【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：直线与平面垂直关系的判定

这是一份【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：直线与平面垂直关系的判定，共12页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共28小题；共140分）
1. 若三条直线 OA，OB，OC 两两垂直，则直线 OA 垂直于
A. 平面 OABB. 平面 OACC. 平面 OBCD. 平面 ABC

2. 如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，与 AD1 垂直的平面是
A. 平面 DD1C1CB. 平面 A1DB1C. 平面 A1B1C1D1D. 平面 A1DB

3. 已知六棱锥 P−ABCDEF 的底面是正六边形，PA⊥平面ABCDEF，则下列结论不正确的是
A. CD∥平面PAFB. DF⊥平面PAF
C. CF∥平面PABD. CF⊥平面PAD

4. 给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两个平面互相平行；
②垂直于同一平面的两个平面互相平行；
③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
④若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么这条直线垂直于这个平面．
其中真命题的个数是
A. 1B. 2C. 3D. 4

5. 二面角 α−AB−β 的平面角是锐角 θ，C∈α，CD⊥β，E∈AB，∠CEB 为锐角，那么
A. ∠CED=θB. ∠CED<θ
C. ∠CED>θD. 以上三种情况均有可能

6. 在下列四个正方体中，能得出 AB⊥CD 的是
A. B.
C. D.

7. △ABC 中，AB=AC=5，BC=6，PA⊥平面ABC，PA=8，则点 P 到 BC 的距离是
A. 5B. 25C. 35D. 45

8. 在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，若 E 为 A1C1 的中点，则直线 CE 垂直于
A. ACB. BDC. A1DD. A1A

9. 下列结论错误的是
A. 若一条直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这平面上的所有直线
B. 若一个平面通过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
C. 若一直线垂直于一个平面的一条直线，则此直线必垂直于这个平面
D. 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条直线垂直

10. 如图，PA⊥平面ABC，∠ABC=90∘，则图中互相垂直的平面有几对
A. 2B. 3C. 4D. 5

11. 在三棱锥 A−BCD 中，若 AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD 是锐角三角形，那么必有
A. 平面ABD⊥平面ADCB. 平面ABD⊥平面ABC
C. 平面ADC⊥平面BCDD. 平面ABC⊥平面BCD

12. 在 △ABC 中，∠ACB=90∘，AB=8，∠BAC=60∘，PC⊥平面ABC，PC=4，M 是边 AB 上的一个动点，则 PM 的最小值
A. 27B. 7C. 19D. 5

13. 三棱锥 O—ABC 中，OA，OB，OC 两两垂直，OC=1，OA=x，OB=y，x+y=4，则三棱锥 O—ABC 体积的最大值是
A. 23B. 13C. 1D. 33

14. 如图所示，在正四面体 P−ABC 中，D 、 E 、 F 分别是 AB 、 BC 、 CA 的中点，则下面四个结论不成立的是
A. BC∥平面PDFB. DF⊥平面PAE
C. 平面PDF⊥平面ABCD. 平面PAE⊥平面ABC

15. 如图，PO 是平面 α 的垂线，O 是垂足，PA 是 α 的斜线，A 为斜足，AB⊂α，∠PAO=θ，∠OAB=φ，∠PAB=β，则
A. csβ=csθcsφB. csβ=csθsinφ
C. sinβ=csφsinθD. sinβ=sinφsinθ

16. 在正方形 SG1G2G3 中，E，F 分别是 G1G2，G2G3 的中点，现沿 SE，SF，EF 把这个正方形折成一个四面体，使 G1，G2，G3 重合为点 G，则有
A. SG⊥平面EFGB. EG⊥平面SEF
C. GF⊥平面SEFD. SG⊥平面SEF

17. 如图所示，PA 垂直于以 AB 为直径的圆 O 所在的平面，C 为圆上异于 A，B 的任一点，则下列关系中不正确的是
A. PA⊥BCB. BC⊥平面PAC
C. AC⊥PBD. PC⊥BC

18. 如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，E，F，G 分别是棱 AB，BC，BB1 的中点，过 E，F，G 三点作该正方体的截面，则下列说法错误的是
A. 在平面 BDD1B1 内存在直线与平面 EFG 平行
B. 在平面 BDD1B1 内存在直线与平面 EFG 垂直
C. 平面AB1C∥平面EFG
D. 直线 AB1 与 EF 所成角为 45∘

19. 如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，E，F 分别为 BC，CD 的中点，H 为 EF 的中点，沿 AE，EF，FA 将正方形折起，使 B，C，D 重合于点 O．在构成的四面体 OAEF 中，下列说法错误的是
A. AO⊥平面EOF
B. 直线 AH 与平面 EOF 所成角的正切值为 22
C. 四面体 OAEF 的内切球的表面积为 π
D. 异面直线 OH 与 AE 所成角的余弦值为 1010

20. 如图，PA 垂直于 ⊙O 所在的平面，AB 是 ⊙O 的直径，C 是 ⊙O 上的一点，E，F 分别是点 A 在 PB，PC 上的射影．给出下列结论：
① AF⊥PB；
② EF⊥PB；
③ AF⊥BC；
④ AE⊥BC．
其中正确的个数是
A. 1B. 2C. 3D. 4

21. 已知二面角 α−l−β 的平面角为 θ，PA 是 α 的法向量，A∈α，且 PA=4，PB 是 β 的法向量，B∈β，且 PB=5．设 A，B 到棱 l 的距离分别是 x，y，当 θ 变化时，点 x,y 的轨迹是下列图形中的
A. B.
C. D.

22. 如果 ∠APB=∠BPC=∠CPA=60∘，则 PA 与平面 PBC 所成角的余弦值为
A. 12B. 2626C. 63D. 33

23. 设 P 是 60∘ 的二面角 α−l−β 内一点，PA⊥平面α，PB⊥平面β，A，B 为垂足，PA=4，PB=2，则 AB 的长为
A. 23B. 25C. 27D. 42

24. 如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，点 P 在侧面 BCC1B1 上运动，并且总保持 AP⊥BD1，则动点 P 的轨迹是
A. 线段 B1CB. 线段 BC1
C. BB1 中点与 CC1 中点的连线D. BC1 中点与 BC 中点的连线

25. 二面角内一点到两个面的距离分别为 22，4，到棱的距离为 42，则二面角的度数是
A. 75∘B. 60∘C. 90∘D. 120∘

26. 如图，矩形 ABCD 中，已知 AB=12AD，E 是 AD 的中点，沿 BE 将 △ABE 折起到 △AʹBE 的位置，使 AʹC=AʹD，则 AʹC 与平面 BEDC 所成角的正切值是
A. 2B. 55C. 255D. 12

27. 如图，定点 A 和 B 都在平面 α 内，定点 P∉α，PB⊥α，C 是 α 内异于 A 和 B 的动点，且 PC⊥AC，那么，动点 C 在平面 α 内的轨迹是
A. 一条线段，但要去掉两个点B. 一个圆，但要去掉两个点
C. 一个 14 的圆，但要去掉两个点D. 半圆，但要去掉两个点

28. 如图，A−BCDE 是一个四棱锥，AB⊥平面BCDE，且四边形 BCDE 为矩形，则图中互相垂直的平面的组数是
A. 4B. 5C. 6D. 7

二、选择题（共2小题；共10分）
29. 如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1 中，侧棱 AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC=90∘，AB=AC=AA1=1，D 是棱 CC1 的中点，P 是 AD 的延长线与 A1C1 的延长线的交点．若点 Q 在直线 B1P 上，则下列结论错误的是
A. 当 Q 为线段 B1P 的中点时，DQ⊥平面A1BD
B. 当 Q 为线段 B1P 的三等分点时，DQ⊥平面A1BD
C. 在线段 B1P 的延长线上，存在一点 Q，使得 DQ⊥平面A1BD
D. 不存在点 Q，使 DQ 与平面 A1BD 垂直

30. 如图所示，PA 垂直于以 AB 为直径的圆 O 所在的平面，C 为圆上异于 A，B 的任一点，则下列关系中正确的是
A. PA⊥BCB. AC⊥PB
C. BC⊥平面PACD. PC⊥PB
答案
第一部分
1. C【解析】因为 OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC=O，OB,OC⊂平面OBC，
所以 OA⊥平面OBC．
2. B【解析】因为 AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1−A1，A1D,A1B1⊂平面A1DB1，
所以 AD1⊥平面A1DB1．
3. D
4. B【解析】①④正确．
5. B
6. A
7. D
8. B
9. C
10. B
11. C
12. A
13. A【解析】V=13⋅OA⋅S△OBC=13⋅OA⋅12⋅OB⋅OC=13⋅x⋅12⋅1⋅y=16xy．
因为 x+y=4，x>0，y>0，所以 4=x+y≥2xy，
即 xy≤4，
从而 V=16xy≤23，
当且仅当 x=y=2 时，等号成立．
14. C【解析】由题意知 BC∥DF，所以 BC∥平面PDF．
因为 P−ABC 为正四面体，所以 BC⊥PA，AE⊥BC．
所以 BC⊥平面PAE，DF⊥平面PAE．
因为 DF⊂平面ABC，
所以 平面PAE⊥平面ABC．
15. A
16. A【解析】因为 SG⊥GE，SG⊥GF，且 GE∩GF=G，GE⊂平面EFG，GF⊂平面EFG，所以 SG⊥平面EFG．
17. C
18. D【解析】设 BD 交 AC 于点 O，EF 交 BD 于点 P，连接 OB1，PG．
因为 BG=12BB1，BP=12BO，
所以 PG∥OB1．
因为 OB1⊄平面EFG，PG⊂平面EFG，
所以 OB1∥平面EFG．
又 OB1⊂平面BDD1B1，故A正确．
连接 BD1，BC1．
因为 AC⊥平面BDD1B1，
所以 AC⊥BD1．
又 EF∥AC，
所以 EF⊥BD1．
因为 D1C1⊥平面BCC1B1，
所以 D1C1⊥B1C．
又 B1C⊥BC1，D1C1∩BC1=C1，
所以 B1C⊥平面D1C1B，
所以 B1C⊥BD1．
又 B1C∥GF，
所以 GF⊥BD1．
因为 GF∩EF=F，
所以 BD1⊥平面EFG．
又 BD1⊂平面BDD1B1，故B正确．
因为 EG∥AB1，FG∥B1C，EG,FG⊂平面EFG，AB1,B1C⊄平面EFG，
所以 AB1∥平面EFG，B1C∥平面EFG．
又因为 AB1⊂平面AB1C，B1C⊂平面AB1C，AB1∩B1C=B1，
所以 平面AB1C∥平面EFG，故C正确．
因为 EF∥AC，△AB1C 为等边三角形，
故直线 AB1 与 AC 所成角为 60∘，即直线 AB1 与 EF 所成角为 60∘，故D不正确．
19. C【解析】翻折前，AB⊥BE，AD⊥DF，故翻折后，AO⊥OE，AO⊥OF，又 OE∩OF=O，
所以 AO⊥平面EOF，故A正确．
连接 OH，AH，如图，
则 ∠OHA 为 AH 与平面 EOF 所成的角，
翻折前，EC⊥FC，故翻折后，OE⊥OF，
又因为 OE=OF=1，H 是 EF 的中点，
所以 EF=12+12=2，OH=12EF=22，
又因为 OA=2，
所以 tan∠OHA=OAOH=22，故B正确．
设四面体 OAEF 的表面积为 S，体积为 V，内切球半径为 r，
则 V=13S⋅r，
由题知四面体 OAEF 的表面积即为正方形 ABCD 的面积，
所以 S=2×2=4，
又因为 V=13S△OEF⋅OA=13×12×1×1×2=13，
所以 43r=13，解得 r=14，
所以内切球的表面积为 4πr2=π4，故C错误．
取 AF 的中点 P，连接 OP，HP．
因为点 P 是 AF 的中点，点 H 是 EF 的中点，
所以 PH∥AE，
所以 ∠OHP 为异面直线 OH 与 AE 所成的角或补角，
因为 OE=OF=1，OA=2，
所以 OP=12AF=52，PH=12AE=52，OH=22，
所以 OP=PH，
再取 OH 的中点 M，连接 PM，则 PM⊥OH，
所以 cs∠OHP=MHPH=12OHPH=1010．故D正确．
20. C
【解析】因为 AB 是 ⊙O 的直径，
所以 AC⊥BC．
因为 PA 垂直于 ⊙O 所在的平面，
所以 PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，
所以 BC⊥平面PAC，
所以 BC⊥AF，③正确．
又因为 AF⊥PC，
所以 AF⊥平面PBC，
所以 AF⊥PB，①正确．
又因为 AE⊥PB，
所以 PB⊥平面AEF，
所以 EF⊥PB，②正确．
若 AE⊥BC，则由 AE⊥PB，得 AE⊥平面PBC，此时 E，F 重合，与已知矛盾，所以④错误．故选C．
21. A
22. D
23. C
24. A
25. A
26. B【解析】取 BE 的中点 M，可证 AʹM⊥平面BCDE．
27. B
28. C
第二部分
29. A， B， C
【解析】以 A1 为坐标原点，A1B1，A1C1，A1A 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则由已知得 A10,0,0，B11,0,0，C10,1,0，B1,0,1，D0,1,12，P0,2,0，
所以 A1B=1,0,1，A1D=0,1,12，B1P=−1,2,0，DB1=1,−1,−12．
设平面 A1BD 的法向量为 n=x,y,z，
则
n⋅A1B=x+z=0,n⋅A1D=y+12z=0, 取 z=−2，
则 x=2，y=1，
所以平面 A1BD 的一个法向量为 n=2,1,−2．
假设 DQ⊥平面A1BD，
且 B1Q=λB1P=λ−1,2,0=−λ,2λ,0，
则 DQ=DB1+B1Q=1−λ,−1+2λ,−12．
因为 DQ 也是平面 A1BD 的法向量，
所以 n=2,1,−2 与 DQ=1−λ,−1+2λ,−12 共线，
于是有 1−λ2=−1+2λ1=−12−2=14 成立，
但此方程关于 λ 无解．
因此不存在点 Q，使 DQ 与平面 A1BD 垂直．
30. A， C
【解析】由题意得，PA⊥平面ABC．
因为 BC⊂平面ABC，
所以 PA⊥BC，故A正确．
因为 AB 是圆 O 的直径，C 为圆上异于 A，B 的任一点，
所以 AC⊥BC，
且 PA∩AC=A，PA,AC⊂平面PAC，
所以 BC⊥平面PAC，故C正确．
假设 AC⊥PB，
因为 AC⊥BC，PB∩BC=B，
所以 AC⊥平面PBC，
则 AC⊥PC，与题目矛盾，故假设不成立，故B错误．
由 BC⊥平面PAC 可得，BC⊥PC，
则 △PBC 为直角三角形，
所以 PC 不可能与 PB 垂直，故D错误．故选AC．