【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：组合

这是一份【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：组合，共7页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共26小题；共130分）
1. 组合数 Cnrn>r≥1,n,r∈Z 恒等于
A. r+1n+1Cn−1r−1B. n+1r+1Cn−1r−1
C. nrCn−1r−1D. nrCn−1r−1

2. 有 5 所不同的高校来某校进行招生宣传，学校要求每位同学可以从中任选 1 所或 2 所去咨询了解；甲、乙、丙三位同学的选择没有 1 所是相同的，则不同的选法共有
A. 330 种B. 420 种C. 510 种D. 600 种

3. 关于排列组合数，下列结论错误的是
A. Cnm=Cnn−mB. Cn+1m=Cnm−1+Cnm
C. Anm=mAn−1m−1D. Anm+mAnm−1=An+1m

4. 将 3 本相同的语文书和 2 本相同的数学书分给四名同学，每人至少 1 本，不同的分配方法数为
A. 24B. 28C. 32D. 36

5. 某科研单位准备把 7 名大学生分配到编号为 1，2，3 的三个实验室中实习，若要求每个实验室分配到的大学生人数不小于该实验室的编号，则不同的分配方案的种数为
A. 280B. 455C. 355D. 350

6. 若从 1，2，3，⋯，9 这 9 个数中同时取 3 个数，使其和为奇数，则不同的取法共有
A. 30 种B. 33 种C. 37 种D. 40 种

7. 设 A=37+C72⋅35+C74⋅33+C76⋅3，B=C71⋅36+C73⋅34+C75⋅32+1，则 A−B 的值为
A. 128B. 129C. 47D. 0

8. 若 m≠n，则组合数 Cnm 等于
A. Pnmn!B. nmCn−1mC. Cmn−m+1D. nn−mCn−1m

9. 从单词“equatin”中取 5 个不同的字母排成一排，含有“qu"（其中“qu"相连且顺序不变）的不同排法共有
A. 120 种B. 480 种C. 720 种D. 840 种

10. 若 100 件产品中有 6 件次品，现从中任取 3 件产品，至少有 1 件次品的不同取法的种数是
A. C61C942B. C61C992C. C1003−C943D. C1003−C942

11. 下面几个问题中属于组合问题的是
①由 1，2，3，4 构成的双元素集合；
② 5 个队进行单循环足球比赛的分组情况；
③由 1，2，3 构成两位数的方法；
④由 1，2，3 组合无重复数字的两位数的方法．
A. ①③B. ②④C. ①②D. ①②④

12. 若集合 M=xC7x≤21，则组成集合 M 的元素共有
A. 1 个B. 3 个C. 6 个D. 7 个

13. 有甲、乙、丙三项任务，甲需 2 人承担，乙、丙各需 1 人承担，从 10 人中选派 4 人承担这三项任务，不同的选法有
A. 1260 种B. 2025 种C. 2520 种D. 5040 种

14. 知直线 l1∥l2，l1 上有 4 个点，l2 上有 6 个点，以这些点为端点连接成线段，这些线段在 l1 与 l2 之间的交点数为
A. 24B. 45C. 80D. 90

15. 在 x2+3x+25 的展开式中，x 的系数为
A. 160B. 240C. 360D. 800

16. 同室 4 人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡的分配方式有
A. 6 种B. 9 种C. 11 种D. 23 种

17. 从装有 3 个红球 2 个白球的袋中任取 3 个球，则所取 3 个球中至少有 1 个白球的概率是
A. 110B. 310C. 35D. 910

18. 在某种信息传输过程中，用 4 个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有 0 和 1，则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为
A. 10B. 11C. 12D. 15

19. 已知一组曲线 y=13ax3+bx+1，其中 a 为 2，4，6，8 中的任意一个，b 为 1，3，5，7 中的任意一个．现从这些曲线中任取两条，它们在 x=1 处的切线相互平行的组数为
A. 9B. 10C. 12D. 14

20. 有 0，1，2，3，4，5 这 6 个数字，每次从中取 3 个不同的数字，把其中最大的数字放在百位上排成三位数．这样的三位数有
A. 40 个B. 120 个C. 360 个D. 720 个

21. 一个盒子里装有相同大小的红球、白球共 30 个，其中白球 4 个．从中任取两个，则概率为 C261C41+C260C42C302 的事件是
A. 没有白球B. 至少有一个白球
C. 至少有一个红球D. 至多有一个白球

22. 从正方体的 8 个顶点中任取 3 个为顶点作三角形，其中直角三角形的个数是
A. 56B. 52C. 48D. 40

23. 口袋里装有大小相同的黑、白两色的手套，黑色手套 15 只，白色手套 10 只．现从中随机地取出两只手套，若两只是同色手套则甲获胜，两只手套颜色不同则乙获胜．试问：甲、乙获胜的机会是
A. 一样多B. 甲多C. 乙多D. 不确定的

24. 某学校开设“蓝天工程博览课”，组织 6 个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的 6 个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观．则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有
A. A62×A54 种B. A62×54 种C. C62×A54 种D. C62×54 种

25. 空间两个平面，其中一个平面内有 5 个点，另一个平面内有 4 个点，则在任意 2 点连成的直线，异面直线最多有
A. 360 对B. 120 对C. 240 对D. 220 对

26. 为参加校园文化节，某班推荐 2 名男生 3 名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分别为：乐器 1 人，舞蹈 2 人，演唱 2 人，每人只参加一个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加，則不同的推荐方案的种数为
A. 12B. 36C. 24D. 48

二、选择题（共4小题；共20分）
27. （多选）给出下列问题，其中是组合问题的是
A. 由 1，2，3，4 构成的含有两个元素的集合
B. 五个队进行单循环比赛的分组情况
C. 将 4 张不同的购物券分给 5 人中的 4 人
D. 由 1，2，3 组成无重复数字的两位数

28. 满足方程 C16x2−x=C165x−5 的 x 的值可能为
A. 1B. 3C. 5D. −7

29. 下面结论正确的是
A. 所有元素完全相同的两个排列为相同排列
B. 一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序
C. 两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同
D. 排列定义规定给出的 n 个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况．也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了

30. 有 13 名医生，其中女医生 6 人，现从中抽调 5 名医生组成医疗小组前往湖北疫区.若医疗小组至少有 2 名男医生，同时至多有 3 名女医生，设不同的选派方法种数为 N，则下列能表示 N 的算式是
A. C135−C71C64B. C72C63+C73C62+C74C61+C75
C. C135−C71C64−C65D. C72C113
答案
第一部分
1. D
2. A【解析】（1）甲 1，乙 1，丙 1，则方法数为 A53=60；
（2）甲 2，乙 1，丙 1 或甲 1，乙 2，丙 1 或甲 1，乙 1，丙 2，则方法数为 3×C52C31C21=180；
（3）甲 2，乙 2，丙 1 或甲 1，乙 2，丙 2 或甲 2，乙 1，丙 2，则方法数为 3×C52C32=90，
故总的方法数为 60+180+90=330，故选A．
3. C【解析】根据组合数的性质或组合数的计算公式 Cnm=n!n−m!m!，可知A，B 选项正确；
Anm=n!n−m!，而 mAn−1m−1=mn−1!n−m!，故C选项错误；
Anm+mAnm−1=n!n−m!+m⋅n!n−m+1!=n−m+1⋅n!n−m+1!+m⋅n!n−m+1!=n+1!n+1−m!=An+1m,
故D选项正确．
4. B【解析】第一类，先选 1 人得到两本语文书，剩下的 3 人各得一本，有 C41C31=12 种；
第二类，先选 1 人得到一本语文书和一本数学书，剩下的 3 人各得一本，有 C41C31=12 种；
第三类，先选 1 人得到两本数学书，剩下的 3 人各得一本，有 C41=4 种，根据分类加法计数原理可得共有 12+12+4=28 种方法，
故选B．
5. B
【解析】每个实验室人数分配有三种情况，即 1，2，4；1，3，3；2，2，3．
当实验室的人数分配为 1，2，4 时，分配方案有 C71C62C44=105（种）；
当实验室的人数分配为 1，3，3 时，分配方案有 C71C63C33=140（种）；
当实验室的人数分配为 2，2，3 时，分配方案有 C72C52C33=210（种）．
故不同的分配方案有 455 种．
6. D【解析】从 1，2，3，⋯，9 这 9 个数中取 3 个数，其和为奇数的情况包括：
（1）取出的 3 个数都是奇数，取法有 C53=10（种）；
（2）取出的 3 个数中有 2 个偶数、 1 个奇数，取法有 C42C51=30（种）．
根据分类加法计数原理，知不同的取法共有 10+30=40（种）．
7. A【解析】A−B=37−C71⋅36+C72⋅35−C73⋅34+C74⋅33−C75⋅32+C76⋅3−1=3−17=27=128，故选A．
8. D
9. B【解析】先选后排，从除“qu"外的 6 个字母中任选 3 个字母有 C63 种选法，再将“qu"看成一个整体（相当于一个元素）与选出的 3 个字母进行全排列有 A44 种排法，由分步乘法计数原理得不同排法共有 C63A44=480（种）
10. C
【解析】不考虑限制条件，从 100 件产品中任取 3 件，有 C1003 种取法，然后减去 3 件全是正品的取法 C943，故有 C1003−C943 种取法．
11. C
12. C【解析】因为 C70=1，C71=7，C72=7×62!=21，所以 x=0,1,2,5,6,7．
13. C【解析】第一步，从 10 人中选派 2 人承担任务甲，有 C102 种选派方法；
第二步，从余下的 8 人中选派 1 人承担任务乙，有 C81 种选派方法；
第三步，再从余下的 7 人中选派 1 人承担任务丙，有 C71 种选派方法．
根据分步乘法计数原理知，选法有 C102⋅C81⋅C71=2520 种．
14. D【解析】联想这 10 个点可构成多少个四边形，由分析可知有 C42C62=90 个．每个四边形的两条对角线有一个交点，故交点个数为 90．
15. B
【解析】据多项式的乘法法则，不妨将 x2+3x+25=x2+3x+2x2+3x+2x2+3x+2x2+3x+2x2+3x+2
看作五个相同的口袋，
每个口袋都装有三个不同颜色的球，即 x2 、 3x 、 2, 依次记为黑、白、红球，
于是可得下面的做法：先从五个口袋中的一个口袋取出一个白球（3x），有 C51 种取法，
然后从剩下的四个口袋中各取出一个红球（2），有 C44 种取法，
则得含 x 的项为 C51⋅3x⋅C44⋅2⋅2⋅2⋅2，其系数为 3⋅C51⋅24=240．
16. B【解析】此题可以看成是将数字 1，2，3，4 填入标号为 1，2，3，4 的四个方格里，每格填一个数，
且每个方格的标号与所填不同的填法问题．
所以先将 1 填入 2 至 4 号的 3 个方格里有 C31 种填法；
第二步把被填入方格的对应数字，填入其他 3 个方格，又有 C31 种填法；
第三步将余下的两个数字填入余下的两格中，只有 1 种填法．
故共有 3×3×1=9 种填法．
17. D
18. B【解析】C42+C41+C40=11．
19. D【解析】yʹ=ax2+b，曲线在 x=1 处切线的斜率 k=a+b．切线相互平行，则需它们的斜率相等，因此按照在 x=1 处切线的斜率的可能取值可分为 5 类完成．
第一类：a+b=5，则 a=2，b=3；a=4，b=1．故可构成两条曲线，有 C22 组．
第二类：a+b=7，则 a=2，b=5；a=4，b=3；a=6，b=1．可构成三条曲线，有 C32 组．
第三类：a+b=9，则 a=2，b=7；a=4，b=5；a=6，b=3；a=8，b=1．可构成四条曲线，有 C42 组．
第四类：a+b=11，则 a=4，b=7；a=6；b=5；a=8，b=3．可构成三条曲线，有 C32 组．
第五类：a+b=13，则 a=6，b=7；a=8，b=5．可构成两条曲线，有 C22 组．
故共有 C22+C32+C42+C32+C22=14（组）．
20. A
【解析】选取 3 个不同的数有 C63 种方法，然后将其中最大的数放在百位上，另外两个不同的数放在十位或个位上，有 A22 种排法，故共有 C63⋅A22=40（个）三位数．
21. B【解析】C261C41C302 为只有一个白球的概率，C260C42C302 为有两个白球的概率．
22. C【解析】解法1：8 个顶点中任取 3 个可构成三角形，但其中有 8 个等边三角形，故直角三角形的个数为 C83−8=48 个．
解法2：正方体的 6 个表面及 6 个对角面都是矩形，而每个矩形可构成 C43 个直角三角形，故直角三角形共有 C43⋅6+6=48（个）．
23. A【解析】由两只是同色手套的有 C152+C102=150 种，两只手套颜色不同有 C151C101=150，可知，甲、乙获胜的机会是一样多．
24. D
25. A
【解析】构建三棱锥，由题意知，最多可确定的三棱锥的个数为 C41C53+∘C42C52+C43C51=120．故构成最多的异面直线的对数为 3C41C53+C42C52+C43C51=3×120＝360．
26. C【解析】5 个人随机分配共有 C51C42=30 种，不符合情况的有 2C31=6 种.
所以答案为 C 选项．
第二部分
27. A， B
【解析】AB中只需选出两个元素，是组合问题，而CD中选出的元素还需排列，是排列问题．故选AB．
28. A， B
【解析】由题意得 x2−x=5x−5 或 x2−x+5x−5=16 时，当 x2−x=5x−5 时，x=1 或 x=5；当 x2−x+5x−5=16 时，x=−7 或 x=3．
x=5 时，5x−5=20>16，故舍去；
x=−7 时，5x−5=−40<0，故舍去；
x=1 时，x2−x=5x−5=0；
x=3 时，x2−x=6，5x−5=10．
故选AB．
29. C， D
【解析】A错误．当两个排列的所有元素完全相同，但其排列顺序不同时，仍然不是相同排列，所以错误．B错误．因为相同的组合与元素的顺序无关，只与元素是否相同有关，所以该说法错误．C正确．当两个组合的元素完全相同时，能得出这两个组合是相同组合；当两个组合相同时，能得出它们的元素完全相同．D正确．由定义易知，取出的元素各不相同，因此取了的不能再取了．
30. B， C
【解析】13 名医生，其中女医生 6 人，男医生 7 人，
利用直接法，2 男 3 女：C72C63；3 男 2 女：C73C62；4 男 1 女：C74C61；5 男：C75，
所以 N=C72C63+C73C62+C74C61+C75．
利用间接法：13 名医生，任取 5 人，有 C135 种，1 男 4 女：C71C64；5 女：C65，
所以 N=C135−C71C64−C65．
所以能表示 N 的算式是BC．