人教版九年级下册27.2.2 相似三角形的性质优秀ppt课件

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人教版 九年级数学下册第27章 相似27.2.2 相似三角形的性质
学习目标1. 理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似比，并运用其解决问题. 2. 理解相似三角形面积的比等于相似比的平方，并运用其解决问题.
相似三角形判定的方法
1. 定义法：三组对应边的比相等且对应角相等.（不常用）
2. “平行”定理：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.
3. “三边”定理：三边成比例的两个三角形相似.
4. “两边夹角”定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
5. “两角”定理：两角分别相等的两个三角形相似.
6. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.
三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等．如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？
如图，△ABC∽ △A'B'C'，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
如图，分别作出△ABC和△A'B'C'的高AD和A'D'．
∵ △ABC∽ △ A'B'C' ， ∴ ∠B＝∠B’．
∴ △ABD∽ △A'B'D'
又△ABD和△A'B'D'都是直角三角形，
类似地，可以证明相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比也等于k．
一、相似三角形对应线段的比、周长比与相似比
类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比.
由此我们可以得到：
相似三角形对应高的比等于相似比.
推广：相似三角形对应线段的比等于相似比.
相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？
如果 △ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k，那么
因此
AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，
从而
归纳：
相似三角形周长的比等于相似比.
1. 如果两个相似三角形的对应高的比为 2 : 3，那么对应角平分线的比是 ，对应边上的中线的比是 . 2. 已知△ABC ∽ △A'B'C' ，相似比为3 : 4，若 BC 边上的高 AD＝12 cm，则 B'C' 边上的高 A'D' ＝ .
2 : 3
2 : 3
16 cm
3. 如果DE是△ABC的中位线，则△ADE和△ABC的周长之比为 ．4. 两个相似三角形一组对应边的长分别为6cm和8cm，它们的周长之和为56cm，那么这两个相似三角形的周长分别是多少？
解：这两个相似三角形的周长分别是24cm，32cm．
解：∵ △ABC ∽△DEF， 　
5. 已知 △ABC∽△DEF，BG、EH 分别是 △ABC和 △DEF 的角平分线，BC = 6 cm，EF = 4 cm，BG = 4.8 cm. 求 EH 的长.
∴ (相似三角形对应角平分线的比等于相似比)，
∴ EH 的长为 3.2 cm.
相似三角形面积的比与相似比有什么关系？
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
如图，由前面的结论，我们有
这样，得到：
相似三角形面积的比等于相似比的平方．
二、相似三角形的面积比等于相似比的平方
相似三角形
对应高的比
对应中线的比
对应角平分线的比
周长的比
面积的比
等于相似比的平方
等于相似比
1. 判断：
（1）如果把一个三角形各边同时扩大为原来的5倍，那么它的周长也扩大为原来的5倍.（ ）
√
（2）如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它的三边也扩大为原来的9倍.（ ）
×
2. 已知两个三角形相似，请完成下列表格：
2
4
100
100
k
k2
3. 两个相似三角形的一对对应边分别是 35 cm、14 cm， (1) 它们的周长差为 60 cm，这两个三角形的周长分别是________________； (2) 它们的面积之和是 58 cm2，这两个三角形的面积分别是______________.
100 cm、40 cm
50 cm2、8 cm2
例：如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的边BC上的高为6，面积为 ，求△DEF的边EF上的高和面积．
解：在△ABC和△DEF中，
∵ AB＝2DE，AC＝2DF
∴
又 ∠D＝∠A
∴ △DEF∽△ABC，相似比为 ．
A
B
C
D
E
F
1. 如图，已知D、E分别是△ABC的AB、 AC边上的点，DE∥BC且S△ADE：S四边形DBCE=1:8 ，那么AE:AC等于（ 　 ）　A．1:9 　B．1:3 　 C．1:8 　 D．1:2
B
2. 如果两个相似三角形的面积之比为 2 : 7，较大三角形一边上的高为 7，则较小三角形对应边上的高为______.
3. 如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为______cm．
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∴ △ADE ∽△ABC.
∵ 它们的相似比为 3 : 5，∴ 面积比为 9 : 25.
又∵ △ABC 的面积为 100 cm2，
∴ △ADE 的面积为 36 cm2 .
∴ 四边形 BCDE 的面积为100－36 = 64 (cm2).
5. 如图，△ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，且 DE∥BC，EF∥AB. 当 D 点为 AB 中点时，求 S四边形BFED : S△ABC 的值.
解：∵ DE∥BC，D 为 AB 中点， ∴ △ADE ∽ △ABC ， 即相似比为 1 : 2， 面积比为 1 : 4.
又∵ EF∥AB，∴ △EFC ∽ △ABC ，相似比为 ，∴面积比为 1 : 4.设 S△ABC = 4，则 S△ADE = 1，S△EFC = 1，S四边形BFED = S△ABC－S△ADE－S△EFC = 4－1－1 = 2，∴ S四边形BFED : S△ABC = 2 : 4 =
1. 相似三角形的周长比等于相似比的平方，面积比等于相似比的平方，这在相似多边形中也成立. 2. 在解决相似三角形的面积比类问题时，要注意由相似比求面积比时是平方运算，而由面积比求相似比时是开方运算.
1. 如图，在△ABC中，D、E、F分别是边AB、 BC、AC的中点，若△ABC的周长是20cm，则△DEF的周长是（ ） A. 5cm B. 10cm C. 15cm D. 20cm
B
2. 已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（ ） A. 1:2 B. 1:4 C. 2:1 D. 4:1
B
3. 在 △ABC 和 △DEF 中，AB＝2 DE，AC＝2 DF，∠A＝∠D，AP，DQ 是中线，若 AP＝2，则 DQ的值为 （ ） A．2 B．4 C．1 D.
C
4. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_____.
1 : 2
1 : 4
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7. 如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，CD⊥AB于点D，BC=3，AB=5，写出其中的一对相似三角形是 和 ；并写出它们的面积比为 ．
△BCD
△BAC
9:25
6. 两个相似三角形对应的中线长分别是 6 cm 和 18 cm，若较大三角形的周长是 42 cm，面积是 12 cm2，则较小三角形的周长____cm，面积为____cm2.
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8．如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE= CD．（1）求证：△ABF∽ △CEB；（2）若△DEF的面积为2，求□ABCD的面积．

解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，∴∠ABF＝∠CEB，∴△ABF∽△CEB. （2） 24.
1. △ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知 △ADE 和△EFC 的面积分别为 4 和 9，求 △ABC 的面积.
解：∵ DE∥BC，EF∥AB， ∴ △ADE ∽△ABC， ∠ADE =∠EFC，∠A =∠CEF， ∴△ADE ∽△EFC. 又∵S△ADE : S△EFC = 4 : 9，
∴ AE : EC=2:3，则 AE : AC =2 : 5，
∴ S△ADE : S△ABC = 4 : 25，∴ S△ABC = 25.
2. 如图，△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交 AB、AC 于点 D、E，S△ADE＝2 S△DCE，求 S△ADE ∶S△ABC.
【分析】从题干分析可以得到△ADE∽△ABC，要证明它们面积的比，直接的就是先求出相似比，观察得到△ADE与△DCE是同高，得到AE与CE的比，进而求解.
即 S△ADE : S△ABC ＝4 : 9.
解：过点 D 作 AC 的垂线，交点为 F，则
又∵ DE∥BC，∴ △ADE ∽△ABC.
F
1.（3分）（2021•西藏11/27）如图．在平面直角坐标系中，△AOB的面积为 ， BA垂直x轴于点A，OB与双曲线 相交于点C，且BC：OC=1：2．则k的值为（ ） A．-3 B． C．3 D．
【分析】过C作CD⊥x轴于D，可得△DOC∽△AOB，根据相似三角形的性质求出S△DOC，由反比例函数系数k的几何意义即可求得k．
2.（8分）（2021•广东23/25）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点．连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，求CG的长．
相似三角形的性质
相似三角形对应线段的比等于相似比
相似三角形面积的比等于相似比的平方
相似三角形性质的运用
相似三角形对应边成比例，对应角相等
P43：习题27.2：第11、12题.