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精品解析：2021年内蒙古包头市青山区中考二模数学试卷（解析版+原卷版）
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2021年初中升学考试调研试卷（二）
数学
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸的指定位置．认真核准条形码上的姓名，准考证号，无误后粘贴在条形码框内．
2．考生必须直接在答题纸上作答．选择题答案必须使用2B铅笔填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写．字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．
4．保持答题纸清洁，不要折叠、不要弄破．
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1. 北京市民全面参与垃圾分类，共享环保低碳生活．生活垃圾应按照厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其他垃圾的分类，分别投入相应标识的收集容器．下面图标标识，可以看作轴对称图形的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【详解】解：厨余垃圾、有害垃圾的图标标识可以看作轴对称图形，即有2个，
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称图形的识别，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
2. 下列计算错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据整式的运算法则以及分式运算法则的进行计算，逐个判断即可．
详解】解：A、正确，不符合题意；
B、正确，不符合题意；
C、正确，不符合题意；
D、原计算错误，符合题意；
故：D．
【点睛】本题考查了幂的运算、合并同类项、分式的乘除等知识点，解题关键是熟练运用整式和分式运算的法则进行准确计算．
3. 已知，下列式子不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的三个基本性质判断即可．
【详解】A、当n>0时，则有nanb；当n=0时，则na=nb，故错误；
B、由a
【点睛】本题考查了不等式的三个基本性质，熟练掌握这三个基本性质是解答本题的基础和关键．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 为保证“嫦娥五号”成功发射，对其零部件检查采取抽样方式
B. “守株待兔”是必然事件
C. 有5个数都是6的整数倍，从中任选2个数都是偶数的概率是1
D. 某彩票中心宣布，某期彩票的中奖率是70%，小明买了10张彩票，一定有7张中奖
【答案】C
【解析】
【分析】根据概率、全面调查、抽样调查、随机事件等概念进行判断即可得出结论；
【详解】解：A为保证“嫦娥五号”成功发射，对其零部件检查应采取普查方式，故本项错误；
B“守株待兔”是随机事件，故本项错误；
C有5个数都是6的整数倍，从中任选2个数都是偶数的概率是1，故本项正确；
D某彩票中心宣布，某期彩票的中奖率是70%，小明买了10张彩票，不一定会中奖，故本项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查概率的意义、全面调查与抽样调查、随机事件，解决本题的关键是掌握概率的意义．
5. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A. 1 B. 2 C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】由三视图易得此几何体为底面是一个等腰直角三角形的直三棱柱，根据体积=底面积×高，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：由三视图可确定此几何体为底面是一个等腰直角三角形的直三棱柱，等腰直角三角形的直角边长为1，高为2，
则，等腰直角三角形底面积，
体积=底面积×高，
故选：A
【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体，以及求三棱柱的体积，读懂题意，得出该几何体的形状是解决本题的关键．
6. 如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，圆心O到弦BC的距离等于3，则∠A的正切值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：如答图，过点O作OD⊥BC，垂足为D，连接OB，OC，
∵OB=5，OD=3，∴根据勾股定理得BD=4.
∵∠A=∠BOC，∴∠A=∠BOD.
∴tanA=tan∠BOD=.
故选D．
考点：1.垂径定理；2.圆周角定理；3.勾股定理；4.锐角三角函数定义．
7. 如图，已知△ABC，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，小红按如下步骤作图：
①分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；
②连接MN，分别交AB、AC于点D、O；
③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD．
则四边形ADCE的周长为（ ）
A. 10 B. 20 C. 12 D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意得：MN是AC的垂直平分线，即可得AD=CD，AE=CE，然后由CE∥AB，可证得CD∥AE，继而证得四边形ADCE是菱形，再根据勾股定理求出AD，进而求出菱形ADCE的周长．
【详解】：∵分别以A、C为圆心，以大于 AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N，
∴MN是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AE=CE，
∴∠CAD=∠ACD，∠CAE=∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠CAD=∠ACE，
∴∠ACD=∠CAE，
∴CD∥AE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是菱形；
∴OA=OC=AC=2，OD=OE，AC⊥DE，
∵∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=BC=×3=1.5，
∴AD==2.5，
∴菱形ADCE的周长=4AD=10．
故选A．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，三角形中位线的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
8. 如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，使，分别延长，相交于点D，则线段的长为（ ）
A. 6 B. 8 C. 9 D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行线的性质以及旋转的性质得到，再利用相似三角形的性质求解即可；
【详解】∵将绕点C按逆时针方向旋转得到，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
故答案选C．
【点睛】本题主要考查了旋转的应用和相似三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键．
9. 若直线l1经过点（0，3），直线l2经过点（5，2），且l1与l2关于x轴对称，则l1与l2的交点坐标为（ ）
A. （﹣2，0） B. （2，0） C. （﹣3，0） D. （3，0）
【答案】D
【解析】
【分析】根据对称的性质得出点（0，3）关于x轴对称的对称点，再根据待定系数法确定直线l2的关系式，求出直线l2与x轴的交点即可．
【详解】解：设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∵直线l1经过点（0，3），l2经过点（5，2），且l1与l2关于x轴对称，
∴两直线相交于x轴上，点（0，3）关于x轴的对称点（0，﹣3）在直线l2上，
把（0，﹣3）和（5，2）代入y＝kx+b，
得，
解得：，
故直线l2解析式为：y＝x﹣3，
令y＝0，则x＝3，
即l1与l2的交点坐标为（3，0）．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及坐标与图形的性质，正确得出l1与l2的交点坐标为l1与l2与x轴的交点是解题关键．
10. 下列命题中，是真命题的个数有( )
①平分弦的直径垂直于弦；②的算术平方根是9；③方程的解为x=0；④一组数据6，7，8，9，10的众数和中位数都是8．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】根据垂径定理的推论、算术平方根的定义、分式方程的解法和众数、中位数的定义逐一判断即可．
【详解】①平分弦（不是直径）直径垂直于弦，缺少条件，故错误；
②=9的算术平方根是3，故错误；
③
解得：x=0
经检验：x=0是原方程的解，故正确；
④一组数据6，7，8，9，10的众数不是8，故错误．
综上：正确的有1个
故选A．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解垂径定理的推论、算术平方根的定义、分式方程的解法和众数、中位数的定义等知识，难度不大．
11. 如图，矩形中，平分，交于点E，将一块三角板的直角顶点放在点E处，并使它的一条直角边过点A，另一条直角边交于M点，若，则的长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形的性质可得∠ADC=∠C=∠B=90°，AB=DC，由DE平分∠ADC，可得∠ADE=∠CDE=45°，然后证明△AEB≌△EMC可得BE=CM，进而可得结果．
【详解】解：在矩形ABCD中，∠ADC=∠C=∠B=90°，AB=DC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE=45°，
∴∠DEC=45°，
∴DC=EC，
∴AB=DC=CE，
∵DM=2CM，
∵∠AEM=90°，
∴∠AEB+∠CEM=90°，
∵∠CEM+∠EMC=90°，
∴∠AEB=∠EMC，
在△AEB和△EMC中，
，
∴△AEB≌△EMC（AAS），
∴BE=CM，
∵BC=BE+EC=CM+DC=CM+3CM=4CM=8，
∴CM=2，
∴BE=2．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
12. 二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如下表：
x
0
1
3
y
3
5
3
下列结论：①；②当时，y的值随x值的增大而减小；③3是方程的一个根；④当时，．其中正确的是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
【答案】C
【解析】
【分析】①函数的对称轴为：x=(0+3)=，对称轴左侧y随x的增大而增大，故a＜0，x=0，y=3=c＞0，即可求解；
②函数的对称轴为x=，故②错误，不符合题意；
③ax2+(b-1)x+c=0，则ax2+bx+c=x，当x=3时，ax2+bx+c=3，即可求解；
④由③知，3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根，由函数的对称轴知其另外一个根为1，即可求解．
【详解】解：①函数的对称轴为：x=(0+3)=，
对称轴左侧y随x的增大而增大，故a＜0，x=0，y=3=c＞0，
故①正确，符合题意；
②函数的对称轴为x=，对称轴左侧，即时，y随x的增大而增大，故②错误，不符合题意；
③ax2+(b-1)x+c=0，则ax2+bx+c=x，
当x=3时，ax2+bx+c=3，故③正确，符合题意；
④由③知，3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根，由函数的对称轴知其另外一个根为-1，
故当-1＜x＜3时，ax2+(b-1)x+c>0，故④正确，符合题意；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解方程或不等式．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
13. 计算：_______．
【答案】
【解析】
【分析】先计算二次根式的乘法，零次幂，负整数指数幂，再合并即可得到答案．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查实数的运算，掌握二次根式的乘法运算，零指数幂，负整数指数幂的运算法则是关键．
14. 将一个矩形 纸片折叠成如图所示的图形，若∠ABC=26°，则∠ACD=____.
【答案】128°.
【解析】
【分析】如图，延长DC到F，根据折叠的性质可得∠ACB=∠BCF，继而根据平行线的性质可得∠BCF=∠ABC=26°，从而可得∠ACF=52°，再根据平角的定义即可求得答案.
【详解】如图，延长DC到F，
∵矩形纸条折叠，
∴∠ACB=∠BCF，
∵AB∥CD，
∴∠BCF=∠ABC=26°，
∴∠ACF=52°，
∵∠ACF+∠ACD=180°，
∴∠ACD=128°，
故答案为128°.
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.
15. 在一次活动中，某班50名同学响应号召纷纷捐出零花钱，若不同捐款金额的人数百分比统计如图所示，则该班同学平均每人捐款_________元．
【答案】13
【解析】
【分析】根据加权平均数的求法，用不同的捐款金额乘以不同捐款金额的人数占总人数的百分比， 然后再把它们求和，求出该班同学平均每人捐款多少元即可．
【详解】解：
（元）．
该班同学平均每人捐款13元 ．
故答案为：13 元．
【点睛】本题考查扇形统计图的应用、加权平均数的含义与求法，解题的关键是掌握加权平均数的求解方法．
16. 若a满足，则__________．
【答案】3
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算法则化简出最简结果，再根据解一元二次方程得出a=-1或a=2，根据分式有意义的条件代入a值计算即可得答案．
【详解】
=
=
=，
∵，
∴或，
∵时0，
∴无意义，舍去，
∴，
当a=2时，=3，
故答案为：3
【点睛】本题考查分式的混合运算和解一元二次方程，注意分式分母不为0的条件并熟练掌握运算法则是解题关键．
17. 如图，要在一块长20米、宽15米的矩形地面上，修建了三条宽度相等的道路（其中两条路与宽平行，一条路与长平行）．若要使剩余部分的面积为208平方米，则道路的宽为_____米．
【答案】2
【解析】
【分析】把所修的道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可求解．
【详解】解：设道路的宽为x米，由题意有：
（20﹣2x）（15﹣x）=208，
解得x1=23（舍去），x2=2．
答：道路的宽为2米．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是解本题的关键．
18. 如图，AB是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是____．（结果保留π）
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：过点O作OD⊥BC于点D，交于点E，连接OC，则点E是的中点，由折叠的性质可得点O为的中点，∴S弓形BO=S弓形CO，在Rt△BOD中，OD=DE=R=2，OB=R=4，∴∠OBD=30°，
∴∠AOC=60°，∴S阴影=S扇形AOC=．
考点：扇形面积的计算．
19. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A、B两点，点C在x轴上运动，连接，点Q为中点，若点C运动过程中，的最小值为1，则点B的坐标为_________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意得：是的中位线，故当最小时，也最小，当轴时，最小，此时，即可求解．
【详解】解：点、关于原点对称，故是的中点，而为中点，
故是的中位线，
则，故当最小时，也最小，
当轴时，最小，此时，
即点的纵坐标为，
将点的纵坐标代入得：，解得：，
故点的坐标为，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是确定是的中位线．
20. 如图，点M是正方形ABCD内一点，△MBC是等边三角形，连接AM、MD对角线BD交CM于点N现有以下结论：
①∠AMD=150°；②；③；④，其中正确的结论有____________（填写序号）
【答案】①②④
【解析】
【详解】【分析】由四边形ABCD是正方形，△BCM是等边三角形，根据正方形的性质、等边三角形的性质可对①作出判断；证明△DMN∽△CMD，即可对②作出判断；设BC=CD=2a，过点M作EH⊥BC于点H，交AD于点E，根据等边三角形的性质以及勾股定理可得MH=a，从而得EM=2a-a，根据，即可对③作出判断；过点D作DF⊥MC于点F，过点B作BG⊥MC于点G，则可得BG= a ，DF=a，DF//BG，可以得到△DFN∽△BGN，根据相似三角形的性质即可对④作出判断.
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，∠ADB=45°，
∵△BCM是等边三角形，
∴BM=MC=BC，∠MBC=∠BMC=∠BCM=60°，
∴∠ABM=∠DCM=30°，AB=BM=CM=CD，
∴∠BAM=∠CMD=∠CDM=75°，
∴∠DAM=∠ADM=15°，∴∠AMD=180°-∠DAM-∠ADM=150°，故①正确；
∵∠DAM=∠ADM=15°，∴AM=MD，
∵∠ADB=45°，∴∠MDN=30°=∠MCD，
∵∠CMD是公共角，
∴△DMN∽△CMD，
∴DM：CM=MN：DM，
∴DM2=MN•CM，
∴AM2=MN•CM，故②正确；
设BC=CD=2a，
过点M作EH⊥BC于点H，交AD于点E，
∵△MBC是等边三角形，∴BH=a，MH=a，∴EM=2a-a，
∵AD=BC，
∴，故③错误；
过点D作DF⊥MC于点F，过点B作BG⊥MC于点G，
则有BG=MH=a ，DF=CD=a，DF//BG，
∴△DFN∽△BGN，
∴，故④正确，
所以正确的结论有①②④，
故答案为①②④.
【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，题目较难，正确地添加辅助线是解题的关键.
三、解答题（共6小题，共60分）
21. 2020年新冠肺炎疫情发生以来，中国人民风雨同舟、众志成城，构筑起疫情防控的坚固防线，集中体现了中国人民万众一心同甘共苦的团结伟力我市广大党员积极参与社区防疫工作，助力社区坚决打赢疫情防控阻击战．其中，社区有500名党员，为了解本社区2月﹣3月期间党员参加应急执勤的情况，社区针对执勤的次数随机抽取50名党员进行调查，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
应急执勤次数的频数分布表
次数x/次
频数
频率
8
0.16
10
0.20
16
12
0.24
0.08
其中，应急执勤次数在这一组的数据是：10，10，11，12，，16，16，17，19，19，其中位数是15．
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）___，___，___；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）参加应急执勤次数最多的组是__________；
（4）请估计2月3月期间社区党员参加应急执勤的次数不低于30次的约有_____人．
【答案】（1）4，0.32，14；（2）见解析；（3）20，30；（4）160
【解析】
【分析】（1）根据题意和频数分布表中的数据，可以得到、的值，再根据在这一组的数据是：10，10，11，12，，16，16，17，19，19，其中位数是15，可以得到的值；
（2）根据（1）中的值，即可将频数分布直方图补充完整；
（3）根据直方图中的数据，可以写出加应急执勤次数最多的组是哪一组；
（4）根据统计图中的数据，可以计算出2月3月期间A社区党员参加应急执勤的次数不低于30次的人数．
【详解】解：（1），，
在这一组的数据是：10，10，11，12，，16，16，17，19，19，其中位数是15，
，
解得，
故答案为：4，0.32，14；
（2）由（1）知，，
补全的频数分布直方图如右图所示；
（3）由直方图可得，
参加应急执勤次数最多的组是，
故答案为：20，30；
（4）
，
故答案为：160．
【点睛】本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22. 为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是，第二组乘公交车，速度是，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）
【答案】第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地，理由见解析
【解析】
【分析】法1：过点B作BD AC于D，在中证得，设，则，在中，，利用三角函数定义或勾股定理表示出AD的长，在中，利用三角函数表示出CD的长，由AD＋CD＝AC列出方程问题得解；法2与法1辅助组相同，不同点是法2是在BCD中，利用三角定义列方程求解．
【详解】方法1：
解：作于D．依题意得，
，，
，
．
在中，，，
，
，
，
设，则，
在中，，
，，
，
（或者由勾股定理得）
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
第一组用时：；第二组用时：
，
∴第二组先到达目的地，
答：第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地．
方法2：
解：于点D，
依题意得：，，．
，
，
在中，，
，
，
设，则，
由勾股定理得：，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
第一组用时：；第二组用时：
，
第二组先到达目的地．
答：第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
23. 某网店经营一种热销小商品，每件成本10元，经过调研发现，这种小商品20天内售价在持续提升，销售单价P（元/件）与时间t（天）之间的函数关系为（其中，t为整数），且其日销售量y（件）与时间t（天）的关系如表．
时间t（天）
1
5
9
13
17
21
日销售量y（件）
98
90
82
74
66
58
（1）已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，请直接写出y（件）与时间t（天）函数关系式；
（2）在20天的销售中，第几天的销售利润最大?最大日销售利润为多少?
【答案】（1）；（2）第15天的销售利润最大，最大日销售利润为1225元．
【解析】
【分析】（1）根据表格，利用待定系数法得出一次函数解析式即可得答案；
（2）设日销售利润为w元，根据利润=单件×件数可得w与 t关系式，根据二次函数的性质即可得答案．
【详解】（1）设y（件）与时间t（天）函数关系式是，
根据表格得：
解得：，
∴y（件）与时间t（天）函数关系式是
（2）设日销售利润为w元，
∵，，
∴，
∴当时，w取得最大值，此时，
答：在20天的销售中，第15天的销售利润最大，最大日销售利润为1225元．
【点睛】本题考查一次函数与二次函数的综合应用，正确利用待定系数法求函数解析式并熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
24. 如图，是的直径，是的弦，点平分劣弧，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：直线是的切线；
（3）若，，求线段的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）欲证明是切线，只要证明即可．
（3）设，利用勾股定理构建方程求出，再利用平行线分线段成比例定理，求出，可得结论．
【详解】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：连接，，设交于．
是直径，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，即，
是的切线．
（3）解：设．
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，垂径定理，矩形判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
25. 如图，在正方形中， ，是边上一动点（不与点重合），连接，点与点关于所在的直线对称，连接， ，延长到点，使得，连接，．
（1）依题意补全图1；
（2）若，求线段的长；
（3）当点在边上运动时，能使为等腰三角形，直接写出此时的面积．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）4.5或
【解析】
【分析】（1）根据题意作出图形便可；
（2）连接BP ，先证明 ，再证明 ，求得 BP，便可得EF ；
（3）设 ，则 ，求出 AE、AF 、EF ；当△AEF 为等腰三角形时，分两种情况列出方程求出 的值，进而求得最后结果．
【详解】解：（1）根据题意，作图如下：
（2）连接，如图2．
点与点关于所在的直线对称，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
；
（3）设，则，
，
，，
，
当为等腰三角形时，只能有两种情况：或，
①当时，有，
解得，
面积为；
②当时，
，
解得，
的面积为，
综上的面积为4.5或．
【点睛】本题属于几何中的动点问题，综合考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，要求学生能理解相关概念与性能，能应用它们得到线段或角之间的关系，本题综合性较强，蕴含了分类讨论等思想方法．
26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）当时，求抛物线的顶点坐标；
（2）①求抛物线的对称轴（用含的式子表示）；
②若点，，都在抛物线上，则，，的大小关为__________；
（3）直线与轴交于点，与轴交于点，过点作垂直于轴的直线与抛物线有两个交点，在抛物线对称轴左侧的点记为，当为钝角三角形时，求的取值范围．
【答案】（1）顶点坐标为；（2）①；②；（3）或
【解析】
【分析】（1）先将m=2代入抛物线的解析式，并配方可得抛物线顶点的坐标；
（2）①根据函数对称轴为x=-计算可得结论；
②函数开口向上，x=m时函数取得最小值，根据离对称轴距离越远，函数值越大可比较y1，y2，y3的大小关系；
（3）当△OAP为钝角三角形时，则0＜m-2＜m或m-2＞-3，分别求解即可．
【详解】解：（1）当时，抛物线的解析式为：，
顶点坐标为；
（2）①抛物线，
函数对称轴为；
②函数开口向上，时函数取得最小值，
离对称轴距离越远，函数值越大，
，且点，，都在抛物线上，
；
故答案为：；
（3）把点代入的表达式并解得：，
则，直线的表达式为：，
如图，
在直线上，当时，点与重合，
当时，，
则，
点在对称轴的左侧，
不符合题意，舍去，
则点，
当△OAP为钝角三角形时，
则或，
解得：或，
的取值范围是：或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数，解不等式，一元二次方程根的判别式，钝角三角形判断的方法等知识点，第三问有难度，确定∠AOP为直角时点P的位置最关键．
2021年初中升学考试调研试卷（二）
数学
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸的指定位置．认真核准条形码上的姓名，准考证号，无误后粘贴在条形码框内．
2．考生必须直接在答题纸上作答．选择题答案必须使用2B铅笔填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写．字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．
4．保持答题纸清洁，不要折叠、不要弄破．
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1. 北京市民全面参与垃圾分类，共享环保低碳生活．生活垃圾应按照厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其他垃圾的分类，分别投入相应标识的收集容器．下面图标标识，可以看作轴对称图形的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【详解】解：厨余垃圾、有害垃圾的图标标识可以看作轴对称图形，即有2个，
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称图形的识别，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
2. 下列计算错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据整式的运算法则以及分式运算法则的进行计算，逐个判断即可．
详解】解：A、正确，不符合题意；
B、正确，不符合题意；
C、正确，不符合题意；
D、原计算错误，符合题意；
故：D．
【点睛】本题考查了幂的运算、合并同类项、分式的乘除等知识点，解题关键是熟练运用整式和分式运算的法则进行准确计算．
3. 已知，下列式子不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的三个基本性质判断即可．
【详解】A、当n>0时，则有na
B、由a
【点睛】本题考查了不等式的三个基本性质，熟练掌握这三个基本性质是解答本题的基础和关键．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 为保证“嫦娥五号”成功发射，对其零部件检查采取抽样方式
B. “守株待兔”是必然事件
C. 有5个数都是6的整数倍，从中任选2个数都是偶数的概率是1
D. 某彩票中心宣布，某期彩票的中奖率是70%，小明买了10张彩票，一定有7张中奖
【答案】C
【解析】
【分析】根据概率、全面调查、抽样调查、随机事件等概念进行判断即可得出结论；
【详解】解：A为保证“嫦娥五号”成功发射，对其零部件检查应采取普查方式，故本项错误；
B“守株待兔”是随机事件，故本项错误；
C有5个数都是6的整数倍，从中任选2个数都是偶数的概率是1，故本项正确；
D某彩票中心宣布，某期彩票的中奖率是70%，小明买了10张彩票，不一定会中奖，故本项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查概率的意义、全面调查与抽样调查、随机事件，解决本题的关键是掌握概率的意义．
5. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A. 1 B. 2 C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】由三视图易得此几何体为底面是一个等腰直角三角形的直三棱柱，根据体积=底面积×高，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：由三视图可确定此几何体为底面是一个等腰直角三角形的直三棱柱，等腰直角三角形的直角边长为1，高为2，
则，等腰直角三角形底面积，
体积=底面积×高，
故选：A
【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体，以及求三棱柱的体积，读懂题意，得出该几何体的形状是解决本题的关键．
6. 如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，圆心O到弦BC的距离等于3，则∠A的正切值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：如答图，过点O作OD⊥BC，垂足为D，连接OB，OC，
∵OB=5，OD=3，∴根据勾股定理得BD=4.
∵∠A=∠BOC，∴∠A=∠BOD.
∴tanA=tan∠BOD=.
故选D．
考点：1.垂径定理；2.圆周角定理；3.勾股定理；4.锐角三角函数定义．
7. 如图，已知△ABC，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，小红按如下步骤作图：
①分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；
②连接MN，分别交AB、AC于点D、O；
③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD．
则四边形ADCE的周长为（ ）
A. 10 B. 20 C. 12 D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意得：MN是AC的垂直平分线，即可得AD=CD，AE=CE，然后由CE∥AB，可证得CD∥AE，继而证得四边形ADCE是菱形，再根据勾股定理求出AD，进而求出菱形ADCE的周长．
【详解】：∵分别以A、C为圆心，以大于 AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N，
∴MN是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AE=CE，
∴∠CAD=∠ACD，∠CAE=∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠CAD=∠ACE，
∴∠ACD=∠CAE，
∴CD∥AE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是菱形；
∴OA=OC=AC=2，OD=OE，AC⊥DE，
∵∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=BC=×3=1.5，
∴AD==2.5，
∴菱形ADCE的周长=4AD=10．
故选A．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，三角形中位线的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
8. 如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，使，分别延长，相交于点D，则线段的长为（ ）
A. 6 B. 8 C. 9 D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行线的性质以及旋转的性质得到，再利用相似三角形的性质求解即可；
【详解】∵将绕点C按逆时针方向旋转得到，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
故答案选C．
【点睛】本题主要考查了旋转的应用和相似三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键．
9. 若直线l1经过点（0，3），直线l2经过点（5，2），且l1与l2关于x轴对称，则l1与l2的交点坐标为（ ）
A. （﹣2，0） B. （2，0） C. （﹣3，0） D. （3，0）
【答案】D
【解析】
【分析】根据对称的性质得出点（0，3）关于x轴对称的对称点，再根据待定系数法确定直线l2的关系式，求出直线l2与x轴的交点即可．
【详解】解：设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∵直线l1经过点（0，3），l2经过点（5，2），且l1与l2关于x轴对称，
∴两直线相交于x轴上，点（0，3）关于x轴的对称点（0，﹣3）在直线l2上，
把（0，﹣3）和（5，2）代入y＝kx+b，
得，
解得：，
故直线l2解析式为：y＝x﹣3，
令y＝0，则x＝3，
即l1与l2的交点坐标为（3，0）．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及坐标与图形的性质，正确得出l1与l2的交点坐标为l1与l2与x轴的交点是解题关键．
10. 下列命题中，是真命题的个数有( )
①平分弦的直径垂直于弦；②的算术平方根是9；③方程的解为x=0；④一组数据6，7，8，9，10的众数和中位数都是8．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】根据垂径定理的推论、算术平方根的定义、分式方程的解法和众数、中位数的定义逐一判断即可．
【详解】①平分弦（不是直径）直径垂直于弦，缺少条件，故错误；
②=9的算术平方根是3，故错误；
③
解得：x=0
经检验：x=0是原方程的解，故正确；
④一组数据6，7，8，9，10的众数不是8，故错误．
综上：正确的有1个
故选A．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解垂径定理的推论、算术平方根的定义、分式方程的解法和众数、中位数的定义等知识，难度不大．
11. 如图，矩形中，平分，交于点E，将一块三角板的直角顶点放在点E处，并使它的一条直角边过点A，另一条直角边交于M点，若，则的长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形的性质可得∠ADC=∠C=∠B=90°，AB=DC，由DE平分∠ADC，可得∠ADE=∠CDE=45°，然后证明△AEB≌△EMC可得BE=CM，进而可得结果．
【详解】解：在矩形ABCD中，∠ADC=∠C=∠B=90°，AB=DC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE=45°，
∴∠DEC=45°，
∴DC=EC，
∴AB=DC=CE，
∵DM=2CM，
∵∠AEM=90°，
∴∠AEB+∠CEM=90°，
∵∠CEM+∠EMC=90°，
∴∠AEB=∠EMC，
在△AEB和△EMC中，
，
∴△AEB≌△EMC（AAS），
∴BE=CM，
∵BC=BE+EC=CM+DC=CM+3CM=4CM=8，
∴CM=2，
∴BE=2．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
12. 二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如下表：
x
0
1
3
y
3
5
3
下列结论：①；②当时，y的值随x值的增大而减小；③3是方程的一个根；④当时，．其中正确的是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
【答案】C
【解析】
【分析】①函数的对称轴为：x=(0+3)=，对称轴左侧y随x的增大而增大，故a＜0，x=0，y=3=c＞0，即可求解；
②函数的对称轴为x=，故②错误，不符合题意；
③ax2+(b-1)x+c=0，则ax2+bx+c=x，当x=3时，ax2+bx+c=3，即可求解；
④由③知，3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根，由函数的对称轴知其另外一个根为1，即可求解．
【详解】解：①函数的对称轴为：x=(0+3)=，
对称轴左侧y随x的增大而增大，故a＜0，x=0，y=3=c＞0，
故①正确，符合题意；
②函数的对称轴为x=，对称轴左侧，即时，y随x的增大而增大，故②错误，不符合题意；
③ax2+(b-1)x+c=0，则ax2+bx+c=x，
当x=3时，ax2+bx+c=3，故③正确，符合题意；
④由③知，3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根，由函数的对称轴知其另外一个根为-1，
故当-1＜x＜3时，ax2+(b-1)x+c>0，故④正确，符合题意；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解方程或不等式．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
13. 计算：_______．
【答案】
【解析】
【分析】先计算二次根式的乘法，零次幂，负整数指数幂，再合并即可得到答案．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查实数的运算，掌握二次根式的乘法运算，零指数幂，负整数指数幂的运算法则是关键．
14. 将一个矩形 纸片折叠成如图所示的图形，若∠ABC=26°，则∠ACD=____.
【答案】128°.
【解析】
【分析】如图，延长DC到F，根据折叠的性质可得∠ACB=∠BCF，继而根据平行线的性质可得∠BCF=∠ABC=26°，从而可得∠ACF=52°，再根据平角的定义即可求得答案.
【详解】如图，延长DC到F，
∵矩形纸条折叠，
∴∠ACB=∠BCF，
∵AB∥CD，
∴∠BCF=∠ABC=26°，
∴∠ACF=52°，
∵∠ACF+∠ACD=180°，
∴∠ACD=128°，
故答案为128°.
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.
15. 在一次活动中，某班50名同学响应号召纷纷捐出零花钱，若不同捐款金额的人数百分比统计如图所示，则该班同学平均每人捐款_________元．
【答案】13
【解析】
【分析】根据加权平均数的求法，用不同的捐款金额乘以不同捐款金额的人数占总人数的百分比， 然后再把它们求和，求出该班同学平均每人捐款多少元即可．
【详解】解：
（元）．
该班同学平均每人捐款13元 ．
故答案为：13 元．
【点睛】本题考查扇形统计图的应用、加权平均数的含义与求法，解题的关键是掌握加权平均数的求解方法．
16. 若a满足，则__________．
【答案】3
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算法则化简出最简结果，再根据解一元二次方程得出a=-1或a=2，根据分式有意义的条件代入a值计算即可得答案．
【详解】
=
=
=，
∵，
∴或，
∵时0，
∴无意义，舍去，
∴，
当a=2时，=3，
故答案为：3
【点睛】本题考查分式的混合运算和解一元二次方程，注意分式分母不为0的条件并熟练掌握运算法则是解题关键．
17. 如图，要在一块长20米、宽15米的矩形地面上，修建了三条宽度相等的道路（其中两条路与宽平行，一条路与长平行）．若要使剩余部分的面积为208平方米，则道路的宽为_____米．
【答案】2
【解析】
【分析】把所修的道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可求解．
【详解】解：设道路的宽为x米，由题意有：
（20﹣2x）（15﹣x）=208，
解得x1=23（舍去），x2=2．
答：道路的宽为2米．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是解本题的关键．
18. 如图，AB是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是____．（结果保留π）
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：过点O作OD⊥BC于点D，交于点E，连接OC，则点E是的中点，由折叠的性质可得点O为的中点，∴S弓形BO=S弓形CO，在Rt△BOD中，OD=DE=R=2，OB=R=4，∴∠OBD=30°，
∴∠AOC=60°，∴S阴影=S扇形AOC=．
考点：扇形面积的计算．
19. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A、B两点，点C在x轴上运动，连接，点Q为中点，若点C运动过程中，的最小值为1，则点B的坐标为_________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意得：是的中位线，故当最小时，也最小，当轴时，最小，此时，即可求解．
【详解】解：点、关于原点对称，故是的中点，而为中点，
故是的中位线，
则，故当最小时，也最小，
当轴时，最小，此时，
即点的纵坐标为，
将点的纵坐标代入得：，解得：，
故点的坐标为，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是确定是的中位线．
20. 如图，点M是正方形ABCD内一点，△MBC是等边三角形，连接AM、MD对角线BD交CM于点N现有以下结论：
①∠AMD=150°；②；③；④，其中正确的结论有____________（填写序号）
【答案】①②④
【解析】
【详解】【分析】由四边形ABCD是正方形，△BCM是等边三角形，根据正方形的性质、等边三角形的性质可对①作出判断；证明△DMN∽△CMD，即可对②作出判断；设BC=CD=2a，过点M作EH⊥BC于点H，交AD于点E，根据等边三角形的性质以及勾股定理可得MH=a，从而得EM=2a-a，根据，即可对③作出判断；过点D作DF⊥MC于点F，过点B作BG⊥MC于点G，则可得BG= a ，DF=a，DF//BG，可以得到△DFN∽△BGN，根据相似三角形的性质即可对④作出判断.
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，∠ADB=45°，
∵△BCM是等边三角形，
∴BM=MC=BC，∠MBC=∠BMC=∠BCM=60°，
∴∠ABM=∠DCM=30°，AB=BM=CM=CD，
∴∠BAM=∠CMD=∠CDM=75°，
∴∠DAM=∠ADM=15°，∴∠AMD=180°-∠DAM-∠ADM=150°，故①正确；
∵∠DAM=∠ADM=15°，∴AM=MD，
∵∠ADB=45°，∴∠MDN=30°=∠MCD，
∵∠CMD是公共角，
∴△DMN∽△CMD，
∴DM：CM=MN：DM，
∴DM2=MN•CM，
∴AM2=MN•CM，故②正确；
设BC=CD=2a，
过点M作EH⊥BC于点H，交AD于点E，
∵△MBC是等边三角形，∴BH=a，MH=a，∴EM=2a-a，
∵AD=BC，
∴，故③错误；
过点D作DF⊥MC于点F，过点B作BG⊥MC于点G，
则有BG=MH=a ，DF=CD=a，DF//BG，
∴△DFN∽△BGN，
∴，故④正确，
所以正确的结论有①②④，
故答案为①②④.
【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，题目较难，正确地添加辅助线是解题的关键.
三、解答题（共6小题，共60分）
21. 2020年新冠肺炎疫情发生以来，中国人民风雨同舟、众志成城，构筑起疫情防控的坚固防线，集中体现了中国人民万众一心同甘共苦的团结伟力我市广大党员积极参与社区防疫工作，助力社区坚决打赢疫情防控阻击战．其中，社区有500名党员，为了解本社区2月﹣3月期间党员参加应急执勤的情况，社区针对执勤的次数随机抽取50名党员进行调查，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
应急执勤次数的频数分布表
次数x/次
频数
频率
8
0.16
10
0.20
16
12
0.24
0.08
其中，应急执勤次数在这一组的数据是：10，10，11，12，，16，16，17，19，19，其中位数是15．
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）___，___，___；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）参加应急执勤次数最多的组是__________；
（4）请估计2月3月期间社区党员参加应急执勤的次数不低于30次的约有_____人．
【答案】（1）4，0.32，14；（2）见解析；（3）20，30；（4）160
【解析】
【分析】（1）根据题意和频数分布表中的数据，可以得到、的值，再根据在这一组的数据是：10，10，11，12，，16，16，17，19，19，其中位数是15，可以得到的值；
（2）根据（1）中的值，即可将频数分布直方图补充完整；
（3）根据直方图中的数据，可以写出加应急执勤次数最多的组是哪一组；
（4）根据统计图中的数据，可以计算出2月3月期间A社区党员参加应急执勤的次数不低于30次的人数．
【详解】解：（1），，
在这一组的数据是：10，10，11，12，，16，16，17，19，19，其中位数是15，
，
解得，
故答案为：4，0.32，14；
（2）由（1）知，，
补全的频数分布直方图如右图所示；
（3）由直方图可得，
参加应急执勤次数最多的组是，
故答案为：20，30；
（4）
，
故答案为：160．
【点睛】本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22. 为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是，第二组乘公交车，速度是，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）
【答案】第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地，理由见解析
【解析】
【分析】法1：过点B作BD AC于D，在中证得，设，则，在中，，利用三角函数定义或勾股定理表示出AD的长，在中，利用三角函数表示出CD的长，由AD＋CD＝AC列出方程问题得解；法2与法1辅助组相同，不同点是法2是在BCD中，利用三角定义列方程求解．
【详解】方法1：
解：作于D．依题意得，
，，
，
．
在中，，，
，
，
，
设，则，
在中，，
，，
，
（或者由勾股定理得）
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
第一组用时：；第二组用时：
，
∴第二组先到达目的地，
答：第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地．
方法2：
解：于点D，
依题意得：，，．
，
，
在中，，
，
，
设，则，
由勾股定理得：，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
第一组用时：；第二组用时：
，
第二组先到达目的地．
答：第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
23. 某网店经营一种热销小商品，每件成本10元，经过调研发现，这种小商品20天内售价在持续提升，销售单价P（元/件）与时间t（天）之间的函数关系为（其中，t为整数），且其日销售量y（件）与时间t（天）的关系如表．
时间t（天）
1
5
9
13
17
21
日销售量y（件）
98
90
82
74
66
58
（1）已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，请直接写出y（件）与时间t（天）函数关系式；
（2）在20天的销售中，第几天的销售利润最大?最大日销售利润为多少?
【答案】（1）；（2）第15天的销售利润最大，最大日销售利润为1225元．
【解析】
【分析】（1）根据表格，利用待定系数法得出一次函数解析式即可得答案；
（2）设日销售利润为w元，根据利润=单件×件数可得w与 t关系式，根据二次函数的性质即可得答案．
【详解】（1）设y（件）与时间t（天）函数关系式是，
根据表格得：
解得：，
∴y（件）与时间t（天）函数关系式是
（2）设日销售利润为w元，
∵，，
∴，
∴当时，w取得最大值，此时，
答：在20天的销售中，第15天的销售利润最大，最大日销售利润为1225元．
【点睛】本题考查一次函数与二次函数的综合应用，正确利用待定系数法求函数解析式并熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
24. 如图，是的直径，是的弦，点平分劣弧，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：直线是的切线；
（3）若，，求线段的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）欲证明是切线，只要证明即可．
（3）设，利用勾股定理构建方程求出，再利用平行线分线段成比例定理，求出，可得结论．
【详解】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：连接，，设交于．
是直径，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，即，
是的切线．
（3）解：设．
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，垂径定理，矩形判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
25. 如图，在正方形中， ，是边上一动点（不与点重合），连接，点与点关于所在的直线对称，连接， ，延长到点，使得，连接，．
（1）依题意补全图1；
（2）若，求线段的长；
（3）当点在边上运动时，能使为等腰三角形，直接写出此时的面积．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）4.5或
【解析】
【分析】（1）根据题意作出图形便可；
（2）连接BP ，先证明 ，再证明 ，求得 BP，便可得EF ；
（3）设 ，则 ，求出 AE、AF 、EF ；当△AEF 为等腰三角形时，分两种情况列出方程求出 的值，进而求得最后结果．
【详解】解：（1）根据题意，作图如下：
（2）连接，如图2．
点与点关于所在的直线对称，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
；
（3）设，则，
，
，，
，
当为等腰三角形时，只能有两种情况：或，
①当时，有，
解得，
面积为；
②当时，
，
解得，
的面积为，
综上的面积为4.5或．
【点睛】本题属于几何中的动点问题，综合考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，要求学生能理解相关概念与性能，能应用它们得到线段或角之间的关系，本题综合性较强，蕴含了分类讨论等思想方法．
26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）当时，求抛物线的顶点坐标；
（2）①求抛物线的对称轴（用含的式子表示）；
②若点，，都在抛物线上，则，，的大小关为__________；
（3）直线与轴交于点，与轴交于点，过点作垂直于轴的直线与抛物线有两个交点，在抛物线对称轴左侧的点记为，当为钝角三角形时，求的取值范围．
【答案】（1）顶点坐标为；（2）①；②；（3）或
【解析】
【分析】（1）先将m=2代入抛物线的解析式，并配方可得抛物线顶点的坐标；
（2）①根据函数对称轴为x=-计算可得结论；
②函数开口向上，x=m时函数取得最小值，根据离对称轴距离越远，函数值越大可比较y1，y2，y3的大小关系；
（3）当△OAP为钝角三角形时，则0＜m-2＜m或m-2＞-3，分别求解即可．
【详解】解：（1）当时，抛物线的解析式为：，
顶点坐标为；
（2）①抛物线，
函数对称轴为；
②函数开口向上，时函数取得最小值，
离对称轴距离越远，函数值越大，
，且点，，都在抛物线上，
；
故答案为：；
（3）把点代入的表达式并解得：，
则，直线的表达式为：，
如图，
在直线上，当时，点与重合，
当时，，
则，
点在对称轴的左侧，
不符合题意，舍去，
则点，
当△OAP为钝角三角形时，
则或，
解得：或，
的取值范围是：或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数，解不等式，一元二次方程根的判别式，钝角三角形判断的方法等知识点，第三问有难度，确定∠AOP为直角时点P的位置最关键．
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