【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：直线与椭圆的位置关系

这是一份【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：直线与椭圆的位置关系，共10页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共28小题；共140分）
1. 椭圆 C:x24+y2=1，过 A0,2 作直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，O 为坐标原点，若 △AOM 与 △AON 的面积之比为 5:3，则直线 l 的斜率为
A. 1B. 12C. ±1D. ±2

2. 直线 y=a 与椭圆 x23+y24=1 恒有两个不同的交点，则实数 a 的取值范围是
A. −3,3B. −3,3C. −2,2D. −4,4

3. 直线 y=kx−k+1（k 为实数）与椭圆 x29+y24=1 的位置关系为
A. 相交B. 相切
C. 相离D. 相交、相切、相离都有可能

4. 若直线 mx+ny=4 和圆 x2+y2=4 没有交点，则过点 m,n 的直线与椭圆 x29+y24=1 的交点的个数为
A. 0 或 1B. 2C. 1D. 0

5. 已知 F1，F2 为椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点．过原点 O 且倾斜角为 30∘ 的直线 l 与椭圆 C 的一个交点为 A，若 AF1⊥AF2 且 S△AF1F2=2，则椭圆 C 的方程为
A. x26+y22=1B. x28+y24=1C. x28+y22=1D. x220+y216=1

6. 直线 y=kx−k+1 与椭圆 x225+y26=1 的位置关系为
A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定

7. 直线 y=kx+1 与椭圆 x25+y2m=1 恒有公共点，则 m 的取值范围是
A. m≥1 且 m≠5B. m≥1
C. m≠5D. m≤5

8. 不论 k 为何值，直线 y=kx+b 与椭圆 x29+y24=1 总有公共点，则 b 的取值范围是
A. −2,2B. −∞,−2∪2,+∞
C. 2,+∞D. −∞,−2

9. 已知直线 y=kx−k−1 与曲线 C：x2+2y2=mm>0 恒有公共点，则 m 的取值范围是
A. 3,+∞B. −∞,3C. 3,+∞D. −∞,3

10. 椭圆 ax2+by2=1a>0,b>0 与直线 y=1−x 交于 A，B 两点，过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为 32，则 ba 的值为
A. 32B. 233C. 932D. 2327

11. 直线 y=x+2 与椭圆 x2m+y23=1 有两个公共点，则 m 的取值范围是
A. 1,+∞B. 1,3∪3,+∞
C. 3,+∞D. 0,3∪3,+∞

12. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 及点 B0,a，过点 B 与椭圆相切的直线交 x 轴的负半轴于点 A，F 为椭圆的右焦点，则 ∠ABF 等于
A. 60∘B. 90∘C. 120∘D. 150∘

13. 直线 l:y−kx−1=0 与椭圆 x25+y2m=1 恒有公共点，则 m 的取值范围是
A. 0,1B. 0,5
C. 1,5∪5,+∞D. 1,+∞

14. 已知椭圆的方程为 x2a2+y2b2=1a>b>0，斜率为 −13 的直线 l 与椭圆交于 A，B 两点，且线段 AB 的中点为 M1,2，则该椭圆的离心率为
A. 13B. 25C. 33D. 12

15. 已知椭圆 C:x24+y2=1 上两点 A，B，若 AB 的中点为 D，直线 OD（O 为坐标原点）的斜率等于 1，则直线 AB 的斜率等于
A. −1B. 1C. −12D. −14

16. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 及点 B0,a，过 B 与椭圆相切的直线交 x 轴的负半轴于点 A，F 为椭圆的右焦点，则 ∠ABF=
A. 60∘B. 90∘C. 120∘D. 150∘

17. 已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为 F1，F2，左、右顶点分别为 M，N，过 F2 的直线 l 交 C 于 A，B 两点（异于 M，N），△AF1B 的周长为 43，且直线 AM 与 AN 的斜率之积为 −23，则 C 的方程为
A. x212+y28=1B. x212+y24=1C. x23+y22=1D. x23+y2=1

18. 已知椭圆 C 的焦点为 F1−1,0，F21,0，过点 F2 的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点．若 AF2=2F2B，AB=BF1，则 C 的方程为
A. x22+y2=1B. x23+y22=1C. x24+y23=1D. x25+y24=1

19. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 上存在 A，B 两点恰好关于直线 l:x−y−1=0 对称，且直线 AB 与直线 l 的交点的横坐标为 2，则椭圆 C 的离心率为
A. 13B. 33C. 22D. 12

20. 设斜率为 22 的直线 l 与椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 交于不同的两点，且这两个交点在 x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为
A. 33B. 12C. 22D. 13

21. 已知以 F1−3,0，F23,0 为焦点的椭圆与直线 x−y+9=0 有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为
A. 35B. 26C. 65D. 46

22. 过椭圆 x216+y24=1 内一点 P3,1，且被这点平分的弦所在直线的方程是
A. 3x+4y−13=0B. 4x+3y−13=0C. 3x−4y+5=0D. 3x+4y+5=0

23. 直线 l 与 4x2+9y2=36 交于 A，B 两点，AB 的中点坐标为 1,1，那么直线 l 的方程为
A. 4x−9y+36=0B. 4x+9y+36=0
C. 4x−9y−13=0D. 4x+9y−13=0

24. 若直线 y=x−1 与椭圆 x2+3y2=a 有且只有一个公共点，那么 a 的值为
A. 12B. 23C. 34D. 1

25. 已知直线 l 过点 3,−1，且椭圆 C：x225+y236=1，则直线 l 与椭圆 C 的公共点的个数为
A. 1B. 1 或 2C. 2D. 0

26. 过椭圆 x216+y24=1 内一点 P3,1，且被这点平分的弦所在直线的方程是
A. 3x+4y−13=0B. 4x+3y−13=0C. 3x−4y+5=0D. 3x+4y+5=0

27. 直线 y=kx−k+1 与椭圆 x225+y216=1 的位置关系为
A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定

28. 如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线 AC，BD，设内层椭圆方程为 x2a2+y2b2=1a>b>0，若直线 AC 与 BD 的斜率之积为 −14，则椭圆的离心率为
A. 12B. 22C. 32D. 34

二、选择题（共2小题；共10分）
29. 已知椭圆 C:x24+y28=1 内一点 M1,2，直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，且 M 为线段 AB 的中点，则下列结论正确的是
A. 椭圆 C 的焦点坐标为 2,0，−2,0
B. 椭圆 C 的长轴长为 22
C. 直线 l 的方程为 x+y−3=0
D. AB=433

30. 与直线 x+y−2=0 仅有一个公共点的曲线是
A. x2+y2=1B. x22+y2=1C. x2−y2=1D. y2=x
答案
第一部分
1. C【解析】由题意，设 Mx1,y1，Nx2,y2，直线 l:y=kx+2，
由 x24+y2=1,y=kx+2 消去 y，整理得 1+4k2x2+16kx+12=0，
则 x1+x2=−16k1+4k2,x1x2=121+4k2,
Δ=256k2−481+4k2>0，解得 k2>34．
根据椭圆的对称性，可知 M，N 在 y 轴的同一侧，即 x1，x2 同号，
又 △AOM 与 △AON 的面积之比 5:3，
所以 S△AOMS△AON=12AOx112AOx2=x1x2=53，
则 x1=53x2，
代入 x1+x2=−16k1+4k2 可得 83x2=−16k1+4k2，即 x2=−6k1+4k2，
所以 x1=−10k1+4k2，
又 x1x2=121+4k2，
所以 10k1+4k2⋅6k1+4k2=121+4k2，
解得 k2=1，即 k=±1（满足 k2>34）．
故选C．
2. C
3. A【解析】直线 y=kx−k+1=kx−1+1 恒过定点 1,1．
因为点 1,1 在椭圆内部，所以直线与椭圆相交．
4. B【解析】因为直线 mx+ny=4 和圆 x2+y2=4 没有交点，
所以 4m2+n2>2，
所以 m2+n2<4，而 m29+n24≤m24+n24<1，
因此点 m,n 在椭圆内部，从而过点 m,n 的直线与椭圆 x29+y24=1 必有两个交点．
5. A
【解析】由题意可知 ∣OA∣=c，不妨设点 A 在第一象限，如图，设 Ax0,y0，
则 x0=c⋅cs30∘=32c，y0=c⋅sin30∘=12c，即 A32c,12c，代入椭圆的方程可得 3c24a2+c24b2=1 ⋯⋯①，
由 S△AF1F2=2，得 S△AF1F2=12×2c×12c=12c2=2，即 c2=4，又 c2=a2−b2，结合①，可得 a2=6，b2=2，故椭圆的方程为 x26+y22=1．
6. A
7. A
8. A
9. A【解析】因为直线方程为 y=kx−k−1，所以直线恒过定点 1,−1．因为曲线 C 的方程为 x2+2y2=mm>0 ，所以曲线 C 表示椭圆．因为直线 y=kx−k−1 与曲线 C：x2+2y2=mm>0 恒有公共点，所以点 1,−1 在椭圆内或椭圆上，即 12+2×−12≤m，所以 m≥3．
10. B
【解析】解法一：将 ax2+by2=1 与 y=1−x 联立可得 a+bx2−2bx+b−1=0，
设 Ax1,y1，Bx2,y2，则 x1+x2=2ba+b，
所以 AB 的中点坐标为 ba+b,aa+b，
所以 ba=233．
解法二：设 Ax1,y1，Bx2,y2，
则 ax12+by12=1，ax22+by22=1，
则 ax12−ax22=−by12−by22，
则 by12−by22ax12−ax22=−1，by1−y2y1+y2ax1−x2x1+x2=−1，
所以 ba×−1×32=−1，
所以 ba=233．
11. B【解析】把 y=x+2 代入 x2m+y23=1，
得 3+mx2+4mx+m=0．
由 Δ=16m2−4m3+m>0，得 m<0 或 m>1．
因为 m>0 且 m≠3，
所以 m 的取值范围为 1,3∪3,+∞．
12. B【解析】由题意知，切线的斜率存在，设切线方程为 y=kx+ak>0，
与椭圆方程联立得 y=kx+a,x2a2+y2b2=1,
消去 y，整理得 b2+a2k2x2+2a3kx+a4−a2b2=0，
由 Δ=4a6k2−4b2+a2k2⋅a4−a2b2=0，
得 k=ca，从而 y=cax+a．
因为直线交 x 轴的负半轴于点 A，
所以 A−a2c,0．
又 Fc,0，所以 BA=−a2c,−a，BF=c,−a，
则 BA⋅BF=0，
故 ∠ABF=90∘．
13. C【解析】因为直线 l:y−kx−1=0 与椭圆 x25+y2m=1 恒有公共点，
且直线 l:y−kx−1=0 恒过点 0,1，
所以点 0,1 在椭圆上或在椭圆内即可，
所以 m>0,m≠5,05+1m≤1, 解得 m≥1 且 m≠5，
所以 m 的取值范围是 1,5∪5,+∞．
14. C【解析】设 Ax1,y1，Bx2,y2，
则 x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1
两式作差得
x1−x2x1+x2a2+y1−y2y1+y2b2=0，
又 kAB=y1−y2x1−x2=−13，
线段 AB 的中点为 M1,2，
所以 x1+x2=2，y1+y2=4，
所以 2x1−x2a2+4y1−y2b2=0，
即 b2a2=−2y1−y2x1−x2=23，
所以该椭圆的离心率 e=ca=1−b2a2=33．
故选C．
15. D
【解析】设 Ax1,y1，Bx2,y2，Dx0,y0，
则 x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，
由题意得 x124+y12=1, ⋯⋯①x224+y22=1, ⋯⋯②
①减②得 x12−x224+y12−y22=0，
整理得 y1−y2x1−x2=−14⋅x1+x2y1+y2=−14⋅x0y0，
即 kAB=−14⋅1kOD=−14．
16. B【解析】由题意知，切线的斜率存在，设切线方程为 y=kx+ak>0，
与椭圆方程联立 y=kx+a,x2a2+y2b2=1,
得 b2x2+a2kx+a2−a2b2=0，
即 b2+a2k2x2+2a3kx+a4−a2b2=0，
由 Δ=4a6k2−4b2+a2k2a4−a2b2=0，得 k=ca，
从而 y=cax+a 交 x 轴于 A−a2c,0，又 Fc,0，易知 BA⋅BF=0，
故 ∠ABF=90∘．
优解 由椭圆的性质可知，过 B 且与椭圆相切的、斜率为正的直线方程为 y=ex+a，即切线的斜率为 e，
所以 tan∠BAF=ca=e，
又 tan∠OBF=ca=e，则 ∠BAF=∠OBF，
因而 ∠ABF=90∘．
17. C
18. B【解析】因为 AF2=2BF2，所以 AB=3BF2，
又 AB=BF1，所以 BF1=3BF2，
又 BF1+BF2=2a，所以 BF2=a2，
所以 AF2=a，BF1=32a，
因为 AF1+AF2=2a，所以 AF1=a，
所以 AF1=AF2，所以 A 在 y 轴上．
在 Rt△AF2O 中，cs∠AF2O=1a，
在 △BF1F2 中，由余弦定理可得 cs∠BF2F1=4+a22−32a22×2×a2，
根据 cs∠AF2O+cs∠BF2F1=0，可得 1a+4−2a22a=0，
解得 a2=3，所以 a=3，b2=a2−c2=3−1=2．
所以椭圆 C 的方程为：x23+y22=1．
19. C
20. C
【解析】由于直线与椭圆的两交点 A，B 在 x 轴上的射影分别为左、右焦点 F1，F2，故 ∣AF1∣=∣BF2∣=b2a，设直线与 x 轴交于 C 点，又直线倾斜角 θ 的正切值为 22，结合图形易得 tanθ=22=∣AF1∣∣CF1∣=∣BF2∣∣CF2∣，故 ∣CF1∣+∣CF2∣=22b2a=∣F1F2∣=2c，整理并化简得 2b2=2a2−c2=ac，即 21−e2=e，解得 e=22 .
21. C
22. A
23. D
24. C
25. C
【解析】因为直线过定点 3,−1 且 3225+−1236<1，所以点 3,−1 在椭圆的内部，故直线 l 与椭圆有 2 个公共点．
26. A【解析】设直线与椭圆交于 Ax1,y1，Bx2,y2 两点，由于 A，B 两点均在椭圆上，故 x1216+y124=1，x2216+y224=1，两式相减得 x1+x2x1−x216+y1+y2y1−y24=0．又因为 P 是 A，B 的中点，所以 x1+x2=6，y1+y2=2，所以 kAB=y1−y2x1−x2=−34．
27. A
28. C【解析】因为内外两个椭圆的离心率相同，不妨设 B 点坐标为 0,tb，A 点坐标为 ta,0，设直线 BD 斜率为 k1，AC 斜率为 k2，则 BD 的方程为 y=k1x+tb，AC 的方程为 y=k2x−k2ta．由 BD 、 AC 与椭圆相切易得
k12a2+b2=t2b2 ⋯⋯①
k22a2+b2=k22t2a2 ⋯⋯②
由①得 k12=t2−1b2a2 ⋯⋯③
由②得 k22=b2a2t2−1 ⋯⋯④
又因为 k1k2=−14，所以 a=2b，从而椭圆的离心率为 32．
第二部分
29. C， D
【解析】由椭圆方程 x24+y28=1 可得椭圆焦点在 y 轴上，且 a=22，b=2，c=2，
所以椭圆 C 的焦点坐标为 0,2，0,−2，故A错误；
椭圆 C 的长轴长为 2a=42，故B错误；
易知直线 l 的斜率存在，设斜率为 k，Ax1,y1，Bx2,y2，
则 x124+y128=1,x224+y228=1, 两式相减得 x1−x2x1+x24+y1−y2y1+y28=0，
所以 2x1−x24+4y1−y28=0，解得 k=y1−y2x1−x2=−1，
则直线 l 的方程为 y−2=−x−1，即 x+y−3=0，故C正确；
联立 x+y−3=0,x24+y28=1, 整理得 3x2−6x+1=0，
所以 x1+x2=2，x1x2=13，
所以 AB=1+−12×22−4×13=433，故D正确．
30. A， C
【解析】A．圆心 0,0 到直线 x+y−2=0 的距离 d=∣−2∣1+1=1=r，所以直线和圆相切，所以仅有一个公共点，符合题意；
B．联立 x+y−2=0,x22+y2=1, 消去 y，可得 3x2−42x+2=0，所以 Δ=32−24=8>0，所以直线与椭圆有两个交点，不符合题意；
C．因为 x2−y2=1 的渐近线方程为 y=±x，所以直线 x+y−2=0 平行于渐近线且不与渐近线重合，所以直线 x+y−2=0 与双曲线仅有一个公共点，符合题意；
D．联立 x+y−2=0,y2=x, 消去 x，可得 y2+y−2=0，所以 Δ=1+42>0，所以直线与抛物线有两个交点，不符合题意．