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2021年福建省福州第十八中学中考数学第二次适应性试卷 解析版
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这是一份2021年福建省福州第十八中学中考数学第二次适应性试卷 解析版，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年福建省福州十八中中考数学第二次适应性试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．下列计算结果等于﹣1的是（ ）
A．﹣1+2 B．（﹣1）0 C．﹣12 D．（﹣1）﹣2
2．第十六届海峡交易会对接合同项目2049项，总投资682亿元．将682亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.682×1011 B．6.82×1010 C．6.82×109 D．682×108
3．下列事件是必然事件的是（ ）
A．2018年5月15日宁德市的天气是晴天
B．从一副扑克中任意抽出一张是黑桃
C．在一个三角形中，任意两边之和大于第三边
D．打开电视，正在播广告
4．由6个大小相同的小正方体拼成的几何体如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．主视图的面积最大 B．左视图的面积最大
C．俯视图的面积最大 D．三种视图的面积相等
5．若x＝1是关于x的方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则c的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
6．如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OB交⊙O于点C．若OA＝3，tan∠AOB＝，则BC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．若2n+2n＝1，则n的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．
8．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°后得到CE，连接BE，若∠DAB＝15°，则∠ABE是（ ）
A．75° B．78° C．80° D．92°
9．已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量和对应函数值如表：
x
…
﹣1
0
2
4
…
y1
…
0
1
3
5
…
x
…
﹣1
1
3
4
…
y2
…
0
﹣4
0
5
…
当y2＞y1时，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1 B．x＞4 C．﹣1＜x＜4 D．x＜﹣1或x＞4
10．如图，点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝（x＜0）的图象上．若OA⊥OB，＝2，则a的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案填在答题卡上）
11．计算：＝ ．
12．因式分解：2a2﹣2＝ ．
13．小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了一个内角，结果得到的总和是800°，则少算了这个内角的度数为 ．
14．已知一次函数y＝kx+2k+3（k≠0），不论k为何值，该函数的图象都经过点A，则点A的坐标为 ．
15．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为 ．
16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝5点D在边AB上，以AD为直径的圆，与边BC有公共点E，则AD的最小值是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共86分，解答应写出必要的文字说明，证明过程和演算）
17．（8分）解方程组：．
18．（6分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED是矩形．
19．（8分）先化简（x+3﹣）÷，再从0≤x≤4中选一个适合的整数代入求值．
20．（8分）为了解某校九年级学生体能训练情况，该年级在3月份进行了一次体育测试，决定对本次测试的成绩进行抽样分析．已知九年级共有学生480人，请按要求回答下列问题：
（1）把全年级同学的测试成绩分别写在没有明显差别的小纸片上，揉成小球，放到一个不透明的袋子中，充分搅拌后，随意抽取30个，展开小球，记录这30张纸片中所写的成绩得到一个样本，你觉得上面的抽取过程是简单随机抽样吗？
答： （填“是”或“不是”）
（2）下表是用简单随机抽样方法抽取的30名同学的体育测试成绩（单位：分）：
59
69
77
73
72
62
79
78
66
81
85
84
83
84
86
87
88
85
86
89
90
97
91
98
90
95
96
93
92
99
若成绩为x分，当x≥90时记为A等级，80≤x＜90时记为B等级，70≤x＜80时记为C等级，x＜70时记为D等级，根据表格信息，解答下列问题：
①本次抽样调查获取的样本数据的中位数是 ；估计全年级本次体育测试成绩在A、B两个等级的人数是 ；
②经过一个多月的强化训练发现D等级的同学平均成绩提高15分，C等级的同学平均成绩提高10分，B等级的同学平均成绩提高5分，A等级的同学平均成绩没有变化，请估计强化训练后全年级学生的平均成绩提高多少分？
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，正方形DECF的三个顶点D，E，F分别落在边AB，AC，BC上．
（1）用尺规作出正方形DECF；
（2）求正方形DECF的边长．
22．（10分）水果店在销售某种水果，该种水果的进价为10元/kg．根据以往的销售经验可知：日销量y（单位：kg）随售价x（单位：元/kg）的变化规律符合某种函数关系．
该水果店以往的销售记录如下表：（售价不低于进价）
售价x（单位：元/kg）
10
15
20
25
30
日销量y（单位：kg）
30
20
15
12
10
若y与x之间的函数关系是一次函数，二次函数，反比例函数中的某一种．
（1）判断y与x之间的函数关系，并写出其解析式；
（2）水果店销售该种水果的日利润能否达到200元？说明理由．
23．（10分）已知⊙O为△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC．
（1）连接PO，并延长交⊙O于点D，连接AD．证明：AD平分∠BAC；
（2）在（1）的条件下，AD交BC于点E，连接CD．若DE＝2，AE＝6．试求CD的长．
24．（12分）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察猜想
如图1，当α＝60°时，的值是 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 ．
（2）类比探究
如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）解决问题
当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．
25．（16分）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2）．
（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；
（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．
①求抛物线的解析式；
②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．
2021年福建省福州十八中中考数学第二次适应性试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．下列计算结果等于﹣1的是（ ）
A．﹣1+2 B．（﹣1）0 C．﹣12 D．（﹣1）﹣2
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和有理数的加减运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、﹣1+2＝1，不合题意；
B、（﹣1）0＝1，不合题意；
C、﹣12＝﹣1，符合题意；
D、（﹣1）﹣2＝1，不合题意；
故选：C．
2．第十六届海峡交易会对接合同项目2049项，总投资682亿元．将682亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.682×1011 B．6.82×1010 C．6.82×109 D．682×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：数字682亿用科学记数法表示为：6.82×1010．
故选：B．
3．下列事件是必然事件的是（ ）
A．2018年5月15日宁德市的天气是晴天
B．从一副扑克中任意抽出一张是黑桃
C．在一个三角形中，任意两边之和大于第三边
D．打开电视，正在播广告
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．
【解答】解：A、2018年5月15日宁德市的天气是晴天是随机事件；
B、从一副扑克中任意抽出一张是黑桃是随机事件；
C、在一个三角形中，任意两边之和大于第三边是必然事件；
D、打开电视，正在播广告是随机事件；
故选：C．
4．由6个大小相同的小正方体拼成的几何体如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．主视图的面积最大 B．左视图的面积最大
C．俯视图的面积最大 D．三种视图的面积相等
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边起2个小正方形，主视图的面积是5；
从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，左视图的面积为3；
从上边看第一列是2个小正方形，第二列是1个小正方形，第三列是1个小正方形，俯视图的面积是4，
主视图的面积最大，故A正确；
故选：A．
5．若x＝1是关于x的方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则c的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】把x＝1代入方程，得到关于c的一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程得：12﹣2×1+c＝0，
∴1﹣2+c＝0，
∴c＝1，
故选：C．
6．如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OB交⊙O于点C．若OA＝3，tan∠AOB＝，则BC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据三角函数，可得OB的长，根据线段的和差，可得答案．
【解答】解：∵OA＝3，tan∠AOB＝，
∴OB＝5，
∴CB＝OB﹣OC＝5﹣3＝2，
故选：A．
7．若2n+2n＝1，则n的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．
【分析】直接利用合并同类项以及幂的乘方运算法则将原式变形得出答案．
【解答】解：∵2n+2n＝1，
∴2×2n＝20＝1，
∴2n+1＝20，
∴n+1＝0，
解得：n＝﹣1．
故选：A．
8．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°后得到CE，连接BE，若∠DAB＝15°，则∠ABE是（ ）
A．75° B．78° C．80° D．92°
【分析】由旋转的性质可得CE＝CD，∠DCE＝∠ACB＝90°，由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得∠CAD＝∠CBE＝30°，即可求解．
【解答】解：在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC，∠CBA＝∠CAB＝45°，
∵∠DAB＝15°，
∴∠CAD＝30°，
∵将线段CD绕点C逆时针旋转90°后得到CE，
∴CE＝CD，∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD＝∠CBE＝30°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝75°，
故选：A．
9．已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量和对应函数值如表：
x
…
﹣1
0
2
4
…
y1
…
0
1
3
5
…
x
…
﹣1
1
3
4
…
y2
…
0
﹣4
0
5
…
当y2＞y1时，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1 B．x＞4 C．﹣1＜x＜4 D．x＜﹣1或x＞4
【分析】方法一：先在表格中找出点，用待定系数法求出直线和抛物线的解析式，用y2＞y1建立不等式，求解不等式即可．
方法二：直接由表得出两函数图象的交点坐标（﹣1，0），（4，5），再结合变化规律得出结论．
【解答】解法一：由表可知，（﹣1，0），（0，1）在一次函数y1＝kx+m的图象上，
∴，
∴
∴一次函数y1＝x+1，
由表可知，（﹣1，0），（1，﹣4），（3，0）在二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，
∴，
∴
∴二次函数y2＝x2﹣2x﹣3
当y2＞y1时，
∴x2﹣2x﹣3＞x+1，
∴（x﹣4）（x+1）＞0，
∴x＞4或x＜﹣1，
故选D，
解法二：如图，
由表得出两函数图象的交点坐标（﹣1，0），（4，5），
∴x＞4或x＜﹣1，
故选：D．
10．如图，点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝（x＜0）的图象上．若OA⊥OB，＝2，则a的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8
【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，利用相似三角形的判定定理得出△AOM∽△OBN，再由反比例函数系数K的几何意义得出S△AOM：S△BON＝2：（﹣a），进而得出结论．
【解答】解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，
∴∠AMO＝∠BN0＝90°，
∴∠AOM+∠OAM＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOM+∠∠BON＝90°，
∴∠OAM＝∠BON，
∴△AOM∽△OBN，
∵点A、B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝（x＜0）的图象上，
∴S△AOM＝1，S△BON＝﹣a，
∴S△AOM：S△BON＝2：（﹣a），
∴AO：BO＝：，
∵AO：BO＝1：2，
∴a＝﹣8，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案填在答题卡上）
11．计算：＝ 2 ．
【分析】根据立方根的定义即可求解．
【解答】解：∵23＝8
∴＝2
故答案为：2．
12．因式分解：2a2﹣2＝ 2（a+1）（a﹣1） ．
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（a2﹣1）
＝2（a+1）（a﹣1）．
故答案为：2（a+1）（a﹣1）．
13．小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了一个内角，结果得到的总和是800°，则少算了这个内角的度数为 100° ．
【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，少计算了一个内角，结果得800度．则内角和是（n﹣2）•180°与800°的差一定小于180度，并且大于0度．因而可以解方程（n﹣2）•180°≥800°，多边形的边数n一定是最小的整数值，从而求出多边形的边数，进而求出少计算的内角．
【解答】解：设多边形的边数是n．
依题意有（n﹣2）•180°≥800°，
解得：n≥6，
则多边形的边数n＝7；
多边形的内角和是（7﹣2）•180＝900度；
则未计算的内角的大小为900°﹣800°＝100°．
故答案为：100°．
14．已知一次函数y＝kx+2k+3（k≠0），不论k为何值，该函数的图象都经过点A，则点A的坐标为 （﹣2，3） ．
【分析】当k＝0时，得出y＝3，把y＝3，k＝1代入解析式得出x即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+2k+3（k≠0），不论k为何值，该函数的图象都经过点A，
∴当k＝0时，y＝3，
把y＝3，k＝1代入y＝kx+2k+3中，可得：x＝﹣2，
所以点A的坐标为（﹣2，3），
故答案为：（﹣2，3），
15．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为 4 ．
【分析】利用勾股定理求得直角边的较短边，进一步根据正方形EFGH的面积＝大正方形面积﹣4个直角三角形面积即可求得正方形EFGH的面积．
【解答】解：直角三角形直角边的较短边为＝6，
正方形EFGH的面积＝10×10﹣8×6÷2×4＝100﹣96＝4．
故答案为：4．
16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝5点D在边AB上，以AD为直径的圆，与边BC有公共点E，则AD的最小值是 ．
【分析】由题意可证△EBO∽△ABC，可得 ＝，可求OE的长，即可求AD的最小值．
【解答】解：当E点是切点且EO⊥BC时，则AD有最小值，如图，
∵∠EBO＝∠ABC，∠OEB＝∠ACB＝90°
∴△EBO∽△CBA，
∴＝，
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝5，
∴AB＝，
设OA＝OD＝OE＝m，
∴＝，
解得m＝，
∴AD＝2m＝．
∴AD的最小值为 ，
故答案为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共86分，解答应写出必要的文字说明，证明过程和演算）
17．（8分）解方程组：．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
②﹣①×2得：x＝6，
将x＝6代入①得：6+2y＝0，即y＝﹣3，
则方程组的解为．
18．（6分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED是矩形．
【分析】先证四边形OCED是平行四边形，再由菱形的性质得∠DOC＝90°，即可得出结论．
【解答】证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形．
19．（8分）先化简（x+3﹣）÷，再从0≤x≤4中选一个适合的整数代入求值．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件选择一个整数代入计算即可．
【解答】解：（x+3﹣）÷
＝（﹣）÷
＝•
＝，
当x＝1时，原式＝＝．
20．（8分）为了解某校九年级学生体能训练情况，该年级在3月份进行了一次体育测试，决定对本次测试的成绩进行抽样分析．已知九年级共有学生480人，请按要求回答下列问题：
（1）把全年级同学的测试成绩分别写在没有明显差别的小纸片上，揉成小球，放到一个不透明的袋子中，充分搅拌后，随意抽取30个，展开小球，记录这30张纸片中所写的成绩得到一个样本，你觉得上面的抽取过程是简单随机抽样吗？
答： 是 （填“是”或“不是”）
（2）下表是用简单随机抽样方法抽取的30名同学的体育测试成绩（单位：分）：
59
69
77
73
72
62
79
78
66
81
85
84
83
84
86
87
88
85
86
89
90
97
91
98
90
95
96
93
92
99
若成绩为x分，当x≥90时记为A等级，80≤x＜90时记为B等级，70≤x＜80时记为C等级，x＜70时记为D等级，根据表格信息，解答下列问题：
①本次抽样调查获取的样本数据的中位数是 85.5 ；估计全年级本次体育测试成绩在A、B两个等级的人数是 336 ；
②经过一个多月的强化训练发现D等级的同学平均成绩提高15分，C等级的同学平均成绩提高10分，B等级的同学平均成绩提高5分，A等级的同学平均成绩没有变化，请估计强化训练后全年级学生的平均成绩提高多少分？
【分析】（1）由抽样调查的概念判断即可得；
（2）①依据中位数和样本估计总体思想的运用求解可得；
②根据加权平均数的定义求解可得．
【解答】解：（1）上面的抽取过程是简单随机抽样，
故答案为：是；
（2）①本次抽样调查获取的样本数据的中位数是＝85.5；估计全年级本次体育测试成绩在A、B两个等级的人数是480×＝336（人），
故答案为：85.5，336；
②由表中数据可知，30名同学中，A等级的有10人，B等级的有11人，C等级的有5人，D等级的有4人．
依题意得，＝5.5，
∴根据算得的样本数据提高的平均成绩，可以估计强化训练后全年级学生的平均成绩约提高分5.5．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，正方形DECF的三个顶点D，E，F分别落在边AB，AC，BC上．
（1）用尺规作出正方形DECF；
（2）求正方形DECF的边长．
【分析】（1）先作∠ACB的角平分线，再作BC边所在直线的中垂线并使中垂线过点D，最后作AC边所在直线的中垂线并使中垂线过点D，则正方形DECF即为所求作图形；
（2）正方形DECF的边长为x，则有DF＝CF＝x，BF＝3﹣x，根据正方形的性质以及平行线分线段成比例定理可列关于x的方程，求解即可．
【解答】解：（1）如图所示，即为所求．
（2）设正方形DECF的边长为x，则有DF＝CF＝x，BF＝3﹣x，
∵正方形DECF，
∴DF∥AC，
∴，
即，
解得x＝，
∴正方形DECF的边长为．
22．（10分）水果店在销售某种水果，该种水果的进价为10元/kg．根据以往的销售经验可知：日销量y（单位：kg）随售价x（单位：元/kg）的变化规律符合某种函数关系．
该水果店以往的销售记录如下表：（售价不低于进价）
售价x（单位：元/kg）
10
15
20
25
30
日销量y（单位：kg）
30
20
15
12
10
若y与x之间的函数关系是一次函数，二次函数，反比例函数中的某一种．
（1）判断y与x之间的函数关系，并写出其解析式；
（2）水果店销售该种水果的日利润能否达到200元？说明理由．
【分析】（1）直接利用表格得出y与x之间的函数关系为反比例函数，进而求出函数解析式；
（2）理由销量×每千克利润＝200，进而得到答案．
【解答】解：（1）观察图象可知，售价x与日销量y的乘积为定值300，则y与x之间的函数关系为反比例函数，
设则y与x之间的函数解析式为y＝，
∵当x＝10时，y＝30，
∴k＝300，
∴y＝，
把其余各组对应值代入上式均成立，
故y与x之间的函数解析式为y＝（x≥10）；
（2）能达到200元，
理由：依题意，得（x﹣10）•＝200，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，并且符合题意，
答：当售价为30元/千克时，水果店销售这种水果的日利润为200元．
23．（10分）已知⊙O为△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC．
（1）连接PO，并延长交⊙O于点D，连接AD．证明：AD平分∠BAC；
（2）在（1）的条件下，AD交BC于点E，连接CD．若DE＝2，AE＝6．试求CD的长．
【分析】（1）根据切线的性质、垂径定理证明即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵l与⊙O相切于点P，
∴PD⊥l，
∵l∥BC，
∴PD垂直平分弦BC，
∴，
∴∠BAD＝∠DAC，
即AD平分∠BAC；
（2）∠BAD＝∠BCD，且∠BAD＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠BCD，
在△ADC和△CDE中
∠DAC＝∠BCD，∠ADC＝∠EDC，
∴△ADC∽△CDE，
∴，
即，
得DC＝4．
24．（12分）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察猜想
如图1，当α＝60°时，的值是 1 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 60° ．
（2）类比探究
如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）解决问题
当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．
【分析】（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．证明△CAP≌△BAD（SAS），即可解决问题．
（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．证明△DAB∽△PAC，即可解决问题．
（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．证明AD＝DC即可解决问题．
②如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．
∵∠PAD＝∠CAB＝60°，
∴∠CAP＝∠BAD，
∵CA＝BA，PA＝DA，
∴△CAP≌△BAD（SAS），
∴PC＝BD，∠ACP＝∠ABD，
∵∠AOC＝∠BOE，
∴∠BEO＝∠CAO＝60°，
∴＝1，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°，
故答案为1，60°．
（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．
∵∠PAD＝∠CAB＝45°，
∴∠PAC＝∠DAB，
∵＝＝，
∴△DAB∽△PAC，
∴∠PCA＝∠DBA，＝＝，
∵∠EOC＝∠AOB，
∴∠CEO＝∠OAB＝45°，
∴直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45°．
（3）如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．
∵CE＝EA，CF＝FB，
∴EF∥AB，
∴∠EFC＝∠ABC＝45°，
∵∠PAO＝45°，
∴∠PAO＝∠OFH，
∵∠POA＝∠FOH，
∴∠H＝∠APO，
∵∠APC＝90°，EA＝EC，
∴PE＝EA＝EC，
∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，
∴∠H＝∠BAH，
∴BH＝BA，
∵∠ADP＝∠BDC＝45°，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AH，
∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°，
∵∠ADB＝∠ACB＝90°，
∴A，D，C，B四点共圆，
∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，
∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，
∴DA＝DC，设AD＝a，则DC＝AD＝a，PD＝a，
∴＝＝2﹣．
解法二：在Rt△PAD中，∵E是AC的中点，
∴PE＝EA＝EC，
∴∠EPC＝∠ECP，
∵∠CEF＝45°＝∠EPC+∠ECP，
∴∠EPC＝∠ECP＝22.5°，
∵∠PDA＝45°＝∠ACD+∠DAC，
∴∠DAC＝22.5°，
∴AD＝DC，
设PD＝a，则AD＝DC＝a，
∴＝＝2﹣
如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC，设AD＝a，则CD＝AD＝a，PD＝a，
∴PC＝a﹣a，
∴＝＝2+．
25．（16分）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2）．
（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；
（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．
①求抛物线的解析式；
②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．
【分析】（1）由抛物线经过点A可求出c＝2，再代入（﹣，0）即可找出2a﹣b+2＝0（a≠0）；
（2）①根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y轴、开口向下，进而可得出b＝0，由抛物线的对称性可得出△ABC为等腰三角形，结合其有一个60°的内角可得出△ABC为等边三角形，设线段BC与y轴交于点D，根据等边三角形的性质可得出点C的坐标，再利用待定系数法可求出a值，此题得解；
②由①的结论可得出点M的坐标为（x1，﹣+2）、点N的坐标为（x2，﹣+2），由O、M、N三点共线可得出x2＝﹣，进而可得出点N及点N′的坐标，由点A、M的坐标利用待定系数法可求出直线AM的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点N′在直线PM上，进而即可证出PA平分∠MPN．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2），
∴c＝2．
又∵点（﹣，0）也在该抛物线上，
∴a（﹣）2+b（﹣）+c＝0，
∴2a﹣b+2＝0（a≠0）．
（2）①∵当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，
∴x1﹣x2＜0，y1﹣y2＜0，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大；
同理：当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴抛物线的对称轴为y轴，开口向下，
∴b＝0．
∵OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B、C，
∴△ABC为等腰三角形，
又∵△ABC有一个内角为60°，
∴△ABC为等边三角形．
设线段BC与y轴交于点D，则BD＝CD，且∠OCD＝30°，
又∵OB＝OC＝OA＝2，
∴CD＝OC•cos30°＝，OD＝OC•sin30°＝1．
不妨设点C在y轴右侧，则点C的坐标为（，﹣1）．
∵点C在抛物线上，且c＝2，b＝0，
∴3a+2＝﹣1，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2．
②证明：由①可知，点M的坐标为（x1，﹣+2），点N的坐标为（x2，﹣+2）．
直线OM的解析式为y＝k1x（k1≠0）．
∵O、M、N三点共线，
∴x1≠0，x2≠0，且＝，
∴﹣x1+＝﹣x2+，
∴x1﹣x2＝﹣，
∴x1x2＝﹣2，即x2＝﹣，
∴点N的坐标为（﹣，﹣+2）．
设点N关于y轴的对称点为点N′，则点N′的坐标为（，﹣+2）．
∵点P是点O关于点A的对称点，
∴OP＝2OA＝4，
∴点P的坐标为（0，4）．
设直线PM的解析式为y＝k2x+4，
∵点M的坐标为（x1，﹣+2），
∴﹣+2＝k2x1+4，
∴k2＝﹣，
∴直线PM的解析式为y＝﹣x+4．
∵﹣•+4＝＝﹣+2，
∴点N′在直线PM上，
∴PA平分∠MPN．
2021年福建省福州十八中中考数学第二次适应性试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．下列计算结果等于﹣1的是（ ）
A．﹣1+2 B．（﹣1）0 C．﹣12 D．（﹣1）﹣2
2．第十六届海峡交易会对接合同项目2049项，总投资682亿元．将682亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.682×1011 B．6.82×1010 C．6.82×109 D．682×108
3．下列事件是必然事件的是（ ）
A．2018年5月15日宁德市的天气是晴天
B．从一副扑克中任意抽出一张是黑桃
C．在一个三角形中，任意两边之和大于第三边
D．打开电视，正在播广告
4．由6个大小相同的小正方体拼成的几何体如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．主视图的面积最大 B．左视图的面积最大
C．俯视图的面积最大 D．三种视图的面积相等
5．若x＝1是关于x的方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则c的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
6．如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OB交⊙O于点C．若OA＝3，tan∠AOB＝，则BC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．若2n+2n＝1，则n的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．
8．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°后得到CE，连接BE，若∠DAB＝15°，则∠ABE是（ ）
A．75° B．78° C．80° D．92°
9．已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量和对应函数值如表：
x
…
﹣1
0
2
4
…
y1
…
0
1
3
5
…
x
…
﹣1
1
3
4
…
y2
…
0
﹣4
0
5
…
当y2＞y1时，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1 B．x＞4 C．﹣1＜x＜4 D．x＜﹣1或x＞4
10．如图，点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝（x＜0）的图象上．若OA⊥OB，＝2，则a的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案填在答题卡上）
11．计算：＝ ．
12．因式分解：2a2﹣2＝ ．
13．小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了一个内角，结果得到的总和是800°，则少算了这个内角的度数为 ．
14．已知一次函数y＝kx+2k+3（k≠0），不论k为何值，该函数的图象都经过点A，则点A的坐标为 ．
15．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为 ．
16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝5点D在边AB上，以AD为直径的圆，与边BC有公共点E，则AD的最小值是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共86分，解答应写出必要的文字说明，证明过程和演算）
17．（8分）解方程组：．
18．（6分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED是矩形．
19．（8分）先化简（x+3﹣）÷，再从0≤x≤4中选一个适合的整数代入求值．
20．（8分）为了解某校九年级学生体能训练情况，该年级在3月份进行了一次体育测试，决定对本次测试的成绩进行抽样分析．已知九年级共有学生480人，请按要求回答下列问题：
（1）把全年级同学的测试成绩分别写在没有明显差别的小纸片上，揉成小球，放到一个不透明的袋子中，充分搅拌后，随意抽取30个，展开小球，记录这30张纸片中所写的成绩得到一个样本，你觉得上面的抽取过程是简单随机抽样吗？
答： （填“是”或“不是”）
（2）下表是用简单随机抽样方法抽取的30名同学的体育测试成绩（单位：分）：
59
69
77
73
72
62
79
78
66
81
85
84
83
84
86
87
88
85
86
89
90
97
91
98
90
95
96
93
92
99
若成绩为x分，当x≥90时记为A等级，80≤x＜90时记为B等级，70≤x＜80时记为C等级，x＜70时记为D等级，根据表格信息，解答下列问题：
①本次抽样调查获取的样本数据的中位数是 ；估计全年级本次体育测试成绩在A、B两个等级的人数是 ；
②经过一个多月的强化训练发现D等级的同学平均成绩提高15分，C等级的同学平均成绩提高10分，B等级的同学平均成绩提高5分，A等级的同学平均成绩没有变化，请估计强化训练后全年级学生的平均成绩提高多少分？
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，正方形DECF的三个顶点D，E，F分别落在边AB，AC，BC上．
（1）用尺规作出正方形DECF；
（2）求正方形DECF的边长．
22．（10分）水果店在销售某种水果，该种水果的进价为10元/kg．根据以往的销售经验可知：日销量y（单位：kg）随售价x（单位：元/kg）的变化规律符合某种函数关系．
该水果店以往的销售记录如下表：（售价不低于进价）
售价x（单位：元/kg）
10
15
20
25
30
日销量y（单位：kg）
30
20
15
12
10
若y与x之间的函数关系是一次函数，二次函数，反比例函数中的某一种．
（1）判断y与x之间的函数关系，并写出其解析式；
（2）水果店销售该种水果的日利润能否达到200元？说明理由．
23．（10分）已知⊙O为△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC．
（1）连接PO，并延长交⊙O于点D，连接AD．证明：AD平分∠BAC；
（2）在（1）的条件下，AD交BC于点E，连接CD．若DE＝2，AE＝6．试求CD的长．
24．（12分）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察猜想
如图1，当α＝60°时，的值是 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 ．
（2）类比探究
如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）解决问题
当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．
25．（16分）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2）．
（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；
（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．
①求抛物线的解析式；
②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．
2021年福建省福州十八中中考数学第二次适应性试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．下列计算结果等于﹣1的是（ ）
A．﹣1+2 B．（﹣1）0 C．﹣12 D．（﹣1）﹣2
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和有理数的加减运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、﹣1+2＝1，不合题意；
B、（﹣1）0＝1，不合题意；
C、﹣12＝﹣1，符合题意；
D、（﹣1）﹣2＝1，不合题意；
故选：C．
2．第十六届海峡交易会对接合同项目2049项，总投资682亿元．将682亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.682×1011 B．6.82×1010 C．6.82×109 D．682×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：数字682亿用科学记数法表示为：6.82×1010．
故选：B．
3．下列事件是必然事件的是（ ）
A．2018年5月15日宁德市的天气是晴天
B．从一副扑克中任意抽出一张是黑桃
C．在一个三角形中，任意两边之和大于第三边
D．打开电视，正在播广告
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．
【解答】解：A、2018年5月15日宁德市的天气是晴天是随机事件；
B、从一副扑克中任意抽出一张是黑桃是随机事件；
C、在一个三角形中，任意两边之和大于第三边是必然事件；
D、打开电视，正在播广告是随机事件；
故选：C．
4．由6个大小相同的小正方体拼成的几何体如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．主视图的面积最大 B．左视图的面积最大
C．俯视图的面积最大 D．三种视图的面积相等
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边起2个小正方形，主视图的面积是5；
从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，左视图的面积为3；
从上边看第一列是2个小正方形，第二列是1个小正方形，第三列是1个小正方形，俯视图的面积是4，
主视图的面积最大，故A正确；
故选：A．
5．若x＝1是关于x的方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则c的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】把x＝1代入方程，得到关于c的一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程得：12﹣2×1+c＝0，
∴1﹣2+c＝0，
∴c＝1，
故选：C．
6．如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OB交⊙O于点C．若OA＝3，tan∠AOB＝，则BC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据三角函数，可得OB的长，根据线段的和差，可得答案．
【解答】解：∵OA＝3，tan∠AOB＝，
∴OB＝5，
∴CB＝OB﹣OC＝5﹣3＝2，
故选：A．
7．若2n+2n＝1，则n的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．
【分析】直接利用合并同类项以及幂的乘方运算法则将原式变形得出答案．
【解答】解：∵2n+2n＝1，
∴2×2n＝20＝1，
∴2n+1＝20，
∴n+1＝0，
解得：n＝﹣1．
故选：A．
8．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°后得到CE，连接BE，若∠DAB＝15°，则∠ABE是（ ）
A．75° B．78° C．80° D．92°
【分析】由旋转的性质可得CE＝CD，∠DCE＝∠ACB＝90°，由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得∠CAD＝∠CBE＝30°，即可求解．
【解答】解：在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC，∠CBA＝∠CAB＝45°，
∵∠DAB＝15°，
∴∠CAD＝30°，
∵将线段CD绕点C逆时针旋转90°后得到CE，
∴CE＝CD，∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD＝∠CBE＝30°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝75°，
故选：A．
9．已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量和对应函数值如表：
x
…
﹣1
0
2
4
…
y1
…
0
1
3
5
…
x
…
﹣1
1
3
4
…
y2
…
0
﹣4
0
5
…
当y2＞y1时，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1 B．x＞4 C．﹣1＜x＜4 D．x＜﹣1或x＞4
【分析】方法一：先在表格中找出点，用待定系数法求出直线和抛物线的解析式，用y2＞y1建立不等式，求解不等式即可．
方法二：直接由表得出两函数图象的交点坐标（﹣1，0），（4，5），再结合变化规律得出结论．
【解答】解法一：由表可知，（﹣1，0），（0，1）在一次函数y1＝kx+m的图象上，
∴，
∴
∴一次函数y1＝x+1，
由表可知，（﹣1，0），（1，﹣4），（3，0）在二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，
∴，
∴
∴二次函数y2＝x2﹣2x﹣3
当y2＞y1时，
∴x2﹣2x﹣3＞x+1，
∴（x﹣4）（x+1）＞0，
∴x＞4或x＜﹣1，
故选D，
解法二：如图，
由表得出两函数图象的交点坐标（﹣1，0），（4，5），
∴x＞4或x＜﹣1，
故选：D．
10．如图，点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝（x＜0）的图象上．若OA⊥OB，＝2，则a的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8
【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，利用相似三角形的判定定理得出△AOM∽△OBN，再由反比例函数系数K的几何意义得出S△AOM：S△BON＝2：（﹣a），进而得出结论．
【解答】解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，
∴∠AMO＝∠BN0＝90°，
∴∠AOM+∠OAM＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOM+∠∠BON＝90°，
∴∠OAM＝∠BON，
∴△AOM∽△OBN，
∵点A、B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝（x＜0）的图象上，
∴S△AOM＝1，S△BON＝﹣a，
∴S△AOM：S△BON＝2：（﹣a），
∴AO：BO＝：，
∵AO：BO＝1：2，
∴a＝﹣8，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案填在答题卡上）
11．计算：＝ 2 ．
【分析】根据立方根的定义即可求解．
【解答】解：∵23＝8
∴＝2
故答案为：2．
12．因式分解：2a2﹣2＝ 2（a+1）（a﹣1） ．
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（a2﹣1）
＝2（a+1）（a﹣1）．
故答案为：2（a+1）（a﹣1）．
13．小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了一个内角，结果得到的总和是800°，则少算了这个内角的度数为 100° ．
【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，少计算了一个内角，结果得800度．则内角和是（n﹣2）•180°与800°的差一定小于180度，并且大于0度．因而可以解方程（n﹣2）•180°≥800°，多边形的边数n一定是最小的整数值，从而求出多边形的边数，进而求出少计算的内角．
【解答】解：设多边形的边数是n．
依题意有（n﹣2）•180°≥800°，
解得：n≥6，
则多边形的边数n＝7；
多边形的内角和是（7﹣2）•180＝900度；
则未计算的内角的大小为900°﹣800°＝100°．
故答案为：100°．
14．已知一次函数y＝kx+2k+3（k≠0），不论k为何值，该函数的图象都经过点A，则点A的坐标为 （﹣2，3） ．
【分析】当k＝0时，得出y＝3，把y＝3，k＝1代入解析式得出x即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+2k+3（k≠0），不论k为何值，该函数的图象都经过点A，
∴当k＝0时，y＝3，
把y＝3，k＝1代入y＝kx+2k+3中，可得：x＝﹣2，
所以点A的坐标为（﹣2，3），
故答案为：（﹣2，3），
15．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为 4 ．
【分析】利用勾股定理求得直角边的较短边，进一步根据正方形EFGH的面积＝大正方形面积﹣4个直角三角形面积即可求得正方形EFGH的面积．
【解答】解：直角三角形直角边的较短边为＝6，
正方形EFGH的面积＝10×10﹣8×6÷2×4＝100﹣96＝4．
故答案为：4．
16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝5点D在边AB上，以AD为直径的圆，与边BC有公共点E，则AD的最小值是 ．
【分析】由题意可证△EBO∽△ABC，可得 ＝，可求OE的长，即可求AD的最小值．
【解答】解：当E点是切点且EO⊥BC时，则AD有最小值，如图，
∵∠EBO＝∠ABC，∠OEB＝∠ACB＝90°
∴△EBO∽△CBA，
∴＝，
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝5，
∴AB＝，
设OA＝OD＝OE＝m，
∴＝，
解得m＝，
∴AD＝2m＝．
∴AD的最小值为 ，
故答案为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共86分，解答应写出必要的文字说明，证明过程和演算）
17．（8分）解方程组：．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
②﹣①×2得：x＝6，
将x＝6代入①得：6+2y＝0，即y＝﹣3，
则方程组的解为．
18．（6分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED是矩形．
【分析】先证四边形OCED是平行四边形，再由菱形的性质得∠DOC＝90°，即可得出结论．
【解答】证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形．
19．（8分）先化简（x+3﹣）÷，再从0≤x≤4中选一个适合的整数代入求值．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件选择一个整数代入计算即可．
【解答】解：（x+3﹣）÷
＝（﹣）÷
＝•
＝，
当x＝1时，原式＝＝．
20．（8分）为了解某校九年级学生体能训练情况，该年级在3月份进行了一次体育测试，决定对本次测试的成绩进行抽样分析．已知九年级共有学生480人，请按要求回答下列问题：
（1）把全年级同学的测试成绩分别写在没有明显差别的小纸片上，揉成小球，放到一个不透明的袋子中，充分搅拌后，随意抽取30个，展开小球，记录这30张纸片中所写的成绩得到一个样本，你觉得上面的抽取过程是简单随机抽样吗？
答： 是 （填“是”或“不是”）
（2）下表是用简单随机抽样方法抽取的30名同学的体育测试成绩（单位：分）：
59
69
77
73
72
62
79
78
66
81
85
84
83
84
86
87
88
85
86
89
90
97
91
98
90
95
96
93
92
99
若成绩为x分，当x≥90时记为A等级，80≤x＜90时记为B等级，70≤x＜80时记为C等级，x＜70时记为D等级，根据表格信息，解答下列问题：
①本次抽样调查获取的样本数据的中位数是 85.5 ；估计全年级本次体育测试成绩在A、B两个等级的人数是 336 ；
②经过一个多月的强化训练发现D等级的同学平均成绩提高15分，C等级的同学平均成绩提高10分，B等级的同学平均成绩提高5分，A等级的同学平均成绩没有变化，请估计强化训练后全年级学生的平均成绩提高多少分？
【分析】（1）由抽样调查的概念判断即可得；
（2）①依据中位数和样本估计总体思想的运用求解可得；
②根据加权平均数的定义求解可得．
【解答】解：（1）上面的抽取过程是简单随机抽样，
故答案为：是；
（2）①本次抽样调查获取的样本数据的中位数是＝85.5；估计全年级本次体育测试成绩在A、B两个等级的人数是480×＝336（人），
故答案为：85.5，336；
②由表中数据可知，30名同学中，A等级的有10人，B等级的有11人，C等级的有5人，D等级的有4人．
依题意得，＝5.5，
∴根据算得的样本数据提高的平均成绩，可以估计强化训练后全年级学生的平均成绩约提高分5.5．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，正方形DECF的三个顶点D，E，F分别落在边AB，AC，BC上．
（1）用尺规作出正方形DECF；
（2）求正方形DECF的边长．
【分析】（1）先作∠ACB的角平分线，再作BC边所在直线的中垂线并使中垂线过点D，最后作AC边所在直线的中垂线并使中垂线过点D，则正方形DECF即为所求作图形；
（2）正方形DECF的边长为x，则有DF＝CF＝x，BF＝3﹣x，根据正方形的性质以及平行线分线段成比例定理可列关于x的方程，求解即可．
【解答】解：（1）如图所示，即为所求．
（2）设正方形DECF的边长为x，则有DF＝CF＝x，BF＝3﹣x，
∵正方形DECF，
∴DF∥AC，
∴，
即，
解得x＝，
∴正方形DECF的边长为．
22．（10分）水果店在销售某种水果，该种水果的进价为10元/kg．根据以往的销售经验可知：日销量y（单位：kg）随售价x（单位：元/kg）的变化规律符合某种函数关系．
该水果店以往的销售记录如下表：（售价不低于进价）
售价x（单位：元/kg）
10
15
20
25
30
日销量y（单位：kg）
30
20
15
12
10
若y与x之间的函数关系是一次函数，二次函数，反比例函数中的某一种．
（1）判断y与x之间的函数关系，并写出其解析式；
（2）水果店销售该种水果的日利润能否达到200元？说明理由．
【分析】（1）直接利用表格得出y与x之间的函数关系为反比例函数，进而求出函数解析式；
（2）理由销量×每千克利润＝200，进而得到答案．
【解答】解：（1）观察图象可知，售价x与日销量y的乘积为定值300，则y与x之间的函数关系为反比例函数，
设则y与x之间的函数解析式为y＝，
∵当x＝10时，y＝30，
∴k＝300，
∴y＝，
把其余各组对应值代入上式均成立，
故y与x之间的函数解析式为y＝（x≥10）；
（2）能达到200元，
理由：依题意，得（x﹣10）•＝200，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，并且符合题意，
答：当售价为30元/千克时，水果店销售这种水果的日利润为200元．
23．（10分）已知⊙O为△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC．
（1）连接PO，并延长交⊙O于点D，连接AD．证明：AD平分∠BAC；
（2）在（1）的条件下，AD交BC于点E，连接CD．若DE＝2，AE＝6．试求CD的长．
【分析】（1）根据切线的性质、垂径定理证明即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵l与⊙O相切于点P，
∴PD⊥l，
∵l∥BC，
∴PD垂直平分弦BC，
∴，
∴∠BAD＝∠DAC，
即AD平分∠BAC；
（2）∠BAD＝∠BCD，且∠BAD＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠BCD，
在△ADC和△CDE中
∠DAC＝∠BCD，∠ADC＝∠EDC，
∴△ADC∽△CDE，
∴，
即，
得DC＝4．
24．（12分）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察猜想
如图1，当α＝60°时，的值是 1 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 60° ．
（2）类比探究
如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）解决问题
当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．
【分析】（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．证明△CAP≌△BAD（SAS），即可解决问题．
（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．证明△DAB∽△PAC，即可解决问题．
（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．证明AD＝DC即可解决问题．
②如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．
∵∠PAD＝∠CAB＝60°，
∴∠CAP＝∠BAD，
∵CA＝BA，PA＝DA，
∴△CAP≌△BAD（SAS），
∴PC＝BD，∠ACP＝∠ABD，
∵∠AOC＝∠BOE，
∴∠BEO＝∠CAO＝60°，
∴＝1，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°，
故答案为1，60°．
（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．
∵∠PAD＝∠CAB＝45°，
∴∠PAC＝∠DAB，
∵＝＝，
∴△DAB∽△PAC，
∴∠PCA＝∠DBA，＝＝，
∵∠EOC＝∠AOB，
∴∠CEO＝∠OAB＝45°，
∴直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45°．
（3）如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．
∵CE＝EA，CF＝FB，
∴EF∥AB，
∴∠EFC＝∠ABC＝45°，
∵∠PAO＝45°，
∴∠PAO＝∠OFH，
∵∠POA＝∠FOH，
∴∠H＝∠APO，
∵∠APC＝90°，EA＝EC，
∴PE＝EA＝EC，
∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，
∴∠H＝∠BAH，
∴BH＝BA，
∵∠ADP＝∠BDC＝45°，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AH，
∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°，
∵∠ADB＝∠ACB＝90°，
∴A，D，C，B四点共圆，
∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，
∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，
∴DA＝DC，设AD＝a，则DC＝AD＝a，PD＝a，
∴＝＝2﹣．
解法二：在Rt△PAD中，∵E是AC的中点，
∴PE＝EA＝EC，
∴∠EPC＝∠ECP，
∵∠CEF＝45°＝∠EPC+∠ECP，
∴∠EPC＝∠ECP＝22.5°，
∵∠PDA＝45°＝∠ACD+∠DAC，
∴∠DAC＝22.5°，
∴AD＝DC，
设PD＝a，则AD＝DC＝a，
∴＝＝2﹣
如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC，设AD＝a，则CD＝AD＝a，PD＝a，
∴PC＝a﹣a，
∴＝＝2+．
25．（16分）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2）．
（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；
（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．
①求抛物线的解析式；
②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．
【分析】（1）由抛物线经过点A可求出c＝2，再代入（﹣，0）即可找出2a﹣b+2＝0（a≠0）；
（2）①根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y轴、开口向下，进而可得出b＝0，由抛物线的对称性可得出△ABC为等腰三角形，结合其有一个60°的内角可得出△ABC为等边三角形，设线段BC与y轴交于点D，根据等边三角形的性质可得出点C的坐标，再利用待定系数法可求出a值，此题得解；
②由①的结论可得出点M的坐标为（x1，﹣+2）、点N的坐标为（x2，﹣+2），由O、M、N三点共线可得出x2＝﹣，进而可得出点N及点N′的坐标，由点A、M的坐标利用待定系数法可求出直线AM的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点N′在直线PM上，进而即可证出PA平分∠MPN．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2），
∴c＝2．
又∵点（﹣，0）也在该抛物线上，
∴a（﹣）2+b（﹣）+c＝0，
∴2a﹣b+2＝0（a≠0）．
（2）①∵当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，
∴x1﹣x2＜0，y1﹣y2＜0，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大；
同理：当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴抛物线的对称轴为y轴，开口向下，
∴b＝0．
∵OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B、C，
∴△ABC为等腰三角形，
又∵△ABC有一个内角为60°，
∴△ABC为等边三角形．
设线段BC与y轴交于点D，则BD＝CD，且∠OCD＝30°，
又∵OB＝OC＝OA＝2，
∴CD＝OC•cos30°＝，OD＝OC•sin30°＝1．
不妨设点C在y轴右侧，则点C的坐标为（，﹣1）．
∵点C在抛物线上，且c＝2，b＝0，
∴3a+2＝﹣1，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2．
②证明：由①可知，点M的坐标为（x1，﹣+2），点N的坐标为（x2，﹣+2）．
直线OM的解析式为y＝k1x（k1≠0）．
∵O、M、N三点共线，
∴x1≠0，x2≠0，且＝，
∴﹣x1+＝﹣x2+，
∴x1﹣x2＝﹣，
∴x1x2＝﹣2，即x2＝﹣，
∴点N的坐标为（﹣，﹣+2）．
设点N关于y轴的对称点为点N′，则点N′的坐标为（，﹣+2）．
∵点P是点O关于点A的对称点，
∴OP＝2OA＝4，
∴点P的坐标为（0，4）．
设直线PM的解析式为y＝k2x+4，
∵点M的坐标为（x1，﹣+2），
∴﹣+2＝k2x1+4，
∴k2＝﹣，
∴直线PM的解析式为y＝﹣x+4．
∵﹣•+4＝＝﹣+2，
∴点N′在直线PM上，
∴PA平分∠MPN．
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