数学七年级上册第二章 整式的加减综合与测试导学案

《整式的加减》全章复习与巩固（提高）知识讲解

【学习目标】

1．理解并掌握单项式与多项式的相关概念；

2．理解整式加减的基础是去括号和合并同类项，并会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的加减运算、求值；

3．深刻体会本章体现的主要的数学思想----整体思想．

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、整式的相关概念

 1．单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．

要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．

（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．

 2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．

要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．

（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．

（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．

3. 多项式的降幂与升幂排列：
　　把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．

要点诠释：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应连同它的符号一起移动位置；
　　（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列．

4．整式：单项式和多项式统称为整式．

要点二、整式的加减

1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．

要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：

（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；

（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．

2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．

要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．

3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．

4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变．

5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项．

【典型例题】

类型一、整式的相关概念 

1．指出下列各式中的整式、单项式和多项式，是单项式的请指出系数和次数，是多项式的请说出是几次几项式．

 (1)  (2)5  (3)  (4)  (5)3xy  (6)  (7)  (8)1+a%  (9)

【答案与解析】

解：整式：(1)、(2)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、(9)

单项式：(2)、(5)、(6)，其中：

5的系数是5，次数是0；3xy的系数是3，次数是2；的系数是，次数是1.

多项式：(1)、(4)、(7)、(8)、(9)，其中：

是一次二项式；是一次二项式；是一次二项式；1+a%是一次二项式；

是二次二项式。

【总结升华】①分母中出现字母的式子不是整式，故不是整式；②π是常数而不是字母，故是整式，也是单项式；③(7)、(9)表示的是加、减关系而不是乘积关系，而单项式中不能有加减．如其实质为，其实质为．

举一反三：

【变式1】若单项式与单项式的和是单项式，那么    

【答案】15

【变式2】若多项式是关于的二次三项式，则，，这个二次三项式为                  .

【答案】

类型二、同类项及合并同类项

2．若是同类项，求出m, n的值，并把这两个单项式相加.

【答案与解析】

解：因为是同类项，

    所以   解得

当且时，

.

【总结升华】同类项的定义中强调，除所含字母相同外，相同字母的指数也要相同.其中，常数项也是同类项.合并同类项时，若不是同类项，则不需合并.

举一反三：

【变式】合并同类项．

    (1)；

    (2)．

【答案】

 (1)原式＝

(2)原式

．

 类型三、去（添）括号

3．化简．

【答案与解析】

解：原式＝．

【总结升华】根据多重括号的去括号法则，可由里向外，也可由外向里逐层推进，在计算过程中要注意符号的变化．若括号前是“-”号，在去括号时，括号里各项都应变号，若括号前有数字因数，应把数字因数乘到括号里，再去括号．

举一反三：

【变式1】下列去括号正确的是(    )．

    A．

    B．

    C．

    D．

【答案】D

【变式2】先化简代数式，然后选取一个使原式有意义的a的值代入求值．

【答案】

．

    当时，原式＝0-0-4＝-4．

【变式3】(1)  (x＋y)2－10x－10y＋25＝(x＋y)2－10(______)＋25;
　　　　(2)  (a－b＋c－d)(a＋b－c－d)＝[(a－d)＋(______)][(a－d)－(______)]．

【答案】（1）x＋y;　　　　（2）－b＋c，－b＋c

类型四、整式的加减

【高清课堂：整式的加减单元复习388396经典例题3】

4. 从一个多项式中减去，由于误认为加上这个式子，得到，试求正确答案。

【答案与解析】

解：设该多项式为A，依题意，

答：正确答案是．

【总结升华】当整式是一个多项式，不是一个单项式时，应用括号把一个整式作为一个整体来加减．

举一反三：

【变式】已知A＝x2＋2y2－z2，B＝－4x2＋3y2＋2z2，且A＋B＋C＝0，则多项式C为(   )．
　　A．5x2－y2－z2　　　　B．3x2－5y2－z2
　　C．3x2－y2－3z2 　　　D．3x2－5y2＋z2
【答案】B

类型五、化简求值

5. （1）直接化简代入

　当时，求代数式15a2－{－4a2＋[5a－8a2－(2a2－a)＋9a2]－3a｝的值．
　（2）条件求值
　　已知(2a＋b＋3)2＋｜b－1｜＝0，求3a－3[2b－8＋(3a－2b－1)－a]＋1的值．
　（3）整体代入
　　(2010·鄂州)已知，求的值．
　【答案与解析】

解：（1）原式=15a2－[－4a2＋(5a－8a2－2a2+a＋9a2)－3a]
　　　　　　=15a2－[－4a2＋(6a－a2)－3a]
　　　　　　=15a2－(－4a2＋6a－a2－3a)
　　　　　　=15a2－(－5a2＋3a)
　　　　　　=15a2+5a2—3a=20a2—3a
　　　　当时，原式===
　　（2）由(2a＋b＋3)2＋｜b－1｜＝0可知：2a＋b＋3=0，b－1=0，解得a= -2，b=1.
　　　　3a－3[2b－8＋(3a－2b－1)－a]＋1
　　　　=3a－3(2b－8＋3a－2b－1－a)＋1
　　　　=3a－3(2a－9)＋1
　　　　=3a－6a+27＋1
　　　　=28—3a
　　　　由a= -2
　　　　则 原式=28—3a=28+6=34
（3）∵  ，∴  ．

∵ 

．

    所以的值为2010．

【总结升华】整体代入求值的一般做法是对代数式先进行化简，然后找到化简结果与已知条件之间的联系．

举一反三：

【变式】已知，求代数式的值．

【答案】

设，则，原式．

    又因为＝6，所以原式．

类型六、综合应用

6. 对于任意有理数x，比较多项式与的值的大小．

【答案与解析】

解：

∵

∴无论x为何值，＞．

【总结升华】本题考查整式的加减，解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则，这是各地中考的常考点．

举一反三：

【高清课堂：整式的加减单元复习388396  经典例题5】

【变式】设, .

若且，求.

【答案】∵ ，，

    ∴   即

    ∴

    ∵ 且，

    ∴

∴

      ,

      .