广东省揭阳市2021-2022学年高三上学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份广东省揭阳市2021-2022学年高三上学期期末考试数学试卷（含答案），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷共 4 页， 考试时间 120 分钟， 满分 150 分
注意事项 ：
答题前， 考生先将自己的信息填写清楚、准确， 将条形码准确粘贴在条形码粘贴处。
请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效。
答题时请按要求用笔， 保持卡面清洁， 不要折叠， 不要弄破、弄皱， 不得使用涂改液、修正带、刮纸刀。考试结束后， 请将本试卷及答题卡交回。
一、选择题：本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有 一项是符合题目要求的。
设集合 ， 则
A．
B．
C．
D．
复数 满足 ( 为虚数单位)， 则 的模为
A．
B．
C． 1
D．
袋中有大小和形状都相同的 3 个白球和 2 个黑球， 现从袋中不放回地依次抽取两个球， 则在第一次取到白球的条件下， 第二次也取到白球的概率是
A．
B．
C．
D．
每年的毕业季都是高校毕业生求职和公司招聘最忙碌的时候， 甲、乙两家公司今年分别提 供了 2 个和 3 个不同的职位， 一共收到了 100 份简历， 具体数据如下：
分析毕业生的选择意愿与性别的关联关系时， 已知对应的 的观测值 ； 分析 毕业生的选择意愿与专业关联的 的观测值 ， 则下列说法正确的是
A． 有 的把握认为毕业生的选择意愿与专业相关联
B． 毕业生在选择甲、乙公司时， 选择意愿与专业的关联比与性别的关联性更大一些
C． 理科专业的学生更倾向于选择乙公司
D． 女性毕业生更倾向于选择甲公司
已知函数 ， 则该函数的增区间为
A．
B．
C．
D．
已知圆柱的轴截面为正方形， 其外接球为球 ， 则圆柱的表面积与球 的表面积之比为
A．
B．
C．
D． 不能确定
已知过拋物线 的焦点 的直线交 于 两点 (点 在点 的右边)， 为 原点． 若 的重心的横坐标为 10 ， 则 的值为
A． 144
B． 72
C． 60
D． 48
已知函数 ， 过点 可作两条直线与函数 相切， 则下列结论正 确的是
A．
B．
C． 的最大值为 2
D．
二、选择题： 本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分， 部分选对的得 2 分， 有选错的得 0 分。
已知二项式 ． 的展开式中各项的系数和为 64 ， 则下列说法正确的是
A． 展开式中的常数项为 1
B．
C． 展开式中二项式系数最大的项是第四项
D． 展开式中 的指数均为偶数
已知函数 ， 满足不等式 ， 则
A．
B．
C．
D．
已知向量 ， 且 ， 则下列说法正确的是
A．
B．
C．
D． 的最大值为 2
如图 1 所示， 已知正方体 的棱长为 分别是 的中点， 是线段 上的动点， 则下列说法正确的是
A． 平面 截正方体所得的截面可以是四边形、五边形或六 边形
B． 当点 与 两点不重合时， 平面 截正方体所得的 截面是五边形
C． 是锐角三角形
D． 面积的最大值是
三、填空题： 本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分。
已知函数 ， 该函数在 处的切线方程为________．
在等差数列 中， 分别是方程 的两个根， 则 ________．
如图 2 所示， 已知 是双曲线 右支上任意一点， 双曲线 在点 处的切线分别与两条渐近线 交于 两点， 则 ________．
如图 3 所示， 在等腰直角 中，AB＝O为的中点， 分别为线段 上的动点， 且 ．
当 时， 则 的值为________；② 的最大值为________．
四、解答题： 本题共 6 小题， 共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(10 分)
在各项均为正数的等比数列 中， ．
(1) 求数列 的通项公式；
(2) ， 求数列 的前 项和 ．
(12 分)
在 中， 角 所对的边分别为 ， 且 ．
(1) 求角 ；
(2) 若 ， 且 的面积为 ， 且 ， 求 和 的值．
(12分)
如图4，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，CD，CD⊥AD，平面PCD⊥平面ABCD，E为棱PC_上的点，且EC＝2PE．
(1)求证：BE//平面PAD；
(2)若PD＝3，二面角P－AD－C为60°，求直线 与平面 所成角的正弦值．
(12 分)
在高考结束后， 省考试院会根据所有考生的成绩划分出特控线和本科线． 考生们可以将自
己的成绩与划线的对比作为高考志愿填报的决策依据． 每一个学科的评价都有一个标准进行判 断． 以数学学科为例， 在一次考试中， 将考生的成绩由高到低排列， 分为一、二、三档， 前 定为一档， 前 到前 定为二档， 后 定为三档． 在一次全市的模拟考试中， 考生 数学成绩的频率分布直方图如图 5 所示， 根据直方图的信息可知第三档的分数段为 ．
(1) 求成绩位于 时所对应的频率， 并估计第二档和第一档的分数段；
(2) 在历年的统计中发现， 数学成绩为一档的考生其总分过特控线的概率为 ， 数学成绩为二档的考生其总分过特控线的概率为 ， 数学成绩为三档的考生其总分过特控线的概率为 ． 在此次模拟考试中， 甲、乙、丙三位考生 的数学成绩分别为 ． 请结合第 (1) 问中的分数段， 求这三位考生总分上特控线的人 数 的分布列及数学期望．
(12 分)
已知椭圆 为椭圆的左、右焦点， 焦距为 ， 点 在
上， 且 面积的最大值为 ．
(1) 求椭圆 的方程；
(2) 过点 作直线 交椭圆于 两点， 以 为直径的圆是否恒过 轴上的 定点 ? 若存在该定点， 请求出 的值； 若不存在， 请说明理由．
(12 分)
已知函数 ．
(1) 若 ， 判断函数 的单调性， 并求出函数 的最值．
(2) 若函数 有两个零点， 求实数 的取值范围．
公司
文史男
文史女
理工男
理工女
甲
10
10
20
10
乙
15
20
10
5