人教版27.2.1 相似三角形的判定一等奖课件ppt

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学习目标1. 掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算. 2. 掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算.
截至目前为止，相似三角形判定的方法
1. 定义法：三组对应边的比相等且对应角相等.（不常用）
2. “平行”定理：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.
3. “三边”定理：三边成比例的两个三角形相似.
4. “两边夹角”定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
这两个三角形的三个内角的大小有什么关系？
思考：三个内角对应相等的两个三角形一定相似吗？
观察你与老师的或与同桌的两副三角尺（30°与60°，或45°与45°） ，两个三角尺大小可能不同，会相似吗？
如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？
1. 作△ABC和△A'B'C'，使得∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，这时它们的第三个角满足∠C＝∠C'吗？2. 分别度量这两个三角形的边长，计算 ，你有什么发现？3. △ABC和△A'B'C'相似吗？
满足：∠C = ∠C' ；
；△ABC∽ △ A'B'C'
把你的结果与同桌比较，你们的结论一样吗？ △ABC和△A'B'C'相似吗？
一、两角分别相等的两个三角形相似
如图，已知△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A', ∠B=∠B'，求证: △ABC∽ △A'B'C'
猜想：判定两个三角形相似的又一个简便方法：
两角分别相等的两个三角形相似．
【分析】证明两个三角形相似的方法： 1. 定义； 2. “平行”定理； 3. “三边”定理； 4. “两边夹角”定理.创造具备定理条件的基本图形： 在较大的三角形上截取线段，构造全等三角形.
又∵∠A=∠A'，AD=A'B'
证明：在△ABC的边AB（或延长线）上，截取AD=A'B'，过点D作DE//BC，交AC于点E，则有△ADE∽ △ABC.
∵∠ADE=∠B, ∠B=∠B'
∴△ADE≌△A'B'C'
∴△A'B'C'∽△ABC
由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似.
∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'，
∴ △ABC ∽ △A'B'C'.
1. 下面每组的两个三角形是否相似？为什么？
2. 判断题：（1）所有的直角三角形都相似 . （ ） （2）所有的等边三角形都相似. （ ）（3）所有的等腰直角三角形都相似. （ ）（4）有一个角相等的两等腰三角形相似 . （ ）
3. 如图，在 △ABC 和 △A'B'C' 中，若∠A=50°，∠B=75°，∠A' = 50°，当∠C'= 时，△ABC ∽△A'B'C'.
证明：∵ 在△ ABC中，∠A=40 ° ，∠B=80 ° ， ∴ ∠C=180 °－∠A－∠B=60 °. ∵ 在△DEF中，∠E=80 °， ∠F=60 °. ∴ ∠B=∠E，∠C=∠F. 　 ∴ △ABC ∽△DEF.
4. 如图，在△ABC 和 △DEF 中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80 °，∠F=60 °．求证：△ABC ∽△DEF.
5. 如果，当∠ACD满足什么条件时，△ACD∽△ABC？
答案： ∠ACD＝ ∠ABC.
解： ∵∠A= ∠A ，∠ABD=∠C ∴△ABD ∽ △ ACB ∴ AB : AC=AD : AB ∴ AB2 = AD · AC ∵ AD=2，AC=8 ∴ AB =4
6. 已知如图， ∠ABD=∠C，AD=2 ，AC=8，求AB.
7. 已知如图直线BE、DC交于A ， ∠E= ∠C.求证：DA·AC=AB·AE
证明：∵∠E=∠C，∠DAE=∠BAC ∴△ABC ∽ △ ADE ∴ AC : AE=AB : AD ∴ DA · AC=AB · AE
例1：如图，弦 AB 和 CD 相交于 ⊙O 内一点 P，求证：PA · PB=PC · PD.证明：连接AC，DB. ∵∠A 和∠D 都是 所对的圆周角， ∴ ∠A= ∠D， 同理 ∠C= ∠B， ∴ △PAC ∽ △PDB， ∴ ， 即PA ·PB = PC · PD.
1. 如图，⊙O 的弦 AB，CD 相交于点 P，若 PA=3，PB = 8，PC = 4，则 PD = .
解：（1）△DBE∽△DAB；△DBE∽△CAE；△ABD∽△AEC．（2）选择△ABD∽△AEC． ∵DA是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAE． 又∵∠D=∠C，∴△ABD∽△AEC．
2. 如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E，连接BD．（1）请你找出图中所有的相似三角形；（2）请选择其中的一对相似三角形予以证明．
3．在上题条件下，若DE=3，EA=7，则BD=______．
解：∵ ED⊥AB，∴∠EDA=90 ° . 又∠C=90 °，∠A=∠A， ∴ △AED ∽△ABC.
例2：如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为D. 求AD的长.
二、判定两个直角三角形相似
由此得到一个判定直角三角形相似的方法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
思考：对于两个直角三角形，我们可以用 “HL”判定它们全等. 那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？
证明：设____________= k ，则AB=kA′B′，AC=kA′C′.由 ，得 ∴ ＿＿＿＿＿＿＿＿. ∴ Rt △ABC ∽ Rt △A′B′C′.
∵ ∠C=90°，∠C′=90°， ，
由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.
如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，
∴ Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′.
1. 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.（1）∠A=35°，∠B′=55°： ；（2）AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8： ；（3）AB=10，AC=8，A′B′=25，B′C′=15： .
2. 如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，则△ABC∽△ ，△ABC∽△ ，△ABC∽△ ．
3. 如图，已知：∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，当 AB 的长为 时，△ACB 与△ADC相似．
【分析】观察得到AB和AC分别是斜边，但两条直角边的对应关系并没有确定，因此需要分类讨论.
解：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1）当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时，有 AC : AD ＝AB : AC， 即 : 2 =AB : ，解得 AB=3；
（2）当 Rt△ACB ∽ Rt△CDA 时，有 AC : CD ＝AB : AC ， 即 : =AB : ，解得 AB= ．∴ 当 AB 的长为 3 或 时，这两个直角三角形相似．
如图，AD⊥BC于点D， CE⊥AB于点 E ，且交AD于F，从中找出相似的三角形？
△ACD ∽△CBD∽△ABC
找出图中所有的相似三角形.
有三对相似三角形：△ACD∽ △CBD△CBD∽ △ABC△ACD∽ △ABC
常用的相等的角： ∠A =∠DCB ；∠B =∠ACD
AC·BC=AB·CD
证两三角形相似，若已具备一组角对应相等，则应先考虑“两角分别相等的两个三角形相似”这一判定方法，而找等角时常用到公共角、对顶角、等角（或同角）的余角相等等一些隐含条件．判定直角三角形相似时，可以用其相似独有的判定方法，也可以用一般三角形相似的判定方法．不过，更多的时候是用两角相等来证．
1. 下列结论： ①所有的等腰三角形都相似， ②有一个角是80°的两个等腰三角形相似， ③有一个角是100°的两个等腰三角形相似， ④有一个角相等的两个等腰三角形相似，其中正确的有（ ） A．1个B．2个 C．3个 D．4个
2. 如图，已知 AB∥DE，∠AFC ＝∠E，则图中相似三角形共有 （ ） A. 1对 　　 B. 2对 C. 3对 　　 D. 4对
3. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若AD=1，BC=3，则 的值为 （　　）
4. 如图，△ABC中，AE 交 BC 于点 D，∠C=∠E，AD : DE=3 : 5，AE=8，BD=4，则DC的长等于 （ ）
5. 如图，点 D 在 AB上，当∠ ＝∠ (或∠ =∠ )时， △ACD∽△ABC；
6. 如图，在 Rt△ABC 中， ∠ABC = 90°，BD⊥AC于D. 若 AB=6，AD=2，则 BD= ，AC= ，BC= .
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高. （1）若AD=8，BD=2，则CD= ；（2）若BD=4，AB=9，则BC= ；（3）若AD=2，AB=3，则AC= ； （4）若CD=8，BD=4，则AD= ．（5）若AB=5，AC=4，则CD= ．
8. （1）如图1，请你增加一个条件：∠ ＝∠ .（或∠ ＝∠ ），使△ABC∽ △ACD． （2）如图2，请你增加一个条件：∠ ＝∠ .（或∠ ＝∠ ），使△ABC∽ △AED．
9. 如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC.
证明: ∵ DE∥BC，EF∥AB，
∠A＝∠FEC.
∴ △ADE∽△EFC.
证明：∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC， ∠DAE= ∠3+ ∠DAC，∠1=∠3， ∴ ∠BAC=∠DAE. ∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ， ∠E=180°－∠3－∠AOE， ∠DOC =∠AOE（对顶角相等）， ∴ ∠C= ∠E. ∴ △ABC∽△ADE.
1. 如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE．
证明： ∵ △ABC 的高AD、BE交于点F， ∴ ∠FEA=∠FDB=90°， ∠AFE =∠BFD (对顶角相等). ∴ △FEA ∽ △ FDB， ∴
2. 如图，△ABC 的高 AD，BE 交于点 F．求证：
两角分别相等的两个三角形相似
利用两角判定三角形相似
5. “两角”定理：两角分别相等的两个三角形相似.
直角三角形相似的判定方法
在两个直角三角形中，如果有：
（2）两组直角边成比例；
（3）斜边直角边成比例；
以上任何一种情况，都能得到这两个直角三角形相似.
判定一般三角形相似的方法，都适用于判定直角三角形相似，此外：