知识讲解_二倍角的正弦、余弦、正切公式_基础练习题

二倍角的正弦、余弦和正切公式

【学习目标】

1．能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的内在联系.

2．能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式．但不要求记忆），能灵活地将公式变形并运用．

3．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用.

【要点梳理】

要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式

1．二倍角的正弦、余弦、正切公式

要点诠释：

(1)公式成立的条件是：在公式中，角可以为任意角，但公式中，只有当及时才成立；

(2)倍角公式不仅限于是的二倍形式，其它如是的二倍、是的二倍、是的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. 如：；

2．和角公式、倍角公式之间的内在联系

在两角和的三角函数公式时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下：

要点二：二倍角公式的逆用及变形

1．公式的逆用

；．

．

．

2．公式的变形

；

降幂公式：

升幂公式：

要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型

求值题、化简题、证明题

1．对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等；

2．掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如

等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关系等等)；

3．将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接.

【典型例题】

类型一：二倍角公式的简单应用

例1．化简下列各式：

（1）；（2）；（3）．

【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式．

【答案】（1）（2）（3）

【解析】  （1）．

（2）．

（3）．

【总结升华】本题的解答没有去就单个角求其函数值，而是将所给式子作为一个整体变形，逐步向二倍角公式的展开形式靠近，然后逆用倍角公式，要仔细体会本题中的解题思路．

举一反三：

【变式1】求值：（1）；（2）；（3）．

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】（1）原式=；

（2）原式=；

（3）原式=．

类型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值

例2． 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．

【思路点拨】解这类题型有两种方法：

方法一：适用，不断地使用二倍角的正弦公式．

方法二：将正弦题目中的正弦形式全部转化为余弦形式，利用进行化简．

【答案】

【解析】方法一：

．

∴

方法二：原式

．

【总结升华】本题是二倍角公式应用的经典试题．方法一和方法二通过观察角度间的关系，发现其特征（二倍角形式），逆用二倍角的正弦公式，使得问题出现连用二倍角的正弦公式的形式．在此过程中还应该看到化简以后的分子分母中的角是互余（补）的关系，从而使最终的结果为实数．利用上述思想，我们还可以把问题推广到一般的情形：一般地，若，则．

举一反三：

【变式1】求值：sin10°cos40°sin70°．

【解析】原式

．

类型三：利用二倍角公式化简三角函数式

例3．化简下列各式：

(1)

【思路点拨】（1）观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，再进行化简．（2）观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，利用平方差公式进行化简．

【答案】（1）（2）

【解析】(1)

(2)

【总结升华】①余弦的二倍角公式的变形形式：．经常起到消除式子中1的作用．②由于，可进行无理式的化简和运算．

例4．（2015秋 安徽阜阳期末）已知，且

（1）求的值；

（2）求的值．

【思路点拨】（1）根据角的范围求出cos，tan，然后通过二倍角公式转化，分子分母同除cos2，代入tan，即可求出值．

（2）直接利用两角和的正切函数，展开代入tan的值求解即可．

【答案】（1）6；（2）7

【解析】（1）由又，∴，

∴

（2）

举一反三：

【变式1】（1）的化简结果是         ．

（2）已知，且α∈( ，π)，则 的值为            ．

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）原式=

      =

      =

      =

（2）因为，且α∈( ，π)，所以，原式=．

类型四：二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用

【高清课堂：倍角、半角公式370633 例2】

例5．求值：

（1）已知，求．

（2）已知，求．

【思路点拨】观察所求的角与已知角的关系，发现它们是二倍的关系，所以用二倍角公式去求解．

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）

               =

               =

               =

（2）=

           =

           =

【总结升华】给值求值是求值问题中常见的题型，求解的要点是利用公式沟通已知条件和所求式子之间的联系，考查公式运用和变换的技巧．

举一反三：

【变式1】 已知，且，求，，的值．

【答案】   

【解析】由，得，

即，∴

由，得，

∴．

即．

整理得．

解得或（舍去）．

∴．

∴．

【总结升华】解题过程中注意角的范围的判定．

 【变式2】（2016 天津红桥区模拟）已知是第二象限角，且，

（1）求cos2的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）因为是第二象限角，，

所以，．

（2）又是第二象限角，故．

所以．

类型五：二倍角公式的综合应用

 【高清课堂：倍角、半角公式370633 例3】

 例6．已知，求：

（1）f (x)的最大值以及取得最大值的自变量的集合；

（2）f (x)的单调区间．

【思路点拨】用降幂公式把原式降幂，然后用辅助角公式化成的形式．

 【答案】（1）  （2）单增区间   单减区间

【解析】

（1）原式=

         =

         =

则当即时，

（2）f (x)的单调递增区间为：，则

f (x)的单调递减区间为：，则

【总结升华】本题主要考查特殊角的三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦公式及的性质等知识．要记住倍角公式两类重要变形并能熟练应用：（1）缩角升幂公式，．，．（2）扩角降幂公式，．

例7．已知向量，，求函数．

（1）求的最大值及相应的x值；

（2）若，求的值．

【思路点拨】利用向量数量积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量数量积转化为三角函数中的“数量关系”，从而建立函数f(x)关系式．

【答案】（1） （2）

【解析】（1）因为，，

所以．

因此，当，即时，取得最大值．

（2）由及得，两边平方得，即．因此，．

举一反三：

【变式1】（2015秋 朝阳区期中）已知函数．

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）的单调递减区间．

【答案】（1）2π；（2），k∈Z．

【解析】（1）由已知可得：．

     所以f（x）的最小正周期为2π．

（2）由，k∈Z，

得，k∈Z．

因此函数f（x）的单调递减区间为，k∈Z．

【变式2】已知向量m=（sinA，cosA），，m·n=1，且A为锐角．

（1）求角A的大小；

（2）求函数（x∈R）的值域．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）由题意，得，

，．

由A为锐角得，．

（2）由（1）知，

所以．因为x∈R，所以sinx∈[－1,1]．

因此，当时，有最大值，当sin x=－1时，有最小值－3，所以所求函数的值域是．