知识讲解_直线、平面平行的判定_基础练习题

直线、平面平行的判定

【学习目标】

1.掌握直线与平面平行的判定定理；

2.掌握两平面平行的判定定理；

3．能熟练应用直线与平面、平面与平面平行的判定定理解决相关问题．

【要点梳理】

【高清课堂：线面平行的判定与性质39945 知识讲解1】

要点一、直线和平面平行的判定

文字语言：直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行，则线面平行.

图形语言：

符号语言：、，.

要点诠释：

（1）用该定理判断直线a与平面平行时，必须具备三个条件：

①直线a在平面外，即；

②直线b在平面内，即；

③直线a，b平行，即a∥b．

这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立．

（2）定理的作用

将直线和平面平行的判定转化为直线与直线平行的判定，也就是说，要证明一条直线和一个平面平行，只要在平面内找一条直线与已知直线平行即可．

要点二、两平面平行的判定

文字语言：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.

图形语言：

符号语言：若、，，且、，则.

要点诠释：

（1）定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的．

（2）定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平行面面平行．

要点三、判定平面与平面平行的常用方法

1．利用定义：证明两个平面没有公共点，有时直接证明非常困难，往往采用反证法．

2．利用判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，于是这两个平面平行，或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行．

3．平面平行的传递性：即若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面互相平行．

【典型例题】

类型一、直线与平面平行的判定

例1．已知AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，求证：AC//平面EFG， BD//平面EFG．

【解析】 欲证明AC∥平面EFG，根据直线和平面平行的判定定理，只需证明AC平行于平面EFG内的一条直线，如右图可知，只需证明AC∥EF．

证明：如右图，连接AC，BD，EF，GF ，EG．

在△ABC中，E，F分别是AB，BC的中点，∴AC∥EF，

又AC平面EFG，EF平面EFG，

于是AC∥平面EFG．

同理可证BD∥平面EFG．

【总结升华】由线面平行的判定定理判定直线与平面平行的顺序是：（1）在平面内寻找直线的平行线；（2）证明这两条直线平行；（3）由判定定理得出结论．

例2．已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内，P、Q分别为对角线AE、BD上的点，且AP=DQ，如右图．求证：PQ∥平面CBE．

证明：作PM∥AB交BE于点M，QN∥AB交BC于点N，则PM∥QN．

∴，．

∵AP=DQ，∴EP=BQ．

又∵AB=CD，EA=BD，

∴PMQN．

∴四边形PMNQ是平行四边形．

∴PQ∥MN．

综上，PQ平面CBE，MN平面CBE，

又∵PQ∥MN，∴PQ∥平面CBE．

【总结升华】证线面平行，需证线线平行，寻找平行线是解决此类问题的关键．

举一反三：

【高清课堂：线面平行的判定与性质39945 例1】

【变式1】在正方体中，是正方形的中心，求证：面．

证明：如图，取面ABCD的中心O，连．

，且

四边形是平行四边形

，又

面

【变式2】如图所示，在正方体中，E、F分别是棱BC、的中点．

求证：EF∥平面．

【答案】详见证明

【证明】取的中点O，

连接OF，OB．

∵OF，BE，

∴OFBE．

∴四边形OFEB是平行四边形，

∴EF∥BO．

∵EF平面，

BO包含于平面，

∴EF∥平面．

【总结升华】要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了．注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用．

【变式3】 如右图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB，PC的中点．

（1）证明：EF∥平面PAD；

（2）求三棱锥E—ABC的体积V．

【解析】（1）在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC．

又BC∥AD，∴EF∥AD．

又∵AD平面PAD，EF平面PAD，

∴EF∥平面PAD．

（2）连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G，如下图，

则EG⊥平面ABCD，且．

在△PAB中，AP=AB，∠PAB=90°，BP=2，

∴，．

∴，

∴．

类型二、平面与平面平行的判定

例3．（2016 山东潍坊模拟）如图所示，ABFC—为正四棱柱，D为B上一点，且∥平面，是的中点，⊥，⊥．

求证：平面∥平面．

【思路点拨】根据面面平行的判定定理进行证明平面∥

【答案】详见证明

【证明】∵∥平面，

∴设的中点为E，

则平面∩平面=ED，

∴∥ED；

∵E是的中点，

∴D是BC的中点，

即为平行四边形，

∴∥，∥AD，

∵，平面，AD平面，

∴平面∥平面

【总结升华】利用面面平行的判定定理判定两个平面平行的程序是：（1）在第一个平面内找出（或作出）两条平行于第二个平面的直线；（2）说明这两条直线是相交直线；（3）由判定定理得出结论．

   例4．如图所示，在正方体中，S是的中点，E、F、G分别是BC、DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面．

【答案】详见证明

【证明】如图所示，连接SB，SD，

∵F、G分别是DC、SC的中点，

∴FG∥SD．

又∵SD包含于平面，

FG平面，

∴直线FG∥平面．

同理可证EG∥平面，

又∵EG包含于平面EFG，

FG包含于平面EFG，

EG∩FG＝G，

∴平面EFG∥平面．

【总结升华】应用判定定理时，一定要注意“两条相交直线”这一关键性条件，问题最终转化为证明直线和直线的平行．

举一反三：

【高清课堂：空间面面平行的判定与性质399113例1】

【变式1】点P是△ABC所在平面外一点，分别是△PBC，△APC，△ABP的重心，求证：面面ABC.

证明：连，并延长分别交AB，AC于M，Q，连MQ.

因为为重心，所以M，Q分别为所在边的中点.

又直线PM∩PQ=P，所以直线PM，PQ确定平面PMQ,

在△PMQ中，因为为重心，所以，所以.

因为面ABC，面ABC，，所以面ABC

同理面ABC，

因为面，面，，

面ABC，面ABC，

所以面面ABC.

【变式2】  如右图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点．

求证：平面A1EB∥平面ADC1．

证明：由棱柱的性质知，B1C1BC，又D，E分别为BC，B1C1的中点，所以C1EDB，则四边形C1DBE为平行四边形，因此EB∥C1D，

又C1D平面ADC1，EB平面ADC1，所以EB∥平面ADC1．

连接DE，同理，EB1BD，所以四边形EDBB1为平行四边形，则EDB1B．

因为B1BA1A（棱柱的性质），所以EDA1A，则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD，

又A1E平面ADC1，AD平面ADC1，所以A1E∥平面ADC1．

由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E平面A1EB，EB平面A1EB，且A1E∩EB=E，所以平面A1EB∥平面ADC1．

【变式3】 已知在正方体中 ，M，N分别是，的中点，在该正方体中作出过顶点且与平面AMN平行的平面，并证明你的结论．

【解析】与平面AMN平行的平面有以下三种情况：

下面以上图（1）为例进行证明：

证明：∵四边形ABEM是平行四边形，∴BE∥AM，

又BE平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE．

∵MN是的中位线，∴，

∵四边形是平行四边形，∴，∴MN∥BD，

又BD平面BDE，MN平面BDE，∴MN∥平面BDE．

又AM、MN平面AMN，且MN∩AM=M，

由平面与平面平行的判定定理可得，平面AMN∥平面BDE．