知识讲解_两角差的余弦公式_基础练习题

两角差的余弦公式

编稿：丁会敏  审稿：王静伟

【学习目标】

1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用.

2．通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及功能，为建立其它和（差）公式打好基础.

3.通过教学活动，使学生经历发现、猜想、论证的数学化的过程，并体验到数学学习的严谨、求实的科学态度，逐步培养学生探索问题的精神。

【要点梳理】

要点一：两角差的余弦公式

1．两角差的余弦公式的推导：

（1）如图，在平面直角坐标系内作单位圆，以为始边作角，它们的终边与单位圆的交点分别为，则

由向量数量积的概念，有

，结合向量数量积的坐标表示，有

所以= （*）

（2）由以上的推导过程可知，是任意角，则也应为任意角，但由两个向量数量积的意义，（*）中的。为此，我们讨论如下：

由于是任意角，由诱导公式，总可以找到一个角，使。

①若，则。

②若，则，且

由以上的讨论可知，对于任意的，都有：

=  

2．公式的记忆

右端为的同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反。

要点诠释：

(1)公式中的都是任意角。

(2)差角的余弦公式不能按分配律展开，即。

(3)要正确地识记公式结构，公式右端的两部分为同名三角函数积，左端为两角差的余弦。

要点二：两角差余弦公式的逆向应用和活用

1．逆用

=

要点诠释：

公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题.如：由能迅速地想到

。

2．角变换后使用

。

3．移项运用

4．特殊化使用

5．以代

即

【典型例题】

类型一：利用差角的余弦公式进行证明

高清课堂：两角差的余弦公式 401789 例1

例1．求证：

（1）

（2）

【思路点拨】（1）用代，利用两角差的余弦公式展开。（2）利用及两角和的余弦公式可证得。

【证明】（1）=

             =

 （2）

                =

                =

                =

                =

举一反三：

【变式1】

证明：

             =

             =

             =

             =

             =

类型二：利用两角差的余弦公式化简三角函数式

例2．化简：

【答案】 0

【解析】

原式

。

【总结升华】化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之间的关系，以便于应用公式。对于三角函数式的化简，要求：（1）能求出值的应求出值；（2）使三角函数的种类最少；（3）使项数尽量少；（4）尽量使分母中不含有三角函数；（5）尽量使被开方数不含有三角函数。对于本题我们看到，化简前与化简后相比，化简后显然简洁得多，而且关系也清晰得多。

举一反三：

【变式1】化简：。

【答案】 

【解析】

原式=

    =

    =

    =

    =

类型三：利用差角的余弦公式求值

例3．求值：

（1）

（2）

（3）cos(－35°)·cos(25°+)+sin(－35°)·sin(25°+)；

【思路点拨】（1）利用求解（2）利用两角差的余弦公式（3）把－35°和25°+看作一个整体，利用两角差的余弦公式。

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）

            =

            =

（2）原式

（3）原式。

【总结升华】两角差的余弦公式中，，可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体，如（3）中的（）可视为一个整体。分析题目特点，构造两角的差，然后应用两角差的余弦公式，是常见题型。

 举一反三：

【变式1】求值：cos15°cos105°+sin15°sin105°

【解析】原式=cos(15°－105°)=cos(－90°)=0

【变式2】求值：

【解析】原式=

         =

         =

         =

         =

 例4．已知

【思路点拨】若展开，又由，从而可得出关于的方程求解.

经观察：，故又可直接由代入求解.

【答案】

【解析】由

由

故

【总结升华】 仔细分析角与角之间的关系是利用两角差的余弦公式求值的关系，解这类题时要“一看角、二看名、三看结构”。

举一反三：

【变式1】已知，，求。

【答案】

【解析】  ∵，，∴，

则。

【总结升华】依据角的范围确定函数的符号，再利用差角公式求解，是一种常见的题型。

【变式2】已知，，。求。

【答案】

【解析】  由题意得，。

∴，

，

∴

。