知识讲解_圆的方程_提高练习题

圆的方程

【学习目标】

1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程.

2.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．

【要点梳理】

【高清课堂：圆的方程370891 知识要点】

要点一：圆的标准方程

，其中为圆心，为半径.

要点诠释：

(1)如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点：

(2)圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点.

(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.

要点二：点和圆的位置关系

如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有

(1)若点在圆上

(2)若点在圆外

(3)若点在圆内

要点三：圆的一般方程

当时，方程叫做圆的一般方程.为圆心，为半径.

要点诠释：

由方程得

(1)当时，方程只有实数解.它表示一个点.

(2)当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．

(3)当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆.

要点四：几种特殊位置的圆的方程

要点五：用待定系数法求圆的方程的步骤

求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：

(1)根据题意，选择标准方程或一般方程.

(2)根据已知条件，建立关于或的方程组.

(3)解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.

要点六：轨迹方程

求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程．

1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．

2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．

3．求轨迹方程的步骤：

（1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；

（2）列出关于的方程；

（3）把方程化为最简形式；

（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；

（5）作答．

【典型例题】

类型一：圆的标准方程

例1．求满足下列条件的各圆的方程：

(1)圆心在原点，半径是3；

(2)已知圆经过两点，圆心在轴上；

(3)经过点，圆心在点．

【思路点拨】一般情况下，如果已知圆心或易于求出圆心，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法，求出圆心坐标和半径.

【答案】（1）（2）（3）

【解析】(1)

(2)线段的中垂线方程为，与轴的交点即为圆心的坐标，所以半径为 ，所以圆的方程为.

(3)解法一：∵圆的半径，圆心在点

∴圆的方程是

解法二：∵圆心在点，故设圆的方程为

又∵点在圆上，∴，∴

∴所求圆的方程是.

【总结升华】确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心（a，b）和半径r，一般步骤为：

（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为(x―a)2+(y―b)2=r2；

（2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；

（3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．

举一反三：

【变式1】圆心是（4，―1），且过点（5，2）的圆的标准方程是（    ）

A．(x―4)2+(y+1)2=10     B．(x+4)2+(y―1)2=10

C．(x―4)2+(y+1)2=100    D．

【答案】A

例2．（2015秋 湖北宜昌月考）求下列各圆的标准方程：

（1）圆心在直线y=0上，且圆过两点A（1，4），B（3，2）；

（2）圆心在直线2x+y=0上，且圆与直线x+y―1=0切于点M（2，―1）．

【思路点拨】（1）求出圆心和半径，即可求圆C的方程；

（2）设出圆心坐标，列方程组解之．其中由圆心在直线2x+y=0上得出一个方程；再由圆心到直线x+y―1=0的距离即半径得出另一个方程．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）∵圆心在直线y=0上，

∴设圆心坐标为C（a，0），

则|AC|=|BC|，

即，

即  ，

解得a=―1，即圆心为（―1，0），

半径，

则圆的标准方程为  ，

（2）设圆心坐标为（a，b），

则

解得a=1，b=－2，∴，

∴要求圆的方程为  ．

举一反三：

【高清课堂：圆的方程370891 典型例题1】

【变式1】（1）过点且圆心在直线上；

（2）与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为．

【答案】（1）（2）或

【解析】

（1）设圆的方程为：，则

，解得：

所求圆的方程为：

（2）设圆的方程为：，则

解得：或

所求圆的方程为：或．

类型二：圆的一般方程

例3．已知直线x2+y2―2(t+3)x+2(1―4t2)y+16t4+9=0表示一个圆．

（1）求t的取值范围；

（2）求这个圆的圆心和半径；

（3）求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程．

【思路点拨】若一个圆可用一般方程表示，则它具备隐含条件D2+E2―4F＞0，解题时，应充分利用这一隐含条件．

【答案】（1）（2）（t+3，4t2－1） （3）

【解析】（1）已知方程表示一个圆D2+E2―4F＞0，即4(t+3)2+4(1―4t2)2―4(16t4+9)＞0，整理得7t2―6t―1＜0．

（2）圆的方程化为[x―(t+3)]2+[y+(1―4t2)]2=1+6t―7t2．

∴它的圆心坐标为（t+3，4t2－1），半径为．

（3）由．

∴r的最大值为，此时圆的标准方程为

．

【总结升华】 在本例中，当t在中任取一个值，它对应着一个不同的圆，它实质上是一系列的圆，因此本例中的圆的方程实质上是一个圆系方程，由得y=4(x―3)2―1，再由，知，因此它是一个圆心在抛物线的圆系方程．

举一反三：

【高清课堂：圆的方程370891 典型例题2】

【变式1】（1）求过的圆的方程，及圆心坐标和半径；

（2）求经过点且与直线相切于点（8，6）的圆的方程．

【答案】（1） （4，1） （2）

【解析】

（1）法一：设圆的方程为：，则

，解得：

所以所求圆的方程为：，即，所以圆心为（4，1），半径为．

法二：线段的中点为为，

线段的中垂线为，即

同理得线段中垂线为

联立，解得

所以所求圆的方程为（4，1），半径

所以．

（2）法一：设圆的方程为：，则

，解得：

所以圆的方程为．

法二：过点与直线垂直的直线是，

线段的中垂线为，

由得：圆心坐标为，由两点间距离公式得半径，

所以圆的方程为．

【变式2】判断方程ax2+ay2―4(a―1)x+4y=0（a≠0）是否表示圆，若表示圆，写出圆心和半径长．

    【答案】表示圆，圆心坐标，半径

【变式3】方程表示圆，则a的取值范围是

    A．或    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0转化为，所以若方程表示圆，则有，∴  ，∴  ．

例4．（1）△ABC的三个顶点分别为A（―1，5），B（―2，―2），C（5，5），求其外接圆的方程；

（2）圆C过点P（1，2）和Q（―2，3），且圆C在两坐标轴上截得的弦长相等，求圆C的方程．

【思路点拨】在（1）中，由于所求的圆过三个点，因而选用一般式，从而只要确定系数D、E、F即可；注意到三角形外接圆的圆心为各边的垂直平分线的交点，所以也可先求圆心，再求半径，从而求出圆的方程．在（2）中，可用圆的一般方程，但这样做计算量较大，因此我们可以通过作图，利用图形的直观性来进行分析，从而得到圆心或半径所满足的条件．

【答案】（1）x2+y2―4x―2y―20=0（2）(x+1)2+(y―1)2=5或(x+2)2+(y+2)2=25

【解析】（1）解法一：设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由题意有

，解得．

故所求的圆的方程为x2+y2―4x―2y―20=0．

解法二：由题意可求得AC的中垂线的方程为x=2，BC的中垂线方程为x+y―3=0．∴圆心是两中垂线的交点（2，1），∴半径，

∴所求的圆的方程为(x―2)2+(y―1)2=25，即x2+y2―4x―2y―20=0．

（2）解法一：如右图所示，由于圆C在两坐标轴上的弦长相等，即|AD|=|EG|，所以它们的一半也相等，即|AB|=|GF|，又|AC|=|GC|，

∴Rt△ABC≌Rt△GFC，∴|BC|=|FC|．

设C（a，b），则|a|=|b|．  ①

又圆C过点P（1，2）和Q（―2，3），

∴圆心在PQ的垂直平分线上，

即，即y=3x+4，∴b=3a+4．  ②

由①知a=±b，代入②得或．

∴或5．

故所求的圆的方程为(x+1)2+(y―1)2=5或(x+2)2+(y+2)2=25．

即x2+y2+2x―2y―3=0或x2+y2+4x+4y―17=0．

解法二：设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．

∵圆C过点P（1，2）和Q（－2，3），

∴，解得．

∴圆C的方程为x2+y2+Dx+(3D―8)y+11―7D=0，将y=0代入得x2+Dx+11―7D=0．

∴圆C在x轴上截得的弦长为．将x=0代入得y2+(3D―8)y+11―7D=0，

∴圆C在y轴上截得的弦长为．

由题意有，即D2―4(11―7D)=(3D―8)2―4(11―7D)，解得D=4或D=2．

故所求的圆的方程为x2+y2+4x+4y―7=0或x2+y2+2x―2y―3=0．

【总结升华】  （1）本例（1）的解法二思维迂回链过长，计算量过大，而解法一则较为简捷，因此，当所有已知的条件与圆心和半径都无直接关系，在求该圆的方程时，一般设圆的方程为一般方程，再用待定系数法来确定系数即可．

（2）本例（2）中，尽管所给的条件也都与圆心和半径无直接关系，但可通过画图分析，利用平面几何知识，找到与圆心和半径相联系的蛛丝马迹，从而避免了选用圆的一般方程带来的繁琐的计算．

（3）一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷；而在其他情况下的首选应该是圆的标准方程，此时要注意从几何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件．

举一反三：

【变式1】如图，等边△ABC的边长为2，求这个三角形的外接圆的方程，并写出圆心坐标和半径长．

【答案】，，

类型三：点与圆的位置关系

例5．判断点M（6，9），N（3，3），Q（5，3）与圆(x―5)2+(y―6)2=10的位置关系．

【答案】M在圆上  N在圆外  Q在圆内

【解析】∵圆的方程为(x―5)2+(y―6)2=10，

分别将M（6，9），N（3，3），Q（5，3）代入得

(6―5)2+(9―6)2=10，∴M在圆上；

(3―5)2+(3―6)2=13＞10，∴N在圆外；

(5―5)2+(3―6)2=9＜10，∴Q在圆内．

【总结升华】点与圆的位置关系，从形的角度来看，设圆心为O，半径为r，则点P在圆内|PQ|＜r；点P在圆上|PQ|=r；点P在圆外|PO|＞r．从数的角度来看，设圆的标准方程为(x―a)2+(y―b)2=r2，圆心为A（a，b），半径为r，则点M（x0，y0）在圆上(x0―a)2+(y0―b)2=r2；点M（x0，y0）在圆外(x0―a)2+(y0―b)2＞r2；点M（x0，y0）在圆内(x0―a)2+(y0―b)2＜r2．

举一反三：

【变式1】点（a+1，a―1）在圆的内部，则a的取值范围是________．

【思路点拨】直接把点（a+1，a―1）代入圆的方程左边小于0，解不等式可得a的范围．

【答案】（－∞，1）

【解析】∵点（a+1，a―1）在圆的内部（不包括边界），

∴ ，

整理得：a＜1．

故答案为：（－∞，1）．

类型四：轨迹问题

例6．（2016 广东中山市模拟）已知曲线C上任意一点到原点的距离与到A（3，―6）的距离之比均为．

（1）求曲线C的方程．

（2）设点P（1，―2），过点P作两条相异直线分别与曲线C相交于B，C两点，且直线PB和直线PC的倾斜角互补，求证：直线BC的斜率为定值．

【思路点拨】（1）利用直接法，建立方程，即可求曲线C的方程．

    （2）直线与圆的方程联立，求出A，B的坐标，利用斜率公式，即可证明直线BC的斜率为定值．

【答案】（1）；（2）直线BC的斜率为定值．

【解析】（1）曲线C上的任意一点为Q（x，y），

由题意得

（2）证明：由题意知，直线PB和直线PC的斜率存在，且互为相反数，P（1，―2），

故可设PA：y+2=k（x―1），

由

因为点P的横坐标x=1一定是该方程的解，故可得，

同理，，

所以

故直线BC的斜率为定值．

【总结升华】本例求轨迹方程的方法是直接法．用直接法求曲线方程的步骤如下：

（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标为M（x，y）；

（2）几何点集：写出满足题设的点M的集合P={M|P (M)}；

（3）翻译列式：将几何条件P（M）用坐标x、y表示，写出方程f (x,y)=0；

（4）化简方程：通过同解变形化简方程；

（5）查漏除杂：验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点．

例7．已知定点A（4，0），P点是圆x2+y2=4上一动点，Q点是AP的中点，求Q点的轨迹方程．

【答案】(x―2)2+y2=1

【解析】 设Q点坐标为（x，y），P点坐标为（x＇，y＇），则且，即x＇=2x―4，y＇=2y．

又P点在圆x2+y2=4上，∴x＇2+y＇2=4，将x＇=2x―4且y＇=2y代入得(2x―4)2+(2y)2=4，即(x―2)2+y2=1．

故所求的轨迹方程为(x―2)2+y2=1．

【总结升华】  本题是求轨迹时常用的方法——代入法，对于“双动点”问题，即若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程时，通常用这一方法．代入法是先设所求轨迹的动点坐标为（x，y），在已知曲线上运动的点的坐标为（x＇，y＇），用x，y表示x＇，y＇，即x＇=f (x,y)，y＇=g (x,y)，并将它代入到已知曲线方程，即求出所求动点的轨迹方程．一般情况下，证明可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，即扣除不合题意的解或补上失去的解．

举一反三：

【变式1】已知定点A（2，0），点Q是圆x2+y2=1上的动点，∠AOQ的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程．

    【答案】

【高清课堂：圆的方程370891 典型例题5】

【变式2】平面内到两定点距离的比值是一个不等于1的常数的动点的轨迹是一个圆．

【解析】以两定点所在的直线为轴，以两定点所在线段的中垂线为轴建立直角坐标系，设两定点分别为，设动点，则

，

，

整理得：

所以，即

所以动点的轨迹是一个圆．