∘B. ∣AF∣−∣BF∣=4
C. ∣AF∣∣BF∣=13或3D. S△AOB=92

27. 已知抛物线 x2=2pyp>0 的焦点为 F，过点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，以线段 AB 为直径的圆交 x 轴于 M，N 两点，设线段 AB 的中点为 Q．若抛物线上存在一点 Et,2 到点 F 的距离等于 3，则下列说法正确的是
A. 抛物线的方程是 x2=2yB. 抛物线的准线是 y=−1
C. sin∠QMN 的最小值是 12D. 线段 AB 的最小值是 6

28. 在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 与两个定点 F1−3,0 和 F23,0 连线的斜率之积等于 13，记点 P 的轨迹为曲线 E，直线 l:y=kx−2 与 E 交于 A，B 两点，则
A. E 的方程为 x23−y2=1
B. E 的离心率为 3
C. E 的渐近线与圆 x−22+y2=1 相切
D. 满足 AB=23 的直线 l 有 2 条

29. 下列说法正确的是
A. 双曲线 y29−x216=1 的渐近线方程是 y=±43x
B. 双曲线 x2−y2=1 的离心率 e=2
C. 双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的焦点 F 到渐近线的距离是 b
D. 直线 l 与双曲线 x24−y22=1 交于 A，B 两点，若 AB 的中点坐标是 12,−1，则直线 l 的方程为 2x+8y+7=0

30. 已知点 F 是抛物线 y2=2pxp>0 的焦点，AB，CD 是经过点 F 的弦且 AB⊥CD，直线 AB 的斜率为 k，且 k>0，C，A 两点在 x 轴上方，则下列结论中一定成立的是
A. 1∣AB∣+1∣CD∣=12p
B. 若 ∣AF∣⋅∣BF∣=43p2，则 k=33
C. OA⋅OB=OC⋅OD
D. 四边形 ACBD 面积的最小值为 16p2
答案
第一部分
1. C【解析】由题意，设 Mx1,y1，Nx2,y2，直线 l:y=kx+2，
由 x24+y2=1,y=kx+2 消去 y，整理得 1+4k2x2+16kx+12=0，
则 x1+x2=−16k1+4k2,x1x2=121+4k2,
Δ=256k2−481+4k2>0，解得 k2>34．
根据椭圆的对称性，可知 M，N 在 y 轴的同一侧，即 x1，x2 同号，
又 △AOM 与 △AON 的面积之比 5:3，
所以 S△AOMS△AON=12AOx112AOx2=x1x2=53，
则 x1=53x2，
代入 x1+x2=−16k1+4k2 可得 83x2=−16k1+4k2，即 x2=−6k1+4k2，
所以 x1=−10k1+4k2，
又 x1x2=121+4k2，
所以 10k1+4k2⋅6k1+4k2=121+4k2，
解得 k2=1，即 k=±1（满足 k2>34）．
故选C．
2. A【解析】设点 M 的坐标为 xM,yM，由抛物线的定义可得 ∣MF∣=xM+1=4，
所以 xM=3，代入 y2=4x，得 yM=±23，
由题意可得 ∣OF∣=1，
所以 △MOF 的面积为 12∣OF∣⋅∣yM∣=12×1×23=3．
3. C【解析】易知抛物线 y2=2pxp>0 的准线方程为 x=−p2，
圆 x2+y2−4y=0 的标准方程为 x2+y−22=4，圆心坐标为 0,2，半径为 2，
易知圆心到抛物线的准线的距离为 p2，
所以 p22+32=22，
解得 p=2．
故选C．
4. B【解析】由题意知，抛物线 y2=4x 的准线方程是 x=−1．
因为过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 Ax1,y1，Bx2,y2 两点，
所以 ∣AB∣=x1+x2+2．
又因为 x1+x2=6，
所以 ∣AB∣=x1+x2+2=8．
故选B．
5. C
【解析】如图．过点 A 作 AH 垂直于准线，垂足为 H，过点 C 作 CG 垂直于 AB，垂足为 G，
根据抛物线的定义 ∣AH∣=∣AF∣，CE∥AB，
因此 ∣DE∣=∣AH∣=∣CG∣=∣AF∣．
由 S△AFC=S△ABC−S△AFB，S△ABC=12∣AB∣⋅∣CG∣=∣AD∣⋅∣CG∣，S△AFB=12∣AB∣⋅∣DF∣=∣AD∣⋅∣DF∣，得
S△AFC=∣AD∣⋅∣CG∣−∣AD∣⋅∣DF∣=∣AD∣⋅∣CG∣−∣DF∣=∣AD∣⋅∣DE−∣DF∣=∣AD∣⋅∣EF∣.
又由 ∣AB∣=455∣AF∣ 可得 ∣DE∣=∣AF∣=5∣DF∣，
所以 ∣EF∣=5−1∣DF∣，∣AD∣=2∣DF∣=2∣EF∣5−1=5+12∣EF∣，
所以 S△AFC=5+12∣EF∣2．
又因为 S△AFC=25+2，
所以 ∣EF∣=2，
因为 ∣EF∣ 正好是焦点到准线的距离，即 p=2．
故选C．
6. B【解析】由直线与抛物线的方程可取 A2,22，B12,−2，
因为 M−1,m，
所以 MA=3,22−m，MB=32,−2−m．且 MA⋅MB=0，
所以 2m2−22m+1=0，解得 m=22．
7. A【解析】由题意可得点 D 的坐标为 p2,2p．
由于 △MFD 为等边三角形，
则有 ∣MF∣=∣MD∣=∣FD∣，
又 ∣PD∣=2p，
所以 1+p2=2p，
解得 p=23．
8. D【解析】设直线 AB 的方程为：x=ty+m，点 Ax1,y1，Bx2,y2，直线 AB 与 x 轴的交点为 Mm,0，x=ty+m 代入 y2=x，可得 y2−ty−m=0，根据韦达定理有 y1⋅y2=−m，
因为 OA⋅OB=6，
所以 x1⋅x2+y1⋅y2=6，从而 y1⋅y22+y1⋅y2−6=0，
因为点 A，点 B 位于 x 轴的两侧，
所以 y1⋅y2=−3，故 m=3．不妨令点 A 在 x 轴上方，则 y1>0，又点 F 坐标为 14,0，
所以 S△ABO+S△AFO=12×3×y1−y2+12×14y1=138y1+92y1≥29×1316=3132，当且仅当 138y1=92y1，即 y1=61313 时，取“=”，
所以 △ABO 与 △AFO 面积之和的最小值是 3132．
9. B【解析】设 A，B 两点的坐标分别为 x1,y1，x2,y2，直线 l 的方程为 y=x+m，
联立 y=x+m,x24+y2=1, 消去 y，得 5x2+8mx+4m2−1=0，
则 x1+x2=−8m5，x1x2=4m2−15，
所以
∣AB∣=x1−x22+y1−y22=2⋅x1+x22−4x1x2=2⋅−8m52−16m2−15=425⋅5−m2.
所以当 m=0 时，∣AB∣ 取得最大值，为 4105．
10. C
【解析】由 y=kx,x22−y26=1 得 12−k26x2=1，
由题知此方程无实数解，
则 12−k26≤0，
解得 k≤−3 或 k≥3．
又 k>0，
所以 k≥3．
11. D【解析】因为切线与直线 2x−y+4=0 平行，
所以可设切线方程为 2x−y+m=0m≠4，
联立方程得 2x−y+m=0,y=x2,
消去 y 得 x2−2x−m=0，
所以 Δ=4+4m=0，
解得 m=−1，
所以切线方程为 2x−y−1=0，
故选D．
12. C【解析】依题意知 P−1,0，F1,0，设 Ax1,y1，Bx2,y2，由 ∣FB∣=2∣FA∣，得 x2+1=2x1+1，即 x2=2x1+1, ⋯⋯①
因为 P−1,0，所以直线 AB 的方程为 y=kx+k，与 y2=4x 联立，得 k2x2+2k2−4x+k2=0，则 Δ=2k2−42−4k4>0，x1x2=1, ⋯⋯②
解得 k2<1，由①②可得 x1=12（x=−1 舍去），则 A12,2，
所以 k=2−012−−1=223，所以 x1+x2=52，
∣AB∣=x1−x22+y1−y22=1+k2x1+x22−4x1x2=1+2232×522−4=172.
13. C【解析】抛物线 y2=4x 的焦点 F1,0，设 Ax1,y1，Bx2,y2，A1x1,−y1．
则可得直线 AB 的方程为 y=x−1，
联立方程 y=x−1,y2=4x, 得 x2−6x+1=0，Δ>0．
则有 x1+x2=6，x1x2=1，
直线 A1B 的斜率 k=y2−−y1x2−x1=y2+y1x2−x1=x1+x2−2x1+x22−4x1x2=22，
故直线 A1B 的斜率为 22．
14. A【解析】若直线的斜率不存在，
则直线方程为 x=1，代入抛物线方程和圆的方程，
可直接得到 A，B，C，D 四个点的坐标分别为 1,2，1,1，1,−1，1,−2，
所以 ∣AB∣=1，∣CD∣=1，从而 ∣AB∣⋅∣CD∣=1．
若直线的斜率存在，
设为 k，因为直线过抛物线的焦点 1,0，
所以直线方程为 y=kx−1．
不妨设 Ax1,y1，Dx2,y2，
过点 A，D 分别作抛物线准线的垂线，
由抛物线的定义得，∣AF∣=x1+1，∣DF∣=x2+1．
把直线方程与抛物线方程联立，消去 y 可得 k2x2−2k2+4x+k2=0，
由一元二次方程根与系数的关系得 x1x2=1．
而抛物线的焦点 F 同时是已知圆的圆心，
所以 ∣BF∣=∣CF∣=1．
从而有 ∣AB∣=∣AF∣−∣BF∣=x1，∣CD∣=∣DF∣−∣CF∣=x2，
所以 ∣AB∣⋅∣CD∣=x1x2=1．
15. B
【解析】由题知抛物线的准线方程为 x=−1．
设点 P 到准线的距离为 ∣PQ∣，则 ∣PQ∣=∣PF∣，.
所以 ∣PF∣∣PA∣=∣PQ∣∣PA∣=sin∠PAQ．
所以当 PA 与抛物线 y2=4x 相切时，∠PAQ 最小，即 ∣PF∣∣PA∣ 取得最小值．
设过点 A 且与抛物线相切的直线方程为 y=kx+kk≠0，代入抛物线方程得 k2x2+2k2−4x+k2=0，
所以 Δ=2k2−42−4k4=0，解得 k=±1．
故 x2−2x+1=0，解得 x=1．把 x=1 代入 y2=4x 得 y=±2．
所以 P1,2 或 P1,−2，
所以 ∣PF∣=2．
故选B．
16. C【解析】易得双曲线 x2−y22=1 的渐近线方程为 y=±2x，不妨取 y=2x，
由题意可知直线 y=2x 与抛物线交于点 A2,a，则将点 A 的坐标代入此直线方程中，可得 A2,22，
将点 A 的坐标代入抛物线方程可得 222=4p，则 p=2，
所以抛物线 M:y2=4x，焦点坐标为 1,0，
直线 AB 过抛物线 M 的焦点，则由点 A 和焦点坐标可得直线 AB 的方程为 y=22x−1，
联立 y=22x−1,y2=4x,
化简可得 2x2−5x+2=0，
则 xA+xB=52，
所以 ∣AB∣=xA+xB+p=4.5．
17. C【解析】易知过点 0,1，且斜率不存在的直线为 x=0，
满足与抛物线 y2=4x 只有一个公共点．
当斜率存在时，设直线方程为 y=kx+1，与 y2=4x 联立得 k2x2+2k−4x+1=0，
当 k=0 时，方程有一个解，此时直线与抛物线只有一个公共点；
当 k≠0 时，令 Δ=2k−42−4k2=0，解得 k=1，
此时直线与抛物线只有一个公共点．
所以满足题意的直线有 3 条．
18. C【解析】抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F1,0 和准线 l：x=−1，作图如下：
由 FA=−2FB，可得 ∣FA∣:∣AB∣=2:3，过 B 作 BC⊥l 于 C，设 l 与 x 轴交于 D，则 ∣FD∣:∣BC∣=2:3，
结合图形可发现三角形 ADF 与三角形 ACB 相似，则有对应线段成比例．
因为 ∣FD∣=2，
所以 ∣BC∣=3，∣FB∣=3，∣AB∣=3∣FB∣=9．
19. C【解析】若 l⊥x 轴，则 AB 为通径，而通径长度 2b2a 正好是 4，
故直线 l 交双曲线于同支上的 A，B 两点且 ∣AB∣=4，
这样的直线只有一条．
若 l 经过顶点，此时 ∣AB∣=2，
故直线 l 交双曲线于异支上的 A，B 两点且 ∣AB∣=4，
这样的直线有且只有两条．
故满足 ∣AB∣=4 的直线 l 有 3 条．
故选C．
20. A
【解析】由 y=x−3,y2=4x 得 x2−10x+9=0，解得 x=1,y=−2, 或 x=9,y=6, 不妨设 A9,6，B1,−2，则 AP=10，BQ=2，PQ=8，故梯形 APQB 的面积 S=12AP+BQ×PQ=12×10+2×8=48．
21. B【解析】设直线 l1:x−y+n=0，由方程组 x24+y2=1,x−y+n=0.
整理得 5x2+8nx+4n2−4=0，
令 Δ=64n2−204n2−4=0，解得 n=±5，
若 m=35，则直线 l 与 l1 之间的最小距离 d=35−52=10，即点 P 到直线 l 的距离的最小值是 10．
当点 P 到直线 l 的距离的最小值是 10，即直线 l 与 l1 之间的最小距离 d=10 时，m=35 或 m=−35．
故选B．
22. D【解析】联立 x24+y2=1,y=kx,
整理，得 1+4k2x2−4=0，
设 Px1,y1，Qx2,y2，
则 x1+x2=0，x1x2=−41+4k2．
易知 A−2,0，
所以 k1=y1x1+2，
k2=y2x2+2，
所以 k1k2=y1x1+2⋅y2x2+2=k2x1x2x1x2+2x1+x2+4=k2×−41+4k2−41+4k2+2×0+4=−14，
因此 1k12+12k22≥21k12⋅12k22=212×116=42（当且仅当 k12=2k22 时，等号成立），
即 1k12+12k22 的最小值为 42．
23. D【解析】因为 ca=22，
所以 4c2=2a2，
所以 4a2−b2=2a2，
所以 a2=2b2．
设 Ax1,y1，Bx2,y2，且 x1+x2=2，y1+y2=2，易得
b2x12+a2y12=a2b2, ⋯⋯①b2x22+a2y22=a2b2, ⋯⋯②
① − ②得 b2x1+x2x1−x2+a2y1+y2y1−y2=0，
所以 2b2x1−x2+2a2y1−y2=0，
所以 2b2+4b2y1−y2x1−x2=0，
所以 1+2k=0，
所以 k=−12．
24. C【解析】由题可知 c=1，Aa,0，
设点 Mx0,y0，N−x0,−y0，y0≠0，
则 Bx0+a2,y02．
因为右焦点为 F1,0，且直线 BN 经过点 F，
所以 BF∥NF，
又 BF=1−x0+a2,−y02，NF=1+x0,y0，
所以 1−x0+a2⋅y0=1+x0⋅−y02，
解得 a=3，所以 b2=8，
所以椭圆 C 的方程为 x29+y28=1．
25. C
【解析】易得 F0,12，由题意设直线 l1 的方程为 y=kx+12，
将其与抛物线方程联立，得 x2−2kx−1=0，
设 Ax1,y1，Bx2,y2，Mx3,y3，Nx4,y4，
所以 x1+x2=2k，x1⋅x2=−1，
∣AB∣=y1+y2+p=12x12+x22+p=12×x1+x22−2x1⋅x2+p=2k2+2,
因为直线 l1 与 l2 的斜率的乘积为 −1，
所以直线 l2 的斜率为 −1k，
所以 ∣MN∣=2k2+2，
所以 ∣AB∣+∣MN∣=2k2+2k2+4≥8，
当且仅当 2k2=2k2，即 k=±1 时取等号，故选C．
第二部分
26. A， C
【解析】由题意知 F0,34，故可设直线 l 的方程为 y=kx+34k≠0，Ax1,y1，Bx2,y2，联立 x2=3y,y=kx+34, 消去 y，整理得 4x2−12kx−9=0，
所以 x1+x2=3k,x1x2=−94.
所以
∣AB∣=1+k2x1−x2=1+k2⋅x1+x22−4x1x2=31+k2=4.
所以 k=±33，
所以直线 l 的倾斜角为 30∘ 或 150∘．
设 ∣AF∣∣BF∣=λ，则当直线 l 的倾斜角为 30∘ 时，
∣AF∣+∣BF∣=λ+1∣BF∣=4，∣AF∣−∣BF∣=λ−1∣BF∣=2，
所以 λ+1∣BF∣λ−1∣BF∣=42=2，
所以 λ+1λ−1=2，
所以 λ=3，即 ∣AF∣∣BF∣=3；
同理可得当直线 l 的倾斜角为 150∘ 时，
λ=13⋅S△AOB=12×∣OF∣×x1−x2=12×34×x1+x22−4x1x2=12×34×3−4×−94=334.
27. B， C
【解析】易知抛物线 x2=2pyp>0 的焦点为 F0,p2，抛物线的准线方程为 y=−p2，
由抛物线的定义，可得 2+p2=3，解得 p=2，
则抛物线的方程为 x2=4y，准线方程为 y=−1，故A错误，B 正确．
由题意知直线 l 的斜率存在，F0,1，设 Ax1,y1，Bx2,y2，直线 l 的方程为 y=kx+1，由 y=kx+1,x2=4y, 消去 y 得 x2−4kx−4=0，
所以 x1+x2=4k，x1x2=−4，
所以 y1+y2=kx1+x2+2=4k2+2，
所以 AB 的中点 Q 的坐标为 2k,2k2+1，∣AB∣=y1+y2+p=4k2+2+2=4k2+4，故线段 AB 的最小值是 4，故D错误．
易知圆 Q 的半径 r=2k2+2，在等腰 △QMN 中，sin∠QMN=∣yQ∣r=2k2+12k2+2=1−12k2+2≥1−12=12，当且仅当 k=0 时取等号，
所以 sin∠QMN 的最小值是 12，故C正确，故选BC．
28. C， D
【解析】令 Px,y，由题意得 yx+3⋅yx−3=13，
即得 x23−y2=1，x≠±3，所以A错误．
易知 a=3，c=2，所以 e=233，故B错误．
E 的渐近线方程为 y=±33x，x−22+y2=1 的圆心为 2,0，半径为 1，
所以点 2,0 到直线 y=±33x 的距离 d=2331+13=1，
故 E 的渐近线与圆 x−22+y2=1 相切，故C正确．
联立曲线 E 与直线 l 的方程，
整理得 1−3k2x2+12k2x−34k2+1=0，Δ=121+k2>0，
设 Ax1,y1，Bx2,y2，
则 x1+x2=12k23k2−1，x1x2=34k2+13k2−1，
而 AB=1+k2x1−x2=23，
代入整理得 AB=231+k23k2−1=23，
解得 k2=1 或 k2=0（k2=0 时，y=0，但直线 y=0 与曲线 E:x23−y2=1，x≠±3 无交点，舍去），
故 k=±1，所以D正确．
29. B， C， D
【解析】因为双曲线 y29−x216=1，所以 a=3，b=4，焦点在 y 轴上，所以渐近线方程是 y=±34x，故A错误；
因为双曲线 x2−y2=1，所以 a=1，b=1，所以离心率 e=2，故B正确；
因为双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0，所以焦点坐标为 −c,0，c,0，渐近线方程为 ±bx−ay=0，所以焦点到渐近线的距离为 d=∣bc∣a2+b2=b，故C正确；
设 Ax1,y1，Bx2,y2，则 x124−y122=1，x224−y222=1，两式相减得 y12−y222=x12−x224，因为 AB 的中点坐标是 12,−1，所以直线 l 的斜率 k=y1−y2x1−x2=x1+x22y1+y2=−14，所以直线 l 的方程为 2x+8y+7=0，故D正确．
故选BCD．
30. A， C
【解析】因为直线 AB 的斜率为 k，AB⊥CD，
所以 kCD=−1k．
设 Ax1,y1，Bx2,y2，
由抛物线的定义可得焦点为 Fp2,0，
则直线 AB 的方程为 y=kx−p2，
由 y=kx−p2,y2=2px 可得 k2x2−pk2+2x+14k2p2=0，
则 x1+x2=pk2+2k2,x1x2=14p2,
所以 ∣AB∣=x1+x2+p=pk2+2k2+p=2pk2+1k2，
同理可得 ∣CD∣=2p1k2+11k2=2p1+k2，
则有 1∣AB∣+1∣CD∣=12p，故A正确；
若 ∣AF∣⋅∣BF∣=43p2，则 x1+p2x2+p2=x1x2+p2x1+x2+14p2=43p2，则 12p2+p2k2+22k2=p2+p2k2=43p2，解得 k=3，故B错误；
OA⋅OB=x1x2+y1y2=14p2+k2x1−p2x2−p2=14p2+k2x1x2−p2x1+x2+14p2=14p2+12k2p2−p2k2+22=−34p2,
与 k 无关，同理 OC⋅OD=−34p2，故 OA⋅OB=OC⋅OD，故C正确；
因为 AB⊥CD，
所以四边形 ACBD 的面积
S=12∣AB∣⋅∣CD∣=12⋅2pk2+1k2⋅2p1+k2=2p2k2+12k2=2p2k2+1k2+2≥8p2,
当且仅当 k2=1k2，即 k=1 时，等号成立，故D错误．
故选AC．