知识讲解_正弦函数、余弦函数的图象_基础练习题

正弦函数、余弦函数的图象

【学习目标】

1.了解作正弦函数、余弦函数图象的三种方法；

2.掌握三角函数图象的作用，会用“五点法”作出正弦函数和余弦函数的图象。

【要点梳理】

要点一：正弦函数、余弦函数图象的画法

1．描点法：

按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数、余弦函数图象的方法。

2．几何法

利用三角函数线作出正弦函数和余弦函数在内的图象，再通过平移得到和的图象。

3．五点法

先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是

要点诠释：

（1）熟记正弦函数、余弦函数图象起关键作用的五点。

（2）若，可先作出正弦函数、余弦函数在上的图象，然后通过左、右平移可得到和的图象。

（3）由诱导公式，故的图象也可以将的图象上所有点向左平移个单位长度得到。

要点二：正弦曲线、余弦曲线

（1）定义：正弦函数和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线。

（2）图象

要点诠释：

（1）由正弦曲线和余弦曲线可以研究正弦函数、余弦函数的性质。

（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数、余弦函数有关的问题，如，方程根的个数。

要点三：函数图象的变换

图象变换就是以正弦函数、余弦函数的图象为基础通过对称、平移而得到。

【典型例题】

类型一：“五点法”作正、余弦函数的图象

例1．用五点法作出下列函数的图象。

（1），；

（2），。

【思路点拨】（1）取上五个关键的点（0，2）、（，1）、、、（2，2）。（2）取上五个关键的点。

【解析】  （1）找出五点，列表如下：

描点作图（如下图）。

（2）找出五点，列表如下：

描点作图（如下图）。

    【总结升华】  在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，即可得到函数的简图，这种近似的“五点法”是非常实用的。

举一反三：

【变式1】用“五点法”作出下列函数的简图：

（1）y=－sin x（0≤x≤2π）；（2）y=1+cos x（0≤x≤2π）

【解析】

（1）列表：

    描点作图，如图（1）：

（2）列表：

    描点作图，如图（2）。

类型二：利用图象变换作出函数的图象

例2．作函数的图象；

【思路点拨】要善于利用函数的图象来作及的图象。

【解析】 将化为，其图象如下图。

【总结升华】函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换，一般地，函数的图象与的图象关于y轴对称，与的图象关于x轴对称，和图象与的图象关于原点对称，的图象关于y轴对称。

举一反三：

【变式1】（2016 福建台江区月考）已知函数，

画出函数的简图．

【解析】，

    作出简图如下：

类型三：利用函数图象解简单的三角不等式

例3．画出正弦函数（x∈R）的简图，并根据图象写出：

（1）时x的集合；

（2）时x的集合。

【思路点拨】用“五点法”作出y=sin x的简图。

【解析】

    （1）过点作x轴的平行线，从图象中看出：在[0，2π]区间与正弦曲线交于、两点，在[0，2π]区间内，时x的集合为。当x∈R时，若，则x的集合为。

（2）过、两点分别作x轴的平行线，从图象中看出：在[0，2π]区间，它们分别与正弦曲线交于，点和，点，那么当时，x的集合为

或

。

【总结升华】利用三角函数的图象或三角函数线，都可解简单的不等式，但需注意解的完整性，此外数形结合是重要的数学思想，它能把抽象的数学式子转化为形象直观的图象，平时解题时要灵活运用。

举一反三：

【变式1】（2015春 四川资阳月考）利用正弦函数图象解下列不等式：

（1）；

（2）

（3）；

（4）．

【解析】作出函数y=sin x的图象，如图所示：

由图可得：（1）时，，k∈Z，即原不等式的解集为，k∈Z；

（2）时，，k∈Z，即原不等式的解集为，k∈Z；

（3）时，，k∈Z，即，k∈Z，即原不等式的解集为，k∈Z；

（4）时，，k∈Z，即， k∈Z，即原不等式的解集为， k∈Z．

类型四：三角函数图象的应用

例4．（1）（2015春 陕西宝塔区月考）求在区间[－π，π]内解的个数．

（2）若，则与3的大小关系为（    ）

A．               B．   

C．               D．与的取值有关

【思路点拨】（1）作出函数y=sin x与的函数图象，观察图象交点个数．（2）作出与的函数图象，利用数形结合可得．

【答案】（1）4；（2）D

【解析】（1）函数y=sin x与的图象交点个数等于方程解的个数．

在同一坐标系内作出两个函数y=sin x，在[－π，π]内的图象，如图所示．由图象不难看出，它们有4个交点．

所以方程在[－π，π]内有4个解．

（2）作图（如下图），观察函数，在内的图象可知与的大小关系与的取值有关．

举一反三：

高清课堂：正、余弦函数的图象 394835 例3

【变式1】下列各式中正确的为(  )

A.     B.

C.     D.

【答案】C