专题六　函数与导数学案

专题六　函数与导数

小题专项1　函数的图象与性质

命|题|分|析

1．高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，常以选择题、填空题形式考查，难度一般。主要考查函数的定义域、分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断。

2．此部分内容有时出现在选择题、填空题、压轴题的位置，多与导数、不等式或创新性问题相结合命题，难度较大。

明确考点　扣准要点

必 备 知 识

1．函数定义的注意问题

(1)定义中最重要的是定义域和对应关系，值域由这两者确定，在求f(φ(x))类型的函数值时，应按先内后外的原则计算。

(2)判断两个函数是否相同，应抓住两点：①定义域是否相同；②对应关系是否相同，解析式是否可以化简。

2．函数的图象

(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换。

(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究。

(3)函数图象的对称性。

①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；

②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于点(a,0)对称。

3．函数的性质

(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质。证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论。复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则。

(2)奇偶性：①若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)。

②若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)＝0。

③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性。

(3)周期性：①若y＝f(x)对x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)(a>0)恒成立，则y＝f(x)是周期为2a的周期函数。

②若y＝f(x)是偶函数，其图象又关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)是周期为2|a|的周期函数。

③若y＝f(x)是奇函数，其图象又关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)是周期为4|a|的周期函数。

④若f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则y＝f(x)是周期为2|a|的周期函数。

错用集合运算符号致误：函数的多个单调区间若不连续，不能用符号“∪”连接，可用“和”“，”连接。

精析精研　重点攻关

考 向 突 破

考向一  函数的概念及其表示

【例1】　(1)函数f(x)＝＋ln(2x＋1)的定义域为(　　)

A．   B．

C．   D．

解析　要使函数f(x)＝＋ln(2x＋1)有意义，则需满足解得－<x<2。即函数f(x)的定义域为。

答案　D

(2)(2021·浙江高考)已知a∈R，函数f(x)＝若f(f())＝3，则a＝________。

解析　因为>2，所以f()＝6－4＝2，所以f(f())＝f(2)＝1＋a＝3，解得a＝2。

答案　2

(3)已知函数f(x)，对任意实数m，n都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－35，已知f(1)＝31，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n)(n∈N*)的最大值是________。

解析　解法一：令m＝1，则f(n＋1)＝f(n)＋f(1)－35＝f(n)－4，即f(n＋1)－f(n)＝－4，所以数列{f(n)}(n∈N*)是首项为31，公差为－4的等差数列，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n)＝31n＋×(－4)＝－2n2＋33n＝－22＋。因为n∈N*，所以当n＝8时，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n)取得最大值136。

解法二：令m＝1，则f(n＋1)＝f(n)＋f(1)－35＝f(n)－4，即f(n＋1)－f(n)＝－4，所以数列{f(n)}(n∈N*)是首项为31，公差为－4的等差数列，所以f(n)＝31＋(n－1)×(－4)＝－4n＋35，由－4n＋35>0，得n<。因为n∈N*，所以f(8)>0，f(9)<0，所以所求式子的最大值为f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(8)＝31×8＋×(－4)＝136。

答案　136

 (1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合，只需构建不等式(组)求解即可。

(2)抽象函数：根据f(g(x))中g(x)的取值范围与f(x)中x的取值范围相同求解。

(3)对于分段函数求值或解不等式问题，一定要根据变量的取值条件进行分段讨论。

【变式训练1】　(1)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1。已知函数f(x)＝×4x－3×2x＋4(0<x<2)，则函数y＝[f(x)]的值域为(　　)

A．   B．{－1,0,1}

C．{－1,0,1,2}   D．{0,1,2}

解析　令t＝2x，t∈(1,4)，则f(t)＝t2－3t＋4，t∈(1,4)。由二次函数的性质得－≤f(t)<，因此[f(t)]∈{－1,0,1}。则函数y＝[f(x)]的值域为{－1,0,1}。

答案　B

(2)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1]   B．(0，＋∞)

C．(－1,0)   D．(－∞，0)

解析　当x≤0时，函数f(x)＝2－x是减函数，则f(x)≥f(0)＝1。作出f(x)的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f(x＋1)<f(2x)，则需或所以x<0。

答案　D

考向二   函数的图象及应用    重点微专题

角度1　函数图象的识别

【例2】　函数f(x)＝sin x的图象大致为(　　)

解析　f(x)＝sin x＝。

解法一：易知f(－x)＝＝＝f(x)，所以函数f(x)＝sin x为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除C，D。当x＝2时，f(2)＝<0，故排除B。故选A。

解法二：因为f(2)＝<0，所以排除B，D。又f(－2)＝＝－<0，所以排除C。故选A。

答案　A

函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；(2)从函数的值域，判断图象的上下位置；(3)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象。利用上述方法排除、筛选选项。 

【变式训练2】　函数f(x)＝cos(sin x)的部分图象大致是(　　)

解析　因为f(－x)＝cos(sin(－x))＝cos(－sin x)＝cos(sin x)＝f(x)，所以函数y＝f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，排除D；令x＝0，则f(0)＝cos(sin 0)＝cos 0＝1，排除C；令x＝2，则f(2)＝cos(sin 2)，因为t＝sin 2∈(0,1)，所以f(2)＝cos t>0，排除B。故选A。

答案　A

角度2　函数图象的应用

【例3】　(1)函数f(x)＝是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是(　　)

A．－≤a<0   B．a≤－

C．－1≤a≤－   D．a≤－1

解析　因为f(x)＝是R上的单调递减函数，所以其图象如图所示，则

解得a≤－1，故选D。

答案　D

(2)(2020·新高考全国Ⅰ卷)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　)

A．[－1,1]∪[3，＋∞)   B．[－3，－1]∪[0,1]

C．[－1,0]∪[1，＋∞)   D．[－1,0]∪[1,3]

解析　解法一：因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0，又f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图①所示，则函数f(x－1)的大致图象如图②所示。当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0。当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，得1≤x≤3。故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]。

解法二：由题意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0。当x>0时，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，所以1≤x≤3；当x<0时，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，所以－1≤x≤1，又x<0，所以－1≤x<0；当x＝0时，显然符合题意。综上，原不等式的解集为[－1,0]∪[1,3]，故选D。

答案　D

利用函数的图象研究不等式

当不等式问题不能用代数法求解，但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合求解。

【变式训练3】　(2021·唐山市二模)不等式x≤的解集是(　　)

A．   B．

C．   D．

解析　在同一平面直角坐标系中分别作出y＝x和y＝x的图象，如图，易知交点为A，所以x≤的解集为，故选B。

答案　B

考向三   函数的性质及应用    重点微专题

角度1　函数的单调性

【例4】　(多选)(2021·广州市名校交流联考)已知正实数x，y满足log2x＋logy<x－y，则下列结论正确的是(　　)

A．<   B．x3<y3

C．ln(y－x＋1)>0   D．2x－y<

解析　令函数f(x)＝log2x－x，则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，不等式log2x＋logy<x－y可化为log2x－x<－logy－y＝log2y－y，即f(x)<f(y)，所以0<x<y，则>，A选项错误；x3<y3，B选项正确；y－x＋1>1，ln(y－x＋1)>0，所以C选项正确；x－y<0，则0<2x－y<1，所以D选项错误。故选BC。

答案　BC

在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解。解决本题的关键在于把题目给出的不等式中的变量x，y分别转化到不等式两侧，构造新函数，利用新函数的单调性判断x，y的大小关系。

【变式训练4】　(1)设偶函数f(x)满足f(x)＝x＋2(x≥0)，则使不等式f(x－1)<成立的x的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1)∪(3，＋∞)

B．(－1,3)

C．(0,2)

D．(－∞，0)∪(2，＋∞)

解析　易知f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝。由f(x－1)<得f(x－1)<f(2)，又因为f(x)为偶函数，所以x－1>2或x－1<－2，所以x>3或x<－1。故选A。

答案　A

(2)(2020·全国Ⅰ卷)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　)

A．a>2b   B．a<2b

C．a>b2   D．a<b2

解析　由题知2a＋log2a＝4b＋log2b＝22b＋log2(2b)－1<22b＋log2(2b)，又函数y＝2x＋log2x在(0，＋∞)上为增函数，所以a<2b，故选B。

答案　B

角度2　函数的奇偶性、周期性与对称性

【例5】　(1)已知y＝f(x)为奇函数，y＝f(x＋1)为偶函数，若当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋a)，则f(2 021)＝(　　)

A．－1   B．0

C．1   D．2

解析　因为y＝f(x＋1)是偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，即f(x)的图象关于直线x＝1对称。因为y＝f(x)是奇函数，所以f(x)的图象关于点(0,0)对称，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数。当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋a)，由于y＝f(x)是奇函数，所以f(0)＝log2a＝0，所以a＝1，即x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)，所以f(2 021)＝f(4×505＋1)＝f(1)＝log22＝1，故选C。

答案　C

(2)(多选)已知f(x)是定义域为R的函数，满足f(x＋1)＝f(x－3)，f(1＋x)＝f(3－x)，当0≤x≤2时，f(x)＝x2－x，则下列说法正确的是(　　)

A．f(x)的最小正周期为4

B．f(x)的图象关于直线x＝2对称

C．当0≤x≤4时，函数f(x)的最大值为2

D．当6≤x≤8时，函数f(x)的最小值为－

解析　由f(x＋1)＝f(x－3)得，f(x)＝f[(x－1)＋1]＝f[(x－1)－3]＝f(x－4)，故函数f(x)的最小正周期为4，A正确；由f(1＋x)＝f(3－x)可得f(2＋x)＝f(2－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，B正确；作出函数f(x)在[0,8]上的大致图象如图所示，由图可知，当0≤x≤4时，函数f(x)的最大值为f(2)＝2，C正确；当6≤x≤8时，函数f(x)的最小值为f＝f＝－，D错误。故选ABC。

答案　ABC

函数的奇偶性、周期性及对称性

(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上，其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可以转化到部分(一般取一半)区间上，注意偶函数常用结论f(x)＝f(|x|)；

(2)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题转化到已知区间上求解；

(3)对称性：常围绕图象的对称中心或对称轴设置试题背景，利用图象对称中心或对称轴的性质简化所求问题。

【变式训练5】　(多选)设y＝f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上单调递增，则下列关于函数y＝f(x)的判断正确的有(　　)

A．y＝f(x)是周期为2的函数

B．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称

C．y＝f(x)在[0,1]上单调递增

D．f＝0

解析　因为f(x＋1)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(x＋1)＝f(x＋2)，所以函数f(x)的周期T＝2，故A正确。因为f(－x)＝f(x)，所以f(－x)＝f(x＋2)，所以f(x)的图象关于直线x＝＝1对称，故B正确。因为函数f(x)为偶函数，且在[－1,0]上单调递增，所以f(x)在[0,1]上单调递减，故C不正确。f(x＋1)＝－f(x)，令x＝－可得f＝－f，可得f＝－f，所以f＝0，故D正确。故选ABD。

答案　ABD

练真题　明确考向

回 味 高 考

1．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　)

A．f(x－1)－1   B．f(x－1)＋1

C．f(x＋1)－1   D．f(x＋1)＋1

解析　解法一：因为f(x)＝，所以f(x－1)＝＝，f(x＋1)＝＝。对于A，F(x)＝f(x－1)－1＝－1＝，定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)；对于B，G(x)＝f(x－1)＋1＝＋1＝，定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)；对于C，f(x＋1)－1＝－1＝＝－，定义域不关于原点对称；对于D，f(x＋1)＋1＝＋1＝＝，定义域不关于原点对称。故选B。

解法二：f(x)＝＝＝－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f(x－1)＋1。故选B。

答案　B

2．(2021·全国甲卷)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2＋b。若f(0)＋f(3)＝6，则f＝(　　)

A．－　　 B．－      C．　　　 D．

解析　由于f(x＋1)为奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，即有f(x)＋f(2－x)＝0，所以f(1)＋f(2－1)＝0，得f(1)＝0，即a＋b＝0　①。由于f(x＋2)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，即有f(x)－f(4－x)＝0，所以f(0)＋f(3)＝－f(2)＋f(1)＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6　②。根据①②可得a＝－2，b＝2，所以当x∈[1,2]时，f(x)＝－2x2＋2。根据函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且关于点(1,0)对称，可得函数f(x)的周期为4，所以f＝f＝－f＝2×2－2＝。故选D。

答案　D

3．(2021·浙江高考)已知函数f(x)＝x2＋，g(x)＝sin x，则图象为所给图的函数可能是(　　)

A．y＝f(x)＋g(x)－

B．y＝f(x)－g(x)－

C．y＝f(x)g(x)

D．y＝

解析　易知函数f(x)＝x2＋是偶函数，g(x)＝sin x是奇函数，给出的图象对应的函数是奇函数。选项A，y＝f(x)＋g(x)－＝x2＋sin x为非奇非偶函数，不符合题意，排除A；选项B，y＝f(x)－g(x)－＝x2－sin x也为非奇非偶函数，不符合题意，排除B；因为当x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递增，且f(x)>0，当x∈时，g(x)单调递增，且g(x)>0，所以y＝f(x)·g(x)在上单调递增，由图象可知所求函数在上不单调，排除C。故选D。

答案　D

4．(2020·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)(　　)

A．是偶函数，且在单调递增

B．是奇函数，且在单调递减

C．是偶函数，且在单调递增

D．是奇函数，且在单调递减

解析　由得函数f(x)的定义域为∪∪，且关于原点对称。因为f(－x)＝ln|2(－x)＋1|－ln|2(－x)－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除A，C；当x∈时，f(x)＝ln(2x＋1)－ln(1－2x)，易知函数f(x)单调递增，排除B；当x∈时，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln＝ln，易知函数f(x)单调递减，故选D。

答案　D

5．(2021·天津高考)函数y＝的图象大致为(　　)

解析　设y＝f(x)＝，则函数f(x)的定义域为{x}，关于原点对称，又f(－x)＝＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除A、C；当x∈(0,1)时，ln|x|<0，x2＋2>0 ，所以f(x)<0，排除D。故选B。

答案　B

6．(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________。

解析　解法一：(定义法)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1。

解法二：(取特殊值检验法)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，所以－＝2a－，解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x) 为偶函数，所以a＝1。

解法三：(转化法)由题意知f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数。设g(x)＝x3，h(x)＝a·2x－2－x，因为g(x)＝x3为奇函数，所以h(x)＝a·2x－2－x为奇函数，所以h(0)＝a·20－2－0＝0，解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1。

答案　1

7．(2019·全国Ⅱ卷)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax。若f(ln 2)＝8，则a＝________。

解析　当x>0时，－x<0，f(－x)＝－e－ax。因为函数f(x)为奇函数，所以当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，所以f(ln 2)＝e－aln 2＝a＝8，所以a＝－3。

答案　－3

增分专练(十四)　函数的图象与性质

A级　基础达标

一、单项选择题

1．已知集合M是函数y＝的定义域，集合N是函数y＝x2－4的值域，则M∩N＝(　　)

A．{x  　　  B．{x

C．{(x，y)  　　D．∅

解析　由题意得M＝，N＝[－4，＋∞)，所以M∩N＝。故选B。

答案　B

2．已知函数f(x)＝则f(f(－))＝(　　)

A．－2　　　　B．2　　　　C．－1　　　　D．1

解析　f(－)＝3，则f(f(－))＝f(3)＝log33＝1，故选D。

答案　D

3．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)

A．y＝x   B．y＝2－x

C．y＝logx   D．y＝

解析　对于幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减，所以A正确；D中的函数y＝可转化为y＝x－1，所以函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，故D不符合题意；对于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)，当0<a<1时，y＝ax在(－∞，＋∞)上单调递减，当a>1时，y＝ax在(－∞，＋∞)上单调递增，而B中的函数y＝2－x可转化为y＝x，因此函数y＝2－x在(0，＋∞)上单调递减，故B不符合题意；对于对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)，当0<a<1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，因此C中的函数y＝logx在(0，＋∞)上单调递减，故C不符合题意。故选A。

答案　A

4．(2021·绵阳市诊断性考试)已知函数f(x)＝x3＋sin x＋2，若f(m)＝3，则f(－m)＝(　　)

A．2   B．1 

C．0   D．－1

解析　解法一：由题意知，f(m)＝m3＋sin m＋2，f(－m)＝－m3－sin m＋2，两式相加得，f(m)＋f(－m)＝4，所以f(－m)＝4－f(m)＝4－3＝1。故选B。

解法二：由y＝x3＋sin x是奇函数，得f(m)＋f(－m)＝4，所以f(－m)＝1。

答案　B

5．函数f(x)＝的图象大致为(　　)

解析　因为x≠0且x≠±1，f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除A，B；又当x∈(0,1)时，x>0，ln|x|＝ln x<0，所以当x∈(0,1)时，f(x)<0，排除C。故选D。

答案　D

6．(2021·合肥质量检测)自2019年1月1日起，我国个人所得税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个人所得税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数。应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其他扣除。其中，“基本减除费用”(免征额)为每年60 000元。部分税率与速算扣除数见下表：

若某人全年综合所得收入额为249 600元，专项扣除占综合所得收入额的20%，专项附加扣除是52 800元，依法确定的其他扣除是4 560元，则他全年应缴纳的个人所得税应该是(　　)

A．5 712元   B．8 232元

C．11 712元   D．33 000元

解析　根据题意可得该人的应纳税所得额T＝249 600－60 000－249 600×20%－52 800－4 560＝82 320(元)，该人的个人所得税税额S＝T×10%－2 520＝82 320×10%－2 520＝5 712(元)。故选A。

答案　A

7．(2021·东北五校联合考试)已知函数f(x)＝|x|－－|x|，则f(x)(　　)

A．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增

B．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减

C．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增

D．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减

解析　解法一：函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝|－x|－－|－x|＝|x|－－|x|＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除A，B。当x>0时，f(x)＝x－－x＝x－2 021x，函数y＝x和函数y＝－2 021x在(0，＋∞)上均单调递减，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故选D。

解法二：函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝1－－1＝f(1)，所以排除A，B。f(2)＝2－－2<1－2 021＝f(1)，所以排除C，故选D。

答案　D

8．(2021·东北三省四市联考)如果对定义在R上的偶函数f(x)，满足对于任意两个不相等的正实数x1，x2，都有>0，则称函数y＝f(x)为“F函数”，下列函数为“F函数”的是(　　)

A．f(x)＝e－|x|   B．f(x)＝ln|x|

C．f(x)＝x2   D．f(x)＝x|x|

解析　由题意令g(x)＝xf(x)。因为f(x)为偶函数，所以g(x)＝xf(x)为奇函数。不妨设0<x1<x2，不等式>0，即>0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，即g(x)应同时具备两个条件：①奇函数；②在(0，＋∞)上单调递增。对于A选项，g(x)＝xe－|x|不满足条件②，所以A选项不正确；对于B选项，g(x)＝xln|x|，当x∈(0，＋∞)时，g(x)＝xln x，g′(x)＝ln x＋1，当x∈时，g′(x)<0，当x∈时，g′(x)>0，所以g(x)也不满足条件②，所以B选项不正确；对于C选项，g(x)＝x3，符合条件，所以C选项正确；对于D选项，g(x)＝x2|x|为偶函数，所以D选项不正确。故选C。

答案　C

二、多项选择题

9．下列各函数中，满足“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充要条件的是(　　)

A．f(x)＝tan x   B．f(x)＝3x－3－x

C．f(x)＝x3   D．f(x)＝log3|x|

解析　因为f(x)＝tan x是奇函数，所以x1＋x2＝0⇒f(x1)＋f(x2)＝0，但是f＋f＝0，此时＋≠0，不符合要求，所以A不符合题意；因为f(x)＝3x－3－x和f(x)＝x3均为单调递增的奇函数，所以“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充要条件，所以B，C选项符合题意；对于选项D，由f(x)＝log3|x|的图象易知不符合题意，故选BC。

答案　BC

10．已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x＋1)＝f(1－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则(　　)

A．f(x)为奇函数

B．f(x)为周期函数

C．f(x)的图象关于直线x＝1对称

D．f(31)＝－1

解析　A，C显然正确，由f(x＋1)＝f(1－x)及f(－x)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f((x＋1)＋1)＝f(1－(x＋1))＝f(－x)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(31)＝f(4×8－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1，故B，D正确。

答案　ABCD

三、填空题

11．已知函数f(x)＝则不等式f(x)>1的解集为________。

解析　由f(x)>1，得⇒－1<x≤0　①，或⇒0<x<　②，①②取并集，得－1<x<，故不等式f(x)>1的解集为。

答案　

12．(2021·武汉市二模)写出一个定义在R上且值域为(－1,1)的奇函数f(x)，则f(x)＝________。

解析　由题意，可取f(x)＝，其定义域为R，f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)＝为奇函数。f(x)＝＝1－，因为ex∈(0，＋∞)，所以∈(0,2)，所以f(x)∈(－1,1)。故f(x)＝满足题意。

答案　(答案不唯一)

13．已知函数f(x)＝＋sin x，则f(－5)＋f(－4)＋f(－3)＋f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)的值是________。

解析　f(x)＝＋sin x＝＋sin x＝＋x＋sin x，所以f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－x－sin x，所以f(x)＋f(－x)＝＋＝2，所以f(0)＋f(0)＝2⇒f(0)＝1，所以f(－5)＋f(－4)＋f(－3)＋f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝5×2＋1＝11。

答案　11

14．已知函数f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2＋x。若不等式f(x)－x≤2logax(a>0且a≠1)对∀x∈恒成立，则实数a的取值范围是________。

解析　由已知得当x>0时，f(x)＝x2＋x，故f(x)－x＝x2≤2logax(a>0且a≠1)对∀x∈恒成立，即当x∈时，函数y＝x2的图象不在y＝2logax图象的上方，由图(图略)知0<a<1且2loga≥，解得≤a<1。

答案　

B级　素养落实

15. (2021·南昌市一模测试)如图为某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐的长度为d，截面半径为r(d，r为常量)，油面高度为h，油面宽度为w，储油量为v(h，w，v为变量)，给出下列说法：

①w是v的函数；②v是w的函数；③h是w的函数；④w是h的函数。其中说法正确的个数是(　　)

A．1   B．2

C．3   D．4

解析　若给定v的值，即储油量一定，则油面宽度一定是唯一确定的，所以w是v的函数，所以①正确；若给定w的值，即油面宽度是定值，由圆的对称性可知，有两种情况，如图所示，当A1B1与AB平行，并且与圆心O的距离相等时，AB＝A1B1，此时分别有两个高度值h和两个储油量值v与其对应，所以v不是w的函数，h不是w的函数，所以②，③均错误；若给定高度h，易知w是唯一确定的，所以w是h的函数，所以④正确。故选B。

答案　B

16．(多选)(2021·广州名校交流联考)定义：若函数f(x)的图象经过变换Γ后所得图象对应的函数的值域与f(x)的值域相同，则称变换Γ是f(x)的“同值变换”，下面给出四个函数及其对应的变换Γ，其中Γ属于f(x)的“同值变换”的是(　　)

A．f(x)＝x2－2x，Γ：将函数f(x)的图象关于y轴对称

B．f(x)＝2x－1，Γ：将函数f(x)的图象关于x轴对称

C．f(x)＝log2x，Γ：将函数f(x)的图象关于直线y＝x对称

D．f(x)＝cos，Γ：将函数f(x)的图象关于点(－2,0)对称

解析　对于A选项，将函数f(x)的图象关于y轴对称后，通过图象可知，值域没有发生变化，所以A选项符合题意；对于B选项，将函数f(x)的图象关于x轴对称后，得到函数y＝－f(x)＝－(2x－1)＝－2x＋1的图象，而y＝－2x＋1∈(－∞，1)，f(x)＝2x－1∈(－1，＋∞)，值域发生变化，所以B选项不符合题意；对于C选项，将函数f(x)的图象关于直线y＝x对称后，得到函数y＝2x的图象，而y＝2x∈(0，＋∞)，f(x)＝log2x∈R，值域发生变化，所以C选项不符合题意；对于D选项，将函数f(x)的图象关于点(－2,0)对称后，得到函数y＝－f(－4－x)＝－cos的图象，而y＝－cos∈[－1，1]，f(x)＝cos∈[－1,1]，值域没有发生变化，所以D选项符合题意。故选AD。

答案　AD

17．(2021·南京市一模)罗默、伯努利家族、莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线C：x＋y＝1的性质，其形美观，常用于超轻材料的设计。曲线C围成的图形的面积S________2(填“>”“<”或“＝”)，曲线C上的动点到原点的距离的取值范围是________。

解析　由x＋y＝1知x，y∈[－1,1]，且曲线C既关于原点对称又关于y轴对称，当x，y∈(0,1)时，x>x，y>y，所以x＋y<1，同理可得x＋y>－1，x－y>－1，x－y<1，即曲线C在四条直线y＝x＋1，y＝x－1，y＝－x＋1，y＝－x－1所围成的封闭图形的内部，即曲线C在边长为的正方形的内部，所以曲线C围成的图形的面积S<()2＝2。由x＋y＝1，得y＝1－x，所以y2＝(1－x)3，所以曲线C上的动点到原点的距离d的平方即d2＝x2＋y2＝x2＋(1－x)3＝x2＋C(－x)0＋C(－x)1＋C(－x)2＋C(－x)3＝3x－3x＋1＝32＋，当x＝时，d2取得最小值，当x＝0或1时，d2取得最大值1，所以d2∈，所以d∈。

答案　<　

小题专项2　基本初等函数、函数与方程

命|题|分|析

从近3年高考情况来看，本部分内容一直是高考的热点，尤其是对函数的零点、方程的根的个数的判断及利用零点存在性定理判断零点是否存在和零点存在区间的考查较为频繁。一般会将本部分内容的知识与函数的图象和性质结合起来考查，综合性较强，常以选择题、填空题形式出现。解题时要充分利用函数与方程、数形结合等思想。

明确考点　扣准要点

必 备 知 识

1．指数式与对数式的七个运算公式

(1)aman＝am＋n；

(2)(am)n＝amn；

注：a>0，m，n∈Q。

(3)loga(MN)＝logaM＋logaN；

(4)loga＝logaM－logaN；

(5)logaMn＝nlogaM(n∈R)；

(6)a＝N；

(7)logaN＝，

注：a，b>0且a，b≠1，M>0，N>0。

2．指数函数与对数函数的图象和性质

指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分0<a<1，a>1两种情况：当a>1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数。

3．函数的零点问题

(1)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标。

(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解。

4．应用函数模型解决实际问题的一般程序

⇒⇒⇒。

精析精研　重点攻关

考 向 突 破

考向一  基本初等函数的图象与性质

【例1】　(1)已知函数f(x)＝logax＋b的图象如图所示，那么函数g(x)＝ax＋b的图象可能为(　　)

解析　因为函数y＝logax的图象过定点(1,0)，当a>1时，y＝logax在定义域上单调递增，且函数f(x)＝logax＋b在定义域上单调递增，函数f(x)＝logax＋b的图象是由函数y＝logax的图象向下平移(－b)个单位长度得到的，所以a>1,1<－b<2。当a>1时，函数y＝ax为增函数，其图象过定点(0,1)。函数g(x)＝ax＋b的图象是由函数y＝ax的图象向下平移(－b)个单位长度得到的，观察选项知，只有B满足题意，故选B。

答案　B

(2)(2021·河北省六校联考)设a＝log2，b＝0.3，则有(　　)

A．a＋b>ab   B．a＋b<ab

C．a＋b＝ab   D．a－b＝ab

解析　因为a＝log2＝－log23，<log23<2，所以－<－log23<－，即－<a<－，又b＝0.3>1＝，所以a＋b>0，ab<0，所以a＋b>ab。故选A。

答案　A

(3)(2021·福建省五校联考)已知函数f(x)＝|lg x|，若f(a)＝f(b)且a<b，则不等式logax＋logb(2x－1)>0的解集为(　　)

A．(1，＋∞)   B．(0,1)

C．   D．

解析　f(a)＝f(b)⇒|lg a|＝|lg b|⇒lg a＝±lg b⇒a＝b或a＝，因为a<b，所以0<a＝<1，所以logax＋logb(2x－1)＝logax－loga(2x－1)＝loga>0⇒⇒x>1。故选A。

答案　A

(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，若底数a的值不确定，要注意分a>1和0<a<1两种情况讨论：当a>1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数。

(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断。

【变式训练1】　(多选)若2a＋1＝3,2b＝，则下列结论正确的是(　　)

A．a＋b＝3   B．b－a<1

C．＋>2   D．ab>

解析　由2a＋1＝3,2b＝，得2a＋1·2b＝8，所以a＋1＋b＝3，则a＋b＝2，故A不正确。又2a＋1＝2·2a＝3，所以<2a＝<2，所以b>1>a>。因为＝2b－a＝<2，所以b－a<1，故B正确；＋＝(a＋b)×＝≥(2＋2)＝2，等号不成立，故C正确；ab＝a(2－a)＝－(a－1)2＋1，因为<a<1，所以－(a－1)2＋1∈，所以ab>，故D正确。综上所述，选BCD。

答案　BCD

考向二  函数的零点    重点微专题

角度1　确定零点的个数或范围

【例2】　(1)函数f(x)＝log2x－的零点所在的区间为(　　)

A．   B．

C．(1,2)   D．(2,3)

解析　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数。f＝log2－＝－1－2＝－3<0，f(1)＝log21－＝0－1<0，f(2)＝log22－＝1－＝>0，f(3)＝log23－>1－＝>0，即f(1)f(2)<0，所以函数f(x)＝log2x－的零点在区间(1,2)内。故选C。

答案　C

(2)已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝则函数g(x)＝f2(x)－f(x)的零点个数为(　　)