知识讲解_同角三角函数的基本关系式_提高练习题

同角三角函数基本关系

【学习目标】

1.借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式: ，掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法；

2．会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。

【要点梳理】

要点一：同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系：

(2)商数关系：

(3)倒数关系：，，

要点诠释：

(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立；

(2)是的简写；

(3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取。

要点二：同角三角函数基本关系式的变形

1．平方关系式的变形：

，

2．商数关系式的变形

。

【典型例题】

类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值

例1．已知tan=－2，求sin，cos的值。

【思路点拨】先利用,求出sin=－2cos，然后结合sin2+cos2=1，求出sin，cos。

【解析】  解法一：∵tan=－2，∴sin=－2cos。  ①

又sin2+cos2=1，    ②

由①②消去sin得(－2cos)2+cos2=1，即。

当为第二象限角时，，代入①得。

当为第四象限角时，，代入①得。

解法二：∵tan=－2＜0，∴为第二或第四象限角。

又由，平方得。

∴，即。

当为第二象限角时，。

。

当为第四象限角时，。

。

【总结升华】解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值，缩小角的范围。在解答过程中如果角所在象限已知，则另两个三角函数值结果唯一；若角所在象限不确定，则应分类讨论，有两种结果，需特别注意：若已知三角函数值以字母a给出，应就所在象限讨论。

举一反三：

【变式1】已知是的一个内角，且，求

【思路点拨】根据可得的范围：再结合同角三角函数的关系式求解.

【解析】为钝角，

由平方整理得

例2．已知cos=m（－1≤m≤1），求sin的值。

【解析】（1）当m=0时，角的终边在y轴上，

①当角的终边在y轴的正半轴上时，sin=1；

②当角的终边在y轴的负半轴上时，sin=－1。

（2）当m=±1时，角的终边在x轴上，此时，sin=0。

（3）当|m|＜1且m≠0时，

∵sin2=1―cos2=1―m2，

∴①当角为第一象限角或第二象限角时，，

②当角为第三象限角或第四象限角时，。

【总结升华】 当角的范围不确定时，要对角的范围进行讨论，切记不要遗漏终边落在坐标轴上的情况。

类型二：利用同角关系求值

【高清课堂：同角三角函数关系公式 385948 例2】

例3．已知：求：

（1）的值；（2）的值；

（3）的值；（4）及的值

【思路点拨】同角三角函数基本关系是反映了各种三角函数之间的内在联系，为三角函数式的恒等变形提供了工具与方法。

【答案】（1）（2）（3）0（4）或

【解析】（1）由已知

（2）

（3）

（4）由，解得或

【总结升华】本题给出了及三者之间的关系，三者知一求二，在求解的过程中关键是利用了这个隐含条件。

举一反三：

【变式1】（2015春 广东韶关期中）已知0＜x＜π，sin、cos是方程的两实根，求：

（1）m的值；

（2）求sin、cos、tan的值；

（3）的值．

【答案】（1）；（2），，；（3）

【解析】（1）∵0＜＜π，sin、cos是方程的两实根，

∴，，

∵，

解得：；

（2）∵  ①，，

∴，

∴  ②，

联立①②解得：，，；

（3）∵，，

∴原式

      ．

例4．（2015春 河南灵宝市月考）已知tan=3，求下列各式的值：

（1）；

（2）．

【思路点拨】（1）将分式的分子和分母都除以cos，结合同角三角函数的商数关系可得关于tan的式子，再将tan=3代入即可；

（2）首先利用“1的代换”将分子化成sin2+cos2，然后将分式的分子和分母都除以cos2，结合同角三角函数的商数关系将原式化简成为关于tan的式子，最后将tan=3代入即可求出原式的值．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）∵原式

∴分子分母都除以cos，得

原式

（2）∵原式

∴将分子化成1=sin2+cos2，可得原式

再将分子分母都除以cos2，得

原式

【总结升华】①已知tan的值，求关于sin、cos的齐次式的值问题①如（1）题，∵cos≠0，所以可用cosn（n∈N*）除之，将被求式转化为关于tan的表示式，可整体代入tan=m的值，从而完成被求式的求值；②在（2）题中，求形如a sin2+b sincos+c cos2的值，注意将分母的1化为1=sin2+cos2代入，转化为关于tan的表达式后再求值。

举一反三：

【变式1】（1）已知tan=3，求sin2－3sincos+1的值；

（2）已知，求的值。

【解析】（1）∵tan=3，1=sin2+cos2，

∴原式

      。

（2）由，得，解得：

∴

。

类型三：利用同角关系化简三角函数式

例5．化简：。

【解析】  解法一：原式

                   。

解法二：原式

            。

解法三：原式

            。

【总结升华】以上三种解法虽然思路不同，但是主要都是应用公式sin2+cos2=1，解法二和解法三都是顺用公式，而解法一则是逆用公式，三种解法中，解法一最为简单。这里，所谓逆用公式sin2+cos2=1，实质上就是“1”的一种三角代换：“1=sin2+cos2”，1的三角代换在三角函数式的恒等变形过程中有着广泛的应用。

举一反三：

【变式1】化简

（1）；

  （2）；

（3）；

（4）

【答案】（1）－1（2）（3）略（4）略

【解析】（1）原式=

（2）原式=

（3）原式=

（4）原式=

         =

         =，

类型四：利用同角关系证明三角恒等式

例6．求证：。

【思路点拨】利用同角三角函数关系式对式子的左边或右边进行化简，使之与式子的另一边相同。

【解析】  证法一：右边

                   =左边。

证法二：左边，

右边，

所以左边=右边，原等式成立。

证法三：左边，

右边，

所以左边=右边，原等式成立。

【总结升华】 本题主要考查三角恒等式的证明方法。就一般情况而言，证明三角恒等式时，可以从左边推到右边，也可以从右边推到左边，本着化繁就简的原则，即从较繁的一边推向较简的一边；还可以将左、右两边同时推向一个中间结果；有时候改证其等价命题更为方便。但是，不管采取哪一种方式，证明时都要“盯住目标，据果变形”。化简证明过程中常用的技巧有：弦切互化，运用分式的基本性质变形，分解因式，回归定义等。

举一反三：

【变式1】求证：.

【解析】证法一：由题意知，所以.

∴左边=右边.

∴原式成立.

证法二：由题意知，所以.

又∵，

∴.

证法三：由题意知，所以.

，

∴.

【变式2】已知，求证：。

【证明】  ∵，∴，

∵，∴。

∴。