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初中数学第六章 一次函数综合与测试课堂检测
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这是一份初中数学第六章 一次函数综合与测试课堂检测，共51页。试卷主要包含了9一次函数综合问题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】
专题6.9一次函数综合问题
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10 、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020春•海陵区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4）、点B（2，0），函数y＝2x+m的图象与直线AB交于点M，与y轴交于点C．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）当△ABC为直角三角形时，求m的值；
（3）当点M在线段AB上时，求m的取值范围．
【分析】（1）求出直线AB的解析式，构建方程组即可解决问题；
（2）存在两种情况：①如图1，C与原点O重合，∠ACB＝90°；②如图2，当∠ABC＝90°时，根据两点的距离公式和勾股定理列方程可得M的值；
（3）分别计算点M在A或B时对应的m的值，可得M的取值范围．
【解析】（1）∵点A（0，4）、点B（2，0），
设直线AB的解析式为：y＝kx+b
则2k+b=0b=4，解得k=-2b=4
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+4；
（2）当△ABC为直角三角形时，存在两种情况：
①如图1，C与原点O重合，∠ACB＝90°，此时m＝0；
②如图2，当∠ABC＝90°时，C（0，m），
由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2，
∵点A（0，4），点B（2，0），
∴22+42+22+m2＝（4﹣m）2，
解得：m＝﹣1；
综上，m的值是0或﹣1；
（3）当直线y＝2x+m经过点A时，m＝4；
当直线y＝2x+m经过点B时，如图3，
∴2×2+m＝0，
则m＝﹣4，
∴当点M在线段AB上时，m的取值范围是﹣4≤m≤4．
2．（2020•工业园区一模）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．点D，E分别是边AC，BC上的动点，连接DE．设CD＝x（x＞0），BE＝y，y与x之间的函数关系如图②所示．
（1）求出图②中线段PQ所在直线的函数表达式；
（2）将△DCE沿DE翻折，得△DME．
①点M是否可以落在△ABC的某条角平分线上？如果可以，求出相应x的值；如果不可以，说明理由；
②直接写出△DME与△ABC重叠部分面积的最大值及相应x的值．
【分析】（1）设线段PQ所在直线的函数表达式为y＝kx+b，将P（3，4）和Q（6，0）代入可求得答案；
（2）①连接CM并延长CM交AB于点F，证明△DCE∽△ACB，得出∠DEC＝∠ABC，则DE∥AB，求出CF=245，CM=85x，MF=245-85x，过点M作MG⊥AC于点M，过点M作MH⊥BC于点H，证得△CGM∽△BCA，则MGAC=CGBC=CMAB，可得出MG，CG，分三种不同情况可求出答案；
②分两种情形，当0＜x≤3时，当3＜x≤6时，求出△DME与△ABC重叠部分面积的最大值即可．
【解析】（1）设线段PQ所在直线的函数表达式为y＝kx+b，
将P（3，4）和Q（6，0）代入得，
4=3k+b0=6k+b，
解得k=-43b=8，
∴线段PQ所在直线的函数表达式为y=-43x+8；
（2）①如图1，
连接CM并延长CM交AB于点F，
∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，
∴AC=AB2-BC2=6，
由（1）得BE=-43x+8，
∴CE=43x，
∴DCCE=ACBC=34，
∵∠DCE＝∠ACB，
∴△DCE∽△ACB，
∴∠DEC＝∠ABC，
∴DE∥AB，
∵点C和点M关于直线DE对称，
∴CM⊥DE，
∴CF⊥AB，
∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB•CF，
∴6×8＝10×CF，
∴CF=245，
∵∠C＝90°，CD＝x，CE=43x，
∴DE=CE2+CD2=53x，
∴CM=85x，MF=245-85x，
过点M作MG⊥AC于点M，过点M作MH⊥BC于点H，
则四边形GCHM为矩形，
∵∠GCM+∠BCF＝∠BCF+∠ABC＝90°，
∴∠GCM＝∠ABC，
∵∠MGC＝∠ACB＝90°，
∴△CGM∽△BCA，
∴MGAC=CGBC=CMAB，
即MG6=CG8=85x10，
∴MG=2425x，CG=3225x，
∴MH=3225x，
（Ⅰ）若点M落在∠ACB的平分线上，则有MG＝MH，即2425x=3225x，解得x＝0（不合题意舍去），
（Ⅱ）若点M落在∠BAC的平分线上，则有MG＝MF，即2425x=245-85x，解得x=158，
（Ⅲ）若点M落在∠ABC的平分线上，则有MH＝MF，即3225x=245-85x，解得x=53．
综合以上可得，当x=158或x=53时，点M落在△ABC的某条角平分线上．
②当0＜x≤3时，点M不在形外，△DME与△ABC重叠部分面积为△DME的面积，
∴S=12x⋅43x=23x2，
当x＝3时，S的最大值为23×32=6．
当3＜x≤6时，点M在形外，如图2，
由①知CM＝2CQ=85x，
∴MT＝CM﹣CF=85x-245，
∵PK∥DE，
∴△MPK∽△MDE，
∴S△MPKS△MDE=(MFMQ)2=(85x-24545x)2=(2x-6)2x2，
∴S△MPK＝S△MDE•(2x-6)2x2，
∵S四边形DEKP＝S△MDE﹣S△MPK，
∴S四边形DEKP=S△MDE[1-(2x-6)2x2]=23x2⋅[1-(2x-6)2x2]，
化简得S四边形DEKP＝﹣2x2+16x﹣24＝﹣2（x﹣4）2+8，
∴当x＝4时，△DME与△ABC重叠部分面积的最大值为8．
综合可得，当x＝4时，△DME与△ABC重叠部分面积的最大值为8．
3．（2020•新北区一模）定义：在平面直角坐标系中，对于任意P（x1，y1），Q（x2，y2），若点M（x，y）满足x＝3（x1+x2），y＝3（y1+y2），则称点M是点P，Q的“美妙点”．例如：点P（1，2），Q（﹣2，1），当点M（x，y）满足x＝3×（1﹣2）＝﹣3，y＝3×（2+1）＝9时，则点M（﹣3，9）是点P，Q的“美妙点”．
（1）已知点A（﹣1，3），B（3，3），C（2，﹣2），请说明其中一点是另外两点的“美妙点”；
（2）如图，已知点D是直线y=13x+2上的一点．点E（3，0），点M（x，y）是点D、E的“美妙点”．
①求y与x的函数关系式；
②若直线DM与x轴相交于点F，当△MEF为直角三角形时，求点D的坐标．
【分析】（1）由3×（﹣1+2）＝3，3×（3﹣2）＝3，故点B是A、C的“美妙点”；
（2）设点D（m，13m+2），①M是点D、E的“美妙点”，则x＝3（3+m）＝9+3m，y＝3（0+13m+2）＝m+6，即可求解；
②分∠MEF为直角、∠MFE是直角、∠EMF是直角三种情况，分别求解即可．
【解析】（1）∵3×（﹣1+2）＝3，3×（3﹣2）＝3，
∴点B是A、C的“美妙点”；
（2）设点D（m，13m+2），
①∵M是点D、E的“美妙点”．
∴x＝3（3+m）＝9+3m，y＝3（0+13m+2）＝m+6，
故m=13x﹣3，
∴y＝（13x﹣3）+6=13x+3；
②由①得，点M（9+3m，m+6），
如图1，当∠MEF为直角时，则点M（3，4），
∴9+3m＝3，解得：m＝﹣2；
∴点D（﹣2，43）；
当∠MFE是直角时，如图2，
则9+3m＝m，解得：m=-92，
∴点D（-92，12）；
当∠EMF是直角时，
同理可得：点D（-141-276140，99-276140）或（-141+276140，99-276140），
综上，点D（﹣2，43）或（-92，12）或（-141-276140，99-276140）或（-141+276140，99-276140）．
4．（2019秋•张家港市期末）在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣2x+6与坐标轴交于A，B两点，直线l2：y＝kx+2（k＞0）与坐标轴交于点C，D，直线l1，l2与相交于点E．
（1）当k＝2时，求两条直线与x轴围成的△BDE的面积；
（2）点P（a，b）在直线l2：y＝kx+2（k＞0）上，且点P在第二象限．当四边形OBEC的面积为233时．
①求k的值；
②若m＝a+b，求m的取值范围．
【分析】（1）根据k＝2，l2的解析式，就可求出D点坐标，然后求出E点坐标，根据三角形的面积计算公式，就可求出；
（3）①连接OE．设E（n，﹣2n+6），由S四边形OBEC＝S△EOC+S△EOB，可得12×2×n+12×3×（﹣2n+6）=233，解得n=23，求出点E的坐标即可解决问题．
②根据k值求出l2与解析式，把P点入l2，求出a与b的关系式，从而确定m的取值范围．
【解析】（1）∵直线l1：y＝﹣2x+6与坐标轴交于A，B两点，
∴当y＝0时，得x＝3，当x＝0时，y＝6；
∴A（0，6）B（3，0）；
当k＝2时，直线l2：y＝2x+2（k≠0），
∴C（0，2），D（﹣1，0）
解y=-2x+6y=2x+2得x=1y=4，
∴E（1，4），
∴△BDE的面积=12×4×4＝8．
（2）①连接OE．设E（n，﹣2n+6），
∵S四边形OBEC＝S△EOC+S△EOB，
∴12×2×n+12×3×（﹣2n+6）=233，
解得n=23，
∴E（23，143），
把点E的人y＝kx+2中，143=23k+2，
解得k＝4．
②∵直线y＝4k+2交x轴于D，
∴D（-12，0），
∵P（a，b）在第二象限，在线段CD上，
∴-12＜a＜0，
∴b＝4a+2，
∴m＝a+b＝5a+2，
∴-12＜m＜2．
5．（2019秋•太仓市期末）如图，平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+3（k≠0）交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B，过点C（0，2）作y轴的垂线CD交AB于点E，点P从E出发，沿着射线ED向右运动，设PE＝n．
（1）求直线AB的表达式；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求n的值；
（3）若以点P为直角顶点，PB为直角边在直线CD的上方作等腰Rt△BPM，试问随着点P的运动，点M是否也在直线上运动？如果在直线上运动，求出该直线的解析式；如果不在直线上运动，请说明理由．
【分析】（1）将点A的坐标代入直线AB：y＝kx+3并解得：k=-34，即可求解；
（2）分AP＝BP、AP＝AB、AB＝BP三种情况，分别求解即可；
（3）证明MHP△≌△PCB（AAS），求出点M（n+73，n+103），即可求解．
【解析】将点A的坐标代入直线AB：y＝kx+3并解得：k=-34，
故AB的表达式为：y=-34x+3；
（2）当y＝2时，x=43，故点E（43，2），则点P（n+43，2），
而点A、B坐标分别为：（4，0）、（0，3），
则AP2＝（43+n﹣4）2+4；BP2＝（n+43）2+1，AB2＝25，
当AP＝BP时，（43+n﹣4）2+4＝（n+43）2+1，解得：n=2524；
当AP＝AB时，同理可得：n=83+21（不合题意值已舍去）；
当AB＝BP时，同理可得：n=-43+26；
故n=2524或83+21或-43+26；
（3）在直线上，理由：
如图，过点M作MH⊥CD于点H，
∵∠BPC+∠PBC＝90°，∠BPC+∠MPH＝90°，
∴∠CPB＝∠MPH，BP＝PM，∠MHP＝∠PCB＝90°
∴MHP△≌△PCB（AAS），
则CP＝MH＝n+43，BC＝1＝PH，
故点M（n+73，n+103），
故点M在直线y＝x+1上．
6．（2019秋•镇江期末）如图，函数y=-13x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y＝x的图象交于点M，点M的横坐标为3．
（1）求点A的坐标；
（2）在x轴上有一动点P（a，0）．
①若三角形ABP是以AB为底边的等腰三角形，求a的值；
②过点P作x轴的垂线，分别交函数y=-13x+b和y＝x的图象于点C、D，若DC＝2CP，求a的值．
【分析】（1）函数y＝x的图象交于点M，点M的横坐标为3，则点M（3，3），将点M的坐标代入函数y=-13x+b并解得：b＝4，即可求解；
（2）①如图1，△ABP是以AB为底边的等腰三角形，则BP是AB的中垂线，OP＝a，则AP＝12﹣a＝BP，OB＝4，由勾股定理得：（12﹣a）2＝16+a2，即可求解；
②P（a，0），则点C、D的坐标分别为：（a，-13a+4）、（a，a）；DC＝2CP，即|-13a+4﹣a|＝2（-13a+4），即可求解．
【解析】（1）函数y＝x的图象交于点M，点M的横坐标为3，则点M（3，3），
将点M的坐标代入函数y=-13x+b并解得：b＝4，
故点A的坐标为：（12，0）；
（2）①如图1，连接PB，ABP是以AB为底边的等腰三角形，
则BP是AB的中垂线，OP＝a，则AP＝12﹣a＝BP，OB＝4，
由勾股定理得：（12﹣a）2＝16+a2，解得：a=163；
②P（a，0），则点C、D的坐标分别为：（a，-13a+4）、（a，a）；
DC＝2CP，即|-13a+4﹣a|＝2（-13a+4），
解得：a＝±6．
7．（2019秋•建湖县期末）如图，正比例函数y=34x与一次函数y＝ax+7的图象相交于点P（4，n），过点A（2，0）作x轴的垂线，交一次函数的图象于点B，连接OB．
（1）求a值；
（2）求△OBP的面积；
（3）在坐标轴的正半轴上存在点Q，使△POQ是以OP为腰的等腰三角形，请直接写出Q点的坐标．
【分析】（1）由点P的坐标，即可得到结论；
（2）由点A的坐标可得出点B、C的坐标，进而可得出BC的长度，根据三角形的面积公式即可求出△POB的面积；
（3）假设存在，当点Q在x轴上时，设点Q的坐标为（m，0），当点Q在y轴上时，设点Q的坐标为（0，n），分PO＝OQ及PO＝PQ两种情况考虑，根据两点间的距离公式结合等腰三角形的性质，即可得出关于m、n的方程，解之即可得出结论．
【解析】（1）把点P（4，n）代入y=34x得，n=34×4，
∴n＝3，
∴P（4，3），
把P（4，3）代入y＝ax+7得，3＝4a+7，
∴a＝﹣1；
（2）∵A（2，0），AB⊥x轴，
∴B点的横坐标为2，
∵点B在y＝﹣x+7上，
∴B（2，5），
设直线AB与OP交于C，
∴C（2，32），
∴△OBP的面积＝S△BCO+S△BCP=12×2×（5-32）+12×（4﹣2）×（5-32）＝7；
（3）假设存在，当点Q在x轴的正半轴上时，设点Q的坐标为（m，0），当点Q在y轴的正半轴上时，设点Q的坐标为（0，n）．
∵△POQ是以OP为腰的等腰三角形，
∴分PO＝OQ及PO＝PQ两种情况考虑．
①当PO＝OQ时，有42+32=m或42+32=n，
解得：m＝5，n＝5，
∴点Q的坐标为（5，0）或（0，5）；
②当PO＝PQ时，有42+32=(m-4)2+(0-3)2或42+33=(0-4)2+(n-3)2，
解得：m1＝8，m1＝0（舍去）或n1＝6，n2＝0（舍去），
∴点Q的坐标为（8，0）或（0，6）．
综上所述：假设成立，即在坐标轴的正半轴上存在点Q，使△POQ是以OP为腰的等腰三角形，点Q的坐标为（5，0）或（8，0）或（0，5）或（0，6）．
8．（2019秋•常州期末）如图1，对于平面直角坐标系xOy中的点A和点P，若将点P绕点A顺时针旋转90°后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“垂链点”．
（1）△PAQ是 等腰直角 三角形；
（2）已知点A的坐标为（0，0），点P关于点A的“垂链点”为点Q．
①若点P的坐标为（2，0），则点Q的坐标为 （0，﹣2） ；
②若点Q的坐标为（﹣2，1），则点P的坐标为 （﹣1，﹣2） ；
（3）如图2，已知点D的坐标为（3，0），点C在直线y＝2x上，若点C关于点D的“垂链点”在坐标轴上，试求点C的坐标．
【分析】（1）根据旋转的性质，即可求解；
（2）根据旋转的性质，即可求解；
（3）①当点C在第一象限时，则点C关于点D的“垂链点”在x轴上，点CD⊥x轴，即可求解；②当点C在第三象限时，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【解析】（1）∵将点P绕点A顺时针旋转90°后得到点Q，
∴∠PAQ＝90°，PA＝QA，
∴△PAQ是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角；
（2）A的坐标为（0，0），即点A是原点，
根据旋转的性质得：①∵点P的坐标为（2，0），∴点Q（0，﹣2），
②∵若点Q的坐标为（﹣2，1），∴点P的坐标为：（﹣1，﹣2），
故答案为：（0，﹣2），（﹣1，﹣2），；
（3）①当点C在第一象限时，
则点C关于点D的“垂链点”在x轴上，点CD⊥x轴，
故点C（3，6）；
②当点C在第三象限时，如下图：
设点C（m，2m），点C′（0，n），
点C的“垂链点”C′在y轴上，
过点C作CH⊥x轴于点H，
∵∠CDH+∠HCD＝90°，∠OC′D+∠CDH＝90°，
∴∠HDC＝∠OC′D，
∵∠DHC＝∠DOC′＝90°，DC＝C′D，
∴△CDH≌△DC′O（AAS），
则CH＝DO，即：﹣2m＝3，解得：m=-32，
故点C（-32，﹣3），
综上，点C坐标（3，6）或（-32，﹣3）．
9．（2019秋•盐都区期末）如图，已知一次函数y＝x﹣2的图象与y轴交于点A，一次函数y＝4x+b的图象与y轴交于点B，且与x轴以及一次函数y＝x﹣2的图象分别交于点C、D，点D的坐标为（﹣2，m）．
（1）关于x、y的方程组y-x=-2y-4x=b的解为 x=-2y=-4 ．
（2）关于x的不等式x﹣2≥4x+b的解集为 x≤﹣2 ．
（3）求四边形OADC的面积；
（4）在x轴上是否存在点E，使得以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点E的坐标：若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题目中的两个函数解析式可以求得点D的坐标、从而可以得到关于x、y的方程组y-x=-2y-4x=b的解；
（2）根据一次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想可以得到关于x的不等式x﹣2≥4x+b的解集；
（3）根据点D在一次函数y＝4x+b上，可以求得b的值，然后即可求得点C和点B的坐标，再根据图形可知四边形OADC的面积＝△ABD的面积﹣△BOC的面积，代入数据即可解答本题；
（4）根据题意，画出相应的图形，可知有三种情况，然后分别进行讨论计算即可解答本题．
【解析】（1）∵点D（﹣2，m）在一次函数y＝x﹣2上，
∴m＝﹣2﹣2＝﹣4，
∴点D的坐标为（﹣2，﹣4），
∵一次函数y＝x﹣2的图象与一次函数y＝4x+b的图象交于点D，
∴y=x-2y=4x+b的解是x=-2y=-4，
∴关于x、y的方程组y-x=-2y-4x=b的解为x=-2y=-4，
故答案为：x=-2y=-4；
（2）由（1）可知点D的坐标为（﹣2，﹣4），
∵一次函数y＝x﹣2的图象与一次函数y＝4x+b的图象交于点D，
∴关于x的不等式x﹣2≥4x+b的解集为x≤﹣2，
故答案为：x≤﹣2；
（3）∵一次函数y＝x﹣2，
∴当x＝0时，y＝﹣2，
∴点A的坐标为（0，﹣2），
∵点D（﹣2，﹣4）在一次函数y＝4x+b上，
∴﹣4＝4×（﹣2）+b，得b＝4，
∴一次函数y＝4x+4，
当y＝0时，x＝﹣1，当x＝0时，y＝4，
∴点C的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，4），
∴AB＝6，OC＝1，OB＝4，
∴S四边形OADC＝S△BAD﹣S△BOC=6×22-1×42=4，
即四边形OADC的面积是4；
（4）如图2，当点E为直角顶点时，过点D作DE1⊥x轴于E1，
∵D（﹣2，﹣4），
∴E1（﹣2，0）；
当点C为直角顶点时，x轴上不存在点E；
当点D为直角顶点时，过点D作DE2⊥CD交x轴于点E2，
设E2（t，0），
∵C（﹣1，0），E1（﹣2，0），
∴CE2＝﹣1﹣t，E1E2＝﹣2﹣t，
∵D（﹣2，﹣4），
∴DE1＝4，CE1＝﹣1﹣（﹣2）＝1，
在Rt△DE1E2中，
DE22=DE12+(E1E2)2=42+（﹣2﹣t）2＝t2+4t+20，
在Rt△CDE1中，
CD2＝12+42＝17，
在Rt△CDE2中，
CE22=DE22+CD2，
∴（﹣1﹣t）2＝t2+4t+20+17．
解得t＝﹣18．
∴E2（﹣18，0）；
由上可得，点E坐标为（﹣2，0）或（﹣18，0）．
10．（2019秋•常熟市期末）如图，一次函数y1＝x+b的图象与x轴y轴分别交于点A，点B，函数y1＝x+b，与y2=-43x的图象交于第二象限的点C，且点C横坐标为﹣3．
（1）求b的值；
（2）当0＜y1＜y2时，直接写出x的取值范围；
（3）在直线y2=-43x上有一动点P，过点P作x轴的平行线交直线y1＝x+b于点Q，当PQ=145OC时，求点P的坐标．
【分析】（1）将x＝﹣3代入y2=-43x，可得C（﹣3，4），再将C点代入y1＝x+b，可求b＝7；
（2）结合函数图象，在0＜y1＜y2时，有﹣7＜x＜﹣3；
（3）设P（a，-43a），PQ∥x轴，Q（-43a﹣7，-43a），则PQ＝|73a+7|，因为OC＝5，所以PQ=145OC＝14，则有|73a+7|＝14，求出a即可求点P．
【解析】（1）将x＝﹣3代入y2=-43x，
可得C（﹣3，4），
再将C点代入y1＝x+b，
∴b＝7；
（2）﹣7＜x＜﹣3；
（3）∵点P为直线y2=-43x上一动点，
设P（a，-43a），
∵PQ∥x轴，
∴Q（-43a﹣7，-43a），
∴PQ＝|73a+7|，
∵C（﹣3，4），
∴OC＝5，
∴PQ=145OC＝14，
∴|73a+7|＝14，
∴a＝3或a＝﹣9，
∴P（3，﹣4）或P（﹣9，12）．
11．（2019秋•赣榆区期末）【模型建立】
如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．
求证：△BEC≌△CDA；
【模型应用】
①已知直线l1：y=43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕着点A逆时针旋转45°至直线l2，如图2，求直线l2的函数表达式；
②如图3，在平面直角坐标系中，点B（8，6），作BA⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P是线段BC上的一个动点，点Q是直线y＝2x﹣6上的动点且在第一象限内．问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请直接写出此时点Q的坐标，若不能，请说明理由．
【分析】（1）在△ACD与△CBE中，∠D＝∠E，∠ACD＝∠EBC，CA＝BC，即可求解；
（2）由（1）可知：△CBD≌△BAO，BD＝AO，CD＝OB，l1⋅y=43x+4，故B（0，4），BD＝AO＝3，CD＝OB＝4，OD＝4+3＝7，即可求解；
（3）△AMQ≌△QNP（AAS），则AM＝QN，即|8﹣m|＝6﹣（2m﹣6），即可求解．
【解析】（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形
∴CB＝CA，∠ACD+∠BCE＝180°﹣90°＝90°
又∵AD⊥CD，BE⊥EC
∴∠D＝∠E＝90°
又∵∠EBC+∠BCE＝90°
∴∠ACD＝∠EBC
在△ACD与△CBE中，
∠D＝∠E，∠ACD＝∠EBC，CA＝BC，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
（2）过点B作BC⊥AB交l2于C，过C作CD⊥y轴于D，
∵∠BAC＝45°
∴△ABC为等腰Rt△
由（1）可知：△CBD≌△BAO
∴BD＝AO，CD＝OB
∵l1：y=43x+4，
令y＝0，则x＝﹣3
∴A（﹣3，0），
令x＝0，则y＝4
∴B（0，4）
∴BD＝AO＝3，CD＝OB＝4
∴OD＝4+3＝7．
∴C（﹣4，7），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
将点A（﹣3，0），C（﹣4，7）代入y＝kx+b中，
得0=-3k+b7=-4k+b
解得，k＝﹣7，b＝﹣21，
则l2的解析式：y＝﹣7x﹣21；
（3）如下图，设点Q（m，2m﹣6），
当∠AQP＝90°时，
由（1）知，△AMQ≌△QNP（AAS），
∴AM＝QN，即|8﹣m|＝6﹣（2m﹣6），
解得：m＝4或203，
故：Q（4，2），(203，223)．
12．（2019秋•东台市期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（5，0）和点B（0，4）．
（1）求直线AB所对应的函数表达式；
（2）设直线y＝x与直线AB相交于点C，求△AOC的面积；
（3）若将直线OC沿y轴向下平移，交y轴于点O′，当△ABO′为等腰三角形时，求点O′的坐标．
【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB所对应的函数表达式；
（2）联立直线OC及直线AB所对应的函数表达式为方程组，通过解方程组可求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式结合点A的坐标即可求出△AOC的面积；
（3）分AB＝AO′，O′B＝O′A，BA＝BO′三种情况考虑：①当AB＝AO′时，由等腰三角形的性质可得出OB＝OO′，结合点B的坐标可得出点O′的坐标；②当O′B＝O′A时，设OO′＝x，则O′A＝4+x，在Rt△AOO′中利用勾股定理可求出x的值，进而可得出点O′的坐标；③当BA＝BO′时，利用勾股定理可求出BO′的值，结合点B的坐标可得出点O′的坐标．综上，此题得解．
【解析】（1）设直线AB所对应的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
将A（5，0），B（0，4）代入y＝kx+b，得：
5k+b=0b=4，解得：k=-45b=4，
∴直线AB所对应的函数表达式y=-45x+4．
（2）联立直线OC及直线AB所对应的函数表达式为方程组，得：
y=xy=-45x+4，解得：x=209y=209，
∴点C坐标（209，209），
∴S△AOC=12OA•yC=12×5×209=509．
（3）分三种情况考虑，如图所示．
①当AB＝AO′时，OB＝OO′，
∵点B的坐标为（0，4），
∴点O′的坐标为（0，﹣4）；
②当O′B＝O′A时，设OO′＝x，则O′A＝4+x，
在Rt△AOO′中，AO′2＝OO′2+AO2，即（4+x）2＝52+x2，
解得：x=98，
∴点O′的坐标为（0，-98）；
③当BA＝BO′时，∵BO′=OA2+OB2=41，点B的坐标为（0，4），
∴点O′的坐标为（0，4-41）或（0，4+41）（舍去）．
综上所述：当△ABO′为等腰三角形时，点O′的坐标为（0，﹣4），（0，-98）或（0，4-41）．
13．（2019秋•东台市期末）如图，已知直线y＝﹣2x+8与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．
（1）求点A、C的坐标；
（2）将△ABC对折，使得点A与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式；
（3）在（2）的条件下，坐标平面内是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）已知直线y＝﹣2x+8与x轴、y轴分别交于点A、C，即可求得A和C的坐标；
（2）根据题意可知△ACD是等腰三角形，算出AD长即可求得D点坐标，最后即可求出CD的解析式；
（3）将点P在不同象限进行分类，根据全等三角形的判定方法找出所有全等三角形，找出符合题意的点P的坐标．
【解析】（1）令y＝0，则﹣2x+8＝0，解得x＝4，
∴A（4，0），
令x＝0，则y＝8，
∴C（0，8）；
（2）由折叠可知：CD＝AD，
设AD＝x，则CD＝x，BD＝8﹣x，
由题意得，（8﹣x）2+42＝x2，
解得x＝5，
此时AD＝5，
∴D（4，5），
设直线CD为y＝kx+8，
把D（4，5）代入得5＝4k+8，解得k=-34，
∴直线CD的解析式为y=-34x+8；
（3）①当点P与点O重合时，△APC≌△CBA，此时P（0，0）
②当点P在第一象限时，如图1，
由△APC≌△CBA得∠ACP＝∠CAB，
则点P在直线CD上．过P作PQ⊥AD于点Q，
在Rt△ADP中，
AD＝5，AP＝BC＝4，PD＝BD＝8﹣5＝3，
由AD×PQ＝DP×AP得：5PQ＝3×4，
∴PQ=125，
∴xP＝4+125=325，把x=325代入y=-34x+8得y=165，
此时P（325，165）
③当点P在第二象限时，如图2，
同理可求得：PQ=125，
在RT△PCQ中，CQ=PC2-PQ2=42-(125)2=165，
∴OQ＝8-165=245，
此时P（-125，245），
综上，满足条件的点P有三个，分别为：（0，0），（325，165），（-125，245）．
14．（2019秋•临渭区期末）如图，直线y＝﹣2x+7与x轴、y轴分别相交于点C、B，与直线y=32x相交于点A．
（1）求A点坐标；
（2）如果在y轴上存在一点P，使△OAP是以OA为底边的等腰三角形，则P点坐标是 （0，136） ；
（3）在直线y＝﹣2x+7上是否存在点Q，使△OAQ的面积等于6？若存在，请求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）联立方程，解方程即可求得；
（2）设P点坐标是（0，y），根据勾股定理列出方程，解方程即可求得；
（3）分两种情况：①当Q点在线段AB上：作QD⊥y轴于点D，则QD＝x，根据S△OBQ＝S△OAB﹣S△OAQ列出关于x的方程解方程求得即可；②当Q点在AC的延长线上时，作QD⊥x轴于点D，则QD＝﹣y，根据S△OCQ＝S△OAQ﹣S△OAC列出关于y的方程解方程求得即可．
【解析】（1）解方程组：y=-2x+7y=32x得：x=2y=3
∴A点坐标是（2，3）；
（2）设P点坐标是（0，y），
∵△OAP是以OA为底边的等腰三角形，
∴OP＝PA，
∴22+（3﹣y）2＝y2，
解得y=136，
∴P点坐标是（0，136），
故答案为（0，136）；
（3）存在；
由直线y＝﹣2x+7可知B（0，7），C（72，0），
∵S△AOC=12×72×3=214＜6，S△AOB=12×7×2＝7＞6，
∴Q点有两个位置：Q在线段AB上和AC的延长线上，设点Q的坐标是（x，y），
当Q点在线段AB上：作QD⊥y轴于点D，如图①，则QD＝x，
∴S△OBQ＝S△OAB﹣S△OAQ＝7﹣6＝1，
∴12OB•QD＝1，即12×7x＝1，
∴x=27，
把x=27代入y＝﹣2x+7，得y=457，
∴Q的坐标是（27，457），
当Q点在AC的延长线上时，作QD⊥x轴于点D，如图②则QD＝﹣y，
∴S△OCQ＝S△OAQ﹣S△OAC＝6-214=34，
∴12OC•QD=34，即12×72×（﹣y）=34，
∴y=-37，
把y=-37代入y＝﹣2x+7，解得x=267，
∴Q的坐标是（267，-37），
综上所述：点Q是坐标是（27，457）或（267，-37）．
15．（2019秋•法库县期末）如图，已知函数y＝x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y＝kx+b的图象经过点B（0，﹣1），与x轴以及y＝x+1的图象分别交于点C、D，且点D的坐标为（1，n），
（1）则n＝ 2 ，k＝ 3 ，b＝ ﹣1 ；
（2）函数y＝kx+b的函数值大于函数y＝x+1的函数值，则x的取值范围是 x＞1
（3）求四边形AOCD的面积；
（4）在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）对于直线y＝x+1，令x＝0求出y的值，确定出A的坐标，把B坐标代入y＝kx+b中求出b的值，再将D坐标代入y＝x+1求出n的值，进而将D坐标代入求出k的值即可；
（2）由两一次函数解析式，结合图象确定出x的范围即可；
（3）过D作DE垂直于x轴，如图1所示，四边形AOCD面积等于梯形AOED面积减去三角形CDE面积，求出即可；
（4）在x轴上存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形，理由为：分两种情况考虑：①DP′⊥DC；②DP⊥CP，分别求出P坐标即可．
【解析】（1）对于直线y＝x+1，令x＝0，得到y＝1，即A（0，1），
把B（0，﹣1）代入y＝kx+b中，得：b＝﹣1，
把D（1，n）代入y＝x+1得：n＝2，即D（1，2），
把D坐标代入y＝kx﹣1中得：2＝k﹣1，即k＝3，
故答案为：2，3，﹣1；
（2）∵一次函数y＝x+1与y＝3x﹣1交于D（1，2），
∴由图象得：函数y＝kx+b的函数值大于函数y＝x+1的函数值时x的取值范围是x＞1；
故答案为：x＞1；
（3）过D作DE⊥x轴，垂足为E，如图1所示，
则S四边形AOCD＝S梯形AOED﹣S△CDE=12（AO+DE）•OE-12CE•DE=12×（1+2）×1-12×23×2=32-23=56；
（4）在x轴上存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形，理由为：
如图2所示，分两种情况考虑：
①当P′D⊥DC时，可得kP′D•kDC＝﹣1，
∵直线DC斜率为3，
∴直线P′D斜率为-13，
∵D（1，2），
∴直线P′D解析式为y﹣2=-13（x﹣1），
令y＝0，得到x＝7，即P′（7，0）；
②当DP⊥CP时，由D横坐标为1，得到P横坐标为1，
∵P在x轴上，
∴P的坐标为（1，0）．
16．（2020•和平区校级模拟）如图，直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于B，A两点，动点P在线段AB上移动，以P为顶点作∠OPQ＝45°交x轴于点Q．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）比较∠AOP与∠BPQ的大小，说明理由．
（3）是否存在点P，使得△OPQ是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据直线y＝﹣x+1即可求得A、B的坐标；
（2）过P点PE⊥OA交OA于点E，根据OA＝OB，求得△AOB是等腰直角三角形，得出∠OAB＝∠OBA＝45°，即可求得∠APE＝45°，根据平角的定义即可求得∠OPE+∠BPQ＝90°，再根据直角三角形两锐角互余，即可求得∠AOP＝∠BPQ．
（3）假设存在等腰三角形，分三种情况讨论：（ⅰ）QP＝QO；（ⅱ）QP＝QO；（ⅲ） 若PO＝PQ．能求出P点坐标，则存在点P，否则，不存在．
【解析】（1）∵直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，
令x＝0，则y＝0+1＝1，
∴A（0，1），
令y＝0，则0＝﹣x+1，
解得：x＝1．
∴B（1，0）．
（2）∠AOP＝∠BPQ．
理由如下：
过P点作PE⊥OA交OA于点E，
∵A（0，1），B（1，0）．
∴OA＝OB＝1，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵PE⊥OA，
∴∠APE＝45°，
∵∠OPQ＝45°，
∴∠OPE+∠BPQ＝90°，
∵∠AOP+∠OPE＝90°，
∴∠AOP＝∠BPQ．
（3）△OPQ可以是等腰三角形．
理由如下：
如图，过P点PE⊥OA交OA于点E，
（ⅰ）若OP＝OQ，
则∠OPQ＝∠OQP＝∠OPQ，
∴∠POQ＝90°，
∴点P与点A重合，
∴点P坐标为（0，1），
（ⅱ）若QP＝QO，
则∠OPQ＝∠QOP＝45°，
所以PQ⊥QO，
可设P（x，x）代入y＝﹣x+1得x=12，
∴点P坐标为（12，12），
（ⅲ） 若PO＝PQ
∵∠OPQ+∠1＝∠2+∠3，
而∠OPQ＝∠3＝45°，
∴∠1＝∠2，
又∵∠3＝∠4＝45°，
∴△AOP≌△BPQ（AAS），
PB＝OA＝1，
∴AP=2-1
由勾股定理求得PE＝AE＝1-22，
∴EO=22，
∴点P坐标为（1-22，22），
∴点P坐标为（0，1），（12，12）或（1-22，22）时，△OPQ是等腰三角形．
17．（2019秋•亭湖区校级月考）对于平面直角坐标系xOy中的点A和点P，若将点P绕点A逆时针旋转90°后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“垂链点”，图1为点P关于点A的“垂链点”Q的示意图．
（1）如图2，已知点A的坐标为（0，0），点P关于点A的“垂链点”为点Q；
①若点P的坐标为（3，0），则点Q的坐标为 （0，3） ；
②若点Q的坐标为（﹣2，﹣1），则点P的坐标为 （﹣1，2） ；
（2）如图3，已知点C的坐标为（﹣1，0），点D在直线y＝2x﹣2上，若点D关于点C的“垂链点”E在坐标轴上，试求出点D的坐标；
（3）如图4，在平面直角坐标系xOy，已知点A（2，0），点C是y轴上的动点，点A关于点C的“垂链点”是点B，连接BO、BA，则BO+BA的最小值是 5 ．
【分析】（1）①若点P的坐标为（3，0），则点Q的坐标为 （0，3），②若点Q的坐标为（﹣2，﹣1），同理可得：点P的坐标为（﹣1，2）；
（2）分当点E（E′）落在x轴上、点E落在y轴两种情况，分别求解即可；
（3）BO+BA=(m-1)2+(m+1)2+m2+(m+1)2，BO+BA的值，相当于求点P（m，m）到点M（1，﹣1）和点N（0，﹣1）的最小值，相当于在直线y＝x上寻找一点P（m，m），使得点P到M（0，﹣1），到N（1，﹣1）的距离和最小，即可求解．
【解析】（1）①若点P的坐标为（3，0），则点Q的坐标为 （0，3），
故答案为：（0，3）；
②若点Q的坐标为（﹣2，﹣1），
同理可得：点P的坐标为（﹣1，2），
故答案为：（﹣1，2）；
（2）①当点E（E′）落在x轴上时，如图1
则点D（D′）关于点C的“垂链点”在x轴上，点CD⊥x轴，
x＝﹣1时，y＝﹣2﹣2＝﹣4，
故点D（﹣1，﹣4）；
②当点E落在y轴时，如图1：
设点D（m，2m﹣2），
点D的“垂链点E在y轴上，
过点D作DH⊥x轴于点H，
则△CHD≌△EOC（AAS），
则DH＝OC＝1，即：2m﹣2＝﹣1，解得：m=12，
故点D（12，﹣1），
综上，点D（﹣1，﹣4）或（12，﹣1）；
（3）如图作BH⊥OH于H．
设点C的坐标为（0，m），
由（1）知：OC＝HB＝m，OA＝HC＝2，
则点B（m，2+m），
则：BO+BA=(m-1)2+(m+1)2+m2+(m+1)2，
BO+BA的值，相当于求点P（m，m）到点M（1，﹣1）和点N（0，﹣1）的最小值，
相当于在直线y＝x上寻找一点P（m，m），使得点P到M（0，﹣1），到N（1，﹣1）的距离和最小，
作M关于直线y＝x的对称点M′（﹣1，0），
易知PM+PN＝PM′+PN≥NM′，
M′N＝25，
答案为：25．
18．（2018秋•东台市期末）如图，直角坐标系xOy中，一次函数y=-12x+4的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，3），过动点M（n，0）作x轴的垂线与直线l1和l2分别交于P、Q两点．
（1）求m的值及l2的函数表达式；
（2）当PQ≤4时，求n的取值范围；
（3）是否存在点P，使S△OPC＝2S△OBC？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求得点C的坐标，再运用待定系数法即可得到l2的解析式；
（2）设P（n，-12n+4），Q（n，32n），由PQ≤4，得到32n+12n﹣4≤4，解不等式即可得到结论；
（3）根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【解析】（1）把C（m，3）代入一次函数y=-12x+4，可得3=-12m+4，
解得m＝2，
∴C（2，3），
设l2的解析式为y＝ax，则3＝2a，
解得a=32，
∴l2的解析式为y=32x；
（2）∵PQ∥y轴，点M（n，0），
∴P（n，-12n+4），Q（n，32n），
∵PQ≤4，
∴32n+12n﹣4≤4，
∴0≤n≤4，
∴n的取值范围为0≤n≤4；
（3）存在，
P（n，-12n+4），
∵S△OPC＝2S△OBC，
∴S△OPC=23S△OBP，
∴23×12×4n＝2×12×4×2，
解得：n＝6，
∴点P的坐标（6，1）．
19．（2019春•崇川区校级期中）阅读下列两则材料，回答问题，
材料一：定义直线y＝ax+b与直线y＝bx+a互为“互助直线”，例如，直线y＝x+4与直y＝4x+1互为“互助直线”；
材料二：对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），P1、P2两点间的直角距离d（P1，
P2）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．如：Q1（﹣3，1）、Q2（2，4）两点间的直角距离为d（Q1，Q2）＝|﹣3﹣2|+|1﹣4|＝8；
材料三：设P0（x0，y0）为一个定点，Q（x，y）是直线y＝ax+b上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y＝ax+b的直角距离．
（1）计算S（﹣1，6），T（﹣2，3）两点间的直角距离d（S，T）＝ 4 ；
（2）直线y＝﹣2x+3上的一点H（a，b）又是它的“互助直线”上的点，求点H的坐标．
（3）对于直线y＝ax+b上的任意一点M（m，n），都有点N（3m，2m﹣3n）在它的“互助直线”上，试求点L（5，﹣1）到直线y＝ax+b的直角距离．
【分析】（1）d（S，T）＝|﹣1+2|+|6﹣3|，即可求解；
（2）设点H（a，﹣2a+3），将点H坐标代入y＝3x﹣2得：﹣2a+3＝3a﹣2，即可求解；
（3）M（m，n）在y＝ax+b上则n＝am+b，点N在“互助直线”y＝bx+a上，则2m﹣3n＝3bm+a，联立①②并整理得：m（2﹣3a﹣3b）＝a+3b，对于任意一点M（m，n）都等式均成立，故：a+3b＝0，2﹣3a﹣3b＝0，解得：a＝1，b=-13，即可求解．
【解析】（1）d（S，T）＝|﹣1+2|+|6﹣3|＝4，
故答案为4；
（2）直线y＝﹣2x+3上的“互助直线”为：y＝3x﹣2，
设点H（a，﹣2a+3），将点H坐标代入y＝3x﹣2得：﹣2a+3＝3a﹣2，解得：a＝1，
故点H（1，1）；
（3）M（m，n）在y＝ax+b上，则n＝am+b…①，
点N在“互助直线”y＝bx+a上，则2m﹣3n＝3bm+a…②，
联立①②并整理得：m（2﹣3a﹣3b）＝a+3b，
对于任意一点M（m，n）都等式均成立，故：a+3b＝0，2﹣3a﹣3b＝0，
解得：a＝1，b=-13，
故函数的表达式为：y＝x-13，
设点P（x，x-13）是函数上的点
d（L，P）＝|5﹣x|+|x-13+1|＝|x﹣5|+|x+23|，
则d（L，P）的最小值为523．
20．（2018秋•涟水县期末）【模型建立】
（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．
求证：△CDA≌△BEC．
【模型运用】
（2）如图2，直线l1：y=43x+4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l2，求直线l2的函数表达式．
【模型迁移】
如图3，直线l经过坐标原点O，且与x轴正半轴的夹角为30°，点A在直线l上，点P为x轴上一动点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，过点B的直线BC交x轴于点C，∠OCB＝30°，点B到x轴的距离为2，求点P的坐标．
【分析】【模型建立】
（1）由“AAS”可证△CDA≌△BEC；
【模型运用】
（2）如图2，在l2上取D点，使AD＝AB，过D点作DE⊥OA，垂足为E，由（1）可知△BOA≌△AED，可得DE＝OA＝3，AE＝OB＝4，可求点D坐标，由待定系数法可求解析式；
【模型迁移】
（3）分两种情况讨论，通过证明△OAP≌△CPB，可得OP＝BC＝4，即可求点P坐标．
【解答】证明：【模型建立】
（1）∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠D＝∠E＝90°
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE，且CA＝BC，∠D＝∠E＝90°
∴△CDA≌△BEC（AAS）
【模型运用】
（2）如图2，在l2上取D点，使AD＝AB，过D点作DE⊥OA，垂足为E
∵直线y=43x+4与坐标轴交于点A、B，
∴A（﹣3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
由（1）得△BOA≌△AED，
∴DE＝OA＝3，AE＝OB＝4，
∴OE＝7，
∴D（﹣7，3）
设l2的解析式为y＝kx+b，
得3=-7k+b0=-3k+b
解得k=-34b=-94
∴直线l2的函数表达式为：y=-34x-94
【模型迁移】
（3）若点P在x轴正半轴，如图3，过点B作BE⊥OC，
∵BE＝2，∠BCO＝30°，BE⊥OC
∴BC＝4，
∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，
∴AP＝BP，∠APB＝30°，
∵∠APC＝∠AOC+∠OAP＝∠APB+∠BPC，
∴∠OAP＝∠BPC，且∠AOC＝∠PCB＝30°，AP＝BP，
∴△OAP≌△CPB（AAS）
∴OP＝BC＝4，
∴点P（4，0）
若点P在x轴负半轴，如图4，过点B作BE⊥OC，
∵BE＝2，∠BCO＝30°，BE⊥OC
∴BC＝4，
∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，
∴AP＝BP，∠APB＝30°，
∵∠APE+∠BPE＝30°，∠BCE＝30°＝∠BPE+∠PBC，
∴∠APE＝∠PBC，
∵∠AOE＝∠BCO＝30°，
∴∠AOP＝∠BCP＝150°，且∠APE＝∠PBC，PA＝PB
∴△OAP≌△CPB（AAS）
∴OP＝BC＝4，
∴点P（﹣4，0）
综上所述：点P坐标为（4，0）或（﹣4，0）
2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】
专题6.9一次函数综合问题
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10 、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020春•海陵区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4）、点B（2，0），函数y＝2x+m的图象与直线AB交于点M，与y轴交于点C．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）当△ABC为直角三角形时，求m的值；
（3）当点M在线段AB上时，求m的取值范围．
【分析】（1）求出直线AB的解析式，构建方程组即可解决问题；
（2）存在两种情况：①如图1，C与原点O重合，∠ACB＝90°；②如图2，当∠ABC＝90°时，根据两点的距离公式和勾股定理列方程可得M的值；
（3）分别计算点M在A或B时对应的m的值，可得M的取值范围．
【解析】（1）∵点A（0，4）、点B（2，0），
设直线AB的解析式为：y＝kx+b
则2k+b=0b=4，解得k=-2b=4
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+4；
（2）当△ABC为直角三角形时，存在两种情况：
①如图1，C与原点O重合，∠ACB＝90°，此时m＝0；
②如图2，当∠ABC＝90°时，C（0，m），
由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2，
∵点A（0，4），点B（2，0），
∴22+42+22+m2＝（4﹣m）2，
解得：m＝﹣1；
综上，m的值是0或﹣1；
（3）当直线y＝2x+m经过点A时，m＝4；
当直线y＝2x+m经过点B时，如图3，
∴2×2+m＝0，
则m＝﹣4，
∴当点M在线段AB上时，m的取值范围是﹣4≤m≤4．
2．（2020•工业园区一模）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．点D，E分别是边AC，BC上的动点，连接DE．设CD＝x（x＞0），BE＝y，y与x之间的函数关系如图②所示．
（1）求出图②中线段PQ所在直线的函数表达式；
（2）将△DCE沿DE翻折，得△DME．
①点M是否可以落在△ABC的某条角平分线上？如果可以，求出相应x的值；如果不可以，说明理由；
②直接写出△DME与△ABC重叠部分面积的最大值及相应x的值．
【分析】（1）设线段PQ所在直线的函数表达式为y＝kx+b，将P（3，4）和Q（6，0）代入可求得答案；
（2）①连接CM并延长CM交AB于点F，证明△DCE∽△ACB，得出∠DEC＝∠ABC，则DE∥AB，求出CF=245，CM=85x，MF=245-85x，过点M作MG⊥AC于点M，过点M作MH⊥BC于点H，证得△CGM∽△BCA，则MGAC=CGBC=CMAB，可得出MG，CG，分三种不同情况可求出答案；
②分两种情形，当0＜x≤3时，当3＜x≤6时，求出△DME与△ABC重叠部分面积的最大值即可．
【解析】（1）设线段PQ所在直线的函数表达式为y＝kx+b，
将P（3，4）和Q（6，0）代入得，
4=3k+b0=6k+b，
解得k=-43b=8，
∴线段PQ所在直线的函数表达式为y=-43x+8；
（2）①如图1，
连接CM并延长CM交AB于点F，
∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，
∴AC=AB2-BC2=6，
由（1）得BE=-43x+8，
∴CE=43x，
∴DCCE=ACBC=34，
∵∠DCE＝∠ACB，
∴△DCE∽△ACB，
∴∠DEC＝∠ABC，
∴DE∥AB，
∵点C和点M关于直线DE对称，
∴CM⊥DE，
∴CF⊥AB，
∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB•CF，
∴6×8＝10×CF，
∴CF=245，
∵∠C＝90°，CD＝x，CE=43x，
∴DE=CE2+CD2=53x，
∴CM=85x，MF=245-85x，
过点M作MG⊥AC于点M，过点M作MH⊥BC于点H，
则四边形GCHM为矩形，
∵∠GCM+∠BCF＝∠BCF+∠ABC＝90°，
∴∠GCM＝∠ABC，
∵∠MGC＝∠ACB＝90°，
∴△CGM∽△BCA，
∴MGAC=CGBC=CMAB，
即MG6=CG8=85x10，
∴MG=2425x，CG=3225x，
∴MH=3225x，
（Ⅰ）若点M落在∠ACB的平分线上，则有MG＝MH，即2425x=3225x，解得x＝0（不合题意舍去），
（Ⅱ）若点M落在∠BAC的平分线上，则有MG＝MF，即2425x=245-85x，解得x=158，
（Ⅲ）若点M落在∠ABC的平分线上，则有MH＝MF，即3225x=245-85x，解得x=53．
综合以上可得，当x=158或x=53时，点M落在△ABC的某条角平分线上．
②当0＜x≤3时，点M不在形外，△DME与△ABC重叠部分面积为△DME的面积，
∴S=12x⋅43x=23x2，
当x＝3时，S的最大值为23×32=6．
当3＜x≤6时，点M在形外，如图2，
由①知CM＝2CQ=85x，
∴MT＝CM﹣CF=85x-245，
∵PK∥DE，
∴△MPK∽△MDE，
∴S△MPKS△MDE=(MFMQ)2=(85x-24545x)2=(2x-6)2x2，
∴S△MPK＝S△MDE•(2x-6)2x2，
∵S四边形DEKP＝S△MDE﹣S△MPK，
∴S四边形DEKP=S△MDE[1-(2x-6)2x2]=23x2⋅[1-(2x-6)2x2]，
化简得S四边形DEKP＝﹣2x2+16x﹣24＝﹣2（x﹣4）2+8，
∴当x＝4时，△DME与△ABC重叠部分面积的最大值为8．
综合可得，当x＝4时，△DME与△ABC重叠部分面积的最大值为8．
3．（2020•新北区一模）定义：在平面直角坐标系中，对于任意P（x1，y1），Q（x2，y2），若点M（x，y）满足x＝3（x1+x2），y＝3（y1+y2），则称点M是点P，Q的“美妙点”．例如：点P（1，2），Q（﹣2，1），当点M（x，y）满足x＝3×（1﹣2）＝﹣3，y＝3×（2+1）＝9时，则点M（﹣3，9）是点P，Q的“美妙点”．
（1）已知点A（﹣1，3），B（3，3），C（2，﹣2），请说明其中一点是另外两点的“美妙点”；
（2）如图，已知点D是直线y=13x+2上的一点．点E（3，0），点M（x，y）是点D、E的“美妙点”．
①求y与x的函数关系式；
②若直线DM与x轴相交于点F，当△MEF为直角三角形时，求点D的坐标．
【分析】（1）由3×（﹣1+2）＝3，3×（3﹣2）＝3，故点B是A、C的“美妙点”；
（2）设点D（m，13m+2），①M是点D、E的“美妙点”，则x＝3（3+m）＝9+3m，y＝3（0+13m+2）＝m+6，即可求解；
②分∠MEF为直角、∠MFE是直角、∠EMF是直角三种情况，分别求解即可．
【解析】（1）∵3×（﹣1+2）＝3，3×（3﹣2）＝3，
∴点B是A、C的“美妙点”；
（2）设点D（m，13m+2），
①∵M是点D、E的“美妙点”．
∴x＝3（3+m）＝9+3m，y＝3（0+13m+2）＝m+6，
故m=13x﹣3，
∴y＝（13x﹣3）+6=13x+3；
②由①得，点M（9+3m，m+6），
如图1，当∠MEF为直角时，则点M（3，4），
∴9+3m＝3，解得：m＝﹣2；
∴点D（﹣2，43）；
当∠MFE是直角时，如图2，
则9+3m＝m，解得：m=-92，
∴点D（-92，12）；
当∠EMF是直角时，
同理可得：点D（-141-276140，99-276140）或（-141+276140，99-276140），
综上，点D（﹣2，43）或（-92，12）或（-141-276140，99-276140）或（-141+276140，99-276140）．
4．（2019秋•张家港市期末）在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣2x+6与坐标轴交于A，B两点，直线l2：y＝kx+2（k＞0）与坐标轴交于点C，D，直线l1，l2与相交于点E．
（1）当k＝2时，求两条直线与x轴围成的△BDE的面积；
（2）点P（a，b）在直线l2：y＝kx+2（k＞0）上，且点P在第二象限．当四边形OBEC的面积为233时．
①求k的值；
②若m＝a+b，求m的取值范围．
【分析】（1）根据k＝2，l2的解析式，就可求出D点坐标，然后求出E点坐标，根据三角形的面积计算公式，就可求出；
（3）①连接OE．设E（n，﹣2n+6），由S四边形OBEC＝S△EOC+S△EOB，可得12×2×n+12×3×（﹣2n+6）=233，解得n=23，求出点E的坐标即可解决问题．
②根据k值求出l2与解析式，把P点入l2，求出a与b的关系式，从而确定m的取值范围．
【解析】（1）∵直线l1：y＝﹣2x+6与坐标轴交于A，B两点，
∴当y＝0时，得x＝3，当x＝0时，y＝6；
∴A（0，6）B（3，0）；
当k＝2时，直线l2：y＝2x+2（k≠0），
∴C（0，2），D（﹣1，0）
解y=-2x+6y=2x+2得x=1y=4，
∴E（1，4），
∴△BDE的面积=12×4×4＝8．
（2）①连接OE．设E（n，﹣2n+6），
∵S四边形OBEC＝S△EOC+S△EOB，
∴12×2×n+12×3×（﹣2n+6）=233，
解得n=23，
∴E（23，143），
把点E的人y＝kx+2中，143=23k+2，
解得k＝4．
②∵直线y＝4k+2交x轴于D，
∴D（-12，0），
∵P（a，b）在第二象限，在线段CD上，
∴-12＜a＜0，
∴b＝4a+2，
∴m＝a+b＝5a+2，
∴-12＜m＜2．
5．（2019秋•太仓市期末）如图，平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+3（k≠0）交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B，过点C（0，2）作y轴的垂线CD交AB于点E，点P从E出发，沿着射线ED向右运动，设PE＝n．
（1）求直线AB的表达式；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求n的值；
（3）若以点P为直角顶点，PB为直角边在直线CD的上方作等腰Rt△BPM，试问随着点P的运动，点M是否也在直线上运动？如果在直线上运动，求出该直线的解析式；如果不在直线上运动，请说明理由．
【分析】（1）将点A的坐标代入直线AB：y＝kx+3并解得：k=-34，即可求解；
（2）分AP＝BP、AP＝AB、AB＝BP三种情况，分别求解即可；
（3）证明MHP△≌△PCB（AAS），求出点M（n+73，n+103），即可求解．
【解析】将点A的坐标代入直线AB：y＝kx+3并解得：k=-34，
故AB的表达式为：y=-34x+3；
（2）当y＝2时，x=43，故点E（43，2），则点P（n+43，2），
而点A、B坐标分别为：（4，0）、（0，3），
则AP2＝（43+n﹣4）2+4；BP2＝（n+43）2+1，AB2＝25，
当AP＝BP时，（43+n﹣4）2+4＝（n+43）2+1，解得：n=2524；
当AP＝AB时，同理可得：n=83+21（不合题意值已舍去）；
当AB＝BP时，同理可得：n=-43+26；
故n=2524或83+21或-43+26；
（3）在直线上，理由：
如图，过点M作MH⊥CD于点H，
∵∠BPC+∠PBC＝90°，∠BPC+∠MPH＝90°，
∴∠CPB＝∠MPH，BP＝PM，∠MHP＝∠PCB＝90°
∴MHP△≌△PCB（AAS），
则CP＝MH＝n+43，BC＝1＝PH，
故点M（n+73，n+103），
故点M在直线y＝x+1上．
6．（2019秋•镇江期末）如图，函数y=-13x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y＝x的图象交于点M，点M的横坐标为3．
（1）求点A的坐标；
（2）在x轴上有一动点P（a，0）．
①若三角形ABP是以AB为底边的等腰三角形，求a的值；
②过点P作x轴的垂线，分别交函数y=-13x+b和y＝x的图象于点C、D，若DC＝2CP，求a的值．
【分析】（1）函数y＝x的图象交于点M，点M的横坐标为3，则点M（3，3），将点M的坐标代入函数y=-13x+b并解得：b＝4，即可求解；
（2）①如图1，△ABP是以AB为底边的等腰三角形，则BP是AB的中垂线，OP＝a，则AP＝12﹣a＝BP，OB＝4，由勾股定理得：（12﹣a）2＝16+a2，即可求解；
②P（a，0），则点C、D的坐标分别为：（a，-13a+4）、（a，a）；DC＝2CP，即|-13a+4﹣a|＝2（-13a+4），即可求解．
【解析】（1）函数y＝x的图象交于点M，点M的横坐标为3，则点M（3，3），
将点M的坐标代入函数y=-13x+b并解得：b＝4，
故点A的坐标为：（12，0）；
（2）①如图1，连接PB，ABP是以AB为底边的等腰三角形，
则BP是AB的中垂线，OP＝a，则AP＝12﹣a＝BP，OB＝4，
由勾股定理得：（12﹣a）2＝16+a2，解得：a=163；
②P（a，0），则点C、D的坐标分别为：（a，-13a+4）、（a，a）；
DC＝2CP，即|-13a+4﹣a|＝2（-13a+4），
解得：a＝±6．
7．（2019秋•建湖县期末）如图，正比例函数y=34x与一次函数y＝ax+7的图象相交于点P（4，n），过点A（2，0）作x轴的垂线，交一次函数的图象于点B，连接OB．
（1）求a值；
（2）求△OBP的面积；
（3）在坐标轴的正半轴上存在点Q，使△POQ是以OP为腰的等腰三角形，请直接写出Q点的坐标．
【分析】（1）由点P的坐标，即可得到结论；
（2）由点A的坐标可得出点B、C的坐标，进而可得出BC的长度，根据三角形的面积公式即可求出△POB的面积；
（3）假设存在，当点Q在x轴上时，设点Q的坐标为（m，0），当点Q在y轴上时，设点Q的坐标为（0，n），分PO＝OQ及PO＝PQ两种情况考虑，根据两点间的距离公式结合等腰三角形的性质，即可得出关于m、n的方程，解之即可得出结论．
【解析】（1）把点P（4，n）代入y=34x得，n=34×4，
∴n＝3，
∴P（4，3），
把P（4，3）代入y＝ax+7得，3＝4a+7，
∴a＝﹣1；
（2）∵A（2，0），AB⊥x轴，
∴B点的横坐标为2，
∵点B在y＝﹣x+7上，
∴B（2，5），
设直线AB与OP交于C，
∴C（2，32），
∴△OBP的面积＝S△BCO+S△BCP=12×2×（5-32）+12×（4﹣2）×（5-32）＝7；
（3）假设存在，当点Q在x轴的正半轴上时，设点Q的坐标为（m，0），当点Q在y轴的正半轴上时，设点Q的坐标为（0，n）．
∵△POQ是以OP为腰的等腰三角形，
∴分PO＝OQ及PO＝PQ两种情况考虑．
①当PO＝OQ时，有42+32=m或42+32=n，
解得：m＝5，n＝5，
∴点Q的坐标为（5，0）或（0，5）；
②当PO＝PQ时，有42+32=(m-4)2+(0-3)2或42+33=(0-4)2+(n-3)2，
解得：m1＝8，m1＝0（舍去）或n1＝6，n2＝0（舍去），
∴点Q的坐标为（8，0）或（0，6）．
综上所述：假设成立，即在坐标轴的正半轴上存在点Q，使△POQ是以OP为腰的等腰三角形，点Q的坐标为（5，0）或（8，0）或（0，5）或（0，6）．
8．（2019秋•常州期末）如图1，对于平面直角坐标系xOy中的点A和点P，若将点P绕点A顺时针旋转90°后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“垂链点”．
（1）△PAQ是 等腰直角 三角形；
（2）已知点A的坐标为（0，0），点P关于点A的“垂链点”为点Q．
①若点P的坐标为（2，0），则点Q的坐标为 （0，﹣2） ；
②若点Q的坐标为（﹣2，1），则点P的坐标为 （﹣1，﹣2） ；
（3）如图2，已知点D的坐标为（3，0），点C在直线y＝2x上，若点C关于点D的“垂链点”在坐标轴上，试求点C的坐标．
【分析】（1）根据旋转的性质，即可求解；
（2）根据旋转的性质，即可求解；
（3）①当点C在第一象限时，则点C关于点D的“垂链点”在x轴上，点CD⊥x轴，即可求解；②当点C在第三象限时，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【解析】（1）∵将点P绕点A顺时针旋转90°后得到点Q，
∴∠PAQ＝90°，PA＝QA，
∴△PAQ是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角；
（2）A的坐标为（0，0），即点A是原点，
根据旋转的性质得：①∵点P的坐标为（2，0），∴点Q（0，﹣2），
②∵若点Q的坐标为（﹣2，1），∴点P的坐标为：（﹣1，﹣2），
故答案为：（0，﹣2），（﹣1，﹣2），；
（3）①当点C在第一象限时，
则点C关于点D的“垂链点”在x轴上，点CD⊥x轴，
故点C（3，6）；
②当点C在第三象限时，如下图：
设点C（m，2m），点C′（0，n），
点C的“垂链点”C′在y轴上，
过点C作CH⊥x轴于点H，
∵∠CDH+∠HCD＝90°，∠OC′D+∠CDH＝90°，
∴∠HDC＝∠OC′D，
∵∠DHC＝∠DOC′＝90°，DC＝C′D，
∴△CDH≌△DC′O（AAS），
则CH＝DO，即：﹣2m＝3，解得：m=-32，
故点C（-32，﹣3），
综上，点C坐标（3，6）或（-32，﹣3）．
9．（2019秋•盐都区期末）如图，已知一次函数y＝x﹣2的图象与y轴交于点A，一次函数y＝4x+b的图象与y轴交于点B，且与x轴以及一次函数y＝x﹣2的图象分别交于点C、D，点D的坐标为（﹣2，m）．
（1）关于x、y的方程组y-x=-2y-4x=b的解为 x=-2y=-4 ．
（2）关于x的不等式x﹣2≥4x+b的解集为 x≤﹣2 ．
（3）求四边形OADC的面积；
（4）在x轴上是否存在点E，使得以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点E的坐标：若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题目中的两个函数解析式可以求得点D的坐标、从而可以得到关于x、y的方程组y-x=-2y-4x=b的解；
（2）根据一次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想可以得到关于x的不等式x﹣2≥4x+b的解集；
（3）根据点D在一次函数y＝4x+b上，可以求得b的值，然后即可求得点C和点B的坐标，再根据图形可知四边形OADC的面积＝△ABD的面积﹣△BOC的面积，代入数据即可解答本题；
（4）根据题意，画出相应的图形，可知有三种情况，然后分别进行讨论计算即可解答本题．
【解析】（1）∵点D（﹣2，m）在一次函数y＝x﹣2上，
∴m＝﹣2﹣2＝﹣4，
∴点D的坐标为（﹣2，﹣4），
∵一次函数y＝x﹣2的图象与一次函数y＝4x+b的图象交于点D，
∴y=x-2y=4x+b的解是x=-2y=-4，
∴关于x、y的方程组y-x=-2y-4x=b的解为x=-2y=-4，
故答案为：x=-2y=-4；
（2）由（1）可知点D的坐标为（﹣2，﹣4），
∵一次函数y＝x﹣2的图象与一次函数y＝4x+b的图象交于点D，
∴关于x的不等式x﹣2≥4x+b的解集为x≤﹣2，
故答案为：x≤﹣2；
（3）∵一次函数y＝x﹣2，
∴当x＝0时，y＝﹣2，
∴点A的坐标为（0，﹣2），
∵点D（﹣2，﹣4）在一次函数y＝4x+b上，
∴﹣4＝4×（﹣2）+b，得b＝4，
∴一次函数y＝4x+4，
当y＝0时，x＝﹣1，当x＝0时，y＝4，
∴点C的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，4），
∴AB＝6，OC＝1，OB＝4，
∴S四边形OADC＝S△BAD﹣S△BOC=6×22-1×42=4，
即四边形OADC的面积是4；
（4）如图2，当点E为直角顶点时，过点D作DE1⊥x轴于E1，
∵D（﹣2，﹣4），
∴E1（﹣2，0）；
当点C为直角顶点时，x轴上不存在点E；
当点D为直角顶点时，过点D作DE2⊥CD交x轴于点E2，
设E2（t，0），
∵C（﹣1，0），E1（﹣2，0），
∴CE2＝﹣1﹣t，E1E2＝﹣2﹣t，
∵D（﹣2，﹣4），
∴DE1＝4，CE1＝﹣1﹣（﹣2）＝1，
在Rt△DE1E2中，
DE22=DE12+(E1E2)2=42+（﹣2﹣t）2＝t2+4t+20，
在Rt△CDE1中，
CD2＝12+42＝17，
在Rt△CDE2中，
CE22=DE22+CD2，
∴（﹣1﹣t）2＝t2+4t+20+17．
解得t＝﹣18．
∴E2（﹣18，0）；
由上可得，点E坐标为（﹣2，0）或（﹣18，0）．
10．（2019秋•常熟市期末）如图，一次函数y1＝x+b的图象与x轴y轴分别交于点A，点B，函数y1＝x+b，与y2=-43x的图象交于第二象限的点C，且点C横坐标为﹣3．
（1）求b的值；
（2）当0＜y1＜y2时，直接写出x的取值范围；
（3）在直线y2=-43x上有一动点P，过点P作x轴的平行线交直线y1＝x+b于点Q，当PQ=145OC时，求点P的坐标．
【分析】（1）将x＝﹣3代入y2=-43x，可得C（﹣3，4），再将C点代入y1＝x+b，可求b＝7；
（2）结合函数图象，在0＜y1＜y2时，有﹣7＜x＜﹣3；
（3）设P（a，-43a），PQ∥x轴，Q（-43a﹣7，-43a），则PQ＝|73a+7|，因为OC＝5，所以PQ=145OC＝14，则有|73a+7|＝14，求出a即可求点P．
【解析】（1）将x＝﹣3代入y2=-43x，
可得C（﹣3，4），
再将C点代入y1＝x+b，
∴b＝7；
（2）﹣7＜x＜﹣3；
（3）∵点P为直线y2=-43x上一动点，
设P（a，-43a），
∵PQ∥x轴，
∴Q（-43a﹣7，-43a），
∴PQ＝|73a+7|，
∵C（﹣3，4），
∴OC＝5，
∴PQ=145OC＝14，
∴|73a+7|＝14，
∴a＝3或a＝﹣9，
∴P（3，﹣4）或P（﹣9，12）．
11．（2019秋•赣榆区期末）【模型建立】
如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．
求证：△BEC≌△CDA；
【模型应用】
①已知直线l1：y=43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕着点A逆时针旋转45°至直线l2，如图2，求直线l2的函数表达式；
②如图3，在平面直角坐标系中，点B（8，6），作BA⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P是线段BC上的一个动点，点Q是直线y＝2x﹣6上的动点且在第一象限内．问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请直接写出此时点Q的坐标，若不能，请说明理由．
【分析】（1）在△ACD与△CBE中，∠D＝∠E，∠ACD＝∠EBC，CA＝BC，即可求解；
（2）由（1）可知：△CBD≌△BAO，BD＝AO，CD＝OB，l1⋅y=43x+4，故B（0，4），BD＝AO＝3，CD＝OB＝4，OD＝4+3＝7，即可求解；
（3）△AMQ≌△QNP（AAS），则AM＝QN，即|8﹣m|＝6﹣（2m﹣6），即可求解．
【解析】（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形
∴CB＝CA，∠ACD+∠BCE＝180°﹣90°＝90°
又∵AD⊥CD，BE⊥EC
∴∠D＝∠E＝90°
又∵∠EBC+∠BCE＝90°
∴∠ACD＝∠EBC
在△ACD与△CBE中，
∠D＝∠E，∠ACD＝∠EBC，CA＝BC，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
（2）过点B作BC⊥AB交l2于C，过C作CD⊥y轴于D，
∵∠BAC＝45°
∴△ABC为等腰Rt△
由（1）可知：△CBD≌△BAO
∴BD＝AO，CD＝OB
∵l1：y=43x+4，
令y＝0，则x＝﹣3
∴A（﹣3，0），
令x＝0，则y＝4
∴B（0，4）
∴BD＝AO＝3，CD＝OB＝4
∴OD＝4+3＝7．
∴C（﹣4，7），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
将点A（﹣3，0），C（﹣4，7）代入y＝kx+b中，
得0=-3k+b7=-4k+b
解得，k＝﹣7，b＝﹣21，
则l2的解析式：y＝﹣7x﹣21；
（3）如下图，设点Q（m，2m﹣6），
当∠AQP＝90°时，
由（1）知，△AMQ≌△QNP（AAS），
∴AM＝QN，即|8﹣m|＝6﹣（2m﹣6），
解得：m＝4或203，
故：Q（4，2），(203，223)．
12．（2019秋•东台市期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（5，0）和点B（0，4）．
（1）求直线AB所对应的函数表达式；
（2）设直线y＝x与直线AB相交于点C，求△AOC的面积；
（3）若将直线OC沿y轴向下平移，交y轴于点O′，当△ABO′为等腰三角形时，求点O′的坐标．
【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB所对应的函数表达式；
（2）联立直线OC及直线AB所对应的函数表达式为方程组，通过解方程组可求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式结合点A的坐标即可求出△AOC的面积；
（3）分AB＝AO′，O′B＝O′A，BA＝BO′三种情况考虑：①当AB＝AO′时，由等腰三角形的性质可得出OB＝OO′，结合点B的坐标可得出点O′的坐标；②当O′B＝O′A时，设OO′＝x，则O′A＝4+x，在Rt△AOO′中利用勾股定理可求出x的值，进而可得出点O′的坐标；③当BA＝BO′时，利用勾股定理可求出BO′的值，结合点B的坐标可得出点O′的坐标．综上，此题得解．
【解析】（1）设直线AB所对应的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
将A（5，0），B（0，4）代入y＝kx+b，得：
5k+b=0b=4，解得：k=-45b=4，
∴直线AB所对应的函数表达式y=-45x+4．
（2）联立直线OC及直线AB所对应的函数表达式为方程组，得：
y=xy=-45x+4，解得：x=209y=209，
∴点C坐标（209，209），
∴S△AOC=12OA•yC=12×5×209=509．
（3）分三种情况考虑，如图所示．
①当AB＝AO′时，OB＝OO′，
∵点B的坐标为（0，4），
∴点O′的坐标为（0，﹣4）；
②当O′B＝O′A时，设OO′＝x，则O′A＝4+x，
在Rt△AOO′中，AO′2＝OO′2+AO2，即（4+x）2＝52+x2，
解得：x=98，
∴点O′的坐标为（0，-98）；
③当BA＝BO′时，∵BO′=OA2+OB2=41，点B的坐标为（0，4），
∴点O′的坐标为（0，4-41）或（0，4+41）（舍去）．
综上所述：当△ABO′为等腰三角形时，点O′的坐标为（0，﹣4），（0，-98）或（0，4-41）．
13．（2019秋•东台市期末）如图，已知直线y＝﹣2x+8与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．
（1）求点A、C的坐标；
（2）将△ABC对折，使得点A与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式；
（3）在（2）的条件下，坐标平面内是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）已知直线y＝﹣2x+8与x轴、y轴分别交于点A、C，即可求得A和C的坐标；
（2）根据题意可知△ACD是等腰三角形，算出AD长即可求得D点坐标，最后即可求出CD的解析式；
（3）将点P在不同象限进行分类，根据全等三角形的判定方法找出所有全等三角形，找出符合题意的点P的坐标．
【解析】（1）令y＝0，则﹣2x+8＝0，解得x＝4，
∴A（4，0），
令x＝0，则y＝8，
∴C（0，8）；
（2）由折叠可知：CD＝AD，
设AD＝x，则CD＝x，BD＝8﹣x，
由题意得，（8﹣x）2+42＝x2，
解得x＝5，
此时AD＝5，
∴D（4，5），
设直线CD为y＝kx+8，
把D（4，5）代入得5＝4k+8，解得k=-34，
∴直线CD的解析式为y=-34x+8；
（3）①当点P与点O重合时，△APC≌△CBA，此时P（0，0）
②当点P在第一象限时，如图1，
由△APC≌△CBA得∠ACP＝∠CAB，
则点P在直线CD上．过P作PQ⊥AD于点Q，
在Rt△ADP中，
AD＝5，AP＝BC＝4，PD＝BD＝8﹣5＝3，
由AD×PQ＝DP×AP得：5PQ＝3×4，
∴PQ=125，
∴xP＝4+125=325，把x=325代入y=-34x+8得y=165，
此时P（325，165）
③当点P在第二象限时，如图2，
同理可求得：PQ=125，
在RT△PCQ中，CQ=PC2-PQ2=42-(125)2=165，
∴OQ＝8-165=245，
此时P（-125，245），
综上，满足条件的点P有三个，分别为：（0，0），（325，165），（-125，245）．
14．（2019秋•临渭区期末）如图，直线y＝﹣2x+7与x轴、y轴分别相交于点C、B，与直线y=32x相交于点A．
（1）求A点坐标；
（2）如果在y轴上存在一点P，使△OAP是以OA为底边的等腰三角形，则P点坐标是 （0，136） ；
（3）在直线y＝﹣2x+7上是否存在点Q，使△OAQ的面积等于6？若存在，请求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）联立方程，解方程即可求得；
（2）设P点坐标是（0，y），根据勾股定理列出方程，解方程即可求得；
（3）分两种情况：①当Q点在线段AB上：作QD⊥y轴于点D，则QD＝x，根据S△OBQ＝S△OAB﹣S△OAQ列出关于x的方程解方程求得即可；②当Q点在AC的延长线上时，作QD⊥x轴于点D，则QD＝﹣y，根据S△OCQ＝S△OAQ﹣S△OAC列出关于y的方程解方程求得即可．
【解析】（1）解方程组：y=-2x+7y=32x得：x=2y=3
∴A点坐标是（2，3）；
（2）设P点坐标是（0，y），
∵△OAP是以OA为底边的等腰三角形，
∴OP＝PA，
∴22+（3﹣y）2＝y2，
解得y=136，
∴P点坐标是（0，136），
故答案为（0，136）；
（3）存在；
由直线y＝﹣2x+7可知B（0，7），C（72，0），
∵S△AOC=12×72×3=214＜6，S△AOB=12×7×2＝7＞6，
∴Q点有两个位置：Q在线段AB上和AC的延长线上，设点Q的坐标是（x，y），
当Q点在线段AB上：作QD⊥y轴于点D，如图①，则QD＝x，
∴S△OBQ＝S△OAB﹣S△OAQ＝7﹣6＝1，
∴12OB•QD＝1，即12×7x＝1，
∴x=27，
把x=27代入y＝﹣2x+7，得y=457，
∴Q的坐标是（27，457），
当Q点在AC的延长线上时，作QD⊥x轴于点D，如图②则QD＝﹣y，
∴S△OCQ＝S△OAQ﹣S△OAC＝6-214=34，
∴12OC•QD=34，即12×72×（﹣y）=34，
∴y=-37，
把y=-37代入y＝﹣2x+7，解得x=267，
∴Q的坐标是（267，-37），
综上所述：点Q是坐标是（27，457）或（267，-37）．
15．（2019秋•法库县期末）如图，已知函数y＝x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y＝kx+b的图象经过点B（0，﹣1），与x轴以及y＝x+1的图象分别交于点C、D，且点D的坐标为（1，n），
（1）则n＝ 2 ，k＝ 3 ，b＝ ﹣1 ；
（2）函数y＝kx+b的函数值大于函数y＝x+1的函数值，则x的取值范围是 x＞1
（3）求四边形AOCD的面积；
（4）在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）对于直线y＝x+1，令x＝0求出y的值，确定出A的坐标，把B坐标代入y＝kx+b中求出b的值，再将D坐标代入y＝x+1求出n的值，进而将D坐标代入求出k的值即可；
（2）由两一次函数解析式，结合图象确定出x的范围即可；
（3）过D作DE垂直于x轴，如图1所示，四边形AOCD面积等于梯形AOED面积减去三角形CDE面积，求出即可；
（4）在x轴上存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形，理由为：分两种情况考虑：①DP′⊥DC；②DP⊥CP，分别求出P坐标即可．
【解析】（1）对于直线y＝x+1，令x＝0，得到y＝1，即A（0，1），
把B（0，﹣1）代入y＝kx+b中，得：b＝﹣1，
把D（1，n）代入y＝x+1得：n＝2，即D（1，2），
把D坐标代入y＝kx﹣1中得：2＝k﹣1，即k＝3，
故答案为：2，3，﹣1；
（2）∵一次函数y＝x+1与y＝3x﹣1交于D（1，2），
∴由图象得：函数y＝kx+b的函数值大于函数y＝x+1的函数值时x的取值范围是x＞1；
故答案为：x＞1；
（3）过D作DE⊥x轴，垂足为E，如图1所示，
则S四边形AOCD＝S梯形AOED﹣S△CDE=12（AO+DE）•OE-12CE•DE=12×（1+2）×1-12×23×2=32-23=56；
（4）在x轴上存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形，理由为：
如图2所示，分两种情况考虑：
①当P′D⊥DC时，可得kP′D•kDC＝﹣1，
∵直线DC斜率为3，
∴直线P′D斜率为-13，
∵D（1，2），
∴直线P′D解析式为y﹣2=-13（x﹣1），
令y＝0，得到x＝7，即P′（7，0）；
②当DP⊥CP时，由D横坐标为1，得到P横坐标为1，
∵P在x轴上，
∴P的坐标为（1，0）．
16．（2020•和平区校级模拟）如图，直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于B，A两点，动点P在线段AB上移动，以P为顶点作∠OPQ＝45°交x轴于点Q．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）比较∠AOP与∠BPQ的大小，说明理由．
（3）是否存在点P，使得△OPQ是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据直线y＝﹣x+1即可求得A、B的坐标；
（2）过P点PE⊥OA交OA于点E，根据OA＝OB，求得△AOB是等腰直角三角形，得出∠OAB＝∠OBA＝45°，即可求得∠APE＝45°，根据平角的定义即可求得∠OPE+∠BPQ＝90°，再根据直角三角形两锐角互余，即可求得∠AOP＝∠BPQ．
（3）假设存在等腰三角形，分三种情况讨论：（ⅰ）QP＝QO；（ⅱ）QP＝QO；（ⅲ） 若PO＝PQ．能求出P点坐标，则存在点P，否则，不存在．
【解析】（1）∵直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，
令x＝0，则y＝0+1＝1，
∴A（0，1），
令y＝0，则0＝﹣x+1，
解得：x＝1．
∴B（1，0）．
（2）∠AOP＝∠BPQ．
理由如下：
过P点作PE⊥OA交OA于点E，
∵A（0，1），B（1，0）．
∴OA＝OB＝1，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵PE⊥OA，
∴∠APE＝45°，
∵∠OPQ＝45°，
∴∠OPE+∠BPQ＝90°，
∵∠AOP+∠OPE＝90°，
∴∠AOP＝∠BPQ．
（3）△OPQ可以是等腰三角形．
理由如下：
如图，过P点PE⊥OA交OA于点E，
（ⅰ）若OP＝OQ，
则∠OPQ＝∠OQP＝∠OPQ，
∴∠POQ＝90°，
∴点P与点A重合，
∴点P坐标为（0，1），
（ⅱ）若QP＝QO，
则∠OPQ＝∠QOP＝45°，
所以PQ⊥QO，
可设P（x，x）代入y＝﹣x+1得x=12，
∴点P坐标为（12，12），
（ⅲ） 若PO＝PQ
∵∠OPQ+∠1＝∠2+∠3，
而∠OPQ＝∠3＝45°，
∴∠1＝∠2，
又∵∠3＝∠4＝45°，
∴△AOP≌△BPQ（AAS），
PB＝OA＝1，
∴AP=2-1
由勾股定理求得PE＝AE＝1-22，
∴EO=22，
∴点P坐标为（1-22，22），
∴点P坐标为（0，1），（12，12）或（1-22，22）时，△OPQ是等腰三角形．
17．（2019秋•亭湖区校级月考）对于平面直角坐标系xOy中的点A和点P，若将点P绕点A逆时针旋转90°后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“垂链点”，图1为点P关于点A的“垂链点”Q的示意图．
（1）如图2，已知点A的坐标为（0，0），点P关于点A的“垂链点”为点Q；
①若点P的坐标为（3，0），则点Q的坐标为 （0，3） ；
②若点Q的坐标为（﹣2，﹣1），则点P的坐标为 （﹣1，2） ；
（2）如图3，已知点C的坐标为（﹣1，0），点D在直线y＝2x﹣2上，若点D关于点C的“垂链点”E在坐标轴上，试求出点D的坐标；
（3）如图4，在平面直角坐标系xOy，已知点A（2，0），点C是y轴上的动点，点A关于点C的“垂链点”是点B，连接BO、BA，则BO+BA的最小值是 5 ．
【分析】（1）①若点P的坐标为（3，0），则点Q的坐标为 （0，3），②若点Q的坐标为（﹣2，﹣1），同理可得：点P的坐标为（﹣1，2）；
（2）分当点E（E′）落在x轴上、点E落在y轴两种情况，分别求解即可；
（3）BO+BA=(m-1)2+(m+1)2+m2+(m+1)2，BO+BA的值，相当于求点P（m，m）到点M（1，﹣1）和点N（0，﹣1）的最小值，相当于在直线y＝x上寻找一点P（m，m），使得点P到M（0，﹣1），到N（1，﹣1）的距离和最小，即可求解．
【解析】（1）①若点P的坐标为（3，0），则点Q的坐标为 （0，3），
故答案为：（0，3）；
②若点Q的坐标为（﹣2，﹣1），
同理可得：点P的坐标为（﹣1，2），
故答案为：（﹣1，2）；
（2）①当点E（E′）落在x轴上时，如图1
则点D（D′）关于点C的“垂链点”在x轴上，点CD⊥x轴，
x＝﹣1时，y＝﹣2﹣2＝﹣4，
故点D（﹣1，﹣4）；
②当点E落在y轴时，如图1：
设点D（m，2m﹣2），
点D的“垂链点E在y轴上，
过点D作DH⊥x轴于点H，
则△CHD≌△EOC（AAS），
则DH＝OC＝1，即：2m﹣2＝﹣1，解得：m=12，
故点D（12，﹣1），
综上，点D（﹣1，﹣4）或（12，﹣1）；
（3）如图作BH⊥OH于H．
设点C的坐标为（0，m），
由（1）知：OC＝HB＝m，OA＝HC＝2，
则点B（m，2+m），
则：BO+BA=(m-1)2+(m+1)2+m2+(m+1)2，
BO+BA的值，相当于求点P（m，m）到点M（1，﹣1）和点N（0，﹣1）的最小值，
相当于在直线y＝x上寻找一点P（m，m），使得点P到M（0，﹣1），到N（1，﹣1）的距离和最小，
作M关于直线y＝x的对称点M′（﹣1，0），
易知PM+PN＝PM′+PN≥NM′，
M′N＝25，
答案为：25．
18．（2018秋•东台市期末）如图，直角坐标系xOy中，一次函数y=-12x+4的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，3），过动点M（n，0）作x轴的垂线与直线l1和l2分别交于P、Q两点．
（1）求m的值及l2的函数表达式；
（2）当PQ≤4时，求n的取值范围；
（3）是否存在点P，使S△OPC＝2S△OBC？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求得点C的坐标，再运用待定系数法即可得到l2的解析式；
（2）设P（n，-12n+4），Q（n，32n），由PQ≤4，得到32n+12n﹣4≤4，解不等式即可得到结论；
（3）根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【解析】（1）把C（m，3）代入一次函数y=-12x+4，可得3=-12m+4，
解得m＝2，
∴C（2，3），
设l2的解析式为y＝ax，则3＝2a，
解得a=32，
∴l2的解析式为y=32x；
（2）∵PQ∥y轴，点M（n，0），
∴P（n，-12n+4），Q（n，32n），
∵PQ≤4，
∴32n+12n﹣4≤4，
∴0≤n≤4，
∴n的取值范围为0≤n≤4；
（3）存在，
P（n，-12n+4），
∵S△OPC＝2S△OBC，
∴S△OPC=23S△OBP，
∴23×12×4n＝2×12×4×2，
解得：n＝6，
∴点P的坐标（6，1）．
19．（2019春•崇川区校级期中）阅读下列两则材料，回答问题，
材料一：定义直线y＝ax+b与直线y＝bx+a互为“互助直线”，例如，直线y＝x+4与直y＝4x+1互为“互助直线”；
材料二：对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），P1、P2两点间的直角距离d（P1，
P2）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．如：Q1（﹣3，1）、Q2（2，4）两点间的直角距离为d（Q1，Q2）＝|﹣3﹣2|+|1﹣4|＝8；
材料三：设P0（x0，y0）为一个定点，Q（x，y）是直线y＝ax+b上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y＝ax+b的直角距离．
（1）计算S（﹣1，6），T（﹣2，3）两点间的直角距离d（S，T）＝ 4 ；
（2）直线y＝﹣2x+3上的一点H（a，b）又是它的“互助直线”上的点，求点H的坐标．
（3）对于直线y＝ax+b上的任意一点M（m，n），都有点N（3m，2m﹣3n）在它的“互助直线”上，试求点L（5，﹣1）到直线y＝ax+b的直角距离．
【分析】（1）d（S，T）＝|﹣1+2|+|6﹣3|，即可求解；
（2）设点H（a，﹣2a+3），将点H坐标代入y＝3x﹣2得：﹣2a+3＝3a﹣2，即可求解；
（3）M（m，n）在y＝ax+b上则n＝am+b，点N在“互助直线”y＝bx+a上，则2m﹣3n＝3bm+a，联立①②并整理得：m（2﹣3a﹣3b）＝a+3b，对于任意一点M（m，n）都等式均成立，故：a+3b＝0，2﹣3a﹣3b＝0，解得：a＝1，b=-13，即可求解．
【解析】（1）d（S，T）＝|﹣1+2|+|6﹣3|＝4，
故答案为4；
（2）直线y＝﹣2x+3上的“互助直线”为：y＝3x﹣2，
设点H（a，﹣2a+3），将点H坐标代入y＝3x﹣2得：﹣2a+3＝3a﹣2，解得：a＝1，
故点H（1，1）；
（3）M（m，n）在y＝ax+b上，则n＝am+b…①，
点N在“互助直线”y＝bx+a上，则2m﹣3n＝3bm+a…②，
联立①②并整理得：m（2﹣3a﹣3b）＝a+3b，
对于任意一点M（m，n）都等式均成立，故：a+3b＝0，2﹣3a﹣3b＝0，
解得：a＝1，b=-13，
故函数的表达式为：y＝x-13，
设点P（x，x-13）是函数上的点
d（L，P）＝|5﹣x|+|x-13+1|＝|x﹣5|+|x+23|，
则d（L，P）的最小值为523．
20．（2018秋•涟水县期末）【模型建立】
（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．
求证：△CDA≌△BEC．
【模型运用】
（2）如图2，直线l1：y=43x+4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l2，求直线l2的函数表达式．
【模型迁移】
如图3，直线l经过坐标原点O，且与x轴正半轴的夹角为30°，点A在直线l上，点P为x轴上一动点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，过点B的直线BC交x轴于点C，∠OCB＝30°，点B到x轴的距离为2，求点P的坐标．
【分析】【模型建立】
（1）由“AAS”可证△CDA≌△BEC；
【模型运用】
（2）如图2，在l2上取D点，使AD＝AB，过D点作DE⊥OA，垂足为E，由（1）可知△BOA≌△AED，可得DE＝OA＝3，AE＝OB＝4，可求点D坐标，由待定系数法可求解析式；
【模型迁移】
（3）分两种情况讨论，通过证明△OAP≌△CPB，可得OP＝BC＝4，即可求点P坐标．
【解答】证明：【模型建立】
（1）∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠D＝∠E＝90°
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE，且CA＝BC，∠D＝∠E＝90°
∴△CDA≌△BEC（AAS）
【模型运用】
（2）如图2，在l2上取D点，使AD＝AB，过D点作DE⊥OA，垂足为E
∵直线y=43x+4与坐标轴交于点A、B，
∴A（﹣3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
由（1）得△BOA≌△AED，
∴DE＝OA＝3，AE＝OB＝4，
∴OE＝7，
∴D（﹣7，3）
设l2的解析式为y＝kx+b，
得3=-7k+b0=-3k+b
解得k=-34b=-94
∴直线l2的函数表达式为：y=-34x-94
【模型迁移】
（3）若点P在x轴正半轴，如图3，过点B作BE⊥OC，
∵BE＝2，∠BCO＝30°，BE⊥OC
∴BC＝4，
∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，
∴AP＝BP，∠APB＝30°，
∵∠APC＝∠AOC+∠OAP＝∠APB+∠BPC，
∴∠OAP＝∠BPC，且∠AOC＝∠PCB＝30°，AP＝BP，
∴△OAP≌△CPB（AAS）
∴OP＝BC＝4，
∴点P（4，0）
若点P在x轴负半轴，如图4，过点B作BE⊥OC，
∵BE＝2，∠BCO＝30°，BE⊥OC
∴BC＝4，
∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，
∴AP＝BP，∠APB＝30°，
∵∠APE+∠BPE＝30°，∠BCE＝30°＝∠BPE+∠PBC，
∴∠APE＝∠PBC，
∵∠AOE＝∠BCO＝30°，
∴∠AOP＝∠BCP＝150°，且∠APE＝∠PBC，PA＝PB
∴△OAP≌△CPB（AAS）
∴OP＝BC＝4，
∴点P（﹣4，0）
综上所述：点P坐标为（4，0）或（﹣4，0）
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